精品解析：福建省莆田市城厢区文献中学2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考试卷

2024-2025学年文献九年级上第一次月考试卷 一、单选题 1. 关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（　　） A 任意实数 B. m≠1 C. m≠﹣1 D. m＞1 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A. y=3（x+2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+1 C. y=3（x﹣2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+1 4. 已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为（　　） A. x1＝1，x2＝3 B. x1＝0，x2＝3 C. x1＝﹣1，x2＝1 D. x1＝﹣1，x2＝3 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（　　） A. 13 B. 13或20 C. 12 D. 20 7. 已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 8. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论：①1轮后有个人患了流感；②第2轮又增加个人患流感；③依题意可得方程；④不考虑其他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确的结论为（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 9. 函数与(是常数，且)在同一坐标系中的图像可能是( ) A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数）．正确结论的个数为（   ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题 11. 一元二次方程一次项系数为_____． 12. 已知是关于的方程的一个根，则________． 13. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为_____． 14. 抛物线，当时，y取值范围是_________． 15. 已知点、都在二次函数的图象上，且，则、的大小关系是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图像上．若正方形OABC的边长为，OC与y轴的正半轴的夹角为，则a的值为___． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数． （1）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （2）求出抛物线的顶点坐标． 19. 已知二次函数的图象经过点，且当时，y有最小值． （1）求这个函数的关系式； （2）试判断点是否在此函数图象上． 20. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程的两个根 （2）写出不等式的解集 （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围． （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 21. 已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值． 22. 在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． （1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请你依照小芳的方案设计小路的宽度． （2）你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你所设计的轴对称图形的草图，将花园部分涂上阴影． 23. 如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．请回答： （1）经过几秒后的面积等于？ （2）面积能否等于，并说明理由？ 24. 学科实践 【驱动任务】为喜迎“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品进入了销售旺季，某校综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目式学习． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价30元的鲜花礼品为研究对据象展开调查，收集到附近五家花店近期销售相关信息，记录如下表： 花店 售价（元/束） 日销售量（束） （1）数据整理：请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价/（元/束） 日销售量/（束） （2）数据分析：分析数据的变化规律，将每组对应值描在下图中，并确定日销售量与售价之间的关系； 【问题解决】 （3）根据以上信息，销售该款花卉时， ①要想每天获得2000元的利润，应该如何定价？ ②当售价为多少时，每天获得利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点E的坐标和四边形面积的最大值； （3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年文献九年级上第一次月考试卷 一、单选题 1. 关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（　　） A. 任意实数 B. m≠1 C. m≠﹣1 D. m＞1 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m－1≠0，即可求得m的值． 【详解】根据一元二次方程的定义得：m－1≠0，即m≠1， 故答案为B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解答本题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 3. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A. y=3（x+2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+1 C. y=3（x﹣2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+1 【答案】A 【解析】 【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1.故选A. 考点：二次函数图象的平移法则. 4. 已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为（　　） A. x1＝1，x2＝3 B. x1＝0，x2＝3 C. x1＝﹣1，x2＝1 D. x1＝﹣1，x2＝3 【答案】D 【解析】 【分析】分析知一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为函数与x轴的交点的横坐标，由函数图象知函数的对称轴为x＝1，其一交点为（3，0）根据对称关系求出另一点坐标，从而求出方程的解． 【详解】解：由二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象可知： 函数的对称轴x＝1， 与x轴的交点为（3，0），设另一交点为（x，0） 则有1＝， ∴x＝﹣1， ∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为：x1＝﹣1，x2＝3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及与一元二次方程的关系是解题的关键． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此求得c的取值范围，再进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，解得， 故选项D中的5不符合题意， 故选：D． 6. 三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（　　） A. 13 B. 13或20 C. 12 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】先利用因式分解法解一元二次方程的解，可求出，，然后根据三角形的三边关系可得：不符合题意，舍去，从而根据三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， ∵三角形两边长分别为7和4， ∴， 不符合题意，舍去， ∴这个三角形的周长， 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7. 已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】将c=-a+b代入原方程左边，再将方程左边因式分解即可． 【详解】依题意，得c=-a+b， 原方程化为ax2+bx-a+b=0， 即a（x+1）（x-1）+b（x+1）=0， ∴（x+1）（ax-a+b）=0， ∴x=-1为原方程的一个根， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义．方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值． 8. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论：①1轮后有个人患了流感；②第2轮又增加个人患流感；③依题意可得方程；④不考虑其他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确的结论为（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】第一轮的传染源是1个人，他传染了x人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为81，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人． 则第一轮后共有人患了流感，故①正确； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人， 则第2轮又增加个人患流感，故②错误； 依题意，得，即，故③正确； 解方程，得，（舍去）． 每轮传染中平均每人传染了8人． 经过三轮一共会有人感染，故④错误； 综上可知，正确的结论有①③， 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列出一元二次方程． 9. 函数与(是常数，且)在同一坐标系中的图像可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数图像得到字母系数的正负，再与二次函数的图像相比较看是否一致． 【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向下，，但是一次函数与轴的交点和二次函数与轴的交点，不是同一点，故A选项错误； B．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向下，，两者相矛盾，故B选项不正确，不符合题意； C．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向上，，且两函数相交轴于同一点，故C选项正确，符合题意； D．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向上，两者相矛盾，故D选项不正确，不符合题意 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数综合，掌握一次函数与二次函数图像的性质是解题的关键． 10. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数）．正确结论的个数为（   ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，对称轴，与坐标值的交点的计算，最值的计算方法等知识的运用解题的关键． 根据图象的开口，对称轴直线可判定①；由二次函数图象与轴有两个交点可判定③；根据交点与不等式的性质可判定④；根据最值的计算方法可判定⑤；由此即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在原点的右边， ∴，， ∴，， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴交于，两点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确； ∵，， ∴， 解得，故②正确； ∵时函数取最小值，且 当时，函数， 故； ∴， ∴， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：C． 二、填空题 11. 一元二次方程的一次项系数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查知识点是一元二次方程的一般形式，一元二次方程经过整理都可化成一般形式，其中叫作二次项，是二次项系数，叫作一次项，是一次项系数，叫作常数项，据此求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为， 故答案为：． 12. 已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】15 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2-2m=7，再把2m2-4m+1变形为2（m2-2m）+1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是关于x的方程x2-2x-7=0的一个根， ∴m2-2m-7=0， ∴m2-2m=7， ∴2m2-4m+1=2（m2-2m）+1=2×7+1=15． 故答案是：15． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 13. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的性质．根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再将所求式子化简后代入值计算，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ， 故答案为：． 14. 抛物线，当时，y的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， 将代入得， 将代入得， ∴当时，， 故答案为：． 15. 已知点、都在二次函数的图象上，且，则、的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式确定出对称轴，再根据二次函数的增减性解答． 【详解】解：的对称轴为直线， ， 时y随x的增大而增大，且函数的最大值为， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题关键是数量掌握二次函数的增减性，二次函数的对称轴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图像上．若正方形OABC的边长为，OC与y轴的正半轴的夹角为，则a的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】连接OB，过点B作BE⊥y轴于点E，则由勾股定理求出OB长，再得到∠EOB=30°，得到 ，由勾股定理求出 ，的到点B的坐标，把点B的坐标代入 即可求解； 【详解】连接OB，过点B作BE⊥y轴于点E，则 OB==2 ∵∠COB=15°，∠COB=°=45° ∴∠EOB=45°-15°=30° ∴ ∴ ∴点B的坐标为（1， ）把点B的坐标代入 得： ∴a= 故答案为： ． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数几何综合，也考查了正方形的性质，勾股定理解三角形．添加合适的辅助线是解题的关键． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）利用因式分解法求解即可； （）利用公式法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，． 18. 已知二次函数． （1）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （2）求出抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质 （1）求出关键点的坐标，根据描点法画图象即可； （2）把抛物线解析式化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标． 【小问1详解】 解：∵二次函数， ∴当时，， ∴抛物线与轴交点为， 当时，， ∴抛物线与轴交点 当时，， ∴抛物线过点， 该函数的图象如图所示． 【小问2详解】 解：∵二次函数， ∴该抛物线的顶点坐标是； 19. 已知二次函数的图象经过点，且当时，y有最小值． （1）求这个函数的关系式； （2）试判断点是否在此函数图象上． 【答案】（1） （2）在，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数是本题得关键. （1）根据题意设出，将抛物线的顶点坐标代入可得：.再把代入，求出的值，即可得出二次函数的解析式； （2）代入即可判断． 【小问1详解】 解：设二次函数的关系式为：， ∵当时，y有最小值， ∴抛物线顶点坐标为， ∴抛物线表达式为：， 将点代入得， 解得， ∴二次函数的关系式为； 【小问2详解】 当时，， ∴在此函数图象上． 20. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程的两个根 （2）写出不等式解集 （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围． （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1或3 （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． （1）看二次函数与x轴交点的横坐标即可； （2）看x轴下方的二次函数的图象相对应的x的范围即可； （3）在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小； （4）得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴的交点为，， ∴方程的两个根为； 【小问2详解】 ∵由图象可知或时，二次函数的图象在x轴下方， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是； 【小问4详解】 ∵由图象可知二次函数图象的顶点坐标为， 当直线在的下方时，一定与抛物线有两个不同的交点， ∴当时，方程有两个不相等的实数根． 21. 已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值． 【答案】m=34 【解析】 【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b时；结合根据系数的关系即可求解． 【详解】解：当a=4时，b＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴4+b=12， ∴b=8不符合； 当b=4时，a＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴4+a=12， ∴a=8不符合； 当a=b时， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴12=2a=2b， ∴a=b=6， ∴m+2=36， ∴m=34． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，以及分类讨论的数学思想，结合根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 22. 在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． （1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请你依照小芳的方案设计小路的宽度． （2）你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你所设计的轴对称图形的草图，将花园部分涂上阴影． 【答案】（1）小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2米 （2）有，作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键． （1）利用等量关系花园的长花园的宽荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可； （2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可． 【小问1详解】 不符合． 设小路宽度均，根据题意得： ， 解这个方程得：． 但不符合题意，应舍去， ∴． ∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为． 【小问2详解】 解：答案不唯一． 例如： 左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半． 23. 如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．请回答： （1）经过几秒后的面积等于？ （2）的面积能否等于，并说明理由？ 【答案】（1）； （2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于明确题意，根据动点表示出，动点运动秒后，表示出的高，的面积即可求解． （2）本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于明确题意，和（1）一样，根据动点表示出，动点运动秒后，表示出的高，表示出的面积列方程求解即可求解． 【小问1详解】 解：设动点运动秒后的面积等于，的高为， ∵点P以从A点出发，秒后，，，； 点Q以从B点出发，秒后，， 过点作的垂线，则即为的高； 又∵， ∴的高即为的一半， ∴． ． 当的面积等于， 即， 解得：，（舍去）． 【小问2详解】 当时， 即， ， 此时方程无实数根， ∴的面积不能等于． 24. 学科实践 【驱动任务】为喜迎“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品进入了销售旺季，某校综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目式学习． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价30元的鲜花礼品为研究对据象展开调查，收集到附近五家花店近期销售相关信息，记录如下表： 花店 售价（元/束） 日销售量（束） （1）数据整理：请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价/（元/束） 日销售量/（束） （2）数据分析：分析数据的变化规律，将每组对应值描在下图中，并确定日销售量与售价之间的关系； 【问题解决】 （3）根据以上信息，在销售该款花卉时， ①要想每天获得2000元的利润，应该如何定价？ ②当售价为多少时，每天获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）图见解析，；（3）①定价为50元或55元；②售价定为元时，每天能够获得最大利润2025元 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据销售单价从小到大排列即可； （2）设销售量为盆，售价为元，，用待定系数法可得； （3）①根据每天获得2000元的利润，列方程可得答案；②设每天获得的利润为元，得：，由二次函数性质可得答案． 【详解】解：（1）根据销售单价从小到大排列得下表： 售价/（元/束） 40 45 50 55 60 日销售量/（束） 140 120 100 80 60 （2）如下图： 观察表格中的数据的变化规律可知日销售量是售价的一次函数； （或通过图中点的位置发现，这些点都在一条直线上，所以日销售量是售价的一次函数） 设销售量为束，售价为元，， 把，代入得： 解得， ； （3）①当每天获得2000元的利润时，， 解得：或， 答：要想每天获得2000元的利润，定价为50元或55元； ②设每天获得的利润元， 根据题意得：， ， 当时，取最大值2025， 售价定为元时，每天能够获得最大利润2025元． 25. 如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点E的坐标和四边形面积的最大值； （3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点的坐标是时，四边形的面积最大，最大面积为； （3）存在，点的坐标是、、． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，分类讨论思想，数形结合思想的应用是解题的关键． （1）首先根据直线与轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是点C的坐标是；然后根据抛物线经过B、C两点,求出a、c的值是多少，即可求出抛物线的解析式； （2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点M，交x轴于点F，然后设点E的坐标是 则点M的坐标是求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出进而判断出当面积最大时，点E的坐标和面积的最大值以及四边形面积最大各是多少即可； （3）在抛物线上存在点P, 使得以为顶点的四边形是平行四边形.然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点C，与y轴交于点B， ∴点B的坐标是， 点C的坐标是， ∵抛物线 经过B、C两点， ∴， 解得， ． 【小问2详解】 解：如图1，过点E作y轴的平行线交直线于点M，交x轴于点F， ∵点E是直线上方抛物线上的一动点， ∴设点E的坐标是 则点M的坐标是 ， ∴当时，即点E的坐标是时，的面积最大，最大面积是3； ∴此时，四边形的面积最大，最大面积：． 【小问3详解】 解：存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵， 设, ①当为平行四边形的对角线时， ②当为平行四边形的对角线时， ③当为平行四边形的对角线时， 综上，可得在抛物线上存在点P， 使得以为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$