2.2  比例的应用（2个知识点+3类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学六年级下册（北师大版）

2.2  比例的应用 学习重难点 学习目标 1、重点：经历用多种方法解决“物物交换”问题的过程，体会解决问题方法的多样性，理解比例的意义。 2、难点：（1）在解决问题的过程中，列出含有未知数的比例，并自主探索解比例的方法；（2）理解根据“两个内项的积等于两个外项的积”求比例中的未知项，会正确解比例。 1、能够根据题意及比例的意义列出比例，并会根据比例的基本性质解比例。 2、通过利用算术方法和比例方法（方程）解决问题，体会比例的作用，感受多角度分析和解决问题的必要性。 知识点一解比例 1、求比例中的未知项的过程，叫作解比例。

 2、解比例的方法：根据比例的基本性质，先把比例转化成外项的积与内项的积相等的形式（即方程），再通过解方程求出未知项的值。

 3、当已知两个量的比或两个量的比不变时，可以设要求的一个量为x，然后根据比例的意义列出比例，再求出x的值。 知识点二比例的应用 1、对于一些具体的实际问题可以列算式求解，也可以根据比例的意义，列出比例（方程），然后解比例，求出实际问题的答案，其关键是理解题意，正确地列出比例。
 题型一解比例 1．解方程或比例。 1.2x＋2x＝4.8              【正确答案】x＝1.5；x＝；x＝ 【解题思路】（1）先把方程左边化简为3.2x，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘或除以一个不为零的数，等式仍然成立，两边再同时除以3.2； （2）先把方程左边化简为0.25x，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘或除以一个不为零的数，等式仍然成立，两边再同时除以0.25； （3）根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，先把比例化为方程，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘或除以一个不为零的数，等式仍然成立，两边再同时除以。 【规范解答】（1）1.2x＋2x＝4.8 解：3.2x＝4.8 3.2x÷3.2＝4.8÷3.2 x＝1.5 （2）x－75%x＝ 解：25%x＝ 0.25x＝ 0.25x÷0.25＝÷0.25 x＝ x＝ （3） 解：x＝ x＝ x＝ 2．解方程。 2.5x÷3＝1.9                      ∶2 【正确答案】x＝2.28；x＝0.15；x＝ 【解题思路】（1）先在等式的左右两边同时乘3，再同时除以2.5即可； （2）先将方程转换成比例，利用比例内项的乘积等于外项的乘积将比例转换成方程，再在等式的左右两边同时除以8即可； （3）利用比例内项的乘积等于外项的乘积将比例转换成方程，再在等式的左右两边同时除以即可。 【规范解答】2.5x÷3＝1.9 解：2.5x÷3×3＝1.9×3 2.5x＝5.7 2.5x÷2.5＝5.7÷2.5 x＝2.28 解：x∶0.4＝3∶8 8x＝0.4×3 8x÷8＝1.2÷8 x＝0.15 ∶2 解：x＝×2 x÷＝÷ x＝× x＝ 3．解方程。          【正确答案】x＝60；x＝ 【解题思路】（1）先把方程左边化简为x，再根据等式的性质2，把方程两边同时乘即可解答； （2）根据比例的基本性质可得：x＝60%×5，再根据等式的性质2，把方程两边同时乘即可解出方程。 【规范解答】    解：     x＝55 x×＝55× x＝60   解：x＝60%×5 x＝3 x×＝3× x＝ 4．求未知数。                  【正确答案】x＝；x＝64；x＝ 【解题思路】x－＝3，根据等式的性质1，方程两边同时加上即可； x－35%x＝16，先化简方程左边含有x的算式，即求出－35%的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以－35%的差即可； ∶＝∶x，解比例，原式化为：x＝×，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 【规范解答】x－＝3 解：x－＋＝3＋ x＝ x－35%x＝16 解：0.6x－0.35x＝16 0.25x＝16 0.25x÷0.25＝16÷0.25 x＝64 ∶＝∶x 解：x＝× x＝ x÷＝÷ x＝×3 x＝ 题型二运用解比例解决实际问题 5．相同质量的水和冰的体积比约是9∶10。若一块冰融化成水后是81立方分米，则这块冰的体积是多少立方分米？（用比例知识解决） 【正确答案】90立方分米 【解题思路】设这块冰的体积是多少立方分米，已知相同质量的水和冰的体积比约是9∶10，据此可列出比例：81∶＝9∶10，再根据比例的基本性质解出比例即可。 【规范解答】解：设这块冰的体积是多少立方分米 81∶＝9∶10 9＝81×10 ＝81×10÷9 ＝90 答：这块冰的体积是90立方分米。 6．经过几代人的竭尽奋斗，我国的航天事业取得了辉煌成就，走出了一条自力更生、自主创新的道路。长征五号系列（简称CZ—5）运载火箭实现了数字工程化应用，大大推动了航天产品数字化的进程。CZ—5基本型号运载火箭的箭体全长约57米。笑笑收藏了CZ—5基本型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶50。模型的高度是多少厘米？（用比例解） 【正确答案】114厘米 【解题思路】可以设模型的高度是x厘米，利用模型的高度与实际高度的比是1∶50，列出比例，解比例即可，注意单位的统一，把米换算成厘米，据此解答。 【规范解答】解：设模型的高度是x厘米。 57米＝5700厘米 x∶5700＝1∶50 x×50＝5700×1 50x÷50＝5700÷50 x＝114 答：模型的高度是114厘米。 7．一辆汽车行驶64千米用时0.8小时，照这样的速度，行驶320千米用时多少小时？（用解比例的方法计算） 【正确答案】4小时 【解题思路】表示两个比相等的式子，叫做比例。照这样的速度，即速度不变，根据路程与时间的比值即速度，则64千米∶0.8小时＝320千米∶所用时间，据此列出比例方程，并求解。 【规范解答】解：设行驶320千米用时多少小时。 64∶0.8＝320∶ 64＝320×0.8 64÷64＝320×0.8÷64 ＝4 答：行驶320千米用时4小时。 8．美美手机超市门口放着一个按20∶1的比制作的手机模型。这个手机模型的高度是1.6米，手机的实际长度是多少厘米？（用比例方法解答） 【正确答案】8厘米 【解题思路】将手机的实际长度设为x厘米，根据“模型高度∶实际高度＝20∶1”列出比例。将比例改写成一般方程，再根据等式的性质，将等式两边同时除以20，求出手机的实际长度。 【规范解答】解：设手机的实际长度是x厘米。 1.6米＝160厘米 160∶x＝20∶1 20x＝160 20x÷20＝160÷20 x＝8 答：手机的实际长度是8厘米。 一、选择题 1．六（1）班有男生24人，女生18人，后来又转入女生若干人后，这时男、女生的比是6∶5。转入女生（    ）。 A．4人 B．2人 C．3人 2．笑笑读一本书，已读页数和全书页数的比为2∶5，已读30页，还有x页没读。下面所列比例正确的是（    ）。 A． B． C． D． 3．某人从A地到B地平均速度为3米/秒，按原路返回时每秒行7米，那么此人一个来回的平均速度是（    ）米/秒。 A．4.2 B．4.8 C．5 D．5.4 4．十四运会是于2021年9月15日－9月27日在陕西省西安市举办的全民运动会。其设置的大项和分项的数量比为，已知设置的大项有34个，则分项有（    ）个。 A．126 B．136 C．85 D．51 5．解比例，＝，x＝（    ）。 A．2 B．8 C．2.25 二、填空题 6．甲乙两个学校图书本数比是4∶3，两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5，那么甲乙两校原来共有（ ）本图书。 7．莉莉用水和蜂蜜为一家人调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如表。 第一杯 第二杯 第三杯 第四杯 蜂蜜/mL 12 11 10 14 水/mL 60 44 60 70 （1）其中最甜的一杯给弟弟，弟弟喝的是第（ ）杯蜂蜜水。 （2）同样甜的两杯给爸爸和妈妈，请你根据这两杯蜂蜜水的配比情况把它们组成一个比例是（ ）。 8．一杯盐水，盐占盐水的，加入10g盐后，盐与盐水的比为3∶7，原盐水有（ ）g。 9．在一道减法算式中，差与被减数的比，那么减数与差的比是（ ）；如果被减数是，那么减数是（ ）。 10．如果a×4＝b×5，那么a∶b＝（ ）∶（ ）。如果a∶8＝0.4∶10，那么a＝（ ）。 三、计算题 11．求未知数x。                          四、解答题 12．某市的一座大厦于2022年7月底正式竣工。根据查询相关公开信息显示，大厦占地面积达2.2万平方米，总建筑面积超过13.2万平方米，是该市最高的建筑物，标志着该市建设的新水平，是该市城市发展的重要标志。为了解这座大厦的实际高度，六一班同学在同一时间测得高度为12米的旗杆影长为4.8米，大厦的影长为128米，大厦的高度为多少米？（用比例知识解决） 13．用黄铜和黄金制成一种合金。现有黄金45g，黄铜150g，要使制成的合金中黄金和黄铜的比是2∶5，还应加入多少克的黄金？（列比例解答） 14．相同质量的水和冰的体积比约是9∶10。若一块冰融化成水后是81立方分米，则这块冰的体积是多少立方分米？（用比例知识解决） 15．一个人的血液与体重比约为2∶25，肌肉与体重比约为2∶3，骨头与体重比约为1∶4。 （1）体重是7千克的幼儿，他体内的血液约有多少千克？（列方程解答） （2）体重是多少千克的人，他体内的肌肉约有28千克？（列方程解答） 参考答案 1．【解题思路】男生的人数不变，女生的人数增加了，设转入女生x人，此时女生的人数为（18＋x）人；根据现在男、女生的比是6∶5，列出比例，解比例即可。 【规范解答】解：设转入女生x人。 因此转入女生2人。 故答案为：B 2．【解题思路】用比例解决问题只要比例两边的比统一即可，根据已读页数∶全书页数＝已读页数∶全书页数，即可列出比例，据此逐项分析即可。 【规范解答】A．，已读页数∶全书页数≠已读页数∶没读页数，比例错误； B．，比的前项和后项是份数，（5－x）是全书份数－没读页数，无意义，比例错误； C．，已读页数∶全书页数≠没读页数∶已读页数，比例错误； D．，已读页数∶全书页数＝已读页数∶全书页数，比例正确。 所列比例正确的是。 故答案为：D 3．【解题思路】首先根据速度×时间＝路程，可得路程一定时，速度和时间成反比，所以这个人去时和返回时用的时间的比是7：3，然后设去时用的时间是7t秒，则返回用的时间是3t秒；最后根据路程÷时间＝速度，用两地之间的距离的2倍除以来回用的时间，求出此人一个来回的平均速度是多少即可。 【规范解答】因为这个人去时和返回时的速度的比是， 所以这个人去时和返回时用的时间的比是， 设去时用的时间是7t秒，则返回用的时间是3t秒， （米/秒） 此人一个来回的平均速度是4.2米/秒。 故答案为：A 【考察方向】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：路程一定时，速度和时间成反比。 4．【解题思路】已知大项和分项的比2∶3，大项为34个，求分项是多少，根据比例的关系，外项积＝内项积，设方程解答即可。 【规范解答】解：设分项是x个。 2∶3＝34∶x 2x＝3×34 2x＝102 2x÷2＝102÷2 x＝51 分项有51个。 故答案为：D 【考察方向】考查了比例的应用，掌握比例的基本性质是解答本题的关键。 5．【解题思路】根据比例的基本性质，将比例转化为方程：2.5x＝25×0.2，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以2.5即可。 【规范解答】＝ 解：2.5x＝25×0.2 2.5x÷2.5＝5÷2.5 x＝2 故答案为：A 【考察方向】牢记比例的基本性质是解题关键。 6．【解题思路】根据“甲乙两个学校图书本数比是4∶3”，可以设甲校原来有4本图书，乙校原来有3本图书；根据“两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5”可得出等量关系：（甲校原有图书的本数－300）∶（乙校原有图书的本数－300）＝7∶5；据此列出比例方程，并求解，进而求出甲校、乙校原有图书的本数，再相加，即是两校原有图书的总本数。 【规范解答】解：设甲校原来有4本图书，乙校原来有3本图书。 （4－300）∶（3－300）＝7∶5 7（3－300）＝5（4－300） 21－2100＝20－1500 21－20＝2100－1500 ＝600 甲校原有：600×4＝2400（本） 乙校原有：600×3＝1800（本） 一共：2400＋1800＝4200（本） 那么甲乙两校原来共有4200本图书。 7．【解题思路】（1）根据题意，分别算出蜂蜜占水的比值，比值最大就是最甜的。 （2）由第（1）问的解答可知，第一杯和第四杯的比值都是，所以同样甜的两杯给爸爸和妈妈，根据这两杯蜂蜜水的配比情况把它们组成一个比例是12∶60＝14∶70 【规范解答】（1）第一杯：12∶60 ＝12÷60 ＝ 第二杯：11∶44 ＝11÷44 ＝ 第三杯：10∶60 ＝10÷60 ＝ 第四杯：14∶70 ＝14÷70 ＝ ＞＞ 所以最甜的一杯是第二杯。 （2）根据（1）可知，第一杯和第四杯是一样甜的，所以它们组成的一个比例是12∶60＝14∶70。 8．【解题思路】根据“盐占盐水的”，可以设原有盐水g，则原有盐g。 根据“加入10g盐后，盐与盐水的比为3∶7”可得出等量关系：（原有盐的质量＋10）∶（原有盐水的质量＋10）＝3∶7，据此列出比例方程，并求解。 【规范解答】解：设原有盐水g，则原有盐g； （＋10）∶（＋10）＝3∶7 3（＋10）＝7（＋10） 3＋30＝＋70 3－＝70－30 ＝40 ＝40÷ ＝40× ＝25 原盐水有25g。 9．【解题思路】减法算式的各部分关系式“被减数－减数＝差”，差与被减数的比，可以假设被减数是16，差是5，则减数是11。据此得到减数与差的比是。当被减数是240时列比例，根据比例的基本性质解比例可得减数是多少。 【规范解答】假设被减数是16，差是5，则减数是。 设减数是，则 故减数与差的比是；如果被减数是240，那么减数是165。 10．【解题思路】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积。a×4＝b×5，把a和4看成外项，b和5看成内项即可。 a∶8＝0.4∶10，10a＝8×0.4，先计算8×0.4，再根据乘数等于积除以另一个乘数，即可得解。 【规范解答】10a＝8×0.4 解：10a＝3.2 a＝3.2÷10 a＝0.32 如果a×4＝b×5，那么a∶b＝5∶4。如果a∶8＝0.4∶10，那么a＝0.32。 11．【解题思路】，先根据分数和比的关系，将方程变为，然后根据比例的基本性质，将方程变为，再计算出右边的结果，最后根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以4即可。 ，根据比例的基本性质，将方程变为，然后计算出右边的结果，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以即可； ，根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时除以4，再同时加上即可。 【规范解答】 解： 解： 解： 12．【解题思路】同一时间，同一地点测得物体与影子的比值相等，也就是旗杆的高与影子的比等于大厦的高与影子的比，设大厦的高度为x米，组成比例，解比例即可。 【规范解答】解：设大厦的高度为x米。 12∶4.8＝x∶128 4.8x＝12×128 4.8x＝1536 4.8x÷4.8＝1536÷4.8 x＝1536÷4.8 x＝320 答：大厦的高度为320米。 【考察方向】此题考查用比例的知识解应用题，设出未知数，组成比例然后解比例。 13．【解题思路】设还应加入x克的黄金，则黄金的克数为（45＋x），再根据制成的合金中黄金和黄铜的比是2∶5列出比例求解即可。 【规范解答】解：设还应加入x克的黄金。 答：还应加入15克黄金。 14．【解题思路】设这块冰的体积是多少立方分米，已知相同质量的水和冰的体积比约是9∶10，据此可列出比例：81∶＝9∶10，再根据比例的基本性质解出比例即可。 【规范解答】解：设这块冰的体积是多少立方分米 81∶＝9∶10 9＝81×10 ＝81×10÷9 ＝90 答：这块冰的体积是90立方分米。 15．【解题思路】（1）根据血液与体重的比是2∶25，假设体重7kg的幼儿血液约有x千克。则可以列出比例x∶7＝2∶25，再根据比例的基本性质两个内项的积等于两个外项的积，将比例转化成方程，最后根据等式的性质“等式两边同时除以一个数（0除外）等式不变”解比例。 （2）根据肌肉与体重的比是2∶3，体内的肌肉约有28千克，设体重为x千克，则28∶x＝2∶3。根据比例的基本性质两个内项的积等于两个外项的积，将比例转化成方程，最后根据等式的性质等式两边同时除以一个数（0除外）等式不变解比例。 【规范解答】（1）解：设他体内的血液约有x千克。 x∶7＝2∶25 25x＝2×7 25x＝14 25x÷25＝14÷25 x＝0.56 答：他体内的血液约有0.56千克。 （2）解：设他的体重是x千克。 28∶x＝2∶3 2x＝28×3 2x＝84 2x÷2＝84÷2 x＝42 答：他的体重是42千克。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$