山西省名校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题

高二期末联考 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知数列1，一3,5，一7,9，…，则该数列的第211项为 A.-421 B.421 C.-423 D.423 2.已知点M是点N(6,7,8)在坐标平面Oxz内的射影，则OM= A.100 B.85 C.113 D.10 3.已知数列a,)满足a,=sin(受+)，其前n项和为S,则Ss= 2 c D号 4.若直线2x十(m一1)y十4=0与mx十3y十6=0互相平行，则m= A.-2 B.3 C.-2或3 D.-3 5.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就 与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层 多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为am,则a1g= A.210 B.209 C.211 D.207 6.经过点(3,0)所作曲线y=x2e的切线有 A1条 B.2条 C.3条 D.4条 【高二数学第1页（共4页）】 7.如图，在三棱柱ABC-A1B,C1中，侧面ABB:A1为菱形，侧面CBB,C1为矩形，平面 ABB1A1⊥平面CBB1C1,AB1∩BA1=F,E为BC的中点，∠ABB1=60°，AB=2,若点C 到直线EF的距离为2，则异面直线EF与A,C,所成角的余弦值为 A号 B号 C 吗 8.已知抛物线C:y2=12x的准线与坐标轴的交点为H,F为抛物线C的焦点，点P在抛物线 C上，且PH|=k|PF|,当k最大时，点P恰好在以H,F为焦点的双曲线上，则该双曲线 的离心率为 A3-√2 B.√2+1 C.3+2√2 D.22-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列导数运算正确的是 A.(sin 3x)'-3cos 3x B.(e2)'=2e C[ln(2x)]'-马 D.(x2·2)'=2x·2+x2·2 10.已知圆C:x2+y2-6x十8y=0与直线l:3x-4y+10=0,点P在圆C上，点Q在直线1 上，则 A直线l与圆C相离 B.过点(1，一1)的直线被圆C截得的弦长的最小值为2√3 C.PQm=2 D.从点Q向圆C引切线，切线长的最小值是2√6 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B1C1D1中，E,F分别是棱B,C1,C1D1的中点，P 在线段B,D,上，Q在底面ABCD内，则下列结论正确的是 A.三棱锥PQEF的体积为定值 B若PQ平面CEF,则点Q的轨迹长度为2 C.存在PQ⊥平面CEF D.平面(EF截以P为球心，PQ长为半径的球所得的截面面积的 Q。 取值范周为招， 【高二数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 x2. y 12.已知双曲线C:16一3=1的两个焦点为F1,F,双曲线C上有一点P,若PF,=10,则 |PF2=▲ 13.已知某商品成本C与销量g的函数关系式为C=100十2g,单价p与销量g的函数关系式为 力=10-石9，则当利润最大时，9=▲一· 14.若正整数m,n的公约数只有1，则称m,n互质.对于正整数n,p(n)是小于或等于n的正整 数中与n互质的数的个数.函数p()以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如 p3)=2,则p9=▲一若数列号}的前n项和为S,则5.=▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f)=号-mx+红. (1)若f(x)在R上不单调，求实数m的取值范围； (②)若m=号，求fx)在[-1,4上的值域 16.(15分) 图1是直角梯形ABCD,ABCD,∠D=90°，AB=2,DC=3,AD=√3，DE=1,以BE为折痕 将△BCE折起，使点C到达点C,的位置，且二面角A-EBC1的平面角为120°，如图2. (1)证明：AC1⊥BE. (2)求平面C1AD与平面C1BE夹角的余弦值. 图2 【高二数学第3页（共4页）】 17.(15分) 已知函数f(x)=e一a.x2在R上没有极值. (1)求实数a的取值范围； (2)若f(e一mx)≥f(一x十ln(m.x)对x∈(0，十o∞)恒成立，求实数m的取值范围. 18.(17分) 已知椭图C苔+ 若=1a>6>0)上-点P厄，32) 到两焦点的距离之和为4√2. (1)求椭圆C的方程. (2)不经过点Q(2,0)的直线1与x轴垂直，与椭圆C交于A,B两点，若直线BQ与椭圆C 的另一交点为D,则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请 说明理由. 19.(17分) 数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记 为n(n∈N),n次扩充后的新数列记为{an,项数记为P。,所有项的和记为Sm扩充规则为 每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列{ao}={a,b,c}经过一次扩充后得到数列{a1}= {a,a十b,b,b十c,c},P1=5,S1=2a十3b十2c.已知数列{ao}={-2,1,2}. (1)求{ag},Pg,Sg; (2)求Pn,Sm; (3)求数列{P.logs S}的前n项和Tm. 【高二数学第4页（共4页）】 高二期末联考 数学参考答案 1.B该数列的通项公式为a.=(一1)+1(2n-1),所以a211=(一1)212(2×211一1)=421. 2.D由题意知M(6,0,8),所以OM1=√6+0+82=10. 3C因为a,是周翔为4的周期数列，且a,-号a:=令a,=一受 a,=号S,=0,所以 S,w=a1=3 2 4.A由题意知m(m一1)一2×3=0，所以m=一2或m=3.当m=3时，两直线重合，不符合 题意；当m=一2时，两直线平行. 5.B因为a1=2,a2-a1=3,a3-a2=4,…,am-am-1=n十1， 所以a.=2+3十4+十n+1=nm,+3》,所以a=209. 2 6.C因为y'=(x2十2x)e,所以曲线y=x2e在点(xo,xe)处的切线方程为y-xe0= (x+2xo)e·(x-xo).将(3,0)代入，得xoe·(x6-2x。-6)=0.因为△>0，所以方程 x2-2x一6=0有两个不同的根，且根不为0，所以方程xoe0·(x6-2xo-6)=0共有3个 不同的根，即经过点(3,0)所作曲线y=x2e的切线有3条. 7.D取BB1的中点O,连接AO,则AO⊥BB1,因为平面 ABB1A1⊥平面CBB,C,且平面ABB1A1与平面CBB,C1交 于BB1,所以AO⊥平面CBB,C. 如图，以O为坐标原点，分别以OB,OA的方向为x轴、z轴的 正方向建立空间直角坐标系.设BC=2a(a>0),则A1(一2,0， 5).E1a,0,F(-0,号），C(-1,2a,0,所以成= (-,-a,）C=(-2a,0. 所以点C,到直线EF的距离d= a2+3 解得a=1.因为成=(-多-1.号）)，A,C=12,-5). 所以cos(E求，A,C)1= IEF.A:Cl 52 EFIA C8 即异面直线EF与A,C所成角的余弦值为，2. 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 8.B过点P作准线的垂线交准线于点M(图略)，则|PM=|PF|,由PH|=kIPF|可得k =-设P(则= PHI (+3)+ V12 令t- 12 +3,则k= √02+12(t-3) √+号要-√6(-)十.当1=6，即1-总+3=6时取到 t 12 最大值，此时yo=士6.不妨设P(3,6),因为双曲线的焦点坐标为（士3,0），所以可设双曲线 _y2 的方程为。1将P(3,6)代人上式，求得。=27-182.设该双曲线的离心率 27-1823-2w2=3+22,所以e=2+1. 9 1 e,则e2= 9.AC令u=3x,y=sinu,因为u,=3,y。=cosu,所以y=y·u=3cosu=3cos3x,故A 正确：因为e为常数，所以(e)/=0,故B错误；令u=2x,y=n,因为M:=2,y=,所以 y=y·=2·1=1,故C正确：因为(2/=21n2所以(x2·2y=2x·2十x2· 2ln2,故D错误 10.ACD圆C的标准方程为(x一3)2+(y十4)2=25，圆心为C(3,-4),半径r=5,圆心C到 直线L的距离d=13X3-4X(一)+10=7>5，所以直线L与圆C相离，故A正确， √32+(-4) 因为点M(1,一1)在圆C内部，且|CM=√(3-1)2+（一4+1）=√13，所以过点(1，一1) 的直线被圆C截得的弦长的最小值为2W52一（√3）2=4V3,故B不正确： 因为圆心C到直线l的距离d=7,所以|PQ|mm=d一r=2,故C正确； 从点Q向圆C引切线，设切点为N,连接CN(图略)，则CN⊥NQ,则INQ|= √TCQ2一1CN2=√TCQ2一25，当CQ⊥1时，|CQ取得最小值，此时|NQ|取得最小值， 即|NQmm=2√6，故D正确， 1,ABD因为EF/B,D1,所以△PEF的面积为定值号XE× 2 D 2_1 之=之因为平面A,B,CD∥平面ABCD,所以三棱锥Q PEF的高为定值2，所以Vag=V。g=弓×号×2=号，故 Q。 A正确. 如图，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD的方向为x 2 轴、y轴、x轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0,2,0),E(1,2,2),F(0,1,2).设平面 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 CEF的法向量为n=(xoy0xo),因为C它=(1,0,2)，C京=(0，-1,2)， CE·n=xo十2z0=0, 所以 CF.n=-y%+2xo=0 令0=1，得n=(-2,2,1, 设P(a,a,2),a∈[0,2]，Q(x,y,0),x,y∈[0,2]，则PQ=(x-a,y-a,-2).因为PQ∥ 平面CEF,所以PQ·n=一2x十2a十2y-2a-2=0,即点Q的轨迹方程为x-y十1=0. 因为点Q在底面ABCD内，所以点Q的轨迹长度为2，故B正确. 假设存在PQ1平面CEF,则Pd/m.由二受=2=-2，得x=4+a≥4y=a一4<0， 所以不存在PQ⊥平面CEF,故C错误 因为B,D1平面CEF,所以点P到平面CEF的距离d为定值.因为D,F=(O,1,0),所以 2Dn名因为PQe2.23,所以该球的半径R=PQ1∈[2，.23 n 因为截面圆的半径r满足=R:-,所以户∈[号，19] 所以截面面积的取值范围为 [号，10]，故D正确 12.18因为|PF,|=10<a+c=11,所以|PF2|-|PF,|=2a=8,故PFz|=18 13.14设利润为y,则y=0-C=(100-石9)9-(10+2g)=-692+98g-10, 因为y=-29+98,所以当0<q<14时y>0,当9>14时y<0, 故利润最大时，q=14, 14.6:号-（号）易知(9)=6.因为2为质数，在不超过2的正整数中，所有偶数的个数 为2"-1，所以p(2”)=2”-2-1=2”1 因为3为质数，在不超过3”的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为3”一， 所以93)=3-3-2×3，所以器=2-×（号》”，所以数别 (3) 是等比数列，所以S. 2-] 引1-（号）门--() 1-号 15.解：)因为f(x)=-mx2+4x,所以f(x)=x2-2mx+4。…1分 因为(x)在R上不单调，所以方程f'(x)=0有两个不同的根，…3分 则△=（一2m)2一16>0，解得m>2或m<一2，即实数m的取值范围是（一∞，一2）U(2, 十∞). 6分 (2)因为m=号，所以f(x)=x2-5x+4=(-1)(x一4).…8分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 由f'(x)>0,得x<1或x>4,由f'(x)<0,得1<x<4, 所以函数f(x)在（一1,1）上单调递增，在(1,4)上单调递减. …10分 因为-D=-告f)-吕40=号， …12分 所以fx在[-1,4上的值坡为[-智，] …13分 16.(1)证明：取BE的中点O,连接AO,C1O,AE. 在梯形ABCD中，可知AB=BC=EC=AE=BE=2,所以△C1BE,△ABE为正三角形， 所以C1O⊥BE,AO⊥BE.… …3分 因为C1O∩AO=O,且C1O,AOC平面C1AO,所以BE⊥平面C1AO, 因为AC1C平面C1AO,所以AC1⊥BE.…6分 (2)解：由(1)知二面角A-EB-C1的平面角为∠AOC1,即∠AOC1= 120°.… …7分 如图，以O为坐标原点，分别以OA,OB的方向为x轴、y轴的正方向 建立空间直角坐标系：则Aw5,0.0).B01.0),E0,-1,0),D(停。 o.c(-o》 …9分 设平面C1AD的法向量为m=(x,y,z), 因为0-(-语.-o).ac-(-39o,》 AD,m=-5-3 2x-2y=0, 所以 令y=1,得m=(一√3,1，-3).…11分 2=0, 设平面C,BE的法向量为m=19),因为酝=0，-2,0).0C-(-.0,》。 B.n=-2y1=0, 所以 0C·n=-3 令之1=1，得n=(W3,0,1).…13分 2x1+之x1=0.酒 m·n=-6=_33 因为cos(m,n)=mm一2√丽 13 所以平面CAD与平面CBE夹角的余弦值为3 …15分 17.解：(1)因为f(x)=e一ax2,所以f(x)=e-2ax.…1分 因为f(x)在R上没有极值，且f'(0)=1>0,所以f'(x)≥0在R上恒成立.·2分 设gx)-云则g'x)=2红c2延-红2e 4x2 2x2 …3分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 之0时，a≤号对z∈(0，十o四)恒成立， 4分 因为g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以g(x)m=g(1)=,所以a≤ e 2；5分 当x<0时，a2对x∈（一∞，0）恒成立，因为g(x)在(-∞，0)上单调递减，且g(x)<0 所以a≥0. 故0心a≤号 …7分 (2)由(1)知f(x)在R上单调递增. …8分 因为f(e-mx)≥f(-x+ln(mx),所以e-mx≥-x+ln(m.x),即e+x≥eu)+ ln(,江）.…10分 设h(x)=e十x,则h'(x)=e+1>0,所以h(x)在R上单调递增，…11分 所以h(x)≥h(ln(m.x)等价于x≥n(m.x).…I2分 因为x>0,所以m>0, 所以x≥ln(m.x)=lnm十lnx,所以lnm≤x一lnx恒成立.…13分 令p(x)=x-lnx,则p'(x)=1-上-二1， 所以9(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以p(x)>≥9(1)=1， 所以lnm≤1，即m≤e,故m的取值范围为(0，e]. …15分 18.解：(1)由题知a=2√2，…1分 把P(2,3)号)代人椭圆C的方程，得b=6,3 故椭圆C的方程为后+苦 6 =1.…4分 (2)由题知直线BQ的斜率不为零，设直线BQ的方程为x=my十2，B(x1,y1),D(x2,y2), A(x1,一y1)，…6分 联立方程组 消去x整理得(3m2+4)y2+12my一12=0，…9分 x=1y+2, 12 则y1+y2= 12m 3m2+4y1y2= 3m2+4 11分 直线AD的方程为y十y,=+当（红一x,. 12分 x2-x1 由椭圆的对称性可知，若存在符合的定点，则该定点一定在x轴上.…13分 令y=0,得x=（二y4+z1=1y十y-my+2+my:+2)y y1十y2 y1十y2 y2十y1 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 -1224m 2my1y+2(y十y2) 2m· 3m2+43m2+4 -12m =4.…16分 y2+y1 3m2+4 故直线AD过定点(4,0).…17分 19.解：(1)因为{ao}={-2,1,2},所以{a1}={-2,-1,1,3,2},P1=5,S1=3；…1分 {a2}={-2,-3,-1,0,1,4,3,5,2},P2=9,S2=9:…3分 {a3}={-2,-5,-3,-4,-1,-1,0,1,1,5,4,7,3,8,5,7,2},P3=17,S3=27.…5分 (2)因为数列经每一次扩充后是在原数列的相邻两项中增加一项， 所以经第n十1次扩充后增加的项数为P。一1， 所以P+1=P。十(P.-1)=2Pm一1，所以Pw+1-1=2Pn-2=2(P.-1).…8分 因为P,=5,所以{P.一1}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以Pn一1=4X2"-1=2m+1,所以Pn=2+1十1.…10分 设第n次扩充后数列的各项为一2，a1,a2,aa,,a,2,则Sm=一2十a1十a2十a3十…十a, +2. 因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以Sn+1=-2+(-2+a1)+a1+(a1+a2)+a2+(a2+a3)+a3++a,+(a,+2)+2 =-2×2+3a1+3a2+3a3+…+3a,+2×2, 所以S.+1=3Sn一（一2十2）=3S.… …12分 因为S2=3S1,S1=3,所以{S.}是首项为3，公比为3的等比数列，故S.=3”.…13分 (3)因为P.log:S.=n(2+1+1), 所以T.=(1×22+2×23+…+n×2+1)+(1+2+…+n) =(1X2+2X23+…+nX2+1)+n(n+1 2 …14分 令M=1×22+2×23+…+nX2+1,则2M=1×23+2×2+…+n×2m+2, 两式相减得-M=22+2+…十2+1一0·2+2=21二2）-1·2+2=（1-n)2+:-4, 1-2 所以M=(n一1)2+2+4，… …16分 故T.=(n-1)2+2+4+nn+1D 2 17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】