精品解析：河南省周口市沈丘县中英文等校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期期末教学测评 九年级数学（Z） 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题．（每题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1. 下列各数中，与的乘积为有理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是　　 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 3. 把抛物线先向右平移1个单位，再向上平移n个单位后，得到抛物线，则n值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 5. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，，则的长度为（ ） A 5 B. 10 C. D. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 必然事件发生的概率为1 B. 不可能事件发生的概率为0 C. 随机事件发生的概率介于0和1之间 D. 不确定事件发生概率为0.5 8. 已知点，在二次函数：的图象上，若，则a的值可以是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 3 9. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________． A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，半径为的与交于点，且与相切，过点作交于点，点是边上动点．则周长最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 抛物线的对称轴为________． 12. 在中，，，则的值为______. 13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130°，则∠BOD=______°． 14. 如图是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面_______ ． 15. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论： ①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论是______．（填序号）． 三、解答题．（本大题8小题，共75分） 16. 计算：（1）； （2）将二次函数化成的形式，并写出顶点坐标． 17. 如图，的平分线交的外接圆于点D，若，．求外接圆的半径． 18. 体育课上，王老师安排李明、王强、张三、田武四个同学练习传球，每个同学拿到球后随机传给下一个同学． （1）若李明第一个拿到球，他将球传给王强的概率为____________． （2）若从李明开始传球，则经过两次传球后，球回到李明手上的概率为多少？ 19. 如图，在正方形中，在边上取中点E，连接，过点E作交于点G、交延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图所示是消防员攀爬云梯到小明家场景．已知，，点关于点的仰角为，则楼的高度为多少？（结果保留整数．参考数据：） 21. 如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长． 22. 某超市销售某种儿童玩具，每件进价为50元．根据市场调查发现：该玩具销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件．要求销售单价不得低于成本，且不高于110元．若该儿童玩具的销售单价为x元，每月的销售量为y件． （1）若该超市每月销售这种玩具，想要获得4000元的利润，则销售单价应定为多少元？ （2）设超市每月销售这种玩具可获利W（元），当销售单价x为多少时，W最大？W的最大值是多少？ 23. 如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是直线下方抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； （3）设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末教学测评 九年级数学（Z） 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题．（每题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1. 下列各数中，与的乘积为有理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法法则进行计算，然后进行判断即可； 【详解】A、为无理数，不符合题意； B、为无理数，不符合题意； C、为无理数，不符合题意； D、为有理数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，以及无理数和有理数的定义．熟练掌握相关定义和运算法则是解题的关键． 2. 的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是　　 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交． 【详解】∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交． 故选A． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可． 3. 把抛物线先向右平移1个单位，再向上平移n个单位后，得到抛物线，则n值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象平移法则“上加下减，左加右减”，即可求解． 【详解】解：∵抛物线先向右平移1个单位，再向上平移n个单位后，得到抛物线 ， 即 ， ∵抛物线先向右平移1个单位，再向上平移n个单位后，得到抛物线， ∴ ，解得： ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移法则“上加下减，左加右减”是解题的关键． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出一元二次方程的判别式，确定有两个相等的实数根即可得到答案． 【详解】解：， ， 一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根是解决问题的关键． 5. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例可求得的长，则由线段的差即可求得结果． 【详解】， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键． 6. 在中，若，，则的长度为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．熟练掌握直角三角形的边角关系，是解决本题的关键． 先利用直角三角形的边角间关系，用含的代数式表示出，再利用勾股定理求出． 【详解】∵在中，若， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴． 故选：C． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 必然事件发生的概率为1 B. 不可能事件发生的概率为0 C. 随机事件发生的概率介于0和1之间 D. 不确定事件发生的概率为0.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题关键．概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：．其中必然发生的事件的概率；不可能发生事件的概率；随机事件，发生的概率大于0并且小于1．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．据此分析判断即可． 【详解】解：A.必然事件发生的概率为1，该说法正确，不符合题意； B.不可能事件发生的概率为0，该说法正确，不符合题意； C.随机事件发生的概率介于0和1之间，该说法正确，不符合题意； D.不确定事件发生的概率为大于0且小于1，故说法错误，符合题意． 故选：D． 8. 已知点，在二次函数：的图象上，若，则a的值可以是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，得到点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在二次函数的图象上，且， ∴， ∴a的值可以是3； 故选D． 9. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA、OB，证明△OAB等边三角形，得出AB＝OA＝1，由垂径定理求出AM，再由勾股定理求出OM即可． 【详解】解：连接OA、OB，如图所示： ∵六边形ABCDEF为正六边形， ， ∵OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴AB＝OA＝1， ∵OM⊥AB， ∴AM＝BM＝AB＝， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键． 10. 如图，在中，，，半径为的与交于点，且与相切，过点作交于点，点是边上动点．则周长最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及轴对称的最短路线问题，延长交于点，连接，交于点，则．此时的值最小，即的周长最小，求此时的周长即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，交于点，则． 此时的值最小，即的周长最小 设与相切于，连接， 则， ， ， ； ，为的半径， 是的切线， 连接，则 ， ， ， ， 解得：， ， 周长最小值为， 故选：A． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 抛物线的对称轴为________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 故答案为：直线． 12. 在中，，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，则，得出，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， 设，则， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义． 13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130°，则∠BOD=______°． 【答案】100 【解析】 【分析】结合已知条件可以推出∠A＝50°，根据圆周角定理即可推出∠BOD＝100°． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°， ∴∠A＝180°-∠BCD =50°， ∴∠BOD＝2∠A =100°． 故答案为：100°． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，关键在于求出∠A的度数． 14. 如图是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 15. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论： ①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论是______．（填序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①根据二次函数的对称轴，，即可判断出；②结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断；③结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；④运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确； ∵， ∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0， ∴， ∴，故③正确； ∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为，将代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴当时，； ∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确； 综上所述，①②③④均正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键． 三、解答题．（本大题8小题，共75分） 16. 计算：（1）； （2）将二次函数化成的形式，并写出顶点坐标． 【答案】（1）12 （2），顶点坐标为 【解析】 【分析】此题考查了负指数，特殊角的三角函数值，平方差公式，二次函数的图象和性质，熟练掌握是解题的关键． （1）利用负指数，特殊角的三角函数值，平方差公式化简，再进行运算即可； （2）提取二次项系数，配方，把抛物线化为顶点式，写出顶点坐标即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 顶点坐标为． 17. 如图，的平分线交的外接圆于点D，若，．求外接圆的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理等知识，先根据圆周角定理可知，为的直径，再结合题意得到，利用勾股定理求出的长，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴外接圆的半径为． 18. 体育课上，王老师安排李明、王强、张三、田武四个同学练习传球，每个同学拿到球后随机传给下一个同学． （1）若李明第一个拿到球，他将球传给王强的概率为____________． （2）若从李明开始传球，则经过两次传球后，球回到李明手上的概率为多少？ 【答案】（1） （2）球回到李明手上的概率为 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合概率公式计算即可； （2）先画出树状图，共有种等可能结果，其中球回到李明手上的等可能结果有种，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵李明第一个拿到球，他将球传给王强、张三、田武三人中的任意一人，有种等可能结果，其中他将球传给王强只有种可能， ∴他将球传给王强的概率为； 故答案为： 【小问2详解】 解：树状图如图： 共有种等可能结果，其中球回到李明手上的等可能结果有种， ∴球回到李明手上的概率为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解本题的关键在正确画出树状图．概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比． 19. 如图，在正方形中，在边上取中点E，连接，过点E作交于点G、交延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，根据相似得出比例式，代入求出即可． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形，， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ， ∵E为的中点， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 20. 如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知，，点关于点的仰角为，则楼的高度为多少？（结果保留整数．参考数据：） 【答案】楼的高度为 【解析】 【分析】延长交于点，依题意可得，在，根据，求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴ 在中，，， ∵， ∴ ∴， 答：楼的高度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 21. 如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据，即可得到，结合相似三角形的判定即可得到证明； （2）由正方形及平行线的性质可得，再由对顶角相等，可得，利用相似三角形的对应边成比例即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为4，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 22. 某超市销售某种儿童玩具，每件进价为50元．根据市场调查发现：该玩具销售单价为100元时，每月销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件．要求销售单价不得低于成本，且不高于110元．若该儿童玩具的销售单价为x元，每月的销售量为y件． （1）若该超市每月销售这种玩具，想要获得4000元的利润，则销售单价应定为多少元？ （2）设超市每月销售这种玩具可获利W（元），当销售单价x为多少时，W最大？W的最大值是多少？ 【答案】（1）70元或90元 （2）当销售单价x为80元时，W最大，W的最大值为4500元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确列出一元二次方程和函数关系式成为解题的关键． （1）先根据题意列出一元二次方程，然后求解即可； （2）先根据题意列出获利W（元）与销售单价x列出函数关系，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∴销售单价应定为70元或90元． 【小问2详解】 解：根据题意，得： ， ∵，且， ∴当时，W有最大值，最大值为4500元， 答：当销售单价x为80元时，W最大，W的最大值为4500元． 23 如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； （3）设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；② （3）存在，点M的坐标为或或． 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，菱形的性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）利用待定系数法，将点和点代入抛物线解析式，求出、的值，即可求解； （2）①先确定直线解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线于点D，可用含m的式子表示出P和D的坐标，即可求解； ②用含m的代数式表示出的面积，得到S关于m的二次函数，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴，进而得到点的坐标，过点作轴于点， 得到，，根据菱形的性质，分两种情况讨论：①当为菱形的对角线时，；②当为菱形的边时，，即可得出点M的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和点， ，解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图： ①在抛物线中，令，则，即， 设直线的解析式为，将将点、代入得： ，解得：， 直线的解析式为：， 设，则， 故用含m的代数式表示线段的长为； ②， 点是直线下方的抛物线上一动点， ， 当时，S有最大值，此时， ， 故的面积最大时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， 过点作轴于点，则，， ， ， 以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形， ①当为菱形的对角线时，此时点与点重合，， ； ②当为菱形的边时，此时， ，， 故使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为或或．  第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $