精品解析：天津市西青区2024-2025学年高二上学期期末学业质量检测数学试卷

2024~2025学年度第一学期学业质量检测 高二数学试卷 本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答题时间100分钟，满分120分. 第I卷 一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知直线的斜率为，且在轴上的截距为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的焦距，实轴长为4，则曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，圆，则两圆位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 5. 已知等差数列中，，且，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（ ） A B. C. D. 7. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 在四棱锥中，底面正方形，为中点，若，用表示，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线，且点分别在曲线和圆：上，则两点间的最大距离为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 第II卷 注意事项：1.将答案写在答题卡上2.本卷共10小题，共80分. 二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 11. 已知直线，若，则实数__________. 12. 经过、的方向向量为，则__________. 13. 已知双曲线上一点到左焦点的距离为3，则点到右焦点的距离为__________. 14. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为______：公共弦长为_____. 15. 已知数列的通项公式为，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则__________. 16. 下列四个命题中. ①若数列的前项和为满足，则是等比数列且通项公式为； ②拋物线上两点、且（为原点），则； ③椭圆左、右焦点分别是、，左、右顶点分别、，点是椭圆上异于、的任意一点，则直线与直线的斜率之积为； ④与两圆和都外切圆的圆心的轨迹为双曲线. 其中正确命题序号为__________.（写出所有的正确答案） 三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知圆的方程为：. （1）若直线与圆C相交于两点，且，求实数值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程. 18. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知等比数列的公比大于；等差数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 20. 已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点距离的最小值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于两个不同点，点为椭圆上顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期学业质量检测 高二数学试卷 本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答题时间100分钟，满分120分. 第I卷 一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】，且，则，解得. 故选：C. 2. 已知直线的斜率为，且在轴上的截距为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知直线过点和斜率为，利用直线的点斜式可求解出直线方程. 【详解】由题意知：直线过点和斜率为， 所以得：直线方程为：，化简得：， 故B项正确. 故选：B. 3. 已知双曲线的焦距，实轴长为4，则曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的焦距与实轴长，可得的值，从而计算的值，利用渐近线方程，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 4. 已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来判断. 【详解】对于圆，可得圆的圆心坐标为，半径. 对于圆，可得圆的圆心坐标为，半径. 可得两圆的圆心距. 因为，而圆心距，所以. 故两圆的位置关系是外切. 故选：D. 5. 已知等差数列中，，且，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件，先求出等差数列的公差，进而可求出结果. 【详解】记等差数列的公差为， 因为，，所以，因此， 所以， 故选：A 6. 已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，结合题意以及抛物线定义建立方程，可得答案. 【详解】由抛物线，则焦点，准线， 由题意可得，且， 则点到准线的距离，解得， 所以焦点. 故选：D. 7. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】数列为等比数列的前项和为满足，，成等比数列，结合的值即可求. 【详解】∵等比数列中，成等比数列 又， ∴，解得. 故选：A. 8. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，用表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】连接BD，E为PD的中点，    ． 故选：B． 9. 已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由为等边三角形可得渐近线的倾斜角，进而即可求得渐近线方程. 【详解】因为为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为， 所以，则，离心率为. 故选：D 10. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线，且点分别在曲线和圆：上，则两点间的最大距离为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先由椭圆的定义，结合题中条件，得到曲线的方程为，设点，记圆：的圆心为，其半径为，结合圆的性质，得到，进而可求出最大值. 【详解】因为， 表示曲线上点到两定点，的距离之和为， 即， 根据椭圆定义，曲线表示以和为焦点，以为长轴长的椭圆， 设椭圆的方程为， 则，，所以， 其方程为； 记圆：的圆心为，其半径为， 根据圆的性质可得，， 因为点在椭圆上，所以， 又显然单调递减，所以， 则，所以，即两点间的最大距离为. 故选：B. 第II卷 注意事项：1.将答案写在答题卡上2.本卷共10小题，共80分. 二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 11. 已知直线，若，则实数__________. 【答案】或1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得. 【详解】，则根据直线垂直的充要条件列式得到， 解得或. 故答案为：或. 12. 经过、的方向向量为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】分析可知，直线的斜率为，结合斜率公式可求得结果. 【详解】因为经过、的方向向量为，则直线的斜率为， 则. 故答案为：. 13. 已知双曲线上一点到左焦点的距离为3，则点到右焦点的距离为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】由解析式得到双曲线的值，由双曲线的定义求得点到右焦点的距离. 【详解】由可知，由双曲线定义可知， ∵，∴. 故答案为：9. 14. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为______：公共弦长为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再由弦长公式计算可得公共弦长为. 【详解】易知两圆相交，将两圆方程相减可得，即； 所以两圆公共弦所在直线的方程为； 易知圆的圆心为，半径为； 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：； 15. 已知数列的通项公式为，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则__________. 【答案】518 【解析】 【分析】由等差数列、等比数列的通项公式可得，再由等比数列的前n项和公式即可得结果. 【详解】数列是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴ 又， ∴. 所以 故答案为：518. 16. 下列四个命题中. ①若数列的前项和为满足，则是等比数列且通项公式为； ②拋物线上两点、且（为原点），则； ③椭圆左、右焦点分别是、，左、右顶点分别、，点是椭圆上异于、的任意一点，则直线与直线的斜率之积为； ④与两圆和都外切的圆的圆心的轨迹为双曲线. 其中正确命题序号为__________.（写出所有的正确答案） 【答案】①③ 【解析】 【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，可判断①；利用平面向量数量积的坐标运算结合抛物线方程可判断②；利用椭圆的方程结合直线的斜率公式可判断③；利用圆与圆外切以及双曲线的定义可判断④. 【详解】对于①，当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，数列为等比数列，且其首项和公比均为，则，①对； 对于②，拋物线上两点、且（为原点）， 则， 由题意可知，，故，②错； 对于③，设点，其中，则，可得， 易知点、，所以，，③对； 对于④，圆的圆心为原点，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为，这两圆外离， 设与圆、圆都外切的圆为圆，设圆的半径为， 则，，所以，， 所以，与两圆和都外切的圆的圆心的轨迹为双曲线的一支，④错. 故答案：①③. 三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知圆的方程为：. （1）若直线与圆C相交于两点，且，求实数的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆的方程可得圆心与半径，利用点到直线距离公式以及弦长公式，可得答案； （2）利用分类讨论思想，分斜率存在与不存在两种情况，根据切线的判定，结合点到直线距离公式，可得答案. 【小问1详解】 圆的方程为：，则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于，两点，且， 圆心到直线的距离， ，，解得或. 【小问2详解】 由已知得，点在圆外， 切线的斜率不存在时，直线，与圆相切； 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为； 综上所述，切线方程为或. 18. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接，交于点， 由分别为和的中点，得， 而平面平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，借助中位线性质得到，再用线面平行定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，求出和平面的法向量，借助向量夹角公式计算即可； （3）运用向量法，借助点到平面的距离公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由直线平面，以所在的直线为轴， 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系. 则 ， 设平面的法向量， 则令，得，， 设直线与平面所成角的正弦值，则 . 【小问3详解】 ， 设平面的法向量为， 则，令，得，， 所以点到平面的距离. 19. 已知等比数列的公比大于；等差数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用等差等比数列的公式和性质构造方程计算即可； （2）运用错位相减法计算即可. 【小问1详解】 设等比数列公比为，由已知得， ① 解得：或，因为公比大于1，所以， 代入②得：. 设等差数列公差为，则，解得：， ， 所以的通项公式为；的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知 记① 则 ①-②得， 所以. 20. 已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点距离的最小值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于两个不同点，点为椭圆上顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程求得圆心坐标即椭圆焦点坐标，知道的值.由椭圆上的顶点到焦点距离最小求得，通过平方的关系求得，从而得到椭圆方程. （2）设交点坐标为，写出直线和的方程，从而求得点坐标.联立方程组并整理成关于的二次方程，由根与系数的关系得到用表示，从而表示出，建立等量关系，解出的值，从而找到直线定点. 【小问1详解】 由题意得圆方程为：圆心为， 即，∴. 又椭圆上的点到点的距离的最小值为，∴，解得：， ，则. 椭圆方程为. 【小问2详解】 ， 设， 则直线的方程为. 令，得点的横坐标.所以点 同理，点. 由得. 则. 所以 又，所以. 解得，此时， 所以直线经过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $