精品解析：江西省宜春市高安市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度上学期期末质量监测八年级数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 窗花是中国古老的民间艺术之一，下列窗花作品中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 选项B、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：A． 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，除法运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，除法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D ． 3. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 4. 如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出16张卡片的总面积，根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：由题意可知：16张卡片的总面积， ∵ ∴拼成的大正方形的边长 故选：D． 【点睛】本题考查完全平方公式几何意义的理解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式形式． 5. 乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：安，爱，我，高，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 美丽 B. 美丽高安 C. 我爱高安 D. 高安美 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的运用，掌握提取公因式法、公式法因式分解是解题的关键． 先提取公因式，再运用公式法进行分解即可求解． 【详解】解： ， ∵对应爱，对应我，对应安，对应高， ∴结果呈现的密码信息可能是我爱高安， 故选：C ． 6. 如图，在中，，，点为的中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形的存在条件解答即可． 本题考查了等腰直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形的存在条件，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，点为的中点，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， 故③正确； ∴，， ∴是等腰直角三角形， 故①正确； ∴， ∴， 故②正确； ∵ ∴， 故④错误． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 某新型冠状病毒的直径大约为米，这个数据用科学记数法可表示为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据点坐标关于轴对称的变换规律求出的值，再代入计算即可得．本题考查了点坐标关于轴对称的变换规律，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律（横坐标相同，纵坐标互为相反数）是解题关键． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 已知，，求______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆运算，幂的乘方，掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据题意，，代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， 当，时，原式， 故答案为： ． 10. 已知展开式中不含的一次项，则的取值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算无关项问题，掌握整式的混合运算，无关项的系数为0是解题的关键． 运用多项式乘以多项，再合并同类项，由无关项的系数为0列式求解即可． 【详解】解： ， ∵不含的一次项， ∴， 解得，， 故答案为：4 ． 11. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积为24，腰的垂直平分线分别交，于点E，F．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为__________. 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，连接，根据三线合一定理得到，进而根据三角形面积公式求出，再由线段垂直平分线的性质得到，则的周长，故当三点共线时，最小，即此时的周长最小，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵等腰三角形的底边长为4，点为的中点， ∴， ∵等腰三角形的面积是24， ∴， ∴， ∴； ∵腰的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∴的周长最小值为， 故答案为：14． 12. 中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“的关于点B的二分割线”是解题的关键． 根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论． 【详解】解：如图2所示：， ， 如图3所示：， ， ， 如图4所示，， ， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）9999；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查乘法公式，因式分解，掌握乘法公式，提公因式法、公式法分解因式是解题的关键． （1）将原式变形为，运用平方差公式计算即可； （2）先提取公因式，再运用乘法公式因式分解即可． 【详解】解：（1）； （2）． 14. 油纸伞的制作技艺十分巧妙，已列入江西省省级非物质文化遗茂图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？请说明理由． 【答案】始终平分同一平面内两条伞骨所成的，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，运用“边边边”可证，由全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：始终平分同一平面内两条伞骨所成的，理由如下， 在和中 ， ∴， ∴，即平分． 15. 先化简，再求值：其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式和平方差公式先展开合并，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 16. 以下是小明同学解分式方程． 解：……第一步 解得……第二步 检验：当时，……第三步 所以，原分式方程的解为……第四步 （1）以上解题过程中，第一步变形的依据是______； A.不等式的基本性质 B.等式的基本性质 C.分式的基本性质 （2）老师批改后说答案错了，请问是从第_____步开始出现错误，请写出该方程的正确求解过程． 【答案】（1）B （2）一，，正确求解过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． （1）根据等式的性质判定即可； （2）根据材料提示的解分式方程的方法判定，再根据解分式方程的方法求解即可． 【小问1详解】 解：第一步变形的依据是等式的基本性质， 故选：B； 【小问2详解】 解：根据去分母的方法可得，从第一步开始出错，正确的解法如下， ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 17. 如图，在正五边形中，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点A求作此正五边形的对称轴； （2）如图2，点M在上，且，在AE边上求作一点N，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接、、、，设和交于点F，连接即可； （2）连接、，设和交于点F，连接交于点G，连接并延长，交于点N，则点N为所求作的点． 【小问1详解】 解：连接、、、，设和交于点F，连接，则为正五边形的对称轴，如图所示： ∵五边形为正五边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴为正五边形的对称轴． 【小问2详解】 解：连接、，设和交于点F，连接交于点G，连接并延长，交于点N，则点N为所求作的点，如图所示： 根据解析（1）可知，为正五边形的对称轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，正五边形的性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 先化简，再求值：，其中a=． 【答案】2a+6，16． 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答本题． 【详解】解：原式= = =2a+6 当a==1+4=5时， 原式=2×5+6=16． 【点睛】本题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 19. 如图，平分，点在上，且，，垂足分别为，，，判断与有什么数量关系？并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可得，可证，得到，再证，得到，根据线段和差计算即可求解． 【详解】解：， 理由如下： ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 20. 春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品．请你根据下面的信息（如图），回答下列问题． （1）求每个灯笼和每副春联的进价． （2）若超市准备用不超过2450元的资金再购进这两种春联和灯笼共100个（副），最多能购进灯笼多少个？ 【答案】（1）每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元 （2）最多能购进灯笼30个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用： （1）设每副春联的进价是x元，则每个灯笼的进价是元，根据等量关系列分式方程，解方程即可； （2）设购进灯笼m个，则购进春联副，根据题意列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设每副春联的进价是x元，则每个灯笼的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元． 【小问2详解】 解：设购进灯笼m个，则购进春联副， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为30． 答：最多能购进灯笼30个． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，我们可以利用整式乘法中公式变形来解决图形问题．我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 阅读下列材料：若满足，求的值． 解：设，，则，而， 所以， 请仿照上例解决下面的问题； （1）若满足，求的值． （2）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，请计算出图中阴影部分的面积之和． 【答案】（1） （2）图中阴影部分的面积之和为2900 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形面积的计算，掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键． （1）根据题意，设，由材料提示方法，运用完全平方公式变形计算即可求解； （2）根据题意，阴影部分的边长分别为，，由正方形的面积计算公式，完全平方公式的变形计算即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，设， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形与都是正方形， ∴， ∵正方形的边长为，，， ∴，， ∴，阴影部分的面积为：， 根据材料提示，设， ∴，， ∴原式． 22. 【课本再现】我们知道：三角形三个内角的和等于，利用它我们可以推出结论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【定理证明】 （1）为证明此定理，小红同学画好了图形（如图1），写好了“已知”和“求证”，请你完成证明过程经， 已知：如图1，是的一个外角． 求证：． 【知识应用】 （2）如图2，在中，，点D在BC边上，交AC于点F，，求的度数． （3）如图3，直线与直线相交于点O，夹角为锐角，点B在直线上且在点O右侧，点C在直线上且在直线上方，点A在直线上且在点O左侧运动，点E在射线CO上运动（不与点C、O重合）．当时，平分，平分交直线于点G，求的度数． 【答案】（1）如图1中，∵，， ∴． （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和为180度，平角为180度，等量代换即可证明； （2）利用三角形外角的性质先求出，再根据平行线的性质可得 （3）分点E在点O的上方和下方两种情况，画出图形，利用三角形内角和定理、外角的性质、角平分线的定义，分别求解即可． 【详解】解：【定理证明】 （1）略 【知识应用】（2）如图2中，∵， ∴， ∵， ∴； （3）①当点E在点O的上方时，如图3-1： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， 即． ②当点E在点O的下方时，如图3-2： 由题意知，，，， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质，熟练运用等量代换及分类讨论思想是解题的关键． 六、解答题（本大题12分） 23. 如图，是等边三角形，，是的角平分线，与相交于点，点在线段上，点在边上，且，连接，． （1）______，______； （2）判断和的数量关系，并说明理由； （3）求证：； （4）如图，若点是射线上任意一点，点在射线上，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】（1）， （2），理由见解析 （3）见解析 （4）的度数为或 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，由四边形的内角和定理即可求解； （2）根据题意可证，得到，由含角的直角三角形的性质即可求解； （3）根据题意可证，由此即可求解； （4）根据题意，分类讨论：如图所示，当点在线段上时，，是等腰三角形；如图所示，当点在射线上时，，是等腰三角形；结合上述证明，运用角度的和差计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，是角平分线， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，是角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得，，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图所示，当点在线段上时，，是等腰三角形， ∴， 由（3）的证明可得，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点在射线上时，，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）的证明可得， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理的运用，三角形外角的性质，等腰三角形的定义和性质等知识的综合，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末质量监测八年级数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 窗花是中国古老的民间艺术之一，下列窗花作品中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 5. 乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：安，爱，我，高，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 美丽 B. 美丽高安 C. 我爱高安 D. 高安美 6. 如图，在中，，，点为的中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 某新型冠状病毒的直径大约为米，这个数据用科学记数法可表示为_________ ． 8. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则__________. 9. 已知，，求______. 10. 已知展开式中不含的一次项，则的取值为______. 11. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积为24，腰的垂直平分线分别交，于点E，F．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为__________. 12. 中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为_________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）因式分解：． 14. 油纸伞的制作技艺十分巧妙，已列入江西省省级非物质文化遗茂图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？请说明理由． 15. 先化简，再求值：其中，． 16. 以下是小明同学解分式方程． 解：……第一步 解得……第二步 检验：当时，……第三步 所以，原分式方程的解为……第四步 （1）以上解题过程中，第一步变形的依据是______； A.不等式的基本性质 B.等式的基本性质 C.分式的基本性质 （2）老师批改后说答案错了，请问是从第_____步开始出现错误，请写出该方程的正确求解过程． 17. 如图，在正五边形中，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点A求作此正五边形的对称轴； （2）如图2，点M在上，且，在AE边上求作一点N，使． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 先化简，再求值：，其中a=． 19. 如图，平分，点在上，且，，垂足分别为，，，判断与有什么数量关系？并说明理由． 20. 春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品．请你根据下面的信息（如图），回答下列问题． （1）求每个灯笼和每副春联的进价． （2）若超市准备用不超过2450元的资金再购进这两种春联和灯笼共100个（副），最多能购进灯笼多少个？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，我们可以利用整式乘法中公式变形来解决图形问题．我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 阅读下列材料：若满足，求的值． 解：设，，则，而， 所以， 请仿照上例解决下面的问题； （1）若满足，求的值． （2）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，请计算出图中阴影部分的面积之和． 22. 【课本再现】我们知道：三角形三个内角的和等于，利用它我们可以推出结论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【定理证明】 （1）为证明此定理，小红同学画好了图形（如图1），写好了“已知”和“求证”，请你完成证明过程经， 已知：如图1，是的一个外角． 求证：． 【知识应用】 （2）如图2，在中，，点D在BC边上，交AC于点F，，求的度数． （3）如图3，直线与直线相交于点O，夹角为锐角，点B在直线上且在点O右侧，点C在直线上且在直线上方，点A在直线上且在点O左侧运动，点E在射线CO上运动（不与点C、O重合）．当时，平分，平分交直线于点G，求的度数． 六、解答题（本大题12分） 23. 如图，是等边三角形，，是的角平分线，与相交于点，点在线段上，点在边上，且，连接，． （1）______，______； （2）判断和的数量关系，并说明理由； （3）求证：； （4）如图，若点是射线上任意一点，点在射线上，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $