广东省梅州市兴宁市五校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题

2025届高三数学质量检测试卷20250113 一、单项选择题（每小题5分，共40分.每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分） 1集合=体<g-w 则PmQ=() A.(0,2) ( c() D.0 2.已知z=3-4i,则|z+zi=() A.29+3i B.9+31 C.1+3i D.8-4i 3.6x-》展开式中的常数项为《) A.135 B.15 C.-15 D.-540 4.已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则该纸片扫过的区域形 成的几何体的表面积为() A.2π B.πx+8 C.2π+8 D.4π+8 5.设直线(a+1)x-ay-1=0(a∈R)与圆x2+y2=4交于A,B两点影：则AB例的取值范围为() A.[2.2] 8.[54 c240 022,4 6,已知函数f)=sm@r一刊的部分图象如图所示其中-7s<号则田的单调递增区间为 [re2寻ez c[k-名+8引，ke2 7已知0为坐标原太，双重线E号号-10>0620)的左，右焦点分别为尔尽，过女民的直战 1与E的右支交于点P、Q,设△PFF与△QFE的内切圆圆心分别是M、N,直线OM、ON的斜华分 别是kk,则k2=22-3,则双曲线E的离心率为() A.2W2 ·B.√2+1 C.5 06 2 8.己知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x),满足'(x)<f(x),且f(x+3)为偶函数 fx+)为奇函数，若f9+f图=多，则不等式f()>的解集为（) A.（-o,0) B.(0,+∞) c.(1,+oo） D.(6,4o) 二、多项选择题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对 但不全得部分分，不选或有选错的得·分.) 9.我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有普走者，日增等里，首日行走一百里，九日 共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第天行走了一百里， 以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值。关于该问题，·下列结 论正确的是（) A.d=15 B.此人第三天行走了一百二十里 C.此人前七天共行走了九百一十里 D.此人有连续的三天共行走了三百九十里 10,某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行 连续】个月的调研，得到y这两企业1个月利润增长指数折线图（如下图所示）.下列说法正确的 是() 指数 o甲企业 82% ·乙企业 80% 78% 01234567891011月 A.这11个月甲企业月利润增长指数的平均数超过82% B.这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82% C.这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定 。在这1Ⅱ个月巾任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于2%的概率为号 11.如图正方体ABCD-4B,CD,的棱长为2，若点M在线段BC上（不含端点）运动，则下列结论正 确的为() D A.直线AM可能与平面ACD,相交 M B.三棱锥A-MCD与三棱锥D-MCD的体积之和为定值 C.当CM⊥MD,时，CM与平面ACD,所成角最大 B D.当△AMC周长最小时，三棱锥M-CB,D,的外接球表面积为I6π 三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分） 12.曲线f(x)=x+血x在x=1处的切线方程是 13.抛物线E:y2=2px(P>0)的焦点为F,点A是E的准线与坐标轴的交点，点P在E上，若∠PAF=30°， 则sin PFA= 14.函数y=[称为高斯函数，☒表示不超过x的最大整数，如[0.9=0，[g99]=1.已知数列{a,}满 足a=3,且a,=n(a-a),若b,=ga],则数列{b}的前2025项和为 四、解答题（本大题共5小题，共门分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(3分)在aMBC中，角4，A,C所对的边分别为a,i,c已知ban4+banB=5c cosA (1)求∠B的大小 (2)若a=4,c=3,直线P0分别交AB,BC于P,Q两点，且直线P2把△ABC分成面积相等的两 部分，求P的最小值： 16.(15分)在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有等奖券1张，可获价值50元的奖品：有 二等奖券3张，每张可获价值10元的奖磊：其余6张没有奖。某顾客从这10张中任抽2张。 (1)该顾客中奖的概率 (2)该顾客获得的奖品总价值X(元)，的分布列及期望。 17.(I5分)如图三棱柱ABC-ABC中，侧面BB1CC是菱形， 其对角线的交点为O,且AB=AC,AB⊥B1C (1)求证：A01平面BB1CC (2)设∠B1BC-60°，若直线AB1与平面BB1CC所成的 角为45，求三面角4-B,C-B的余弦值： ·4好，41 18.(17分)已知f(x)=e+x2-x,g(x)=x2-ax-b,a,beR (1)若f(x)与g(x)在x=1处的切线重合，分别求a,b的值 (2)若beR,f(b)-f(a)≥g(b)-g(a)恒成立，求a的取值范围. 19.(17分)已知在曲线C: +若=a>60上任意-点)处的切数人为受+登三引. 若过右焦点F的直线交椭圆C:千+1于PQ两点，已知在点P0处切线相交于G (1)求G点的轨迹方程： (2)若过点F且与直线1垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆C于E,H两点， 证明PE研可 为定值。 (3)在(2)的条件下，四边形EQHP的面积是否有最小值，若有请求出最小值：若无说明理由. 2025届高三数学质量检测试题参考答案20250113 1-8:(每小题5分)ABAC DDCA 9-11:(每小题6分)9.BCD 10.AC 11.BCD 12-14:(每小题5分)12y=2x-1 13 14.4968 3 15解，(D因为bam4+btmB=Ee 所以血B血4+si如B血B=5s血C cosA cos4 cos B cosA 2分 即sinB血4cosB+cos AsinB=sin血(4+）_ =sin B sinC cos Acos B cos Acos B. cos Acos B =sinc cos A 4分 所以anB=5,5分 又∠B∈(0，x),故∠B= 3 6分 2223x4x 2)由题意不妨设BP=x0=yP2=z,由Sne=号y,3-x ,得y=6…9分 2 由会流定题、*不等湘子=2+少-29×号24-92g-习=9=6， n12分 等号成立当且仅当x=y=√6<3，故所求P见的最小值为6 ”13分 6记客+关为件A,圆0-S艺CC-碧号期暖客中笑摄率为号 5分 (2)X所有可能的取值为（单位：元）：0,10,20,50,60， 6分 ax0-器号x0若-子x0-登吉 11分 故X的分布列为： 10 20 50 60 13分 2 151515 烈物0=010号+20t50号+0号=16 15 15分 17解：(1)证明：.：四边形BB1CC是菱形，，B1C⊥BC 1分 ,AB1B1C,ABNBC1=B,AB,BCC平而ABC,,.B1C⊥平面ABC1 3分 1 又AOC平面ABC: ∴B1C⊥AO 4分 ,AB=AC1,O是BC的中点，，AO⊥BC n6分 又B1CnBC1=O,BC,BCC平面BB1CC,,AO⊥平面BB1C1C 4n7分 (2)解：AB∥A1B,直线A1B1与平面BB1C1C所成的角等于直线AB与平面BB1CC所成的角8分 :A0⊥平面BBCC,直线AB与平面BB1CC所成的角即∠ABO,∠ABO-45°， 9分 不妨设菱形BB1CC的边长为2，则在等边三角形BB1C中，BO-√5，CO=B1O=1, 在R△ABO中，AO=BO=5,如图，以O为坐标原点，分别以OB,OB1,OA所在的直线为x,片，：轴 建立空间直角坐标系，则R(0,10),C(0,-l0),G5,0,0)A0,05),4(-5,1V月 …10分 BA=(5,0,V),BC=(-5,-1,0小，设平面A1BmC的法向量为n=(y, 4n11分 ”l- 则有 12分 因为A0L平面BB1CC,所以Oi=(0,0,V)即为平面B1C1C的一个法向量， 13分 真6a网0品5时数=4-4g-8n 14分 所以二面角4-BAG-B的余弦值为-5 15分 18解：(1)因为f(x)=e+x2-x,g()=x2-ar=b, 所以f()=c+2x-1,g'(x)=2x-a, …2分 因为f()=g(@)且f'()=g), 4分 即c+2-1=2-a且e+12-1=12-1×a-b, w6分 解得a=I-e,b=0. m8分 (2)解：因为f(b)-f(a)≥g(b)-g(a)对VbeR恒成立， ∴e+62-b-(e+a2-a)2(b2-ab-b)-(a2-a2-b)对beR恒成立， 9分 即e-e°+(b-a(a-)≥0对vbeR恒成立， m10分 令H(b)=e°-e°+(b-a(a-),H(b)=e°+a-l 411分 因为H(a=O,所以a是H(b)的最小值点，且a是H(b)的极值点， 12分 2 即(a)=e°+a-l=0,因为H'(a)在R上单调递增，且H'(O)=0,所以a=0, 13分 下面检验：当a=0时，H(O)=。-b-120对beR恒成立。 414分 因为(6)=e-1,所以当b<0时H(b)<0,当b>0时H(b)>0, 15分 所以H(b)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增。 m16分 所以H(6)≥H(O)=0,符合题意，所以a=0. 17分 19解：(1)由己知a=2,b=V5,c=1, 41分 当直线的率不在，期直线：=1时，P写》-引低思有 ① 2分 小-引*手+r经@险000：一 3 当直线1的斜率存在时，设直线1：y=k(x-),P(x,y),2(x,y),G(,) [y=k(x-) 联立 +上=1酒去》得3+4)r-8然x+4-12=0, 4 3 则+3器+%=5少小2品 82 4分 过点P刀的切线为：等+号=1，学+学=1回 3 4 过拉4以)的切线为：苦+学=1，空+学1@， ⑨海5+6西4+为凸=28贴24壁-2得23-2=6+8包 3 4+4k2 13 ®-⊙角色-西+以-为业=0，整理释k=二兰=-3站 3 x-x4yo e-6 3 贷+爱-小-0，国为莞40，降-2-0,4 8分 综上得G点的轨迹方程为：x=4: 9分 8k2 2)由（1)可得名+名3+4级 42-12 3+4 则P0V+G+-4x%=1+ 8k2 4 42-12120+k2) 3+4k 3+4k2 3+4k2 11分 120+) 3k2+4 13分 1+13+424+3k2 “7@*面+府t网及即P2为定值品 1 14分 gm6,4司】 23+4k 71 7k271 222r+25g+222+是+25 15分 因为12+是222是-24，则2+是+25249， 则0、 7 -≤7=111.7 71124 一2 2+2+25497,则222张2+12 +2522*77 16分 当且仅当122=吕， ，即k=山时，等号成立， 所以四边形EDP的面积存在最小值，且为华 4n17分