专题8.4.2平方差公式（2大考点+9大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（苏科版）

专题8.4.2平方差公式（2大考点+9大题型+强化训练） 1.能推导出平方差公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算和推理， 2.体会探索和推导公式的过程，进一步感悟数与形的关系，感悟数形结合的思想， 知识点01 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 【即学即练】 1．（2024秋•渭源县期末）计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（　　） A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2 2．（2024秋•闵行区期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（　　） A．（2a+b）（2a﹣b） B．（2a+b）（b﹣2a） C．（2a+b）（a+2b） D．（2a+b）（﹣b﹣2a） 3．（2024秋•思明区校级期中）下列式子中，不能用平方差公式运算的是（　　） A．（3a+2b）（3b﹣2a） B．（1﹣2x）（﹣1﹣2x） C．（2m﹣n）（2m+n） D．（y﹣3）（3+y） 4．（2024秋•蔡甸区期末）在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（　　） A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3] B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3] C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）] D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）] 5．（2024秋•洪雅县期末）下列多项式中①（﹣a﹣b）（﹣b+a），②（xy+a）（xy﹣a），③（﹣2a﹣b）（2a+b），④能用平方差公式计算的：　 　（填写正确结论的序号）． 6．（2024秋•西青区期末）计算：20252﹣20242＝　 　． 7．（2024秋•静安区期末）102×98＝　 　． 8．运用平方差公式计算： （1）（x﹣y）（x+y）； （2）（x+3y）（x﹣3y）； （3）（2+a）（2﹣a）； （4）（1﹣3m）（1+3m）． 9．计算下列各题： （1）（x﹣2）（x+2）+（﹣3+x）（﹣x﹣3）； （2）（5x+3y）（3y﹣5x）﹣（4x﹣y）（4y+x）； （3）（x﹣3y）（x2+9y2）（x+3y）． 知识点02 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 【即学即练】 1．（24-25·黑龙江哈尔滨·期中）如图①，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 3．（24-25·吉林·期末）如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25·北京海淀·期末）如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 题型一、平方差公式的适用条件 1．（24-25·甘肃定西·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（24-25·云南昭通·期末）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25·河南信阳·期末）下列各式能用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 题型二、运用平方差公式进行整式乘法计算 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）运用平方差公式计算． (1) (2) (3) (4) (5) 7．（2024·全国·专题练习）利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、利用平方差公式进行简算 8．（24-25·吉林长春·期末）计算： ． 9．（24-25·江西宜春·阶段练习）计算：的结果是 ． 10．（24-25·吉林长春·期末）运用乘法公式计算：． 题型四、利用平方差公式进行化简求值 11．（24-25·河南驻马店·期中）已知，则代数式的值为 ． 12．（23-24七年级下·广东清远·期末）先化简，后求值：，其中． 题型五、利用平方差公式进行多个因式相乘 13．（24-25·河南南阳·期中）计算： ． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 15．（24-25·海南·期中）春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题． 例题：化简． 解：原式 ． (1)填空：______； (2)化简； (3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案． ______； 若、均为正整数，则______． 题型六、利用平方差公式解决整除问题 16．（24-25·山西临汾·期中）已知：整式，，m为任意有理数 (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)请通过计算说明：当m是整数时，的值一定能被4整除． 题型七、平方差公式的规律探究问题 17．（24-25·福建福州·期末）观察下列算式，完成问题： 算式①：        算式②： 算式③：        算式④： …… (1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：______； (2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立； (3)命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 18．（24-25·全国·期中）观察下列一组等式： (1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空． ① ； ② ； ③ ； (2)计算：． 19．（24-25·山西大同·阶段练习）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）： N 表示结果 一般结论 奇数 … 4的倍数 … 按上表规律，完成下列问题： ①； ② ； (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数，则为4的倍数．而不是4的倍数，矛盾，故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数… ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾，故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确 阅读以上内容，请将情形②的内容补充完整． 题型八、平方差公式的几何背景问题 20．（24-25·浙江·期末）通常情况下，用两种不同的方法计算一个图形的面积，可以得到一个数学等式．如图1，在①中边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，可拼成②中的长方形． （1）写出图1所表示的数学等式：__________；如图2，大正方形的面积有两种表示方法，由此可以说明__________（填公式） 【问题探究】 （2）①已知，则的值为__________； ②如图2，若，则__________． 【拓展计算】 （3）． 21．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系：__________； (2)根据（1）中的结论，若，求的值； (3)请求解下面实际问题： 如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 题型九、平方差公式的新定义问题 22．（24-25·河南南阳·阶段练习）定义：若一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“师一优数”．例如：，，56就是一个“师一优数”．若将“师一优数”按从小到大排列，则第1个“师一优数”是 ，第150个“师一优数”是 ． 23．（24-25·福建厦门·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“连偶数”．如：因此4，12，20都是“连偶数”． (1)请判断：52______“连偶数”；（填“是”或“不是”） (2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①明明发现：两个连续偶数和2k（其中k是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数． ②心心发现：2032是“连偶数”． 24．（24-25·北京·期中）对于一个正整数n，若存在正整数k，使得n能表示为k和的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数．例如：，则20为6系平方差数． (1)直接写出10系平方差数； (2)已知为k系平方差数，求M的值； (3)已知a，b为正整数，，且为k系平方差数． ①直接写出a与b之间的数量关系； ②若是m系平方差数，请判断是否为平方差数．若是请直接写出是_______系平方差数（用含m的代数式来表示）若不是请写出理由； 一、单选题 1．（24-25·广西南宁·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（19-20·湖北武汉·期中）计算（   ） A． B．2019 C． D．2017 3．（24-25·吉林长春·期末）已知，则的值为（   ） A．17 B．13 C．5 D．1 4．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如果一个数，那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（    ） A．56 B．82 C．94 D．126 6．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）下列多项式乘法中，运算结果为的是（     ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了“求和”符号“∑”．例如：记，；已知，则m的值是（　　） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）数学活动课上，小华将正方形纸片中间剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开（如图①），拼成新的图形（如图②），通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证一个乘法公式，这个乘法公式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）若，则p的值是 ． 10．（2011·河北石家庄·中考模拟）若，则 . 11．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）若，且，则 ． 12．（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，这个记号叫做2阶行列式，定义，若，则 ． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，在边长为的正方形一角剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分的面积相等，可以验证公式 用字母表示 14．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，边长为大正方形与边长为的小正方形的面积之差是64，则阴影部分的面积是 ． 三、解答题 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 16．（23-24七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 17．（22-23七年级下·江西赣州·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知将乘开的结果不含和项．求m、n的值； （3）小明在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了，并做了如下的计算： 请按照小明的方法，计算． 18．（24-25·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 11 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.4.2平方差公式（2大考点+9大题型+强化训练） 1.能推导出平方差公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算和推理， 2.体会探索和推导公式的过程，进一步感悟数与形的关系，感悟数形结合的思想， 知识点01 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 【即学即练】 1．（2024秋•渭源县期末）计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（　　） A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2， 故选：B． 2．（2024秋•闵行区期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（　　） A．（2a+b）（2a﹣b） B．（2a+b）（b﹣2a） C．（2a+b）（a+2b） D．（2a+b）（﹣b﹣2a） 【分析】根据平方差公式、完全平方公式、多项式乘多项式法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，利用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意； B、（2a+b）（b﹣2a）＝（b+2a）（b﹣2a）＝b2﹣4a2，利用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意； C、（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，利用多项式乘多项式法则计算，故此选项不符合题意； D、（2a+b）（﹣b﹣2a）＝﹣（2a+b）（b+2a）＝﹣（2a+b）2＝﹣（4a2+4ab+b2）＝﹣4a2﹣4ab﹣b2，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（2024秋•思明区校级期中）下列式子中，不能用平方差公式运算的是（　　） A．（3a+2b）（3b﹣2a） B．（1﹣2x）（﹣1﹣2x） C．（2m﹣n）（2m+n） D．（y﹣3）（3+y） 【分析】根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、（3a+2b）（3b﹣2a）不能用平方差公式运算，符合题意； B、（1﹣2x）（﹣1﹣2x）＝﹣1+4x2能用平方差公式运算，不符合题意； C、（2m﹣n）（2m+n）＝4m2﹣n2能用平方差公式运算，不符合题意； D、原式可化简为y2﹣9能用平方差公式运算，不符合题意； 故选：A． 4．（2024秋•蔡甸区期末）在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（　　） A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3] B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3] C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）] D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）] 【分析】根据平方差结构特征进行解答即可． 【详解】解：（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）＝[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）]， 故选：D． 二．填空题（共3小题） 5．（2024秋•洪雅县期末）下列多项式中①（﹣a﹣b）（﹣b+a），②（xy+a）（xy﹣a），③（﹣2a﹣b）（2a+b），④能用平方差公式计算的：　①②　（填写正确结论的序号）． 【分析】对多项式逐项运算，再根据平方差公式和完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：①∵（﹣a﹣b）（﹣b+a）＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，∴能用平方差公式计算，故①符合题意； ②∵（xy+a）（xy﹣a）＝（xy）2﹣a2＝x2y2﹣a2，∴能用平方差公式计算，故②符合题意； ③∵（﹣2a﹣b）（2a+b）＝﹣（2a+b）（2a+b）＝﹣（2a+b）2，∴不能用平方差公式计算，故③不合题意； ④∵，∴不能用平方差公式计算，故④不合题意； 故答案为：①②． 6．（2024秋•西青区期末）计算：20252﹣20242＝　4049　． 【分析】先利用平方差公式进行分解因式，然后按照混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式＝（2025+2024）×（2025﹣2024） ＝4049×1 ＝4049， 故答案为：4049． 7．（2024秋•静安区期末）102×98＝　9996　． 【分析】把102×98化成（100+2）×（100﹣2），再根据平方差公式求出即可． 【详解】解：102×98 ＝（100+2）×（100﹣2） ＝1002﹣22 ＝10000﹣4 ＝9996， 故答案为：9996． 8．运用平方差公式计算 （1）（x﹣y）（x+y）； （2）（x+3y）（x﹣3y）； （3）（2+a）（2﹣a）； （4）（1﹣3m）（1+3m）． 【分析】直接利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2； （2）（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣（3y）2＝x2﹣9y2； （3）（2+a）（2﹣a）＝22﹣a2＝4﹣a2； （4）（1﹣3m）（1+3m）＝12﹣（3m）2＝1﹣9m2． 9．计算下列各题： （1）（x﹣2）（x+2）+（﹣3+x）（﹣x﹣3）； （2）（5x+3y）（3y﹣5x）﹣（4x﹣y）（4y+x）； （3）（x﹣3y）（x2+9y2）（x+3y）． 【分析】（1）（x﹣2）（x+2）符合两数之和与两数之差的积的形式，可运用平方差公式计算； （2）（4x﹣y）（4y+x）＝4x（4y+x）﹣y（4y+x）； （3）第一个因式与第三个因式结合，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）原式x2﹣4+9﹣x2 ＝5x2； （2）原式＝9y2﹣25x2﹣（16xy+4x2﹣4y2﹣xy） ＝9y2﹣25x2﹣15xy﹣4x2+4y2 ＝13y2﹣29x2﹣15xy； （3）原式＝（x2﹣9y2）（x2+9y2） ＝x4﹣81y4． 知识点02 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 【即学即练】 1．（24-25·黑龙江哈尔滨·期中）如图①，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确识图是解题的关键．分别表示出图①和图②的面积，再根据图①和图②的面积相等即可求解． 【详解】解：由题意可得，图①中阴影部分的面积是：， 图②中矩形的面积是：， 图①和图②的面积相等， ， 故选：B． 2．（24-25·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，分别表示两个图形中阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：第1个图中阴影部分的面积为：， 第2个图中阴影部分的面积为， 因此有， 故选：D． 3．（24-25·吉林·期末）如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键. 利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可； 【详解】解：∵从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形， ∴剩余部分的面积是：， 又拼成的长方形的面积是：， ∴根据剩余部分的面积相等得：； 故选：A 4．（24-25·北京海淀·期末）如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法与几何图形面积，即运用几何直观理解、解决整式的乘法与几何图形的面积之间的联系，通过几何图形之间的数量关系对整式乘法做出几何解释． 根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，②符合题意； ③可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，③不符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 题型一、平方差公式的适用条件 1．（24-25·甘肃定西·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式：，根据公式计算即可． 【详解】解：． 故选B． 2．（24-25·云南昭通·期末）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式，能熟记公式的特点是解答本题的关键． 根据平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式法则分别化简各项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 3．（24-25·河南信阳·期末）下列各式能用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：．根据平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； B、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； C、，符合平方差公式特点，能用平方差公式； D、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式． 故选：C． 4．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 题型二、运用平方差公式进行整式乘法计算 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． （1）利用多项式乘多项式，进行计算求解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式，进行计算求解即可； （3）利用多项式乘多项式，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）运用平方差公式计算． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4)3599.96 (5) 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算． （1）利用平方差公式进行计算即可得解； （2）利用平方差公式进行计算即可得解； （3）把原式进行变形，然后利用平方差公式进行计算即可得解； （4）把原式进行变形，然后利用平方差公式进行计算即可得解； （5）利用平方差公式进行计算即可得解，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 7．（2024·全国·专题练习）利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）利用平方差公式进行计算即可得解； （2）利用平方差公式进行计算即可得解； （3）二次利用平方差公式进行计算即可得解； （4）先把第一项和第三项利用平方差公式计算，然后再次利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型三、利用平方差公式进行简算 8．（24-25·吉林长春·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查的是平方差公式，将原式变形为，然后再按平方差公式计算可得答案． 【详解】解： ． 故答案为：1． 9．（24-25·江西宜春·阶段练习）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握利用平方差公式进行简便计算是解题的关键．根据平方差公式进行简便计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 10．（24-25·吉林长春·期末）运用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算，平方差公式的应用．根据平方差公式得出，然后进行计算即可． 【详解】解：原式 题型四、利用平方差公式进行化简求值 11．（24-25·河南驻马店·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式的运算，先化简所求的式子，再将变形得，最后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·广东清远·期末）先化简，后求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 题型五、利用平方差公式进行多个因式相乘 13．（24-25·河南南阳·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记平方差公式是正确解题的关键．平方差公式．完全平方和公式，完全平方差公式． 【详解】解：． 故答案为： ． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式．再原式的基础上乘以，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 15．（24-25·海南·期中）春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题． 例题：化简． 解：原式 ． (1)填空：______； (2)化简； (3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案． ______； 若、均为正整数，则______． 【答案】(1)； (2)； (3) ； 【分析】本题考查了平方差公式，读懂题意，理解平方差公式的结构特点是解题的关键． （）根据平方差公式即可求解； （）原式变形后，根据平方差公式即可求解； （）原式变形后，根据平方差公式即可求解； 原式变形后，根据平方差公式即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， 故答案为：； 原式 ， 故答案为：． 题型六、利用平方差公式解决整除问题 16．（24-25·山西临汾·期中）已知：整式，，m为任意有理数 (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)请通过计算说明：当m是整数时，的值一定能被4整除． 【答案】(1)的值不可能为负数，理由见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的计算； （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据平方差公式解析计算得出即可求解． 【详解】（1）解：的值不可能为负数，理由如下： ∵， ∴ ∴的值不可能为负数 （2） ∵m是整数， ∴一定能被4整除 ∴当m是整数时，的值一定能被4整除． 题型七、平方差公式的规律探究问题 17．（24-25·福建福州·期末）观察下列算式，完成问题： 算式①：        算式②： 算式③：        算式④： …… (1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：______； (2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立； (3)命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解； (3)不成立，理由见详解； 【分析】本题考查了因式分解——平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．（1）根据规律写出算式⑤即可得到答案； （2）利用平方差公式进行因式分解证明即可得到答案； （3）设两个连续奇数分别为和（为整数），利用平方差公式进行因式分解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意规律可得， ， 故答案为：； （2）证明：设两个连续偶数为和， ∵ ， ∴； （3）解：不成立，理由如下， 证明：设两个连续奇数分别为和（为整数）， ∵ ， ∴； 18．（24-25·全国·期中）观察下列一组等式： (1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空． ① ； ② ； ③ ； (2)计算：． 【答案】(1)①；②；③； (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算，找出其中的规律是解本题的关键． （1）根据上述等式归纳总结得到规律，即可得到结果； （2）先变形，再把一三、二四因式分别结合，利用得出的规律，即可得到结果． 【详解】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①；②；③； （2）原式． 19．（24-25·山西大同·阶段练习）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）： N 表示结果 一般结论 奇数 … 4的倍数 … 按上表规律，完成下列问题： ①； ② ； (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数，则为4的倍数．而不是4的倍数，矛盾，故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数… ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾，故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确 阅读以上内容，请将情形②的内容补充完整． 【答案】(1)①7，5；②； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式等知识点，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． （1）①根据规律即可求解；②根据规律即可求解； （2）先利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可． 【详解】（1）解：①由规律可得，， 故答案为：7，5； ②由规律可得，， 故答案为：． （2）解：设，，其中k，m均为自然数． 所以 ． ∵为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾， ∴x，y不可能均为奇数． 题型八、平方差公式的几何背景问题 20．（24-25·浙江·期末）通常情况下，用两种不同的方法计算一个图形的面积，可以得到一个数学等式．如图1，在①中边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，可拼成②中的长方形． （1）写出图1所表示的数学等式：__________；如图2，大正方形的面积有两种表示方法，由此可以说明__________（填公式） 【问题探究】 （2）①已知，则的值为__________； ②如图2，若，则__________． 【拓展计算】 （3）． 【答案】（1），；（2）①12②74；（3） 【分析】本题考查乘法公式与几何图形的面积，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）利用两种方法表示出阴影部分的面积，写出图1的等式，利用正方形的面积公式以及分割法求图形的面积，表示出数学公式即可； （2）①利用平方差公式进行计算即可；②利用完全平方公式的变形进行求解即可； （3）利用平方差公式进行展开，再进行约分化简即可． 【详解】解：（1）阴影部分的面积可以用：，也可以用来表示， ∴图1所表示的数学等式为：； 大正方形的面积可以用：，也可以用表示， ∴可以说明； （2）①∵， ∴； 故答案为：12； ②∵， ∵， ∴ ； 故答案为：74； （3）原式 ． 21．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系：__________； (2)根据（1）中的结论，若，求的值； (3)请求解下面实际问题： 如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图形的面积可得到，，之间数量关系； （2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解； （3）根据题意找出题中各线段之间的数量关系和等量关系，设，，即，阴影部分面积 ，根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵如图是一个长为、宽为的长方形， ∴图的长方形面积为：， ∵图的边长为，图阴影部分的面积为：， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）解：∵正方形的边长为，正方形和正方形，， ∴， ，， ∵长方形的面积是， ∴， 设，，即，则， ∴阴影部分面积 ， ∵ ， ∴（负值舍去）， ∴， 即阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意义是解题的关键． 题型九、平方差公式的新定义问题 22．（24-25·河南南阳·阶段练习）定义：若一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“师一优数”．例如：，，56就是一个“师一优数”．若将“师一优数”按从小到大排列，则第1个“师一优数”是 ，第150个“师一优数”是 ． 【答案】 24 1216 【分析】本题考查了数字类规律探索、平方差公式，理解“师一优数”的定义，正确归纳类推出一般规律是解题关键．设满足“师一优数”的定义的两个正整数分别为和，则“师一优数”可表示为，再分别求出、和时的“师一优数”，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：设满足“师一优数”的定义的两个正整数分别为和， 则“师一优数”可表示为， ∵为正整数， 当时，第1个“师一优数”为； 当时，第2个“师一优数”为； 当时，第3个“师一优数”为； 归纳类推得：第个“师一优数”可表示为（为正整数）． 当时，，即第150个“师一优数”为1216， 故答案为：24，1216． 23．（24-25·福建厦门·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“连偶数”．如：因此4，12，20都是“连偶数”． (1)请判断：52______“连偶数”；（填“是”或“不是”） (2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①明明发现：两个连续偶数和2k（其中k是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数． ②心心发现：2032是“连偶数”． 【答案】(1)是 (2)①明明的发现正确，理由见解析；②心心的发现不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式，新定义： （1）看52能否可以用两个连续偶数的平方差表示即可得到结论； （2）①利用平方差公式求出，据此可得结论；②令，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论． 【详解】（1）解：， ∴52是“连偶数”； 故答案为：是； （2）解：①明明的发现正确，理由如下： ， ∵k是正整数， ∴是正整数， ∴是4的倍数， ∴两个连续偶数和2k（其中k是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数； ②心心的发现不正确，理由如下： 由（1）可知“连偶数”是4的倍数， 那么当2032是“连偶数”时，一定存在一个正整数k满足， 解得，这与k是正整数矛盾， ∴2032不是“连偶数” ∴心心的发现不正确． 24．（24-25·北京·期中）对于一个正整数n，若存在正整数k，使得n能表示为k和的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数．例如：，则20为6系平方差数． (1)直接写出10系平方差数； (2)已知为k系平方差数，求M的值； (3)已知a，b为正整数，，且为k系平方差数． ①直接写出a与b之间的数量关系； ②若是m系平方差数，请判断是否为平方差数．若是请直接写出是_______系平方差数（用含m的代数式来表示）若不是请写出理由； 【答案】(1)36 (2)24 (3)①；②是， 【分析】（1）根据k系平方差数定义解答即可； （2）根据k系平方差数定义建立方程，求出k值即可得解； （3）①根据k系平方差数定义建立关于a和b的方程即可得解； ②由是m系平方差数得到，再结合，推出，，进而代入求解即可． 【详解】（1）解：， 答：10系平方差数为36． （2）解：依题意可知， ， 整理得， 解得， ． （3）解：①， ∵为k系平方差数，且， ． ②∵是m系平方差数， ∴， ∴， 由①得， ， ∴， ∴， ∴， 假设是n系平方差数，则， ∴， ∴， ∴是系平方差数． 【点睛】本题考查了平方差公式，新定义，完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25·广西南宁·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 2．（19-20·湖北武汉·期中）计算（   ） A． B．2019 C． D．2017 【答案】D 【分析】此题主要考查利用平方差公式简便运算．根据，两次利用平方差公式即可简便运算． 【详解】解： ． 故选：D． 3．（24-25·吉林长春·期末）已知，则的值为（   ） A．17 B．13 C．5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键． 先利用平方差公式求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 5．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如果一个数，那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（    ） A．56 B．82 C．94 D．126 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用，首先化简，再看四个选项中，能够整除8的即为答案．理解“奇差数”的定义，正确化简是解题关键． 【详解】解： ， “奇差数”是8的倍数， A，，能够被8整除，因此56是“奇差数”； B，，不能够被8整除，因此82不是“奇差数”； C，，不能够被8整除，因此94不是“奇差数”； D，，不能够被8整除，因此126不是“奇差数”； 故选：A． 6．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）下列多项式乘法中，运算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，利用平方差公式和完全平方公式逐项计算即可，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的应用． 【详解】、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 7．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了“求和”符号“∑”．例如：记，；已知，则m的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义，平方差公式，先利用平方差公式得到，再有新定义得到，则． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）数学活动课上，小华将正方形纸片中间剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开（如图①），拼成新的图形（如图②），通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证一个乘法公式，这个乘法公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用代数式表示拼接前、后的面积可得答案． 【详解】解：阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 故选：A． 二、填空题 9．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）若，则p的值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 已知等式左边利用平方差公式化简，再利用多项式相等的条件求出p的值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：0． 10．（2011·河北石家庄·中考模拟）若，则 . 【答案】4 【分析】本题主要考查代数式的求值，先根据平方差公式把变形，代入，再进一步化简代入即可求出．解题的关键是熟练掌握平方差公式及其灵活变形． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故答案为：4． 11．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的变形计算，代入求值的运用，根据题意分别求出的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 已知, ∴， ∴原式， 故答案为： ． 12．（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，这个记号叫做2阶行列式，定义，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查整式的运算及方程，由所给定义可得到关于的方程，解方程即可求得的值． 【详解】 ， ， 即， 解得， 故答案为：2． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，在边长为的正方形一角剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分的面积相等，可以验证公式 用字母表示 【答案】 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【详解】解：由左图可得：阴影部分的面积为； 由右图可得：阴影部分的面积为：； 所以． 故答案为： 14．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，边长为大正方形与边长为的小正方形的面积之差是64，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式与几何图形和三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积是解题的关键．直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案． 【详解】解：∵大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴，，， ∴阴影部分的面积是： ． 故答案为：． 三、解答题 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）原式变形为，再利用平方差公式计算即可得出答案； （2）利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（23-24七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法运算． （1）先根据完全平方公式，多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可； （2）先添加括号，运用平方差公式进行计算，再运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（22-23七年级下·江西赣州·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知将乘开的结果不含和项．求m、n的值； （3）小明在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了，并做了如下的计算： 请按照小明的方法，计算． 【答案】（1）72，详见解析 （2），详见解析 （3），详见解析 【分析】（1）由，即可求得答案； （2）先根据多项式乘多项式的计算法则化简代数式，然后根据不含的项和的项得到，据此求出m、n的值即可得到答案． （3）根据题意以及平方差公式即可求出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2） ∵关于x的代数式的化简结果中不含的项和的项， ∴， ∴， （3） ． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，多项式乘以多项式，平方差公式的应用，掌握相关计算法则是解题的关键． 18．（24-25·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】情境一：；情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为，图形见解析 【分析】情境一：设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； 情境二：可得正方形面积为，由拼成了一个正方形可得是一个完全平方式，即可得，据此即可求解； 情境三：能构成长方形，则能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解； 本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：情境一： 如图，设等腰梯形的高为， ∴， ∴， ∴图的面积为， 图的面积为， ∵， ∴， ∴可以得到的乘法公式为：； 情境二： 拼成的正方形面积为， ∵拼成的是一个正方形， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三： 赞同丁同学的说法． 理由：∵不能进行因式分解，即转化不了长乘以宽， ∴三种木片不能拼出一个面积为的长方形， 去掉一块以后，面积为， ∴该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图所示： 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$