山东省青岛市黄岛区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷

高三数学试题 第 1 页 （共 4 页） 2024-2025 学年度第一学期期末学业水平检测 高三数学试题 本试题卷共 4 页，19 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考 证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需 要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．双曲线 2 2: 1 4 xC y  的渐近线方程为 A． 1 2 y x  B． y x  C． 2y x  D． 2y x  2．已知复数 z满足 ( 1)(1 i) 1 iz      ，则 z  A．1 i B．1 i C． 1 i  D． 1 i  3．已知函数 ( ) ln( )f x a x  的图象在 0x  处的切线方程为 y x ，则 a  A．1 B． 0 C． 1 D． 2 4．已知等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ， 1 0n na a   ，则 A． nS 不可能为0 B． nS 没有最小值 C． nS 有最大值 D． nS 有最小值 5．为了得到函数 πsin(2 ) 3 y x  的图象，只需把函数 cos 2y x 图象上所有的点 A．向左平移 π 3 个单位 B．向右平移 π 3 个单位 C．向左平移 π 12 个单位 D．向右平移 π 12 个单位 6．如图，正方形 ABCD的边长为1， BCE 为等边三角形，将 BCEACD  , 分别沿 BCAC, 向 上折起，使得点 ED, 重合并记为点 P．若三棱锥 P ABC 可以在一个圆柱内任意转动，则 此圆柱表面积的最小值为 A． π B． 2π C．3π D． 4π A D B E C 高三数学试题 第 2 页 （共 4 页） 7．如图，P为 ABC 内一点，AP PC ， AB PC ，AP BP ， 120APB  ，则 BC AC  A． 7 2 B． 2 C． 3 2 D． 10 2 8．已知O为坐标原点，抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F ，点 P在C 上，且 OFP 的外 接圆圆心恰在C 上，则 A． | |PF p B． 3| | 2 pp PF  C． 3| | 2 pPF  D． 3 | | 2 2 p PF p  二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知某地区成年男士的身高（单位： cm）服从正态分布 2(175 2 )N ， ，体重（单位： kg） 服从正态分布 2(70 3 )N ， ．若从该地区随机选取成年男士100人，得到数据如下表，则 身高 体重 合计 大于73 kg 小于等于73 kg 大于177 cm a b a b 小于等于177 cm c d c d 总计 a c b d n a b c d    A．根据正态分布估计 16a b  B．根据正态分布估计 84b d  C．若 12a  ，根据正态分布估计 , ,b c d 的值，基于上述数值，根据小概率值 =0.001 的 独立性检验，分析该地区成年男士身高超过177 cm与体重超过73 kg相关联 D．若 12a  ，根据正态分布估计 , ,b c d 的值，基于上述数值，根据小概率值 =0.001 的 独立性检验，分析该地区成年男士身高超过177 cm与体重超过73 kg相互独立 附：若 2( )X N   ， ，则 ( ) 0.6827P X        ．        2 2       n ad bc a b c d a c b d ，其中n a b c d    ．  0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A B P C 高三数学试题 第 3 页 （共 4 页） 10．如图，圆锥的轴截面 ,ABC CDF 都是边长为 2的等边三角形，平面 ABC 平面CDF ，点 E为母线 BC的中点，则 A．直线 //DE 平面 ACF B．异面直线 AB和DE所成角大于60 C．沿该圆锥侧面，由点D到点 F 的最小值为 2 2 D．过直线DF的平面截该圆锥所得截面面积的最小值为 3 2 11．已知函数 ( ) 4 ln(2 ) 4 ln cos πf x x x x    ，则 A． ( )f x 的图象关于点 (1,0)对称 B． ( )f x 的图象关于直线 1x  对称 C． ( )f x 在区间 (0,1]单调递增 D． ( ) 0f x 三、填空题：本题共 3个小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知正项等比数列{ }na 的前 n项和为 nS ， 4 25S S ，则 4 2 a a  ． 13．在 ABC 中， 1tan tan 3 B C  ， 1sin sin 4 B C  ，则 A  ． 14．从编号 *1, 2, , ( 3, N )n n n  的相同小球中有放回的等概率抽取，并记录下每次的编号． （1）若出现1就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为 ；（2）若1, 2,3均出现 就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为 ． （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数 ( ) ( 1)e xf x x  ． （1）求 ( )f x 的极值； （2）若方程 ( )f x a 在区间 ( 1, )  上有两个实数解，求 a的取值范围． 16．（15分） 如图，平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 的所有棱长为 2，平面 1 1ADD A 平面 ABCD， 1AAD 和 ACD 都是等边三角形． （1）证明： 1AD AC ； （2）若点 E在对角线 1AB上，CE∥平面 1 1AC D， 求CE与平面 1ACD所成角的正弦值． 1C 1A 1B 1D E A D B C C A B D E F 高三数学试题 第 4 页 （共 4 页） 17．（15分） 现将近几日某地区门锁销售的数量进行统计，得到如下表格： 第 x天 1 2 3 4 5 6 7 数量 y 200 260 280 350 420 440 500 （1）若 y与 x线性相关，求出 y关于 x的经验回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ，并预测第10天该地区门锁的 销售数量；（参考公式和数据： 1 2 1 ( )( ) ˆ ( ) n i i i n i i x x y y b x x         ， ˆâ y bx  ， 7 1 11200i i i x y   ） （2）某人手里有三把钥匙，其中只有一把可以打开门锁，他现在无法分清哪一把能够打开． 记 X 为他有放回的进行开锁时的开锁次数，Y 为他无放回的进行开锁时的开锁次数． 求 X Y 的概率． 18．（17分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yM a b a b     经过点 (2,0)P ，离心率为 3 2 ． （1）求M 的方程； （2）直线 l与M 在 x轴上方的部分交点是 ,A B，记 ,PA PB的斜率分别为 1 2,k k ， 1 2 1k k   ． （ⅰ）证明： l过定点Q； （ⅱ）若直线 ,PA PB分别交直线 1y  于 ,C D两点，根据（ⅰ）的结论， 证明： | | | | | | | |QC QD QC QD   为定值． 19．（17分） 关于 x的方程 ( 1)( 2) ( ) ( 1)( 2) ( )x x x n x x x n        ，其中 *3, Nn n  ，等号 两边各有 n个一次因式．若在等号两边去掉这 2n个一次因式中的 *( N )k k 个，使得等号每一 边均至少留下一个一次因式，且所得方程没有实数解，则称得到的方程为 A方程． （1）若 3n  ， 3k  ，写出所有的 A方程； （2）若 4n  ，求满足等号两边各去掉 2个因式的 A方程； （3）若 2024n  ，求 k的最小值． 高三数学答案 第 1页（共 4页） 2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测高三数学评分标准 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分． 1--8： ABAD D CA B 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分． 9．ABC 10．BC 11．BD 三、填空题：本题共 3个小题，每小题 5分，共 15分． 12． 4； 13．120； 14．（1） n；（2）11 6 n． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（13分） 解：（1）函数的定义域为R ， ( ) e ( 1)e ex x xf x x x     ， 令 ( ) 0f x  ，解得 0x ··············································································· 2分 所以 ( ) ( )f x f x ， 的变化情况如表所示： x ( ,0) 0 (0, ) )(xf   0 + )(xf 单调递减 1 单调递增 因此，当 0x 时， ( )f x 有极小值，并且极小值为 1)0( f ，无极大值················· 6分 （2）由（1）知，函数 ( )f x 在 ( 1,0) 递减，在 (0, ) 递增， 令 ( ) 0f x  ，解得 1x  ················································································ 8分 当 1x  时， ( ) 0f x  ；当 1x  时， ( ) 0f x  ； 因为 ( )f x 的图象经过点 (0, 1)A  ， (1,0)B ， 2( 1, ) e C   ····································10分 所以当 ( 1, )x   时， 方程 ( )f x a ( R)a 有两个实数解等价于 ( )y f x 的图象与直线 y a 有两个交点， 结合 ( )f x 的图象可知，当 21 e a    时，解为 2个 所以 a的取值范围是 2( 1, ) e   ······································································· 13分 16.（15分） 解：（1）取 AD的中点O，连接 1 ,AO OC，因为 1AAD 和 ACD 都是等边三角形，所以 1 ,AD AO AD OC  ， 1AO OC O ，所以 AD 平面 1AOC ························ 4分 又因为 1AC 平面 1AOC ，所以 1AD AC ·······················································5分 （2）连接 1 1, ,AC AB BC，因为 1 1AC AC∥ ， 所以 AC∥平面 1 1AC D，同理 1AB ∥平面 1 1AC D ··············································· 7分 1C 1A 1B 1D E A D B C O 高三数学答案 第 2页（共 4页） 又 1AC AB A ，所以平面 1ABC∥平面 1 1AC D，··········································· 8分 又CE∥平面 1 1AC D，所以CE 平面 1ABC， 又点 E在对角线 1AB上，所以点 E为 1AB和 1AB 的交点······································ 9分 因为平面 1 1ADD A 平面 ABCD， 由（1）知 1, ,OC OD OA 两两垂直，································································ 10分 分别以 1, ,OC OD OA 为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 因为平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 的所有棱长都是 2， 1 3OA OC  ， 则 1 3 3(0,0, 3), ( 3,0,0), (0,1,0), ( 3, 2,0), ( , 1, ) 2 2 A C D B E  ······················· 11分 3 3( , 1, ) 2 2 CE     ， 1 ( 3,0, 3)AC    ， 1 (0,1, 3)AD    ， 设平面 1ACD的一个法向量为 ( , , )m x y z  ， 则 1 1 0 ( , , ) ( 3,0, 3) 0 , 0 ( , , ) (0,1, 3) 0 m AC x y z m AD x y z                    ，···················································13分 所以 3 3 0 3 0 x z y z       ，令 1x  ，解得 (1, 3,1)m   ·········································· 14分 设CE与平面 1ACD所成的角为，则 | | 6sin 5| | | | CE m CE m         ， 所以CE与平面 1ACD所成角的正弦值为 6 5 ····················································15分 17.（15分） 解：（1）依题意得： 1 2 3 4 5 6 7 4 7 x        ··········································· 1分 200 260 280 350 420 440 500 350 7 y        ·········································· 2分 又因为 7 1 11200i i i x y   ， 7 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 5 6 7 140i i x          ， 所以 7 1 7 2 2 2 1 7 11200 9800 1400ˆ 50 140 7 4 287 i i i i i x y x y b x x              ········································ 5分 所以 ˆˆ 350 50 4 150a y bx      ，所以 ˆˆ ˆ 50 150y bx a x    ······················· 6分 当 10x  时， ˆ 50 10 150 650y     ， 所以，预测第 10天该地区门锁的销售数量为650 ··············································· 7分 （2）由题知 3 1 ( ) ( ) ( | }       k P X Y P Y k P X Y Y k ·········································· 10分 3 2 ( ) ( | }      k P Y k P X Y Y k ········································· 12分 3 2 ( ) ( )     k P Y k P X k ·················································· 14分 1 1 1 1 2 1 8[ ] 3 3 3 3 3 3 27        ········································· 15分 高三数学答案 第 3页（共 4页） 18.（17分） 解：（1）由题得 2 2 2 3 2 a a be a        ······························································· 2分 解得 2 1 a b    ，所以椭圆M 的方程为 2 2 1 4 x y  ················································· 4分 （2）（ⅰ）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，设 0 0( , )Q x y ，直线 :AB y kx m  ， 由 2 2 1 4 y kx m x y      得： 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x kmx m     ， 所以 2 1 2 1 22 2 8 4 4, 1 4 1 4 km mx x x x k k        ··························································· 6分 所以 1 2 1 2 2 11 2 1 2 1 2 ( 2) ( 2) 2 2 ( 2)( 2) y y y x y xk k x x x x            1 2 2 1 1 2 ( )( 2) ( )( 2) ( 2)( 2) kx m x kx m x x x         1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( 2 )( ) 4 2( ) 4 kx x m k x x m x x x x         2 2 1 ( 2 ) m k m k       ···············································9分 解得 2 1m k  ，所以直线 : 2 1 ( 2)+1AB y kx k k x     ，过定点 (2,1)Q ········ 10分 （ⅱ）设 ( ,1), ( ,1)C DC x D x ，显然 2, 2C Dx x  ， 因为 , ,P A C三点共线，得 11 1 1 2 2C yk x x     ，所以 1 1 1 | | 2 C k QC x     ， 因为 , ,P B D三点共线，得 22 2 1 2 2D yk x x     ，所以 2 1 1 | | 2 D k QD x     ·········14分 所以 1 2 1 1 ( ) 1 | | | | k k QC QD      ································································ 16分 所以 | | | | | | | |QC QD QC QD   为定值0 ······················································17分 （注：分析极限情况，若 ,C D重合，则 | | | | | | | | 0QC QD QC QD    ，因此猜想： 1 1 1 | | | |QC QD   ） 19.（17分） 解：（1） 3 ( 1)( 2)x x x    ········································································· 4分 注： ( 1)( 2) 3x x x    也完全正确；若两个都写不扣分． （2）原方程 ( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3)( 4)x x x x x x x x         左边去掉 1, 4x x  ，右边去掉 2, 3x x  ························································ 6分 得到 ( 2)( 3) ( 1)( 4)x x x x     ， 即6 4 ，显然无实数解， 所以， A方程为 ( 2)( 3) ( 1)( 4)x x x x     ·····················································8分 注： ( 1)( 4) ( 2)( 3)x x x x     ，也完全正确． （3）原方程 ( 1)( 2) ( 2024) ( 1)( 2) ( 2024)x x x x x x        ． 显然，同一个一次因式在等号两边不能同时存在，至少需要去掉 2024个一次因式····· 9分 若在原方程左边去掉 (4 4), (4 1)x p x p    ， 0,1,2, ,505p   ； 在原方程右边去掉 (4 2), (4 3)x p x p    ， 0,1,2, ,505p   ； 所得方程 : ( 2)( 3) [ (4 2)][ (4 3)] ( 2022)( 2023)B x x x p x p x x         高三数学答案 第 4页（共 4页） ( 1)( 4) [ (4 4)][ (4 1)] ( 2021)( 2024)x x x p x p x x          ··················· 10分 下面证明方程 B无实数解 ①若 {1,2, ,2024}x  ， 则方程 B一边等于零，另一边不等于零，故方程 B无实数解································ 11分 ②若 (4 1,4 2) (4 3,4 4)x p p p p     ， 0,1,2, ,505p   则[ (4 2)][ (4 3)] 0x p x p     ，[ (4 4)][ (4 1)] 0x p x p     ， 则方程 B左边大于零，右边小于零，故方程 B无实数解······································ 13分 ③若 ( ,1) (2024, ) (4 ,4 1)x p p     ， 0,1,2, ,505p   则[ (4 2)][ (4 3)]x p x p     [ (4 4)][ (4 1)] 0x p x p     ， 故方程 B无实数解······················································································· 15分 ④若 (4 2,4 3)x p p   ， 0,1,2, ,505p   则[ (4 4)][ (4 1)]x p x p     [ (4 2)][ (4 3)] 0x p x p     ， 故方程 B无实数解 综上，方程 B是 A方程，所以 k的最小值为 2024 ·············································17分