河南省商丘市睢县县城中学联考2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年第一学期期末考试试卷 九年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．计算sin45°﹣tan260°的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1 3．一元二次方程x2﹣5x＝0的解是（　　） A．x＝5 B．x1，x2 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝x2 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列关于一元二次方程ax2+bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程有一个实数根 6．若α是直角三角形的一个锐角，sinαcosα，则（　　） A． B． C． D． 7．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　） A．x（x﹣1）＝28 B．x（x﹣1）＝56 C．2x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝4，则点M到直线l的距离为（　　） A． B．2 C． D．4 9．已知二次函数y＝3（x﹣2）2+1，以下结论错误的个数为（　　） ①其图象的开口向上； ②其图象的对称轴为直线x＝﹣2； ③其最大值为1； ④当x＜2时，y随x的增大而减小； ⑤顶点坐标为（﹣2，1）． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（　　） A．2：1 B．1：2 C．3：2 D．2：3 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x＝　 　． 12．一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为 　 　颗． 13．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣6）关于原点对称的点P′的坐标是　 　． 14．如图，在▱ABCD中，点E、F分别为边AD、BD上的点，EF∥AB．若DEEA，EF＝3，则CD的长为　 　． 15．如图，四边形ABCD是菱形，点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G， （1）四边形OGEF的形状是 　 　． （2）若，，连接FG，则FG的最小值为 　 　． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算： （1）（1﹣π）0+||； （2）解方程：3x（x﹣1）＝2﹣2x． 17．（8分）2024年10月27日，2024郑州马拉松在河南省郑州市国际会展中心会展路鸣枪起跑。参赛选手通过比赛，彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神，比赛设置“全程马拉松”“半程马拉松”两种不同项目，甲、乙、丙三人分别参加了其中一个项目． （1）甲恰好参加的是：“半程马拉松”的概率是 　 　； （2）请画树状图求“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率． 18．（9分）已知关于x的方程x2﹣mx0有两个实数根． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． （2）若平行四边形ABCD的两边ABAD的长是已知方程的两个实数根，当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求此菱形的边长． 19．（9分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，连接EF，CE，CF，若EC⊥EF． （1）求证：△AFE∽△BEC； （2）若AB＝8，求BC的长． 20．（9分）如图，线段AC、BD表示两建筑物的高，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，从B点测得A点的仰角为30°，从B点测得C点的俯角为45°，已知BD＝69米，求两建筑物之间的距离CD与建筑物AC的高．（结果保留根号） 21．（10分）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每降低1元，每周可多卖出20件． （1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则销售单价为多少元？ （2）销售单价应为多少元，该店铺每周销售利润最大？最大销售利润为多少元？ 22．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）当y＜0时，写出x的取值范围； （3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值． 23．（12分）综合与实践 【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AB＝6，AD＝5．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为N'． 【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，MN'交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形重叠部分四边形MEDF的形状是 　 　，面积是 　 　； （2）如图③，当点N落在AD边上时，BC恰好经过点N，N'C与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边形MN'GN的面积； 【引申探究】（3）当点N'落在矩形AMND的对角线MD所在的直线上时，直线N'C与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学参考答案 一、选择题 1-5 ACCCB 6-10 CBACA 二、填空题 11．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x＝　3　． 12．一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为 　35　颗． 13．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣6）关于原点对称的点P′的坐标是　（﹣2，6）　． 14．如图，在▱ABCD中，点E、F分别为边AD、BD上的点，EF∥AB．若DEEA，EF＝3，则CD的长为　9　． 15．如图，四边形ABCD是菱形，点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G， （1）四边形OGEF的形状是 　矩形　． （2）若，，连接FG，则FG的最小值为 　　． 三、解答题 16． 解：（1）原式＝12 ＝1； （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x， 3x（x﹣1）+2x﹣2＝0， 3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x+2）＝0， ∴x﹣1＝0或3x+2＝0， ∴x1＝1，x2． 17． 解：（1）由题意得，甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是． （2）将“全程马拉松”“半程马拉松”分别记为A，B， 画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目的结果有2种， ∴“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率为． 18． （1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0， ∴无论m取什么数，方程总有两个实数根； （2）解：∵▱ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴当Δ＝（m﹣1）2＝0时， 即m＝1时，▱ABCD是菱形， 把m＝1代入已知方程可得：x2﹣x0， 解得：x1＝x2． ∴此菱形的边长为． 19． （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠FAE＝∠EBC＝90°， 又∵EC⊥EF， ∴∠CEF＝90°， ∴∠AEF+∠BEC＝90°， ∵∠BCE+∠BEC＝90°， ∴∠AEF＝∠BCE， ∴△AFE∽△BEC； （2）解：如图： 由（1）得△AFE∽△BEC， ∴， ∵E、F分别是AB、AD的中点，且AD＝BC， ∴，， ∴， ∴， ∵AB＝8， ∴（负值舍去）． 故BC的长为：． 20． 解：如图，过点B作BE⊥AC于点E， 则CE＝BD＝69米， 在Rt△BCE中，∵∠CBE＝45°， ∴CE＝BE＝69米， ∴CD＝BE＝69米， 在Rt△ABE中，∵∠ABE＝30°，tan∠ABE， ∴AE＝BE•tan∠ABE＝69×tan30°＝6923（米）， ∴AC＝AE+CE＝69+23（米）， 答：两建筑物之间的距离CD为69米，建筑物AC的高为（69+23）米． 21 解:（1）设销售单价为x元,由题意得: (x﹣50)×(20+200)＝7500, 整理得：﹣x2+140x﹣4875＝0, 解得:x1＝65,x2＝75, ∵尽可能让利于顾客, ∴x2＝75不符合题意, ∴x＝65． ∴销售单价为65元． （2）设该店铺每周销售利润为W元，由题意得: W＝(x﹣50)×(20+200) ＝﹣20x2+2800x﹣90000, ∵a＝﹣20＜0,抛物线开口向下，对称轴为直线x70, ∴当x＝70时,W有最大值，最大值为: ﹣20×702+2800×70﹣90000＝8000(元), ∴销售单价应为70元，该店铺每周销售利润最大,最大销售利润为8000元． 22． 解：（1）∵二次函数的对称轴是直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2， 将A（﹣1，0）代入y＝x2﹣2x+c中， 解得c＝﹣3． ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点， A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴B（3，0）， ∴当﹣1＜x＜3时，y＜0， ∴当y＜0时，x的取值范围为﹣1＜x＜3； （3）①若a+1≤1，即a≤0时， 则当x＝a+1时，函数值最小， ∴（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a， 解得：a＝1或a＝1（舍去）； ②如a＜1＜a+1，即0＜a＜1时， 则当x＝1时函数值最小， ∴1﹣2﹣3＝2a， 解得：a＝﹣2（不合题意）； ③若a≥1， 则当x＝a时函数值最小， ∴a2﹣2a﹣3＝2a， 解得：a＝2或a＝2（舍去）， ∴a的值为1或2． 23． 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝6，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， 由折叠的性质得：四边形ADNM和四边形BMN'D是矩形， ∴AM＝BMAB＝3，AD∥MN，BD∥MN'，∠ADN＝∠N＝∠DN'M＝90°，MN＝AD＝5， ∴四边形MEDF是平行四边形， 由旋转的性质得：∠BDN'＝∠ADN＝90°，DN＝DN'， ∴∠BDN'﹣∠BDE＝∠ADN﹣∠BDE， 即∠EDN'＝∠FDN， ∴△DEN'≌△DFN（ASA）， ∴DE＝DF， ∴平行四边形MEDF是菱形， ∴DE＝ME， 设DE＝ME＝x，则AE＝5﹣x， 在Rt△AME中，由勾股定理得：32+（5﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴DE， ∴S菱形MEDF＝DE•AM3， 故答案为：菱形，； （2）在Rt△BMN中，BM＝3，MN＝5， ∴BN4， ∴CN＝BC﹣BN＝1，S△BMNBM•BN3×4＝6， ∵∠MNB+∠CNG＝180°﹣∠MND＝90°，∠MNB+∠BMN＝90°， ∴∠BMN＝∠CNG， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△CNG∽△BMN， ∴（）2＝（）2， ∴S△CNGS△BMN6， ∵S矩形BCN'M＝BM•BC＝3×5＝15， ∴S四边形MN'GN＝15﹣6； （3）分两种情况： ①点N在线段DM上时，如图④， ∵DM，MN'＝BC＝5， ∴DN'＝DM﹣MN'5， ∵AM∥DN， ∴∠GDN'＝∠DMA， ∵∠MN'C＝90°， ∴∠DNG＝90°＝∠A， ∴△DGN'∽△MDA， ∴， 即， 解得：DG； ②点N在线段DM的延长线上时，如图⑤， DN'＝DM+MN'5， ∵∠GDN'＝∠MDN，∠DN'G＝∠DNM＝90°， ∴△DGN'∽△DMN， ∴， 即， 解得：DG； 综上所述，线段DG的长为或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$