江苏省泰州市泰兴市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

数学评分标准第 1 页（共 4 页） 2024 年秋学期九年级期末学情调查 数学试题参考答案及评分说明 说明：本评分说明每题给出了一种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，参照 本说明酌情给分． 一、选择题（每小题 3分，共 18分） 1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 二、填空题（每小题 3分，共 30分） 7． 3 7 8．2 9．16 10．4 11． 31 ＜＜x− 12．(3,1) 13．30° 14． 2 1 15． 54 16. 3−＞n 三、解答题（本大题共有 10题，计 102分） 17．(本题满分 12分)： （1）＝1+（-3）+ 2 3 3  …………3 分 ＝ 2 1 − …………6 分 （2） 2, 2 1 21 == xx …………12 分 18．(本题满分 8 分) 解：（1） 3 1 …………2 分 （2）列表如下： A B C A （A，B） （A，C） B （B，A） （B，C） C （C，A） （C，B） …………6 分 共有 6种等可能的结果，其中甲、乙两位新生分到同一个班的结果有 2种， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为 6 2 ＝ 3 1 ． …………8 分 19. (本题满分 8分) 解：（1）2023 …………2 分 1693 …………4 分 （2）2021 …………6 分 1.3% …………8 分 20．(本题满分 8分) 解： (1)1000 ，1000； ………4分 (2)由题意得 CS=1000-900=100m， ………5分 在 Rt△CDS 中，SD=CS·tan∠DCS=100×tan28°=100×0.532≈53m ………7分 答：则灯塔的高度 SD 是 53米. ………8分 数学评分标准第 2 页（共 4 页） 21．(本题满分 10分) 解：（1）直线 EF 与⊙O 相切 ………1分 连接 OE，∵ FB=FE，∴ ∠B=∠FEB，∵OE=OA，∴∠BAC=∠OEA，又∵∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠B=90°，∴∠OEA+∠BEF=90°，∴∠OEF=180°-（∠OEA+∠BEF）=90°， ∴直线 EF 与⊙O 相切。 ………5分 （2）∵ ∠A=20°，∴ ∠AEO=∠A=20°，∴∠AOE=140°， ………7分 扇形 OAE 的面积为： 18 7 360 1140 2  =  ………9分 答：扇形 OAE 的面积为 18 7 . ………10分 22．(本题满分 10分) 解： (1) xxh 65 2 2 +−= ………4分 (2) xh 41 = ………6分 xxxhhh 465 2 12 −+−=−= xx 25 2 +−= ………8分 5 1 ) 5 1 (5 2 +−−= x ………9分 ∴当 hx 时， 5 1 = 的最大值为 5 1 ………10分 23．(本题满分 10 分) 解：（1）如图 1为所求 图1 M N Q A C B P (结论 1分)………4分 （2）（I） 若选择①②，如图 2 ………6分 ∵AQ 平分∠CAB,∴∠1=∠2,∵四边形 PQMN 为菱形，∴PQ∥AB，∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3，∴PQ=PA=5，又∵PC=AC-AP=8-5=3；在△CPQ 中，∠C=90°，∴ CQ==4； ∵PQ∥AB ，∴ CA CP CB CQ = ，∴ 3 32 =CB . ………10分 （II）若选择①③，如图 3. ………6分 3 21 图2 Q A C B P 图3 H M N QC A B P 图4 F E QC A B P 过 Q 作 QH⊥AB，垂足为 H，同（I）可得 PQ=PA=5，∵菱形 PQMN 的面积为 20，∴ MN •QH=20，∴ QH=4，∵AQ 平分∠CAB，∠C=90°，QH⊥AB，∴ QC=QH=4，同（I） 数学评分标准第 3 页（共 4 页） 可求 3 32 =CB . ………10分 （III。）若选择②③，如图 4. ………6分 过点 P，Q 作 AB 的垂线，垂足分别为 E，F.设 PQ=x，∵菱形 PQMN 的面积为 20， ∴PE= ,PC=AC-AP=8-5=3，∴ CQ= 92 −x ,可证△AEP∽△PCQ，∴ PE CQ PA PQ = , 解得 x=5，即 PQ=5，同（1） 3 32 =CB ………10分 24．(本题满分 10 分) 解：探究一：0 ；0 ………2分 探究二：如图 1，连接 AC，过点 O 作 OH⊥DC，中心 O 在线段 AC 上． 转动过程中，当 AC 与地面垂直时，最高点和轴心离地面的距离均最大， 在△ADC 中，∠ADC=90°，AD=AB=DC=6 cm，∴AC= 26 cm，即最高点离地面的距离最 大值为 26 cm；同理：OC= 23 ，即轴心离地面的距离最大值为 23 cm； 当正方形一边落在地面上时，最高点和轴心离地面的距离均最小，易得，最高点离地 面的距离最小值为 AD=6 cm，轴心离地面的距离最小值为 OH=3 cm， ∴最高点振幅为：( 26 -6) cm，轴心振幅为：（ 23 -3）cm． ………6分 图1 H O BA CD 图2N M O A B C 图3 O A BC 探究三：如图 2，过点 O 作 OM⊥AB，垂足为 M，∵O 为正△ABC 的中心，∴∠OAE= 2 1 ∠ BAC=30°，在 Rt△OMA 中，∠OMA=30°，∴cos∠OAM= 2 3 ∴AM= 33 ，∵O 为圆心， OM⊥AB，∴AB=2AM= 36 ；延长 AO 交弧 BC 于点 N，∴AN=AB= 36 ． 当 AN 与地面垂直且点 N 落在地面上时，轴心离地面的距离最小，ON=AN-OA=（ 36 -6） ， 当 AN 与地面垂直，且点 A 落在地面上时，轴心离地面的距离最大（如图 3），OA=6 cm ； 轴心振幅为：OA-ON=6-（ 36 -6）=12- 36 ………8分 选 甲 方案 ………10分 25．(本题满分 12 分) （1）① 12 += xyAC ………3分 ②BE＝ 322 +−− mm ………5分 ③ CDAFBE = ………8分 理由如下： )5,3 −−（A ， )3,1（C ， )4, 2 +−mmB（ ， )12, +mmE（ ， BE＝ 322 +−− mm ， 3+= mAF ， mCD −=1 ，∴ CDAFBE = （2） CDAFBE = 2 ………10分 （3） CDAFaBE −= ………12分 数学评分标准第 4 页（共 4 页） 理由如下： ), 2 cattA +（ ， ), 2 cannC +（ ， catnxntayAC +−+= )( ， ), 2 cappB +（ ， ))(,( catnpntapE +−+ ， ∴ tpAF −= ， pnCD −= ，BE＝ atnanpatpap +−− 2 = )( 2 tnnptppa −++−− ， ∴ tnnptppCDAF −++−= 2 ，∴ CDAFaBE −= 26．(本题满分 14分) 解：(1)①∵四边形 CDEF 为正方形，∴DE//BC∴∠ADE=∠C，DE=DC ∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB …………2 分 ∴ 即 ∵DE=DC∴ 解得 DE=2 ∴所容正方形 DEFG 的边长为 2. …………4 分 ②如图②（1），当点 E 落在 AB 上，作 EH⊥AC，垂足为 H，设 EH=m， 由题意得△EHD≌△DCG，△AHE∽△ACB，∴HE=DC=m,AH=2m,HD=6-3m 在 Rt△DEH 中，EH 2 +HD 2 =DE 2 即 m 2 +(6-3m) 2 =2 2 …………6 分 解得 m1= 5 8 ,m2=2(舍去）∴AD=6-m= 5 22 …………7 分 如图②（1），当点 F 落在 AB 上，作 FI⊥BC，垂足为 I， 设 BI=n，由题意得△FIG≌△GCD，△FIB∽△ACB ∴FI=2n,CG=FI=2n,GI=3-3n 在 Rt△FIG 中，FI 2 +GI 2 =FG 2 即(2n) 2 +(3-3n) 2 =2 2 …………9 分 解得 n1= 13 5 ,n2=1(舍去）;∴AD=6-(3-3n)= 13 54 综上所述：AD 的长为 5 22 或 13 54 . …………10 分 (2)如图③，作 DH//BC,设 DG=x 由题意可得△EDH≌△FGB，△DCG∽△ADH ∴EH=BF,DG=DE=EF=BH=x，, ∴ 即 AH=2x，∵S△ADH=4 ∴ 2 1 ·2x·x=4∴x=2，∴DG=2 …………14 分 （方法不唯一，别的解法参照本说明酌情给分） 2024年秋学期九年级期末学情调查 数学试题 (考试时间：120分钟满分150分) 请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分， 2.所有试题的答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.作图必须用2B铅笔，且加粗加黑. 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中， 只有一个是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.sin30°的值是 A.1 C.2 D. 3 2 2 2.若一元二次方程x2-3x+a=0的一个根为x=2,则a的值为 A.2 B.-2 C.4 D.-4 3,某事件1发生的概率是品。，则下列推断正确的是 A.做100次这种实验，事件A必发生3次 B.做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C.做1000次这种实验，事件A必发生30次 D.大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 4.函数y=(x-2)2-4的顶点坐标是 A.(2,4) B.(2,4) C.(-2,4) D.(-2,4) 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=130°，则∠DCE的度数为 A.50° B.55 C.65 D.70° A E B D (第5题) (第6题) 6.在△ABC中，AB=BC,DA⊥AB交CB延长线于点D,DE⊥CA,垂足为E. 若an∠C=k,CD=l,则AD的值为 A.k B专 C.k2 D 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，只需把 答案直接填写在答题卡相应位置上) 九年级数学第1页共6页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效可器 7已知%={，则+26 b 的值为▲· 8.已知x,为是方程x2-2x-a2=0的两个实数根，则x十x2=▲_ 9.如图是某市某段时间内8个整点时刻的气温预报图，则这8个整点时刻气温的中位 数是▲C· 温度/℃ 30f 2077 92空915 10 999 D 0T4立0，名应防的时刻点 (第9题) (第11题) (第12题) 10.一圆锥的底面半径为3，侧面积是12π，则它的母线长为▲ 11.如图，二次函数y=x2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图像相交于A,B两点， 则不等式x2+bx+c<mx+n的解集为▲， 12.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4),B(6,2),以原点O为位似中 心，在第一象限内将AB缩小为原来的二后得到C,则点D的坐标为▲ E D 0 O E B C (第13题) (第14题) (第15题) 13.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P是弧CD上任意一点，则∠APB=▲°· 14.如图，点A,B,C在边长为1的正方形网格格点上，则taB=▲· 15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,连接AD.若OE=3,CD=8,则AD 的长为▲· 16.平面直角坐标系xOy中，点A,B在二次函数y=-2x2+(t-1)x+3t的图像上，且 点A在点B的上方，点A,B的横坐标分别为m,m+1,若m,t满足4m-t=n, 则n的取值范围是▲ 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.计算或解方程（本题满分12分） (1)（π-3.14)°+(-2)+5cos30° (2)2x2-5x+2=0 九年级数学第2页共6页 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 18.(本题满分8分) 从A,B,C三人中随机挑选两人参加市乒乓球双打比赛 (1)A被选中的概率为▲； (2)用树状图或列表法求A,B都被选中的概率。 19、(本题满分8分) 如图是我国2019~2023年60周岁及以上老年人口及其占全国总人口比重情况统计图 万人 20192023年60周岁及以上老年人口及其占全因人口比重 % 30000 21 29000 198 18.1 18.9 20 28000 18.1 27000 26402 26000 25388 1 25000 24000 1413 23000 12 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 题60周岁及以上人口●◆60周岁及以上人口比重 (第19题) 根据图中信息，回答下列问题， (1)2019~2023年这5年中，▲年60周岁及以上老年人口数量占全国比重最 大：2020~2023年60周岁及以上老年人口增长最多的一年增长▲万人： (2)2020~2023年这4年中，▲年60周岁及以上老年人人口增长率最低，这一 年增长率为▲·（精确到0.1%） 20.(本题满分8分) 如图①，一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东45°，轮船向正北方向航 行1000m后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向. (1)SA=▲m,SB=▲m(结果保留根号). (2)如图②，若轮船从B处向东航行900m到达点C,从点C处观测灯塔塔顶D 的仰角为28°，则灯塔的高度SD是多少米？ (参考数据：sin28°≈0.469，cos28°≈0.883，tan28°≈0.532，结果精确到1m.) B 必 6 B 东 图① (第20题) 图② 九年级数学第3页共6页 ▣g▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效可书 21.(本题满分10分) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为 半径的圆分别交AB,AC于点E,D.在BC的延长线上取点F,使得BF=EF, (1)试判断EF所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)连接OE,若OA=1,∠A=20°，求扇形OAE的面积， B E A 0 (第21题) 22.(本题满分10分) 某数学兴趣小组探究对比两种水杯装水情况：了解不同型号的两种水杯1号杯， 2号杯)的高度h(dm)与容积xL)之间的关系.已知1号杯的水面高度h是关于 x的一次函数，2号杯的水面高度五是近似关于x的二次函数，它们的函数图像（不 完整)如图所示 (1)求九关于x的函数关系式： (2)在相同体积的情况下，当0<x<0.4时，求2号杯水面与1号杯水面的最大高 度差. h/dm h 1.6 1号杯2号杯和00.20.4 x/L (第22题) 九年级数学第4页共6页 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 23.(本题满分10分) 如图，在Rt△ABC中∠C=90°，点P在边AC上 (I)请用无刻度的直尺和圆规作菱形POMN,使点Q在边BC上，点M、N在边AB 上：（画出一个即可，不写作法，保留作图痕迹） (2)在(1)所作图中，若AP-5,连接AQ: A 给出以下三个信息：①AQ恰好平分∠BAC;②AC=8; ③菱形PQMN的面积为20. 请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，求BC的长， 你选择的条件是▲（填写序号）， B (第23题) 24.(本题满分10分) 在综合实践活动课上，为了探究“什么形状的车轮让车辆行驶更平稳”，甲，乙， 丙三位同学分别制作了不同形状的车轮，并将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动 的滚动.在滚动过程中，车轮最高点离地面距离的最大值与最小值的差叫最高点振 幅；车轮轴心离地面距离的最大值与最小值的差叫轴心振幅. 探究一：如图1，甲同学制作的圆形车轮轴心O为其圆心，半径OA-6cm,在滚动 过程中，最高点振幅为▲cm,轴心振幅为▲cm. A B A D 图1 图2 探究二：如图2，乙同学制作的正方形车轮的轴心O为正方形的中心，边长 AB=6cm,求车轮滚动过程中的最高点振幅和轴心振幅. 【知识科普】如图3，分别以正三角形的三个顶点A,B,C为圆心，以正三角形的 边长为半径作60°圆弧，三段弧线围成的图形叫做“莱洛三角形” ; 图3 图4 探究三：丙同学制作的“莱洛三角形”车轮的轴心O为正△ABC的中心，且 O4-6cm.丙同学在探究过程中发现“莱洛三角形”车轮在滚动过程中（如图4) 最高点离地面的距离始终相等，即最高点振幅为0，请帮助丙同学计算轴心振幅。 【探究结果】 研究表明，车轮的最高点振幅和轴心振幅越小，车轮行驶越平稳，你认为甲、乙、 丙三个同学的方案中，▲的方案更适合做车轮.（选“甲”或“乙”或“丙”） 九年级数学第5页共6页 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣6 25.（本题满分12分) 如图，点A,C为抛物线y=ax+4(a为常数，且a<0)上两定点，点B为点 A,C之间的抛物线上一动点（不与点A,C重合），过点B作x轴垂线，交直线AC 于点E.过点A,C作直线BE的垂线，垂足分别为F,D (1)若a=一1，点A,B,C的横坐标分别为一3，m,1,(一3<m<1), ①求直线AC的函数关系式；②BE=▲；（用含m的代数式表示） ③试猜想BE,AF,CD之间的数量关系并证明： (2)若(1)中a的值改为一2，其余条件不变，请直接写出BE,AF,CD之间的 数量关系： (3)当a的值确定，点B在点A,C之间的抛物线上运动时，BE,AF,CD之间 的数量关系是▲ （第25题) 26.（本题满分14分) 定义：若正方形的四个顶点都在三角形的边上，我们称这个正方形为该三角 形的“所容正方形” (1)如图①，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=3,正方形DEFG是△ABC的 “所容正方形”. ①求“所容正方形”DEFG的边长； ②将①中“所容正方形”DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上移动（不与点C重 合)，如图②，当点E和F中仅有一点落在线段AB上时，求AD的长： (2)如图③，若正方形DEFG是△ABC的“所容正方形”，且△ADE,△BFG, △CGD的面积分别为3,1,1，求DG的长. C(G) G 图0 图③ 图② (第26题) 九年级数学第6页共6页 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣