专题8.6活用乘法公式的九种技巧（重难点培优）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（苏科版）

8.6活用乘法公式的九种技巧（重难点培优） 题型一、巧用乘法公式计算整式的乘法 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； 2．（2025七年级下·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 题型二、巧用乘法公式进行简便计算 5．（24-25七年级上·上海·期中）简便运算：． 6．（24-25七年级上·上海·期中）简便计算：． 7．（24-25七年级上·上海松江·期中）简便计算：； 8．（24-25七年级上·上海虹口·期中）用简便方法计算：． 题型三、巧用乘法公式进行变形求值 9．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）同学们在学习《整式的乘法》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：求的值； （2）已知：求的值． 10．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 11．（24-25八年级上·北京·期中）已知，求： (1)的值； (2)的值． 题型四、巧用乘法公式解方程 12．（24-25七年级上·上海·期中）解方程：． 13．（23-24七年级上·湖北·阶段练习）计算 (1)解方程：； (2)解方程：． 题型五、巧用乘法公式解决换元问题 14．（2025七年级下·全国·专题练习）在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决． 例如：若，，试比较，的大小． 解：设，则． 因为，所以． 看完后，你学会这种方法了吗？不妨尝试一下，相信你准行！ 问题：计算的值． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：（1）． (2)． 题型六、巧用乘法公式解决最值问题 16．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； (2)用配方法求代数式的最小值； (3)若实数a，b满足，求的最小值． 17．（22-23七年级下·湖南郴州·期中）阅读下列材料： ，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)有最小值______． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c为的三边，且满足，试判断此三角形的形状． 题型七、巧用乘法公式进行规律探索 18．（23-24七年级下·广西崇左·期中）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 题型八、乘法公式及几何背景问题 19．（21-22七年级下·江西抚州·期中）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 20．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．    (1)用含a、b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积． 题型九、巧用乘法公式解决新定义问题 21．（2025七年级下·全国·专题练习）我们规定：．例如：． (1)求的值． (2)若是一个完全平方式，则______． (3)若，且，求的值． 22．（22-23七年级下·广东佛山·期中）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值． 23．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如：，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式的“零值”为______，“对称值”为______； (2)若关于的多项式的两个“零值”相等，求的值以及多项式的“对称值”； (3)若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的两个“零值”之比是，求的值． 4 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6活用乘法公式的九种技巧（重难点培优） 题型一、巧用乘法公式计算整式的乘法 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可； （2）直接利用平方差公式求解即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； 2．（2025七年级下·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据积的乘方运算法则进行计算，然后根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据完全平方公式和单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （3）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可； （4）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，涉及多项式乘多项式，完全平方公式及平方差公式等知识，正确计算是解题的关键；先用平方差公式、多项式乘多项式展开，再用完全平方公式展开，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、熟练掌握公式是解题的关键．先根据完全平方公式、平方差公式进行计算，再合并即可． 【详解】解： ． 题型二、巧用乘法公式进行简便计算 5．（24-25七年级上·上海·期中）简便运算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行运算，灵活运用平方差公式是解题关键． 将原式整理为，然后利用平方差公式进行运算即可． 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）简便计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的运算，先将算式转化为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解： 7．（24-25七年级上·上海松江·期中）简便计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，把前三项用完全平方公式计算，后两项先变形为，再利用平方差公式计算，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 8．（24-25七年级上·上海虹口·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式以及积的乘方逆运算，先整理得出，再运算乘方和平方差公式，最后去括号，进行加减运算，即可作答． 【详解】解： ． 题型三、巧用乘法公式进行变形求值 9．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）同学们在学习《整式的乘法》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：求的值； （2）已知：求的值． 【答案】[基础公式] [公式变形] [应用]（1） （2） 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式及其变形计算是解题的关键． [基础公式]由完全平方和公式即可求解； [公式变形]根据完全平方公式的变形即可求解； [应用]（1）根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可； （2）运用完全平方公式变形得到，代入计算即可． 【详解】解：[基础公式]， 故答案为：； [公式变形]， 故答案为：； [应用]（1）∵，， ∴原式； （2）∵，， ∴原式． 10．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2)36 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 11．（24-25八年级上·北京·期中）已知，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解答本题的关键． （1）原式提取变形后，利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 题型四、巧用乘法公式解方程 12．（24-25七年级上·上海·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，乘法公式，先根据乘法公式去括号，然后按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 解得． 13．（23-24七年级上·湖北·阶段练习）计算 (1)解方程：； (2)解不等式：． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 整理得：， ∴， 解得：； （2）解：， 去括号得：， 整理得：， ∴， 解得：． 题型五、巧用乘法公式解决换元问题 14．（2025七年级下·全国·专题练习）在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决． 例如：若，，试比较，的大小． 解：设，则． 因为，所以． 看完后，你学会这种方法了吗？不妨尝试一下，相信你准行！ 问题：计算的值． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据题意，设，则，，，则原数化简得，把代入计算即可求解． 【详解】解：设，则，，， ∴原式． ∵， ∴原式． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）计算． (2)． 【分析】（1）本题考查了有理数的混合运算，完全平方公式的应用．设，将原式转换成，再利用完全平方公式计算即可求解． （2）设，原式变为，再利用多项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】解：（1）设， 则原式 ． （2）解：设， ∴原式 ． 题型六、巧用乘法公式解决最值问题 16．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； (2)用配方法求代数式的最小值； (3)若实数a，b满足，求的最小值． 【答案】(1)16 (2)2 (3)4 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法求最小值，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，由此即可得． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ， ， ， 的最小值为2； （3）解：∵ ， ， ， ， ， 的最小值为4． 17．（22-23七年级下·湖南郴州·期中）阅读下列材料： ，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)有最小值______． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c为的三边，且满足，试判断此三角形的形状． 【答案】(1)3 (2)当，时，多项式有最小值5 (3)是等边三角形 【分析】（1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解； （3）可得，即可求解． 【详解】（1）解： ，即时，有最小值，最小值是； 故答案：． （2）解：由题意得 ， ∴当，时，多项式有最小值5； （3）解：由题意得 ， ， ，， ，， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了完全平方式非负性的应用，理解非负性，会用非负性解决问题是解题的关键． 题型七、巧用乘法公式进行规律探索 18．（23-24七年级下·广西崇左·期中）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可； （2）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可；． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型八、乘法公式及几何背景问题 19．（21-22七年级下·江西抚州·期中）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，平方差公式．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，则，再根据进行求解即可； （2）①正方形边长为x，则，再由结合图形可以表示出与； ②设，则，据此可得，则，阴影部分面积，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴ ； （2）解：①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、 ， ，， 故答案为：． ②∵长方形的面积是4 8 ， ， 设， ∴，     ， ， 又， ， ∴阴影部分面积 即阴影部分的面积是 ． 20．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．    (1)用含a、b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积． 【答案】(1), =； (2)=77； (3)=18. 【分析】（1）图①中阴影部分的面积是边长为a、b的正方形的面积差，图②中阴影部分的面积是边长为b的正方形面积减去边长为b和的矩形面积的差； （2）由（1）用a、b表示出，然后将其配方后把，代入即可得解； （3）由图形中面积之间的关系可以用含有a、b的代数式表示，然后再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： , = =； （2）由（1）可得： = = =, ∴当，时， ； （3）由题意可得： =， 当时，， ∴. 【点睛】本题考查整式运算在面积计算中的应用，熟练掌握整式的运算法则及完全平方公式的应用是解题关键． 题型九、巧用乘法公式解决新定义问题 21．（2025七年级下·全国·专题练习）我们规定：．例如：． (1)求的值． (2)若是一个完全平方式，则______． (3)若，且，求的值． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式求值，在理数的运算，熟练掌握完全平方式是解题的关键． （1）根据规定直接计算求值； （2）先利用新定义计算，之后配方成完全平方公式，即可得到答案； （3）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出． 【详解】（1）解：； （2）解： ， 是完全平方式， ； （3）解： ， ， ， ， ． 22．（22-23七年级下·广东佛山·期中）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】此题考查了新定义公式，完全平方式公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据定义的公式得到，由完全平方式即可得到常数k的值； （2）由定义得到原式，由求出，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如：，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式的“零值”为______，“对称值”为______； (2)若关于的多项式的两个“零值”相等，求的值以及多项式的“对称值”； (3)若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的两个“零值”之比是，求的值． 【答案】(1)和，0 (2)当，“对称值”为2；当，“对称值”为； (3)，， 【分析】本题考查了整式的知识，因式分解，乘法公式，掌握“零值”和“对称值”定义是解题关键． （1）由，结合定义即可求解； （2）由题意令其“零值”为，则，可知，，得，即，可求得或，在求出对应的即可求解； （3）由得，故“对称值”为3．由的两个“零值”之比是，且“对称值”为6，得，再计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴和， ∴“对称值”为， 故答案为：和，0． （2）∵关于的多项式的两个“零值”相等， 令其“零值”为，则， ∴， ∴，， 则，即， ∴， ∴或， ∴或， 当“零值”为时，，则， ∴对称值为； 当“零值”为时，，则， ∴对称值为； 综上，当，“对称值”为2；当，“对称值”为； （3）∵， ∴，， ∵有一个“零值”为， ∴． ∴“对称值”为． ∵的两个“零值”之比是， ∴设两个“零值”为， ∴， ∴． ∴， ∴，， 故，，， 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$