2.4  图形的放大和缩小（3个知识点+3类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学六年级下册（北师大版）

2.4  图形的放大和缩小 学习重难点 学习目标 1、了解扇形统计图的特点和作用及各部分表示的意义。(重点) 2、利用扇形统计图分析并解决简单的实际问题。(难点) 1、结合实例认识扇形统计图，能联系百分数的意义，对扇形统计图提供的信息进行简单的分析，并能够解决简单的实际问题，初步体会用扇形统计图描述数据的特点。 知识点一图形的放大 1、图形的放大。 （1）保持物体的图形或图象原来的形状不变而使物体的图形或图象变大，叫作放大。 （2）图形（或图象）放大后得到的图形（或图象）与原图形（或图象）相比，形状相同图形（或图象）变大。 知识点二图形的缩小 1、图形的缩小。 （1）保持物体的图形或图象原来的形状不变而使物体的图形或图象变小，叫作缩小。 （2）图形（或图象）缩小后得到的图形（或图象）与原图形（或图象）相比，形状相同图形（或图象）变小。 知识点三画放大或缩小的图形 1、图形放大或缩小的方格。 在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小，分为三步； 一看：看原图形每边各占几格； 二算：计算按给定的比将图形的各边长放大或缩小后得到的新图形每边各占几格； 三画：按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。 题型一图形放大和缩小的认识 1．学校小操场内部要进行美化，现收集学生的作品。长方形操场的长和宽是27m和15m，按1∶300的比缩小，则缩小后的长和宽是（    ）。 A．9cm和5cm B．9m和5m C．90cm和50cm D．8100cm和4500cm 【正确答案】A 【解题思路】长方形操场按1∶300的比缩小后，长和宽都缩小到原来的，即长为m，0.09m＝9cm，宽为m，0.05m＝5cm，据此解答。 【规范解答】长：（m） 0.09m＝9cm 宽：（m） 0.05m＝5cm 所以缩小后的长是9cm，宽是5cm； 故答案为：A 2．把一个图形按4∶1扩大后，周长的变化是（    ） A．扩大到原来的4倍。 B．扩大到原来的16倍。 C．缩小到原来的。 D．周长不变。 【正确答案】A 【解题思路】根据比的意义，把原来图形周长看作1份数，那么放大后的图形的周长就为4份数，例如边长为1的正方形周长为4，放大后边长为4，正方形周长为16，也就是扩大到原来的4倍。 【规范解答】根据分析，把一个图形按4∶1放大后，周长扩大到原来的4倍。 故答案为：A 3．下面哪种情况下，图形的大小将发生变化？（    ） A．平移图形 B．测量图形 C．旋转图形 D．缩放图形 【正确答案】D 【解题思路】图形的平移和旋转只改变图形的位置，图形的大小、形状不改变；图形的放大或缩小会改变图形的大小，测量图形不改变图形的大小；据此解答。 【规范解答】A．平移图形，图形的大小、形状不改变，不符合题意； B．测量图形不改变图形的大小，不符合题意； C．旋转图形图形的大小、形状不改变，不符合题意； D．缩放图形，图形的大小将发生变化，符合题意。 故答案为：D。 【考察方向】本题考查图形的放大与缩小、平移、旋转，掌握这些图形运动特征是解答本题的关键。 4．把中的图形按照2∶1放大后的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【正确答案】B 【解题思路】根据图形放大与缩小的特征可知，图形放大或缩小只是改变图形的大小，而不改变其形状，据此解答。 【规范解答】原图形的宽为1格，高2格， 按2∶1扩大后，宽应为2格，高应为4格，只有B选项符合题意。 故答案为：B 【考察方向】本题是考查图形的放大与缩小。使学生在观察、比较、思考和交流等活动中，感受图形放大、缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。 题型二解决面积的变化问题 5．把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是( )；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是( )。 【正确答案】 16∶1 1∶6 【解题思路】设原来正方形的边长是1厘米，放大后的正方形边长是（1×4）厘米。正方形面积＝边长×边长，把数据代入算出原来正方形和放大后的正方形面积，再算出面积比。 设原来长方形的长是12厘米，宽是6厘米，则缩小后的长是（12÷6）厘米，宽是（6÷6）厘米。长方形周长＝（长＋宽）×2，把数据代入算出原来长方形的周长和缩小后的长方形周长，再算出周长比。 【规范解答】1×4＝4（厘米） （4×4）∶（1×1） ＝16∶1 12÷6＝2（厘米） 6÷6＝1（厘米） [（2＋1）×2]∶[（12＋6）×2] ＝[3×2]∶[18×2] ＝6∶36 ＝1∶6 把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是16∶1；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是1∶6。 6．一个圆的周长是50.24cm，把它按1∶2的比缩小后，圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 【正确答案】4 50.24 【解题思路】根据C＝2πr可知r＝C÷π÷2，据此算出得出原来圆的半径，再算出缩小后的圆的半径。再根据S=πr2，代入数据即可计算出此时圆的面积。 【规范解答】50.24÷3.14÷2 ＝16÷2 ＝8（cm） 8÷2＝4（cm） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 一个圆的周长是50.24cm，把它按1∶2的比缩小后，圆的半径是4厘米，面积是50.24cm2。 7．一个长是3厘米，宽是2厘米的长方形，当这个长方形按2∶1扩大后，面积是( )平方厘米。 【正确答案】24 【解题思路】根据图形放大与缩小的意义，按2∶1放大后的长是3×2＝6（厘米），宽是2×2＝4（厘米），由此可求出这个图形的面积。 【规范解答】3×2＝6（厘米） 2×2＝4（厘米） 6×4＝24（平方厘米） 一个长是3厘米，宽是2厘米的长方形，当这个长方形按2∶1扩大后，面积是24平方厘米。 【考察方向】此题主要是考查图形放大与缩小的意义，图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数，面积是这个倍数的平方倍。 8．将一个底40厘米、高8厘米的三角形按1∶4缩小后，得到的图形面积是( )平方厘米。 【正确答案】10 【解题思路】一个底40厘米、高8厘米的三角形按1∶4缩小后，即三角形的底和高都缩小到原来的，所得到的三角形的底是40×＝10厘米，高是8×＝2厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出缩小后的图形面积。 【规范解答】（40×）×（8×）÷2 ＝10×2÷2 ＝10（平方厘米） 将一个底40厘米、高8厘米的三角形按1∶4缩小后，得到的图形面积是10平方厘米。 【考察方向】本题考查了三角形的面积的计算应用，关键是求出缩小后的图形的底和高。 题型三作放大或缩小的图形 9．画出下图长方形按1∶2缩小后得到的图形。 【正确答案】见详解 【解题思路】从图中可知，原来长方形的长是6、宽是4，按1∶2缩小，则原来长方形的长、宽都除以2，即是缩小后长方形的长、宽，据此画出缩小后的长方形。 【规范解答】缩小后长方形的长：6÷2＝3 缩小后长方形的宽：4÷2＝2 如图： 10．画一个边长与已知三角形边长的比是3∶1的新三角形。 【正确答案】见详解 【解题思路】把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。 【规范解答】 11．按1∶4的比画出缩小后的图形。 【正确答案】图见详解 【解题思路】把长方形的边长按照比例缩小，长是8厘米，缩小到原来的后长变成2厘米；宽是4厘米，缩小到原来的后宽变成1厘米，据此画图。 【规范解答】8×＝2（厘米） 4×＝1（厘米） 作图如下： 12．想一想，画一画。 点A、B、C、D的数对是A（6，2），B（6，0），C（12，0），D（12，2）。 （1）将图形①各顶点数对的第一个数乘，第二个数不变，得到图形③。 （2）将图形②按2∶1放大，得到图形④。 【正确答案】见解答 【解题思路】（1）将数对中的第一个数乘，求出变化后的数，进而得出图形③中各点数对，再找出各点连线即可； （2）将图形②按2∶1放大，就是把这个平行四边形各边扩大到原来的2倍，由此画出图形④即可。 【规范解答】（1）62 124 变化后的数对为：A（2，2）、B（2，0）、C（4，0）、D（4，2） 见下图 （2）画图如下： 【考察方向】本题考查图形的放大与缩小，根据数对表示位置以及分数乘法的计算方法。 一、选择题 1．下列不能用比例“2∶4＝3∶X”解决的是（    ）。 A．2支铅笔可以换4块橡皮，3支铅笔可以换X块橡皮。 B．一辆汽车2分钟行驶4千米，按这个速度，3分钟可以行驶X千米。 C．一根钢筋，截成2段要4分钟，按这个速度，截成3段要X分钟。 D．长4厘米，宽2厘米的长方形按一定的比放大后，长是X厘米，宽是3厘米。 2．把一张长方形的图按1∶20的比例缩小后，长和宽的比（    ）。 A．不变 B．变大 C．变小 D．无法确定 3．一个长方形长2.5cm，宽2cm，按2∶1放大后长与宽的比是（    ）。 A．2∶1 B．1∶2 C．5∶4 D．4∶5 4．一个长4cm，宽2cm的长方形按4∶1放大，得到的图形的面积是（    ）cm2。 A．32 B．72 C．128 D．256 5．把一个正方形的边长按2∶1放大后，面积与原来的比是（    ）。 A．8∶1 B．6∶1 C．4∶1 D．2∶1 二、填空题 6．把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是( )；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是( )。 7．一个圆的周长是50.24cm，把它按1∶2的比缩小后，圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 8．把一个底是5厘米、高是4厘米的平行四边形按4∶1放大，得到图形的面积是( )平方厘米。 9．一个正方形的边长是6厘米，将它按( )的比放大后，边长变为18厘米；将它按( )的比缩小后，边长变为2厘米。 10．把下面A长方形按比例缩小后得到B长方形，B长方形中的a等于( )cm。 三、作图题 11．按1∶4的比画出缩小后的图形。 四、解答题 12．先按4∶1的比将下面的圆放大，画出放大后的图形，再分别算出两个圆的半径比和面积比。你有什么发现？ 13．“祝融号”火星车有1.85米高，质量约是240千克。林林购买了一个按1∶5缩小的“祝融号”火星车模型，该模型的高度是多少厘米？ 14．操作题。 （1）请在下图方格纸上（每个小方格的边长表示1厘米）画一个长方形，周长是10厘米，长是宽的。 （2）再画一个和这个长方形面积相等的直角三角形。将这个三角形按2∶1放大，画出放大后的图形。放大后三角形面积与原来三角形面积比是（    ）。 15．新村实施“乡村振兴计划”要将一块空地建成美丽的花园，请你按要求进行设计。（每个小方格的边长表示10米） （1）原来在空地上设计了一个三角形草坪，发现面积过大，需要按1∶2的比缩小，且位置改在空地的东南角，请画出缩小后的三角形草坪。 （2）在空地上以点O（2，2）为圆心修建一个半径为20米的圆形花坛，再根据“外圆内方”这一经典设计在这个圆形花坛内围出一个最大的正方形花坛，请画出这个“外圆内方”的花坛。 （3）圆形花坛内，正方形花坛种月季，正方形花坛与圆形花坛之间的部分种牡丹，那么种牡丹的面积是（      ）平方米。 参考答案 1．【解题思路】表示两个比相等的式子叫作比例； 通过判断每个选项是否能构成比例关系来解决问题，据此解答。 【规范解答】A．因为2支铅笔可以换4块橡皮，所以每支铅笔能换的橡皮数是一定的，可列出比例2∶4＝3∶X，所以此选项能用该比例解决； B．汽车速度一定，路程与时间成一定的比例，可列出比例2∶4＝3∶X，所以此选项能用该比例解决； C．一根钢筋截成2段需要截1次，用时4分钟，截成3段需要截2次，总共用时8分钟，因为截的次数比段数少1，所以不能列出比例2∶4＝3∶X，所以此选项不能用该比例解决。 D．长方形放大比例一定，长和宽成一定的比例，可列出比例2∶4＝3∶X，所以此选项能用该比例解决。 故答案为：C 2．【解题思路】把一张长方形的图按1：20的比例缩小后，就是把这个长方形的长和宽都缩小到原来的，也就是长和宽都除以20，也就相当于把原长方形的长和宽的比的前项和后项都除以20，根据比的基本性质，比的前项和后项都乘或者除以一个数（0除外），比值不变；因此，一个长方形放大或缩小后，长和宽的比不变。 【规范解答】根据分析可得，把一张长方形的图按1∶20的比例缩小后，长和宽的比不变。 故答案为：A 【考察方向】本题考查图形的放大与缩小，解答本题的关键是掌握图形放大与缩小后，长宽之比不发生变化。 3．【解题思路】长方形按2∶1放大，就是把原来长方形的长扩大到原来的2倍，宽也扩大到原来的2倍，分别求出扩大后的长和宽，再根据比的意义，用扩大后的长∶扩大后的宽，即可解答。 【规范解答】（2.5×2）∶（2×2） ＝5∶4 一个长方形长2.5cm，宽2cm，按2∶1放大后长与宽的比是5∶4。 故答案为：C 4．【解题思路】一个长4cm，宽2cm的长方形按4∶1放大，也就是根据图形放大的意义，将长方形的长和宽分别扩大到原来的4倍，即用原来长和宽的长度分别乘4，求出放大后的长方形的长和宽；再根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，代入数据求出面积即可。 【规范解答】4×4＝16（cm） 2×4＝8（cm） 16×8＝128（cm2） 一个长4cm，宽2cm的长方形按4∶1放大，得到的图形的面积是128cm2。 故答案为：C 5．【解题思路】设原来正方形的边长为1厘米，则放大后边长是2厘米。正方形面积＝边长×边长，把数据代入算出原来正方形的面积和放大后的正方形面积，再算出面积比。 【规范解答】（2×2）∶（1×1） ＝4∶1 把一个正方形的边长按2∶1放大后，面积与原来的比是4∶1。 故答案为：C 【考察方向】此题是考查图形放大与缩小的意义，一个图形放大或缩小倍数是指对应边放大或缩小的倍数，面积是这个倍数的平方倍。 6．【解题思路】设原来正方形的边长是1厘米，放大后的正方形边长是（1×4）厘米。正方形面积＝边长×边长，把数据代入算出原来正方形和放大后的正方形面积，再算出面积比。 设原来长方形的长是12厘米，宽是6厘米，则缩小后的长是（12÷6）厘米，宽是（6÷6）厘米。长方形周长＝（长＋宽）×2，把数据代入算出原来长方形的周长和缩小后的长方形周长，再算出周长比。 【规范解答】1×4＝4（厘米） （4×4）∶（1×1） ＝16∶1 12÷6＝2（厘米） 6÷6＝1（厘米） [（2＋1）×2]∶[（12＋6）×2] ＝[3×2]∶[18×2] ＝6∶36 ＝1∶6 把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是16∶1；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是1∶6。 7．【解题思路】根据C＝2πr可知r＝C÷π÷2，据此算出得出原来圆的半径，再算出缩小后的圆的半径。再根据S=πr2，代入数据即可计算出此时圆的面积。 【规范解答】50.24÷3.14÷2 ＝16÷2 ＝8（cm） 8÷2＝4（cm） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 一个圆的周长是50.24cm，把它按1∶2的比缩小后，圆的半径是4厘米，面积是50.24cm2。 8．【解题思路】把一个底是5厘米、高是4厘米的平行四边形按4∶1放大后，该平行四边形的底为5×4＝20厘米，高为4×4＝16厘米，再根据平行四边形的面积公式：S＝ah，据此进行计算即可。 【规范解答】（5×4）×（4×4） ＝20×16 ＝320（平方厘米） 则得到图形的面积是320平方厘米。 9．【解题思路】找出正方形放缩后的边长与原来边长的关系，进而求出缩放的比例是多少。 【规范解答】18÷6＝3，将它按3∶1的比放大后，边长变为18厘米； 2÷6＝ ，∶1＝1∶3，将它按1∶3的比缩小后，边长变为2厘米。 【考察方向】此题考查了图形的放大与缩小，图形的放大与缩小是指对应边的放大与缩小。注意比的前后项不要写反了。 10．【解题思路】由图可知，把A长方形按比例缩小后得到B长方形，即B长方形的宽∶A长方形的宽，即16∶24＝2∶3，由于B长方形的长∶A长方形的长＝2∶3，把数和字母代入，即a∶36＝2∶3，再根据比例的基本性质解比例即可。 【规范解答】16∶24＝2∶3 a∶36＝2∶3 3a＝36×2 3a＝72 a＝72÷3 a＝24 【考察方向】本题主要考查比例的应用以及比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质并灵活运用。 11．【解题思路】把长方形的边长按照比例缩小，长是8厘米，缩小到原来的后长变成2厘米；宽是4厘米，缩小到原来的后宽变成1厘米，据此画图。 【规范解答】8×＝2（厘米） 4×＝1（厘米） 作图如下： 12．【解题思路】按4∶1放大就是把圆的半径扩大到原来的4倍，测量可知，原来圆的半径为1厘米，放大后圆的半径为1×4＝4厘米，根据“”表示出原来和放大后圆的面积，最后求出它们的面积比，据此解答。 【规范解答】作图如下： 分析可知，放大后的图形与原图形的半径比是4∶1。 1×4＝4（厘米） （×42）∶（×12） ＝42∶12 ＝16∶1 所以，放大后的图形与原图形的面积比是16∶1。 由上可知，放大后的图形与原图形的面积比等于半径的平方比。 13．【解题思路】由于火星车模型是按照1∶5缩小的，所以模型的高度是实际高度的，根据分数乘法的意义，即可计算出该模型的高度是多少厘米。 【规范解答】1.85米＝185厘米 18537（厘米） 答：该模型的高度是37厘米。 14．【解题思路】（1）设长方形的宽是x厘米，长方形的长是宽的，则长是x厘米。长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此列方程解答求出长和宽，再画出长方形。 （2）根据长方形的面积＝长×宽求出（1）中长方形的面积，再根据三角形的面积＝底×高÷2，确定三角形的底和高并画图。将这个三角形按2∶1放大，则底和高都扩大到原来的2倍，据此画图。求出放大后的三角形的面积，再写出放大后三角形面积与原来三角形面积比。 【规范解答】（1）解：设长方形的宽是x厘米，则长是x厘米。 （x＋x）×2＝10 x×2＝10 5x＝10 x＝10÷5 x＝2 长：2×＝3（厘米） （2）长方形的面积：3×2＝6（平方厘米） 根据三角形的面积公式，4×3÷2＝6（平方厘米），则和这个长方形面积相等的直角三角形的底可以是4厘米，高3厘米。 4×2＝8（厘米），3×2＝6（厘米），放大后的三角形的底是8厘米，高是6厘米。 （1）（2）作图如下： 放大后的三角形面积：8×6÷2＝24（平方厘米） 24∶6＝4∶1，则放大后三角形面积与原来三角形面积比是4∶1。 【考察方向】（1）设长方形的宽为x厘米，用含有x的式子表示长，再根据长方形的周长公式列方程求出长和宽是解题的关键；（2）根据长方形和三角形的面积公式确定三角形的底和高是解题的关键。 15．【解题思路】（1）图中三角形的底是6格，高是4格，按1∶2缩小，缩小后的三角形的底和高都除以2；以图上的“上北下南，左西右东”为准，在空地的东南角，画出缩小后的三角形草坪。 （2）根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；先确定点O的位置，以O点为圆心，20米为半径画圆，图上每个小方格的边长表示10米，则20米相当于2格；然后根据“外圆内方”，在圆内画一个最大的正方形即可。（画法不唯一） （3）根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆形花坛的面积； 用对角线把正方形分成两个一样的三角形，则正方形的面积等于两个三角形的面积，这个三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即可求出正方形花坛的面积； 根据正方形花坛与圆形花坛之间的部分种牡丹可知，种牡丹的面积＝圆的面积－正方形的面积，代入数据计算，即可求解。 【规范解答】（1）缩小后三角形的底是：6÷2＝3（格） 缩小后三角形的高：4÷2＝2（格） 缩小后的三角形草坪如下图。 （2）20÷10＝2（格） “外圆内方”的花坛如下图。 （正方形画法不唯一） （3）圆的面积： 3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方米） 圆的直径：20×2＝40（米） 正方形的面积： 40×20÷2×2＝800（平方米） 牡丹的面积： 1256－800＝456（平方米） 种牡丹的面积是456平方米。 【考察方向】本题考查作缩小后的图形、作“外圆内方”图形、数对的知识以及圆的面积、三角形的面积、正方形的面积计算。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$