专题8.8乘法公式与几何背景问题综合训练（重难点培优）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（苏科版）

专题 8.8乘法公式与几何背景问题综合训练（重难点培优） 8.8乘法公式与几何背景问题综合训练（重难点培优） 一、解答题 1．（21-22七年级下·江西抚州·阶段练习）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题， (1)①若，，则______； ②若，，则______； (2)如图，C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求的面积． 2．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，用4个长是a，宽是b的长方形拼成了一个如图2所示的“回形”正方形． (1)由图可知，因为拼图前后的面积不变，所以可得恒等式：__________； (2)利用（1）中得到的恒等式，解决下面的问题：已知，，求的值． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图大正方形的面积：方法：______；方法：______； (2)观察图，请你写出代数式：，，之间的等量关系______； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值； 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图①是长为a，宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形拼成如图②所示的大正方形，中间是一个小正方形(阴影部分)．    (1)请你用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积： 方法一：__________________；方法二：__________________． (2)根据（1）中小正方形面积的两种不同的表示方法，下列等式中：①；②，能够验证成立的是________(填序号)． (3)应用(2)中验证成立的等式，解决问题：已知，，求的值． 5．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于_______； (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①_______； ②_______． (3)观察图2你能写出，，三个代数式之间的等量_______． (4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式的最小值． 6．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图1，是一个宽为，长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你用等式表示，，之间的数量关系：________． (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值． 7．（22-23七年级下·江苏常州·期末）如图1，已知纸片是边长为的正方形，纸片是相邻两边长分别为的长方形，且纸片的周长相等． (1)当时． ①若，求的取值范围； ②如图2，以纸片的相邻两边为边长分别向外作正方形，若纸片的面积比纸片的面积小，求的面积之和； (2)如图3，将纸片叠合在一起，记阴影部分的周长为． ①_______（用含的代数式表示）； ②若关于的不等式恰有3个正整数解，则的取值范围是_______． 8．（22-23七年级下·四川成都·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)根据上述过程，写出、、之间的等量关系： ； (2)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．观察图3，把一个大正方体分割成如图所示的小长方体和小正方体，从中可以得到一个恒等式： ； (3)两个正方形，如图4摆放，边长分别为x，y，若这两个正方形面积之和为，且，求图中阴影部分面积． 9．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图1，纸片是边长为 的正方形，纸片是边长为 的正方形，纸片是长为，宽为 的长方形． 现用 种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1：________；方法2：________； (2)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系______________； (3)①根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若，求的值； ②已知，求的值． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）【阅读学习】 做整式的乘法运算时借助图形，可以由图形直观地获取结论． 例1：如图1，可得等式． 例2：如图2，可得等式． 【问题解决】 （1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的大正方形．若用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知．求的值． 【拓展应用】 （3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接．若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 11．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）【问题背景】通过对同一面积的不同表达和比较来理解整式乘法公式是常见的办法．如图1，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图2），且在图1到图2的分割过程中，面积没有变化，由此解决下列问题． 【探索归纳】 ①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是______（用含，的式子表示）； ②图2中4个部分的面积之和是________（用含，的式子表示）； ③因此，可以得到等式：____________________． 【学以致用】简便计算： ①； ②． 【拓展应用】若图2中的长方形的长与宽的值分别为和，且满足，请求出的值． 12．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，，是线段上任意一点，在同一侧分别以，为边作正方形、正方形．设．解答下列问题（用含的代数式表示） (1)①正方形的边长为 ； ②求这两个正方形的面积之和S；（需化简） (2)若连接，求图中阴影部分的面积． 13．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）如图1，是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为 ； （2）①如图3，是几个正方形和长方形拼成的一个边长为 的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为          ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． （3）如图4，是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为的大正方体，通过用不同的方法表示这个大正方体的体积，求当，时，代数式的值． 14．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形．    (1)请分别用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积：方法一：_______；方法二：______； (2)观察图，直接写出代数式，，之间的关系； (3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知，，求的值； ②已知：，求的值． 15．（23-24七年级下·四川成都·期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形及长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形的面积可以验证公式 ； (2)若，，求的值； (3)如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为．求的长度． 16．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）实践操作：从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A． B． C． D． 启发应用：请结合（1）选出的等式，利用其结论完成下列各题： （2）计算： （3）计算 17．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形，设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式___________（用式子表达）； (2)应用公式计算：； (3)应用公式计算：． 18．（23-24七年级下·广东佛山·期中）乘法公式的探究及应用： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）： 如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是 ：（写成多项式乘法的形式）： 比较左、右两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式 （用式子表达） (2)运用你所得到的公式，计算的值： 19．（21-22七年级下·江西抚州·期中）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 20．（22-23八年级下·广东佛山·期中）材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式． (1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________． 请类比上述探究过程，解答下列问题： (2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：__________，将等式右边因式分解，即__________； (3)根据以上探究的结果， ①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为19，求阴影部分的面积． ②计算： 21．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系：__________； (2)根据（1）中的结论，若，求的值； (3)请求解下面实际问题： 如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 22．（21-22七年级下·辽宁铁岭·期中）如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙． (1)_______，__________（用含a、b的代数式分别表示）； (2)利用（1）的结果，说明、、的等量关系： (3)应用所得的公式计算： (4)如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明、、三者的等量关系． 23．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 24．（24-25八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 25．（23-24八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境一    情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量； 情境二          情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 8.8乘法公式与几何背景问题综合训练（重难点培优） 一、解答题 1．（21-22七年级下·江西抚州·阶段练习）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题， (1)①若，，则______； ②若，，则______； (2)如图，C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求的面积． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）先求出，则，再由即可得到答案； （2）根据进行求解即可； （3）设，根据，得到，根据，得到，据此得到，则，可得图中的面积为． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴； 故答案为：4； ②∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴图中的面积为． 2．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，用4个长是a，宽是b的长方形拼成了一个如图2所示的“回形”正方形． (1)由图可知，因为拼图前后的面积不变，所以可得恒等式：__________； (2)利用（1）中得到的恒等式，解决下面的问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积的关系证明勾股定理． 通过观察可以得大正方形边长为，小正方形的面积为，利用大正方形面积减去小正方形面积即为阴影部分的面积，得出答案； （2）由（1）的结论变形后即可得出的值． 【详解】（1）解：由拼图前后4个长方形的面积不变，可得， 故答案为：． （2）解：根据条件可得：， ∴， 故． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图大正方形的面积：方法：______；方法：______； (2)观察图，请你写出代数式：，，之间的等量关系______； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值； 【答案】(1) ， (2) (3)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和； （2）根据两种方法所表示的面积相等可解答； （3）①利用完全平方公式的变形求解即可； ②设，，则，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：方法：大正方形的面积为； 方法：大正方形的面积为， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知； 故答案为：； （3）， ， ， 又， ； 设，，则， ， ， ， ， 即． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图①是长为a，宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形拼成如图②所示的大正方形，中间是一个小正方形(阴影部分)．    (1)请你用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积： 方法一：__________________；方法二：__________________． (2)根据（1）中小正方形面积的两种不同的表示方法，下列等式中：①；②，能够验证成立的是________(填序号)． (3)应用(2)中验证成立的等式，解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)② (3) 【分析】本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起，要学会观察图形． （1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为，四个小长方形的面积为，中间阴影部分的面积为；方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为，所以其面积为； （2）由（1）中表示的两种方法相等即可求解； （3）根据（2）的关系式代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：． 方法二：； （2）由（1）得， ∴． 能够验证成立的是②； （3）由（2）得， ∵，， ∴， ∴ ∴． 5．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于_______； (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①_______； ②_______． (3)观察图2你能写出，，三个代数式之间的等量_______． (4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)①② (3) (4)3 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键． （1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答； （2）①根据正方形面积公式求解，②用总面积减去四个相等的长方形面积即可． （3）阴影部分的面积相等，结合（2）可得出答案． （4）利用完全平方公式将原式变形为，再根据非负数的性质可求出最小值为3． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分小正方形的边长为：； （2）①根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为， ②还可以用总面积减去四个相等的长方形的面积，即表示为； （3）阴影部分的面积相等，结合（2）可得出； （4） ∵，， ∴，即最小值为3． 6．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图1，是一个宽为，长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你用等式表示，，之间的数量关系：________． (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景和平方差公式，用不同的方法表示图形的面积，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法是解题的关键． （）表示出大、小正方形的边长和面积，根据面积之间的关系得出结论； （）由（）的结论得，再整体代入即可． 【详解】（1）由图可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，大正方形的面积可以表示为：或， ∴， 故答案为：； （2）由（）得：， ∴， ∴． 7．（22-23七年级下·江苏常州·期末）如图1，已知纸片是边长为的正方形，纸片是相邻两边长分别为的长方形，且纸片的周长相等． (1)当时． ①若，求的取值范围； ②如图2，以纸片的相邻两边为边长分别向外作正方形，若纸片的面积比纸片的面积小，求的面积之和； (2)如图3，将纸片叠合在一起，记阴影部分的周长为． ①_______（用含的代数式表示）； ②若关于的不等式恰有3个正整数解，则的取值范围是_______． 【答案】(1)；370 (2)； 【分析】本题主要考查了代数式表示数，不等式的应用，对于（1）①，根据A，B的周长相等，可得，再结合可得答案；②，由题意可得，再结合可得解； 对于（2）①，先表示阴影部分周长，可得解； ②，由①得，再结合不等式有3个正整数解可得答案． 【详解】（1）①∵A，B的周长相等，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； ②由题意，得． ∵， ∴， ∴C，D的面积之和为70； （2）①由题意，阴影部分周长． 故答案为：； ②由①得，， ∴， ∴． 又不等式恰好有3个正整数解， ∴恰好有3个正整数解， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（22-23七年级下·四川成都·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)根据上述过程，写出、、之间的等量关系： ； (2)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．观察图3，把一个大正方体分割成如图所示的小长方体和小正方体，从中可以得到一个恒等式： ； (3)两个正方形，如图4摆放，边长分别为x，y，若这两个正方形面积之和为，且，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式， （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图2的面积即可； （2）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图3的面积即可； （3）设正方形的边长m，正方形的边长为n，由于两个正方形面积之和为，且得，，用代数式表示阴影部分的面积代入计算即可得； 掌握完全平方公式的结构是解题的关键． 【详解】（1）解：图2“整体”上是边长为的正方形，因此面积为，图2中间“小正方形”的边长为，因此面积为，四个小长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：图3“整体”上是棱长为的正方体，因此体积为，分割成的8个部分的体积和为， 所以有， 故答案为：； （3）解：设正方形的边长m，正方形的边长为n， 由于两个正方形面积之和为，且， ∴，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴或（舍去）， ∴ ＝． 9．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图1，纸片是边长为 的正方形，纸片是边长为 的正方形，纸片是长为，宽为 的长方形． 现用 种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1：________；方法2：________； (2)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系______________； (3)①根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；②． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，灵活完全平方公式的变形是突破本题的关键． （1）根据面积的两种算法求解即可； （2）利用（1）的结论列出等式即可； （3）根据完全平方公式变形代入即可． 【详解】（1）解：大正方形面积按照边长的平方可得：， 按照大正方形的组成可得：． 故答案为：，； （2）解：由图②可得：． 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， ． ②∵， ， 设，则， ∴， ． ∴． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）【阅读学习】 做整式的乘法运算时借助图形，可以由图形直观地获取结论． 例1：如图1，可得等式． 例2：如图2，可得等式． 【问题解决】 （1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的大正方形．若用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知．求的值． 【拓展应用】 （3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接．若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）45；（3）20 【分析】（1）先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论． （2）由（1）可知，，代入数值计算即可； （3）根据题意得到，再采用数形结合得到阴影部分的面积为，计算即可； 本题考查了几何面积与多项式的关系，正确掌握多项式变化与几何面积的关系，通过等面积法理解因式分解结果以及规律． 【详解】解：（1）∵正方形面积为， 小块四边形面积总和为： ∴． （2）由（1）可知， ． （3）∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为： ． 11．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）【问题背景】通过对同一面积的不同表达和比较来理解整式乘法公式是常见的办法．如图1，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图2），且在图1到图2的分割过程中，面积没有变化，由此解决下列问题． 【探索归纳】 ①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是______（用含，的式子表示）； ②图2中4个部分的面积之和是________（用含，的式子表示）； ③因此，可以得到等式：____________________． 【学以致用】简便计算： ①； ②． 【拓展应用】若图2中的长方形的长与宽的值分别为和，且满足，请求出的值． 【答案】探索归纳：①；②；③；学以致用：①；②100；拓展应用：45 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 探索归纳：①根据图形列式即可； ②根据图形列式即可； ③结合①和②以及图形列式计算即可； 学以致用： ①运用完全平方公式简便运算即可； ②运用完全平方公式简便运算即可； 拓展应用：逆用完全平方公式即可解答． 【详解】解：探索归纳：①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是， 故答案为：； ②； 故答案为：； ③， 故答案为：； 学以致用： ① ② ； 拓展应用：由，，则，， 所以． 12．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，，是线段上任意一点，在同一侧分别以，为边作正方形、正方形．设．解答下列问题（用含的代数式表示） (1)①正方形的边长为 ； ②求这两个正方形的面积之和S；（需化简） (2)若连接，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景． （1）①直接求得；②根据正方形的面积公式进行计算即可； （2）利用阴影部分的面积，据此计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由于，，则， 故答案为：； ②所以两个正方形的面积之和为； （2）解：∵正方形、正方形，，， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 13．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）如图1，是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为 ； （2）①如图3，是几个正方形和长方形拼成的一个边长为 的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为          ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． （3）如图4，是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为的大正方体，通过用不同的方法表示这个大正方体的体积，求当，时，代数式的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积和体积来得到数学公式，关键是灵活进行数形结合来分析． （1）由图形面积的两种不同表示方法可得等式； （2）①由图形面积的两种不同表示方法可得等式； ②由等式利用代入法即可求解； （3）由图形体积的两种不同表示方法可得等式，利用代入法即可求解． 【详解】解：（1）大长方形的长为，宽为，面积为， 也可表示为四个长方形的面积，，，的和， ∴， 故答案为：； （2）①如图3，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形， 用不同的方法表示这个大正方形的面积， 得到的等式为； 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴； （3）如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体， 整体上大正方形的体积为， 组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为， ∴得到的等式为； ∵，， ． 14．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形．    (1)请分别用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积：方法一：_______；方法二：______； (2)观察图，直接写出代数式，，之间的关系； (3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知，，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积； （2）根据大正方形面积等于阴影面积加四个小长方形的面积可得出三个代数式之间的等量关系，然后计算验证即可； （3）①根据（2）中的等量关系可得，代入计算即可；②根据，，结合（2）中的等量关系，即可求解． 【详解】（1）解：方法1：阴影部分正方形的边长为，则阴影部分的面积为：； 方法2：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即； 故答案为：，； （2）解：∵两种方法表示的阴影部分面积相等， ∴， （3）解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴ 15．（23-24七年级下·四川成都·期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形及长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形的面积可以验证公式 ； (2)若，，求的值； (3)如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为．求的长度． 【答案】(1) (2) (3)的长度为 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，完全平方公式变形求值； （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2），， ； （3）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得， ， 即， ， ， ，， ， 即． 16．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）实践操作：从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A． B． C． D． 启发应用：请结合（1）选出的等式，利用其结论完成下列各题： （2）计算： （3）计算 【答案】（1）C；（2）；（3）8 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题关键． （1）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （2）利用（1）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案； （3）首先将式子转化成，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为：；图2中阴影部分的面积为：， ∴上述操作能验证的等式是 故选：C； （2） ； （3） ． 17．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形，设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式___________（用式子表达）； (2)应用公式计算：； (3)应用公式计算：． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握平方差公式． （1）结合对应图形面积公式即可得解； （2）逆用平方差公式即可求解； （3）运用平方差公式，将转变为即可求解． 【详解】（1）解：依题得：，， ， 利用图形的面积关系所得到的公式为． 故答案为：；；． （2）解：由（1）得：， 原式， ， ， ． （3）解：根据（1）中所得关系式可得， 原式， ， ， ． 18．（23-24七年级下·广东佛山·期中）乘法公式的探究及应用： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）： 如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是 ：（写成多项式乘法的形式）： 比较左、右两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式 （用式子表达） (2)运用你所得到的公式，计算的值： 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用： （1）利用正方形的面积公式即可求出图①阴影部分面积；仔细观察图形就会知道图②中长方形的长，宽，由面积公式就可求出面积，根据图①和图②中的阴影部分面积相等，即可得到对应的等式； （2）把原式变形为，利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知图①中阴影部分的面积； 由图②可知长方形的宽是，长是， ∴面积是； ∵图①和图②中的阴影部分面积相等， ∴ 故答案为：，，． （2）解； ． 19．（21-22七年级下·江西抚州·期中）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，平方差公式．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，则，再根据进行求解即可； （2）①正方形边长为x，则，再由结合图形可以表示出与； ②设，则，据此可得，则，阴影部分面积，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴ ； （2）解：①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、 ， ，， 故答案为：． ②∵长方形的面积是4 8 ， ， 设， ∴，     ， ， 又， ， ∴阴影部分面积 即阴影部分的面积是 ． 20．（22-23八年级下·广东佛山·期中）材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式． (1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________． 请类比上述探究过程，解答下列问题： (2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：__________，将等式右边因式分解，即__________； (3)根据以上探究的结果， ①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为19，求阴影部分的面积． ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）利用两种方法求出阴影部分的面积，即可得出结论； （2）利用两种方法求剩余的立方体的面积，即可得出结论； （3）①根据整个阴影部分的面积等于各部分小阴影部分的面积之和，结合（1）中结论，进行求解即可；②根据（2）中结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴关于a，b的等式为：， 故答案为：． （2）解：由题意，得： ； 故答案为：； （3）解：① . ② ． 【点睛】本题考查因式分解的应用．正确的识图，利用两种方法表示面积和体积，是解题的关键． 21．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系：__________； (2)根据（1）中的结论，若，求的值； (3)请求解下面实际问题： 如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图形的面积可得到，，之间数量关系； （2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解； （3）根据题意找出题中各线段之间的数量关系和等量关系，设，，即，阴影部分面积 ，根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵如图是一个长为、宽为的长方形， ∴图的长方形面积为：， ∵图的边长为，图阴影部分的面积为：， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）解：∵正方形的边长为，正方形和正方形，， ∴， ，， ∵长方形的面积是， ∴， 设，，即，则， ∴阴影部分面积 ， ∵ ， ∴（负值舍去）， ∴， 即阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意义是解题的关键． 22．（21-22七年级下·辽宁铁岭·期中）如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙． (1)_______，__________（用含a、b的代数式分别表示）； (2)利用（1）的结果，说明、、的等量关系： (3)应用所得的公式计算： (4)如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明、、三者的等量关系． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据长方形的面积计算公式及正方形的面积计算公式进行计算，即可得出结论． （2）利用图甲与图乙的面积相等，即可得到． （3）根据（2）得到的平方差公式将每一个因式分解并约分可得到结论． （4）将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成大正方形，即可得到、、ab三者的等量有关系． 【详解】（1）解：由题意可得：；， 故答案为：；； （2）∵图甲与图乙的面积相等， ∴、、的等量关系为：； （3） ； （4）如图①所示，将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成如图②所示的正方形． 图②中大正方形的面积为：， 图②中四个小长方形的面积与中间小正方形的面积和为：， ∴ 【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，运用几何图形直观理解平方差公式，解决完全平方公式的推导过程，熟练掌握相关的公式并灵活运用是解题关键． 23．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）96；（4），． 【分析】本题考查幂的运算，平方差公式和完全平方公式的应用． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据新运算的法则得到，，再根据图中阴影部分的面积，整体代入计算即可求解； （4）根据新运算的法则得到，，再利用完全平方公式变形得到，，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴；；． 故答案为：2，4，6； （2）∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积； （4）∵， ∴，， ∵矩形的面积是5， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，． 24．（24-25八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】情境一：；情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为，图形见解析 【分析】情境一：设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； 情境二：可得正方形面积为，由拼成了一个正方形可得是一个完全平方式，即可得，据此即可求解； 情境三：能构成长方形，则能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解； 本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：情境一： 如图，设等腰梯形的高为， ∴， ∴， ∴图的面积为， 图的面积为， ∵， ∴， ∴可以得到的乘法公式为：； 情境二： 拼成的正方形面积为， ∵拼成的是一个正方形， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三： 赞同丁同学的说法． 理由：∵不能进行因式分解，即转化不了长乘以宽， ∴三种木片不能拼出一个面积为的长方形， 去掉一块以后，面积为， ∴该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图所示： 25．（23-24八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境一    情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量； 情境二          情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】情境一：；情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为，长方形如图 【分析】情境一：设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； 情境二：可得，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，即可求解； 情境三：能构成长方形，则要能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解． 【详解】解：情境一 如图，设等腰梯形的高为，   ， ， 图的面积： ， 图的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：； 情境二 ， 拼成了一个正方形， 当时， ， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三 赞同丁同学的说法； 去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图：    【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键． 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$