安徽省合肥市庐江县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024/2025 学年度第一学期期末抽测 九年级数学参考答案 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B A B C D B A 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11．2021 12． 13．100πℼ 14．（1）3 （2）3 三、（本题共２小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15．解略 x1= −1，x2 =2 …………8分 16．解：（1）A'B'是 AC的垂直平分线.………1 分 （2）证明：连接 AA'， ∵△A'B'C由△ABC绕点 C顺时针旋转一定角度所得， ∴CB=CB'，CA=CA'，∠A'CB'=∠ACB＝90°. ∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠B＝60°， ∴△CBB'是等边三角形，∴∠BCB'=∠CB'B=60°， ∵∠CAB+∠ACB'=∠CB'B=60°，∴∠CAB＝∠ACB'＝30°， ∴AB'=CB'. ∵∠A'CA+∠B'CA=∠A'CB'＝90°，∴∠A'CA=60°， 又∵CA=CA'，∴△A'CA为等边三角形，即 AA'=CA'. 又∵AB'=CB'，∴A'B'是 AC的垂直平分线. ………8 分 （用等腰三角形三线合一性质来证等其他方法同样得分.） 四、（本题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17．解：（1）将点 B坐标代入一次函数解析式得，2m﹣3＝﹣4， 解得 m＝ ，所以点 B的坐标为（- 2 1 ，-4） 将点 B坐标代入反比例函数解析式得，k＝- 2 1 ×（-4）=2， 所以反比例函数的解析式为 y＝ ． …………4 分 （2）将点 A坐标代入一次函数解析式得， 2×2n﹣3＝n，解得 n＝1，所以点 A坐标为（2，1）． 不等式 2x﹣3＞ 的解集为：- 2 1 ＜x＜0或 x＞2． …………8 分 18、 解：（1）如图，线段 CD即为所求； …………2分 （2）如图，线段 CE即为所求； …………5分 （3）如图，△B'CA'即为所求． …………8分 五、（本题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19．解：（1）40， 图略； …………4分 （2）10，20，72； …………7分 （3）我不同意小明的说法，因为本次调查只选择九（1）班一个班，所选样本数量偏少， 不具有代表性，所以不能用九（1）班的调查结论来代表学校情况. …………10分 20. （1）证明：∵四边形 边形是菱形， ∴∥边形． ∵㐠 边形， ∴ 㐠． 又∵㐠为的直径， ∴是的切线. …………4分 （2）证明：如图 1，连接 㐠， ∵㐠 边形，㐠是的直径， ∴㐠形 ， ㌳，㐠 ， 形㐠 ， ㌳， ∴㐠 形㐠 ， 形边 形㐠 ， ㌳，即㐠 ， 形边． 又∵AG⌒ = AG⌒ ， ∴t ， 㐠 ， 形边． ∵四边形 边形是菱形， ∴边 ， 边形，则边形 ， 形边， ∴边形 ， t， ， t. 六、（本题满分 12 分） 21．（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为 x．依题意，得：  22250 1 3240x  ， 解得： 1 0.2 20%x   ， 2 2.2x   （不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为 20%． …………6分 （2）解：设增加 x条生产线．依题意，得：    900 30 1 3900x x   ， 解得 1 4x  ， 2 25x  （不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加 4条生产线． …………12分 七、（本题满分 12 分） 22. 解：（1） 边形是等边三角形，理由如下： 在中，∵t形 ， 形t边 ， ㌳， ∴边形 ， t形 ， ㌳，边形 ， 形t边 ， ㌳， ∴形边 ， ൌ㌳ − 边形 − 边形 ， ㌳， 即： 边形是等边三角形. …………4分 （2）t t边 ， t形，理由如下： 在 t形上截取 tt ， t，如图： ∵t形 ， ㌳， ∴ tt为等边三角形， ∴t ， t晦tt ， ㌳， 在 t边和 t形中， 边t ， 形t t边 ， t形 ， ൌ㌳ t ， t ， ∴ t边 t形 AAS ， ∴t边 ， t形， ∴t形 ， tt t形 ， t t边，即 t t边 ， t形. …………8分 （3）∵点是 t形的中点， ∴点 t在上移动过程中，点 在以 形为直径的圆上运动，设圆心为 t，则当点 边、、t 共线，且点在线段 边t上时，边最小， 如图，连接 ，过点 t作 t㐠 边形于点 㐠，过点 作 ′ 形于点 ′， ∵等边 边形是的内接正三角形， ∴形平分形边，平分边形， ∴形边 ， 形 ， 形 ， ㌳， ∵的半径为 ൌ， ∴ ， 形 ， ൌ， ∴t形 ， t ， ，′ ， ，形′ ， ′ ， ， ∴t㐠 ， ൌ ，形㐠 ， ൌ ，边形 ， 形 ， 形′ ′ ， ൌ ， ∴边㐠 ， 边形 − 形㐠 ， ൌ ， 在 Rt 边㐠t中，边t ， 边㐠ൌ t㐠ൌ ， ൌ ൌ ൌ ൌ ， ， ∴边 ， 边t − t ， − . …………12分 八、（本题满分 14 分） 23．解：（1）把 B（晦㌳），C（0,2）代入 y =− 12 x 2 + bx + c得： − 8 + 4b + c = 0 c = 2 ， 解得 b = 32 c = 2 ， ∴抛物线的函数表达式为 y =− 12 x 2 + 32 x + 2； 设直线 BC的函数表达式为 y = mx + 2，把 B(4,0)代入得：m+ 2 = 0， 解得 m =− 12，∴直线 BC的函数表达式为 y =− 1 2 x + 2； …………5分 （2）过点 P作 PH//y轴交 BC于点 H，如图： 设 P(t, − 12 t 2 + 32 t + 2)，则 H(t, − 1 2 t + 2)， ∴ PH =− 12 t 2 + 32 t + 2 − ( − 1 2 t + 2) =− 1 2 t 2 + 2t， ∴ SPBC = 1 2PH ⋅ OB = 1 2 × ( − 1 2 t 2 + 2t) × 4 =− t2 + 4t =− (t − 2)2 + 4， ∵− < 0，∴当 t = ൌ时，SPBC取最大值 4， 此时点 P的坐标为（2,3）； …………10分 （3）过 P作 PM PB交 BQ的延长线于 M，过 P作 TK//x轴， 过 B作 BK TK于 K，过 M作 MT TK于 T，如图： 由（2）知 P（2,3），又 B（4,0）， ∴ PK =2，BK =3， ∵ PBQ = R， ∴ PBM是等腰直角三角形， 易得 BPK≌ PMT， ∴ PK = MT =2，BK = PT = ， ∴ M( − 晦)， 由 M( − 晦)，B(晦㌳)得直线 BM函数表达式为 y =− 15 x + 4 5， 联立 y =− 15 x + 4 5 y =− 12 x 2 + 32 x + 2 ，解得 x = 4 y = 0或 x =− 35 y = 2325 ， ∴ Q的坐标为( − 35 , 23 25 ). …………14分 2024/2025学年度第一学期期末教学质量抽测 九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中只有 一个是符合题目要求的.) 1.在中国悠久的历史长河中，古窗作为建筑艺术的重要组成部分，展现了中华民族深邃的文化底 蕴和审美情趣.下列窗户图案中，是中心对称图形的是 A. B 2.在平面直角坐标系中，点P(1,2)关于原点对称点的坐标是 A.(1,-2) B.(-1,2) C.(-1.-2) D.(-2,-2) 3.下列事件是必然事件的是 A.心想事成，完美 B.煮熟的鸭子，飞了C.瞄准射击，打中 D.一天24小时，永恒 4.若关于x的一元二次方程x2一2x一1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 A.k>-1 B.k>-1且k≠0C.k<-1 D.k<-1且k≠0 5.如图，点A是反比例函数y=二：>0)的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B, 点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.将抛物线y=x2一2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为 A.y=(x+3)2+2B.y=(x+2)2+1C.y=(x+2)2-5D.y=(x-2)2-5 E2尺 第5题图 第7题图 第8题图 7,如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置，要完成 这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 A.15 B.12 C.10 D.8 8.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之 不出四尺，从之不出二尺，斜之适出.问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有 竿，不知其长、短.横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好 相等.请问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可以列出关于x的方程是 A.(x+4)2=x2+(x+2) B.(x+4)2=x2+(x-2) C.(x-4)2=x2+(x+2) D.(x-4)2+(x-2)2=x 九年级数学试题第1页（共4页） 9.已知二次函数y=ax2十br十c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数y=S与一次函数 y一x十b在同一平面直角坐标系内的图象可能是 角妆录 1O.如图，将正方形ABCD的边CD绕点C逆时针旋转一定角度得到CE,连接AE,再将AE绕点 A顺时针旋转90°得到AF,连接FE,FB,若∠DCE=a(0°<a<90°)，则∠ABF的大小为 A号 B.a c.45°-号 D.a-30° 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若a是方程x2+x-1=0的根，则代数式2024一3a2-3a的值是 12.为弘扬中华传统文化，某校美术兴趣小组开展传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”，“木版 画”、“陶艺”3个社团供学生选择.甲、乙两人随机报名一个社团，他们刚好选到相同社团的概 率是 “% D 第10题图 第13题图 第14题图 13.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为 10cm,扇形的圆心角的度数是90°，则圆锥的侧面积为 (结果保留π) 14,如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、点D都不与点A、B重合），点E 是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F,若CD=3,AB=6. (1)当CD∥AB时，EF的长为 (2)CD在滑动过程中，EF的最大值是 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.解方程：(x+1)2=3(x十1) 16.如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到 △A'B'C,点B与点B是对应点，当点B恰好落在边AB上，猜想A'B'与AC的位置关系并 给予证明 B 九年级数学试题第2页（共4页） I 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）】 17.如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=2x一3与反比例函数y=(k≠0)交于A,B两 点，与x轴相交于点C,点A,B的坐标分别为(2n,)和(m,一4). (1)求反比例函数的解析式： (2)请直接写出不等式2x-3>的解集。 18.如图，在11×6长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形 的顶点称为格点，A,B,C均为格点.请你用一把无刻度直尺完成作图，保留作图痕迹 (1)以C为旋转中心，将线段AC逆时针旋转90°至线段CD,连接AD； (2)作CE⊥AD于E: (3)将△BCA绕C点顺时针旋转至△B'CA',旋转角度等于∠BCA. 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分】 19.某校九(1)班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓 球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小 组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生需选择一种且只能 选择一种自己喜欢的球类)，请你根据图中提供的信息解答下列问题： 个人数 排球 16 m%) 16… 12 篮球 12 足球 30% 8 n 乒乓球 40% 排球篮球乒乓球 足球球类项目 图① 图② (1)九(1)班的学生人数为 ,并把条形统计图补充完整： (2)扇形统计图中m= ,表示“足球”的扇形的圆心角是 度； (3)根据调查结果，小明同学判定全校有30%的同学喜欢打篮球，有40%的同学喜欢打乒乓 球.对此，你同意小明的说法吗？说说你的理由， 九年级数学试题第3页（共4页） 20.如图，在菱形ABCD中，AE是边BC上的高，以AE为直径的⊙O分别交AB,AC于点F,G, 连接FG D (1)求证：AD是⊙O的切线： (2)求证：AG=FG 六、（本题满分12分） 21.一人一盔安全守规，一人一带安全常在.“一盔一带”安全守护行动，带动了头盔市场的销量， 某头盔经销商10至12月份统计，某品牌头盔10月份销售2250个，12月份销售3240个，且从 10月份到12月份销售量的月增长率相同.请解决下列问题. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率： (2)为了市场需求，某工厂建了一条头盗生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线 最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个 天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线 越多，投入越大)，应该增加几条生产线？ 七、（本题满分12分） 22.数学兴趣小组开展探究活动，针对九年级上册数学教材习题24.1的第14题进行了深人研究. 【书本原题】如图，A,P,B,C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形 状，并证明你的结论 小红证明如下： 如图1，在⊙O中，∠APC=∠CPB=60, 440404 (1)请你帮他完成后面的证明过程 【深人探究】 图1 图2 (2)小红在完成此题后，他发现线段PA十PB=PC,他的发现正确吗？试说明理由 【应用实践】 (3)如图2，若点M是PC的中点，点P在⊙O上移动的过程中，小红发现线段BM的长度一 定存在最小值.若⊙O的半径为2，请你求出线段BM的最小值. 八、（本题满分14分】 23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=一+：+c与x轴交于点A,B,其中点B的坐标 为(4,0)，与y轴交于点C(0,2). (1)求抛物线y=一 2+缸十c和直线BC的函数表达式： (2)点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求P点的坐标： (3)连接B和(2)中求出的点P,点Q位于直线BP下方且在抛物线上，若∠PBQ=45°，求 点Q的坐标 九年级数学试题第4页（共4页）