精品解析：河南省周口市沈丘县中英文学校等校2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

2023-2024学年河南省周口市沈丘县中英文学校等校九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列代数式能作为二次根式被开方数的是（　　） A. 3﹣π B. a C. a2+1 D. 2x+4 2. 下列方程中为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. “明天降雨的概率是”表示明天有的时间降雨 B. “抛一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛硬币次有次出现正面朝上 C. “彩票中奖的概率是”表示买张彩票一定会中奖 D. 不可能事件是确定事件 4. 已知线段，如果，那么下列式子中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，若，则的值是（　　） A. B. C. D. 6. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于的方向走到E，再从E沿着垂直于的方向走到F，C为上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①；②、；③．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（　　） A. 0组 B. 一组 C. 二组 D. 三组 7. 关于x的一元二次方程k-4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A k>4 B. k≤4 C. k<4且k≠0 D. k≤4且k≠0 8. 如图，，分别是中线和角平分线，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD的值为（　　） A. B. C. D. 2 10. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 计算的结果等于_________． 12. 3个人同时向空中扔3枚普通硬币，落地时3枚硬币正面都向上的概率是______． 13. 如图，在中，，，，点分别在两边上，将沿直线折叠，使点的对应点D恰好落在线段BC上，当是直角三角形时，则的值为_________. 14. 阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣， 请利用以上知识解决下列问题： 如果（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4，则m2+n2＝__． 15. 如图，在中，，，．点是上一动点，以为斜边向右侧作等腰直角三角形，使，连接． （1）若点E恰好落在上，则的值为_________； （2）线段的最小值为_______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程： (公式法) 17. 随着手机APP技术的迅猛发展，人们的沟通方式更便捷、多样．某校数学兴趣小组为了解某社区20~60岁居民最喜欢的沟通方式，针对给出的四种APP（A微信、BQQ、C钉钉、D其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）参与问卷调查的总人数是______； （2）补全条形统计图； （3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，求他俩选择同一种APP的概率，并列出所有等可能的结果． 18. 如图，在边长为1小正方形网格中． （1）△ABC向右平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1，其中B1的坐标为______； （2）以点A为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△AB2C2，请在网格中画出△AB2C2； （3）连接AB1，B1B2，则△AB1B2面积为______． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最小整数时，求方程的解． 20. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 21. 如图，在瞭望塔前有一段坡比为的斜坡，经测量米，在海岸上取点，使米，在点测得瞭望塔顶端的仰角为，求瞭望塔的高度约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，） 22. 设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）； （2）． 23. 平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，在坐标轴上，点，是射线上一点，将绕点顺时针旋转，得，是点旋转后对应点． （1）如图(1)当时，求点的坐标； （2）如图(2)，设点，的面积为．求与的函数关系式，并写出当取最小值时，点的坐标； （3）当时，求点的坐标(直接写出结果即可)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年河南省周口市沈丘县中英文学校等校九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列代数式能作为二次根式被开方数的是（　　） A. 3﹣π B. a C. a2+1 D. 2x+4 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、3﹣π＜0，则3﹣a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确； D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键． 2. 下列方程中为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程有三个特点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程． 【详解】A． 是一元二次方程，符合题意； B． ，整理得，x-2=0，是一元一次方程，故不符合题意； C． 中的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D． 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “明天降雨的概率是”表示明天有的时间降雨 B. “抛一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛硬币次有次出现正面朝上 C. “彩票中奖的概率是”表示买张彩票一定会中奖 D. 不可能事件是确定事件 【答案】D 【解析】 【分析】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生． 【详解】A、“明天降雨的概率是80%”表示明天降雨的概率很大，是80%，而不是有80%的时间降雨，错误； B、“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛一枚硬币，出现正面朝上和反面朝上的机会相同，概率都是0.5，并不是说10次有5次出现正面朝上，错误； C、“彩票中奖的概率是1%”表示购买一张彩票，中奖的概率较小，只有1%，并不是买100张彩票一定会中奖，错误； D、不可能事件是确定事件，正确． 故选D． 【点睛】正确理解概率的定义是解决本题的关键．概率是反映事件的可能性大小的量．不可能事件和必然事件都属于确定事件． 4. 已知线段，如果，那么下列式子中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的基本性质逐项判断即可； 【详解】解：A、由可得：；不符合题意； B、由可得：；不符合题意； C、由可得：；符合题意； D、由可得：；不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的基本性质；熟练运用比例的基本性质的内容是解题关键． 5. 在中，，若，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由解直角三角形和勾股定理，设，则，然后求出，即可求出答案． 【详解】解：中，，， 设，则， ， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，解题的关键是掌握解直角三角形，正确的求出的长度和对应角的三角函数值． 6. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于的方向走到E，再从E沿着垂直于的方向走到F，C为上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①；②、；③．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（　　） A. 0组 B. 一组 C. 二组 D. 三组 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解答的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．根据三角函数的定义及相似三角形的判定定理及性质对各选项逐一判断即可得答案． 【详解】第①组中，因为知道和的长，所以可利用的正切来求的长； 第②组中因为可利用，求出； 第③组中可利用和的正切求出． 故选：D． 7. 关于x的一元二次方程k-4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. k>4 B. k≤4 C. k<4且k≠0 D. k≤4且k≠0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到k≠0，根据一元二次方程有两个实数根得到 ，求出k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个数根， ∴ ， 解得， 又∵k≠0， ∴k≤4且k≠0， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．掌握根的判别式与方程的解的关系是解题的关键．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 8. 如图，，分别是的中线和角平分线，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过D点作，则，F为中点，即，又根据以及是的角平分线，得出，易知G为中点，因此E为中点，则，，从而可得出答案． 【详解】解：过D点作，交点G，如图所示： ∵是的中线， ∴D为的中点， ∵， ∴是的中位线， ∴F为中点，即， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴G为中点， ∵， ∴是的中位线， ∴E为中点，即， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中线和角平分线的性质以及中位线的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 9. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD的值为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】延长AD、BC，两线交于O，解直角三角形求出OB，求出OC，根据勾股定理求出OA，求出△ODC∽△OBA，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：延长AD、BC，两线交于O， 在Rt△ABO中，∠B=90°，tanA==，AB=3， ∴OB=4， ∵BC=2， ∴OC=OB-BC=4-2=2， 在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=3，OB=4， 由勾股定理得：AO=5， ∵∠ADC=90°， ∴∠ODC=90°=∠B， ∵∠O=∠O， ∴△ODC∽△OBA， ∴， ∴， 解得：DC=， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形和相似三角形的性质和判定等知识点，能正确作出辅助线（构造出直角三角形）是解此题的关键． 10. 如图，已知正方形ABCD边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质并利用SAS可证明△BAE≌△ADF，于是可得∠ABE＝∠DAF，进而可得△BGF是直角三角形，再根据点H为BF的中点，可知GH是BF的一半，然后根据勾股定理可以求得BF的长，从而可以得到GH的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°， ∵AE＝DF， ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠BEA＝90°， ∴∠DAF+∠BEA＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴∠BGF＝90°， ∵点H为BF的中点， ∴GH＝BF， 又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°， ∴CF＝3， ∴BF＝＝＝， ∴GH＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，明确题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 计算的结果等于_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】直接运用平方差公式进行计算即可得到答案． 【详解】解： = =13-16 =-3 故答案为：-3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，灵活运用平方差公式是解答此题的关键． 12. 3个人同时向空中扔3枚普通硬币，落地时3枚硬币正面都向上的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用树状图法即可表示出所有可能的情况，利用公式法即可求解， 本题考查了树状图法求概率，解题的关键是：熟练掌握树状图法求概率． 【详解】解：用列表法表示所有可能出现的所有的结果如下： 共有8种可能出现的结果，其中正面都朝上的只有1种， 所以落地时3枚硬币正面都向上的概率为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，点分别在两边上，将沿直线折叠，使点的对应点D恰好落在线段BC上，当是直角三角形时，则的值为_________. 【答案】1或2． 【解析】 【分析】依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图1中，当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形，作NH⊥AM于H． 易证四边形AMDN是菱形，设AN＝AM＝a， 在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4， ∴AC＝＝5， 由△AHN∽△ABC， ②如图2中，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形， 此时∠AMN＝45°， ∴tan∠AMN＝1， 综上所述，满足条件的tan∠AMN的值为1或2． 【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 14. 阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣， 请利用以上知识解决下列问题： 如果（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4，则m2+n2＝__． 【答案】2． 【解析】 【分析】将m2+n2视为一个整体，然后设m2+n2=y，则原方程化为y2+y-6=0．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 【详解】解：（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4 设m2+n2＝y， 则原方程化为（y﹣1）（y+2）＝4 即y2+y﹣6＝0， （y+3）（y﹣2）＝0， 解得y1＝﹣3，y2＝2， ∵m2+n2不能负数， ∴m2+n2＝2 故答案为2． 【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键． 15. 如图，在中，，，．点是上一动点，以为斜边向右侧作等腰直角三角形，使，连接． （1）若点E恰好落在上，则的值为_________； （2）线段的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据直角三角形的性质得到，，于是得到结论； （2）以为斜边在右侧作等腰直角三角形，边与 交于点，连接延长与交于点，作于点，由与为等腰直角三角形，可得，于是，因此，所以，所以在直线上运动，当时，最短，即为的长． 【详解】解：（1）若点恰好落在上时， ， ， 在中，，，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 故答案为：； （2）解：以为斜边在右侧作等腰直角三角形，边与 交于点，连接延长与交于点，连接，作于点． 与为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 为上的动点， 在直线上运动， 当时，最短，即为的长． 在与中， ，， ， ， ， 点、、、四点共圆， ，且， 则， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，圆周角定理，熟练掌握含角和角的直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程： (公式法) 【答案】（1）0；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和法则进行计算即可； （2）利用公式法即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：， ， ， ， 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17. 随着手机APP技术迅猛发展，人们的沟通方式更便捷、多样．某校数学兴趣小组为了解某社区20~60岁居民最喜欢的沟通方式，针对给出的四种APP（A微信、BQQ、C钉钉、D其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）参与问卷调查的总人数是______； （2）补全条形统计图； （3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，求他俩选择同一种APP的概率，并列出所有等可能的结果． 【答案】（1）500；（2）补全条形统计图见解析；（3）小强和他爸爸选择同一种APP的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据A人数÷其所占的比例＝参与问卷调查的总人数； （2）求出C的人数−15，再将条形统计图补充完整即可； （3）列表得出所有结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）（120＋80）÷40%＝500（人）， 即参与问卷调查的总人数为500人， 故答案为：500人； （2）500×15%−15＝60（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）根据题意列表如下： A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 共有9个等可能的结果，其中小强和他爸爸选择同一种APP的情况有3种， ∴小强和他爸爸选择同一种APP的概率为＝． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图、扇形统计图． 18. 如图，在边长为1的小正方形网格中． （1）△ABC向右平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1，其中B1的坐标为______； （2）以点A为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△AB2C2，请在网格中画出△AB2C2； （3）连接AB1，B1B2，则△AB1B2的面积为______． 【答案】（1）见解析，B1的坐标为（11，6） （2）见解析 （3）20 【解析】 【分析】（1）先根据点坐标平移的特点得到点A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接A1，B1，C1即可； （2）根据位似图形的性质得到点A、B、C的对应点A2，B2，C2，然后顺次连接A2，B2，C2即可； （3）根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ∵△ABC向右平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到△A1B1C1，A（1，1）、B（5，1）、C（2，3）， ∴A1（7、6），B1（11，6），C1（8，8）， 故答案是：（11，6）； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：由题意得：， 故答案是：20． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，画位似图形，三角形面积，坐标与图形等等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最小整数时，求方程的解． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，根据判别式可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围； （2）由m的取值范围，可求得其最小整数值，代入方程，解方程即可． 【详解】解：（1）， ∵有两个不相等的实数根， ∴， ∴ 解得：； （2）由（1）可知，， ∴m的最小负整数为， 把代入原式得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查根的判别式，由根的情况得到关于m的不等式是解题的关键，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目． 20. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】（1）20% （2）18个 【解析】 【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可； （2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 根据题意得：， 解这个方程得，，， 经检验，符合本题要求． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． 【小问2详解】 设该市在2022年可以改造个老旧小区， 由题意得：， 解得． ∵为正整数，∴最多可以改造18个小区． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式． 21. 如图，在瞭望塔前有一段坡比为的斜坡，经测量米，在海岸上取点，使米，在点测得瞭望塔顶端的仰角为，求瞭望塔的高度约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，） 【答案】瞭望塔的高度约为39.3米． 【解析】 【分析】延长，交直线于点，设BF=k，根据坡度的概念用k表示出CF、BC，求出k，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：如图，延长，交直线于点． ∵在中，， ∴设， 则，． 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵在中，， ∴（米）． ∵， ∴（米）． 答：瞭望塔的高度约为39.3米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22. 设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，能根据根与系数之间的关系解决相关问题．  （1）分析题意，先得出和的值，把原式变形为，再代入求值，就可得出答案．  （2）把原式变形为，再代入求值，就可得出答案． 【小问1详解】 解：根据根与系数的关系得， ； 【小问2详解】 解：． 23. 平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，在坐标轴上，点，是射线上一点，将绕点顺时针旋转，得，是点旋转后的对应点． （1）如图(1)当时，求点的坐标； （2）如图(2)，设点，的面积为．求与的函数关系式，并写出当取最小值时，点的坐标； （3）当时，求点的坐标(直接写出结果即可)． 【答案】（1） （2），当取最小值时， （3） 【解析】 【分析】（1）如图（1），过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．证明．即可求点的坐标； （2）如图（2），过点作轴，垂足为．根据勾股定理可得，根据，将解析式凑完全平方，根据非负数的性质求得最值即可求解； （3）根据BP，可得．因为，说明点在的延长线上．可得．联立方程组可得和的长，结合（1）进而可求点的坐标． 【小问1详解】 解：如图（1），过点作轴，垂足为， 过点作轴，垂足为． 四边形是正方形， ． ， ． 在中， ， ． ． 绕点顺时针旋转，得， ，， ， ， ， ． ，． ； 【小问2详解】 如图（2），过点作轴，垂足为． 绕点顺时针旋转，得， ，． ，， ， ． 在中，根据勾股定理， ， 整理得． ， ． 当取最小值时，有， ； 【小问3详解】 ． 理由如下：如图(3)， 绕点旋转得到， ． ， ． ， 点在的延长线上． ． 由 解得：，． ， ， 同（1）：， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质-旋转、二元一次方程组、三角形的面积、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$