第09讲 平面直角坐标系与函数（4考点+14题型）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第三章 函数 第09讲 平面直角坐标系与函数（3~6分） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 平面直角坐标系 考点二 点的坐标特征与变换 考点三 坐标方法的简单应用 考点四 函数 04题型精研·考向洞悉 命题点一 平面直角坐标系 题型01 有序数对 题型02 点的坐标 题型03 点所在的象限 命题点二 点的坐标特征与变换 题型01 坐标与图形 题型02 点坐标的规律探索 题型03 坐标方法的简单应用 命题点三 函数 题型01 常量与变量 题型02 函数的概念 题型03 函数的解析式 题型04 自变量与函数值 题型05 函数的图像获取信息 题型06 函数的三种表示方法 题型07 动点的函数图像问题 题型08函数综合问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 平面直角坐标系 · 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系. 10年7考 该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为6分左右.预计2025年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大． 点的坐标 特征与变换 · 在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标. · 对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形. · 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. · 在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. 近10年连续考查 坐标方法的简单应用 · 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. · 在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 10年8考 函数 · 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例; · 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析; · 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; · 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; · 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 10年10考 考点一 平面直角坐标系 有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 考点二 点的坐标特征与变换 一、点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 二、点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 三、点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 四、坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； ( 1 ）原点既是 x 轴上的点，又是 y 轴上的点 . 2 ）点的横坐标或纵坐标为 0 ，说明点在 y 轴上或在 x 轴上 . 3 ）已知点的坐标可以求出点到 x 轴、 y 轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值 . 4 ）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ① 到 x 轴的距离与纵坐标有关，到 y 轴的距离与横坐标有关； ② 距离都是非负数，而坐标可以是负数 . 5 ）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小 . ) 考点三 坐标方法的简单应用 用坐标表示地理位置的方法 1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； 2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位； 3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称. 考点四 函数 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 ( 1 ）常量和变量的区分：在某个变化过程中，该量的值是否发生变化。 2 ）函数概念的解读： ① 有两个变量。 ② 一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 ③ 对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 3 ）当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值 . 4 ）当已知函数解析式，且给出函数值 , ，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程 . 5 ）当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式 . ) 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 有序数对 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示为雷达在一次探测中发现的三个目标，其中目标A，B的位置分别表示为，，按照此方法可以将目标C的位置表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为，那么（    ） A．表示排a号 B．表示第b排a号位 C．表示b排或a号 D．与不可能代表同一个位置 3．（2023·吉林·一模）在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏．当听到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“C，A，T”，表示的动物是猫．当听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（    ） A．牛 B．鱼 C．狗 D．猪 4．（2024·江苏盐城·三模）小民和小泽两姐弟拿着如图的密码表玩听声音猜汉字的游戏，若听到“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”，则听到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的汉字可能为（    ） 4 3 2 1 1 2 3 4 5 A．汉 B．华 C．盐 D．音 ►题型02 点的坐标 5．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A顺时针旋转后，得到菱形，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．（2024·四川乐山·模拟预测）如图所示，矩形中，，则点B的坐标为（  ）． A． B． C． D． 8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为（    ）    A． B． C． D． ►题型03 点所在的象限 9．（2024·广东广州·模拟预测）点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 10．（2024·广东中山·二模）已知点在第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·广东广州·一模）点在第四象限，且，，则点P关于y轴对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 12．（2023·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P在第一象限，坐标为，若点P到x轴的距离等于它到y轴的距离，则a的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 命题点二 点的坐标特征与变换 ►题型01 坐标与图形 13．（2024·广东惠州·模拟预测）已知点在y轴上，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．（2024·广东惠州·一模）如图，四边形是平行四边形，在平面直角坐标系中，点，，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·江苏淮安·模拟预测）我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，并且、两点的坐标分别为和，边的长为5，若固定边，“推”矩形得到平行四边形，并使点落在轴正半轴上的点处，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 16．（2024·广东江门·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． ►题型02 点坐标的规律探索 17．（2024·广东茂名·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 18．（2021·广东江门·三模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线线的粗细不略不计的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(　　)    A． B． C． D． 19．（2020·广东广州·一模）如图，直线y＝x+1与x轴和y轴分别交于B0，B1两点，将B1B0绕B1逆时针旋转135°得B1B0′，过点B0'作y轴平行线，交直线y＝x+1于点B2，记△B1B0B2的面积为S1；再将B2B1绕B2逆时针旋转135°得B2B1'，过点B1'作y轴平行线，交直线y＝x+l于点B3，记△B2B1'B3的面积为S2…以此类推，则△BnBn﹣1'Bn+1的面积为Sn＝（    ） A．（）n B．（）n﹣1 C．2n D．2n﹣1 20．（2024·河南周口·一模）小星利用平面直角坐标系绘制的风车图案如图所示，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将绕原点逆时针转动至，称为第一次转动；然后将绕原点逆时针转动至，称为第二次转动……按照这种转动方式，在转动2024次后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． ►题型03 坐标方法的简单应用 21．（2024·广东湛江·二模）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（    ）    A． B． C． D． 22．（2022·广西柳州·中考真题）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（　　） A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2） 23．（2024·山西临汾·二模）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力游戏．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等多种图形．如图为由七巧板拼成的“小船”，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·山西晋城·三模）五一假期正是踏青赏花的好时节，小米和小华相约去太原双塔公园赏花．如图为双塔公园中的牡丹园、双塔寺和文峰塔的位置．将其放在适当的平面直角坐标系中，若双塔寺的坐标为，文峰塔的坐标为，则牡丹园的坐标为（    ）    A． B． C． D． 命题点三 函数 ►题型01 常量与变量 25．（2024·湖北武汉·模拟预测）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如下表： 尺码 衣长 若小明需要定制，则他的衣长可能是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·湖北武汉·模拟预测）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示： 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（）                          当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） A．27 B． C．20 D． 27．（2023·广西桂林·一模）下列问题情境能列出反比例函数的是（　　） A．矩形的长为119，矩形的面积y与宽x的关系 B．一个“哪吒”玩偶119元，买x个这样的玩偶与总的钱数y元之间的关系 C．一个企业每个月产值都相同，若该企业x个月总的产值为119万元，则每个月的产值y万元与x个月的关系 D．小明原有119元零花钱，已经花费的钱数y（元）与剩余的钱数x（元）的关系 28．（2023·广西南宁·二模）南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（    ）    A．  B．  C．   D．   ►题型02 函数的概念 29．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点 C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上 30．（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 31．（2024·北京·模拟预测）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（    ） A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米 32．（2023·北京丰台·一模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（   ） ①圆的周长C是半径r的函数；②表达式中，y是x的函数； ③下表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 6 3 2 ④下图中，曲线表示y是x的函数 A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ ►题型03 函数的解析式 33．（2023·安徽六安·二模）某登山队大本营所在地的气温为．海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 34．（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 35．（2024·广东佛山·三模）如图，弹簧秤不挂重时弹簧长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度（挂重不超过）内，弹簧的长度与所挂重之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 36．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方形中，连接，点H和点Q分别在线段上，若点B、H、Q、C四点共圆，若，设为x，三角形的面积为y，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． ►题型04 自变量与函数值 37．（2024·贵州黔东南·一模）若函数有意义，则自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（2024·云南文山·模拟预测）下列各数中，不可能是函数的自变量x的值的是（   ） A．2 B．0 C． D． 39．（2024·山东济宁·一模）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 40．（2024·山东烟台·二模）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是（   ） A．3 B．1 C． D．3或 ►题型05 函数的图像获取信息 41．（2024·贵州·模拟预测）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（    ） A．客人距离厨房门口； B．慧慧比聪聪晚出发； C．聪聪的速度为； D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为； 42．（2024·贵州遵义·模拟预测）生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程（单位：）与时间（单位：）的函数关系图象．则下列结论正确的是（    ） A．后的速度为 B．中途停留了 C．后速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为 43．（2024·广东东莞·模拟预测）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量与其托运费用y(元)的关系如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可免费携带行李的最大质量为（  ） A． B． C． D． 44．（2024·湖北武汉·模拟预测）甲和乙两辆车从地同时出发，沿相同的路线匀速驶向地．在甲车行驶了2小时后，因发生故障停车进行维修．维修结束后，甲车继续以匀速驶向地，结果比乙车晚到了30分钟．甲、乙两车行驶的路程与离开地的时间的函数图象如图所示，当两车相距60km时，乙车所行驶的时间是（    ） A． B．或 C．或 D．或或 ►题型06 函数的三种表示方法 45．（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 46．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 47．（2022·北京·模拟预测）对于温度的计量， 世界上大部分国家使用摄氏温标 (℃) ， 少数国家使用华氏温标(°F)， 两种温标间有如下对应关系： 摄氏温标（°C） … 0 10 20 30 40 50 … 华氏温标（°F） … 32 50 68 86 104 122 … 则摄氏温标 (℃) 与华氏温标(°F)满足的函数关系是（   ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 48．（2021·陕西西安·模拟预测）在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h（cm）下滑的时间t（s），得到如下数据： 支撑物高h（cm） 10 20 30 40 50 … 下滑时间t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … 以下结论错误的是（　　） A．当h＝10时，t为3.25秒 B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短 C．估计当h＝80时，t一定小于2.56秒 D．高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒 ►题型07 动点的函数图像问题 49．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，，设点运动的路程为，则的面积随变化的函数图象大致为（    ） A．B．C． D． 50．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（    ）． A． B． C． D． 51．（2024·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（    ） 点的运动速度为； 点的坐标为； 线段段的函数解析式为； 曲线段的函数解析式为； 若的面积是四边形的面积的，则时间． A． B． C． D． 52．（2024·广东珠海·三模）如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（    ） A． B．当时，的面积是 C．当时， D．当时， ►题型08函数综合问题 53．（2024·广东广州·一模）如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式，5时至8时的图象满足函数关系式．请根据图中信息，解答下列问题：    (1)填空：次日0时到8时的最低气温是______； (2)求一次函数的解析式； (3)某种植物在气温以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否需要采取防霜措施，并说明理由． 54．（2024·广东深圳·二模）电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标，高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关．某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究： 下面是他们的探究过程，请补充完整： (1)他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据： 速度（千米/小时） 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160 续航里程（千米） 100 340 460 530 580 560 500 430 380 310 则设___为y，__为x，y是x的函数； (2)建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (3)结合画出的函数图象，下列说法正确的有_________ ①y随x的增大而减小； ②当汽车的速度在60 千米/小时左右时，汽车的续航里程最大； ③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小． (4)若想要该车辆的续航里程保持在460千米以上，该车的车速大约控制在_______至______千米/小时范围内． 55．（2024·广东深圳·一模）参照学习函数的过程与方法，探究函数 的图象与性质，因为 即 所以我们对比函数 来探究． 列表： x … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … … 2 3 5 0 … 描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示； (1)请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题： 当时，y随x的增大而 ；（填“增大’或“减小”） 的图象可看作是由 的图象向 平移 个单位而得到的； 图象的两个分支关于点 中心对称； （填点的坐标） (3)试说明函数 与直线的交点情况． 56．（2024·广东深圳·三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … b … （2）描点并连线． （3）观察图象并填空： ① ， ②写出该函数的一条性质： ③图象与x轴围成的三角形面积为 ④当时，直接写出x的取值范围 基础巩固 一、单选题 1．（2024·广东梅州·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点关于的对称点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·广东揭阳·一模）过点和点作直线，则直线（    ） A．平行于轴 B．平行于轴 C．与轴相交 D．与轴垂直 3．（2024·广东茂名·一模）已知点在第四象限，则x的取值范围在数轴上可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·广东湛江·模拟预测）在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，它到x轴的距离为（　　） A．3 B． C．4 D． 5．（2024·广东惠州·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·广东江门·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（    ）    A．  B．  C．   D．   二、填空题 7．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，若三角形为等边三角形，则点的坐标是 ． 8．（2022·广东东莞·一模）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（0，0）表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为 ． 9．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有菱形，点坐标为，点是对角线上一动点，点坐标为，则最小值为 ． 三、解答题 10．（2024·广东惠州·三模）综合探究 请根据学习函数的经验，将下列探究函数的图象与性质的过程补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是__________． (2)下表列出了与的几组对应值，请写出其中的值__________，__________； 0 2 3 4 2 1 (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以（2）表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)根据图象直接写出时的取值范围：__________． 11．（2024·广东广州·模拟预测）已知点，，． (1)请自行建立平面直角坐标系并作； (2)尺规作图：作的角平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)请你在水平方向平移使得点、、中恰有两点在反比例函数的图像上． 能力提升 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的弧多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2024秒时点的纵坐标为（ ） A． B． C．0 D．1 3．（2024·海南海口·二模）如图1，在矩形中，，动点P由点E出发，沿点的方向运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系如图2所示，当时，y的值为（　　） A． B．5 C． D．6 4．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，．与矩形的一边都在直线上，其中、、，且点位于点处．将沿直线，向右平移，直到点与点重合为止．记点平移的距离为，与矩形重叠区域面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 5（2024·广东梅州·一模）如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图像大致是（    ） A．B．C． D． 二、填空题 6．（2024·广东·模拟预测）物理课上老师讲到镜面成像时提到老花镜镜片的度数与焦距呈反比例函数的关系，引起了大家探究的兴趣．小明找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数 度 镜片与光斑的距离 根据以上数据，当老花镜的镜片与光斑的距离为时，老花镜的度数是 度． 7．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x 轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去， 若已知点，则点的坐标为 ． 8．（2023·广东清远·三模）小华和小兰两家相距2400米，他们相约到两家之间的剧院看戏，两人同时从家出发匀速前行，出发15分钟后，小华发现忘带门票，立即以原来速度的倍返回家中，取完东西后仍以返回时的速度去见小兰；而小兰在出发30分钟时到达剧院，等待10分钟后未见小华，于是仍以原来的速度，从剧院出发前往小华家，途中两人相遇．假设小华掉头、取票时间均忽略不计．两人之间的距离y（米）与小华出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则当两人相遇时，小兰距离剧院有 米．    9．（2023·广东潮州·一模）如图1，在四边形中， ，，直线．当直线l沿射线方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形的边分别相交于点E、F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示，则四边形的周长是 ．    10．（2024·广东佛山·二模）如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是 ． 三、解答题 11．（2024·广东广州·一模）如图所示，在平面直角坐标系中中，点的三个顶点都在格点上．将在坐标系中平移，使得点平移至图中点的位置，点对应点，点对应点． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在图中作出，并连接； (3)求在线段平移到线段的过程中扫过的面积； 12．（2024·广东·模拟预测）科学研究表明：一般情况下，在一节的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间满足关系；以后，学生的注意力指数y与时间的图象呈抛物线形，到第时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束． (1)当时，注意力指数y为 ，8min以后，学生的注意力指数y与时间x(min)的函数关系式是 ； (2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长（精确到）？ (3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题(精确到；参考数据)？ 13．（2024·广东深圳·模拟预测）初中阶段研究新函数的性质往往需要先确定函数的解析式，再经历列表、描点、连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．下表是函数的部分信息：    请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题： (1)求 ______， ______， ______，并补全函数图象； (2)在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：______； (3)已知关于的方程无实数解，根据函数图象，直接写出的取值范围． 14．（2024·广东深圳·模拟预测）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图， 列表：下表是与的几组对应值，其中　 　； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； (2)通过观察函数图象，写出该函数的一条性质：　 　． (3)利用函数图象，解不等式． $$ 第三章 函数 第09讲 平面直角坐标系与函数（3~6分） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 平面直角坐标系 考点二 点的坐标特征与变换 考点三 坐标方法的简单应用 考点四 函数 04题型精研·考向洞悉 命题点一 平面直角坐标系 题型01 有序数对 题型02 点的坐标 题型03 点所在的象限 命题点二 点的坐标特征与变换 题型01 坐标与图形 题型02 点坐标的规律探索 题型03 坐标方法的简单应用 命题点三 函数 题型01 常量与变量 题型02 函数的概念 题型03 函数的解析式 题型04 自变量与函数值 题型05 函数的图像获取信息 题型06 函数的三种表示方法 题型07 动点的函数图像问题 题型08函数综合问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 平面直角坐标系 · 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系. 10年7考 该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为6分左右.预计2025年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大． 点的坐标 特征与变换 · 在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标. · 对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形. · 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. · 在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. 近10年连续考查 坐标方法的简单应用 · 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. · 在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 10年8考 函数 · 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例; · 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析; · 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; · 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; · 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 10年10考 考点一 平面直角坐标系 有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 考点二 点的坐标特征与变换 一、点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 二、点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 三、点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 四、坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； ( 1 ）原点既是 x 轴上的点，又是 y 轴上的点 . 2 ）点的横坐标或纵坐标为 0 ，说明点在 y 轴上或在 x 轴上 . 3 ）已知点的坐标可以求出点到 x 轴、 y 轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值 . 4 ）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ① 到 x 轴的距离与纵坐标有关，到 y 轴的距离与横坐标有关； ② 距离都是非负数，而坐标可以是负数 . 5 ）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小 . ) 考点三 坐标方法的简单应用 用坐标表示地理位置的方法 1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； 2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位； 3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称. 考点四 函数 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 ( 1 ）常量和变量的区分：在某个变化过程中， 该量的 值是否发生变化。 2 ）函数概念的解读： ① 有两个变量。 ② 一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 ③ 对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 3 ）当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值 . 4 ）当已知函数解析式，且给出函数值 , ，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程 . 5 ）当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式 . ) 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 有序数对 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示为雷达在一次探测中发现的三个目标，其中目标A，B的位置分别表示为，，按照此方法可以将目标C的位置表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有序数对的应用．理解题意是解题的关键． 由目标A，B的位置分别表示为，，可知目标C的位置表示为． 【详解】解：∵目标A，B的位置分别表示为，， ∴目标C的位置表示为， 故选：C． 2．（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为，那么（    ） A．表示排a号 B．表示第b排a号位 C．表示b排或a号 D．与不可能代表同一个位置 【答案】B 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，根据题意进行解答即可． 【详解】解：∵电影院中的第a排b号位，简记为， ∴表示第b排a号位， 故选：B． 3．（2023·吉林·一模）在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏．当听到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“C，A，T”，表示的动物是猫．当听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（    ） A．牛 B．鱼 C．狗 D．猪 【答案】C 【分析】根据题意，声音的前一部分表示列数，后一部分表示行数，举出即可求解． 【详解】解：依题意，“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”，对应的字母分贝为D，O，G， 故选：C． 【点睛】本题考查了用有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键． 4．（2024·江苏盐城·三模）小民和小泽两姐弟拿着如图的密码表玩听声音猜汉字的游戏，若听到“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”，则听到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的汉字可能为（    ） 4 3 2 1 1 2 3 4 5 A．汉 B．华 C．盐 D．音 【答案】C 【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据题意，“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”， 表示的对应的字母为“”，则“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示对应的字母为“”，即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”， ∴ “咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的对应的字母为“”， ∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示对应的字母为“”， ∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的汉字可能是：“盐”， 故选：C． ►题型02 点的坐标 5．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的坐标的特征．设点A的坐标是，根据点M在第二象限内，可得，，再由点A到x轴的距离为9，到y轴的距离为6，可得，，即可求解． 【详解】解：设点A的坐标是， ∵点M在第二象限内， ∴，， ∵点A到x轴的距离为9，到y轴的距离为6， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是． 故选：B． 6．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A顺时针旋转后，得到菱形，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，，作轴于，作轴于，由菱形，，，可得，，，则，，，，由旋转的性质可知，，，则，，，计算求解，进而可得点的坐标． 【详解】解：如图，连接，，作轴于，作轴于， ∵菱形，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴，， ∴点的坐标是， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，正弦，余弦，点坐标等知识．熟练掌握菱形的性质，旋转的性质，正弦，余弦，点坐标是解题的关键． 7．（2024·四川乐山·模拟预测）如图所示，矩形中，，则点B的坐标为（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，解直角三角形，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，解直角三角形，求出，利用矩形的性质得到，求出，进而求出，即可得到点B的坐标． 【详解】解：如图，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，则， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴在中， ， ∴在中， ， ∴在中， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∵点B在第二象限， ∴点B的坐标为: 故选：A． 8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标确定位置．根据点A的坐标为，点的坐标为确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案． 【详解】解：如图，      点B的坐标为． 故选：A． ►题型03 点所在的象限 9．（2024·广东广州·模拟预测）点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在各象限内的坐标符号即可解答． 【详解】平面直角坐标系内的点位于第四象限． 故选：D． 10．（2024·广东中山·二模）已知点在第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了第三象限点的坐标特征，解一元一次不等式组，根据第三象限点的坐标特征列出不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再取公共部分即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 11．（2024·广东广州·一模）点在第四象限，且，，则点P关于y轴对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特征，绝对值，第四象限点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 由绝对值定义可得x，y的可能的值，由点P在第四象限可得点P的坐标，进而让横纵坐标均互为相反数可得P点关于x轴对称点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点在第四象限， ∴，， ∴，， ∴， ∴点P关于y轴对称点的坐标是． 故选：B． 12．（2023·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P在第一象限，坐标为，若点P到x轴的距离等于它到y轴的距离，则a的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第一象限内的点的坐标特点，根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，结合第一象限内的点横纵坐标都互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：∵点P在第一象限，坐标为，且点P到x轴的距离等于它到y轴的距离， ∴， ∴， 故选：A． 命题点二 点的坐标特征与变换 ►题型01 坐标与图形 13．（2024·广东惠州·模拟预测）已知点在y轴上，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：y轴上的点的横坐标为0． 让点P的横坐标为0列式求得a的值，即可求得点P的坐标． 【详解】解：∵点在直角坐标系的y轴上， ∴， 解得，， ∴P坐标为． 故选：B． 14．（2024·广东惠州·一模）如图，四边形是平行四边形，在平面直角坐标系中，点，，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的性质等知识．由平行四边形的性质得，，由，，求得点的坐标为，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ，点在轴上且， ，， ， 故选：C． 15．（2024·江苏淮安·模拟预测）我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，并且、两点的坐标分别为和，边的长为5，若固定边，“推”矩形得到平行四边形，并使点落在轴正半轴上的点处，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先利用勾股定理解得，即，根据矩形的边在轴上，且四边形是平行四边形，易得，与的纵坐标相等，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 根据题意，可得， ∴由勾股定理，可得， 即， ∵矩形的边在轴上，且四边形是平行四边形， ∴，， ∴与的纵坐标相等， ∴． 故选：A． 16．（2024·广东江门·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定与性质，过A、C分别作轴，轴，根据菱形的性质可得，再证明，可得，然后可得C点坐标． 【详解】解：过A、C分别作轴，轴， ∵点A的坐标是， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． ►题型02 点坐标的规律探索 17．（2024·广东茂名·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形问题，点坐标规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2024次旋转后，点A的坐标即可． 【详解】解：正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴，，， ∴， ∴， 第1次旋转结束时，点A的坐标为； 第2次旋转结束时，点A的坐标为； 第3次旋转结束时，点A的坐标为； 第4次旋转结束时，点A的坐标为； ∵将绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴4次一个循环， ∵， ∴经过第2024次旋转后，点A的坐标为， 故选：D． 18．（2021·广东江门·三模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线线的粗细不略不计的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(　　)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，从一圈的长度为，据此分析即可得细线另一端在绕四边形第圈后的第个单位长度的位置，从而求得细线另一端所在位置的点的坐标． 【详解】解：，，，， ，，，， 绕四边形一周的细线长度为， ， 细线另一端在绕四边形第圈的第个单位长度的位置， 即点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标规律探索，找到规律是解题的关键． 19．（2020·广东广州·一模）如图，直线y＝x+1与x轴和y轴分别交于B0，B1两点，将B1B0绕B1逆时针旋转135°得B1B0′，过点B0'作y轴平行线，交直线y＝x+1于点B2，记△B1B0B2的面积为S1；再将B2B1绕B2逆时针旋转135°得B2B1'，过点B1'作y轴平行线，交直线y＝x+l于点B3，记△B2B1'B3的面积为S2…以此类推，则△BnBn﹣1'Bn+1的面积为Sn＝（    ） A．（）n B．（）n﹣1 C．2n D．2n﹣1 【答案】D 【分析】根据直线与x轴的成角和已知，可以判断∴△B1B0B2；…；△BnBn﹣1'Bn+1都是直角三角形，再由旋转的性质得到B1B0′＝OB0，B2B1′＝B1B0′，…，Bn+1B′n＝BnBn﹣1′，可以B1B0′＝，B2B1′＝2，…，BnBn﹣1'＝，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：直线l1：y＝x+1与x轴正半轴夹角45°， 由题意可知B′0B1∥x轴，B1′B2∥x轴，…，Bn′Bn+1∥x轴， B′0B2∥y轴，B′1B3∥y轴，…，B′n﹣1Bn+1∥y轴， ∴△B1B0B2；…；△BnBn﹣1'Bn+1都是直角三角形， ∴B1B0′＝OB0，B2B1′＝B1B0′，…，Bn+1B′n＝BnBn﹣1′ 由直线l1：y＝x+1可知，B0（﹣1，0），B1（0，1）， ∴OB0＝1， ∴B1B0′＝，B2B1′＝2，…，BnBn﹣1'＝， ∴△BnBn﹣1'Bn+1的面积为Sn＝（）2＝2n﹣1 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象及性质，直角三角形的性质；利用直线与x轴的成角，平行线的性质，在直角三角形中利用角的关系得到边的关系是解题的关键． 20．（2024·河南周口·一模）小星利用平面直角坐标系绘制的风车图案如图所示，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将绕原点逆时针转动至，称为第一次转动；然后将绕原点逆时针转动至，称为第二次转动……按照这种转动方式，在转动2024次后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能通过计算发现点对应点的坐标按，，，循环出现是解题的关键．根据三角形的旋转方式，依次求出点的对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：分别过点和点作轴和轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， 又， ． 在和中， ， ， ，． 又， ，， 则点的坐标为． 同理可得，，，，，， 由此可见，点对应点的坐标按，，，循环出现． 又， 转动2024次后，点的对应点的坐标为． 故选：A． ►题型03 坐标方法的简单应用 21．（2024·广东湛江·二模）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据“馬”和“車”的坐标建立坐标系，进而得到“炮”的坐标即可． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系， ∴炮”的坐标为， 故选：C．    22．（2022·广西柳州·中考真题）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（　　） A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2） 【答案】D 【分析】根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），先确定坐标原点以及坐标系，再根据教学楼的位置可得答案． 【详解】解：如图，根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），画图如下： ∴教学楼的坐标为： 故选D 【点睛】本题考查的是根据位置确定点的坐标，熟练的根据已知条件建立坐标系是解本题的关键． 23．（2024·山西临汾·二模）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力游戏．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等多种图形．如图为由七巧板拼成的“小船”，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：确定平面直角坐标系如图所示： ∴点C的坐标为， 故选：D． 24．（2024·山西晋城·三模）五一假期正是踏青赏花的好时节，小米和小华相约去太原双塔公园赏花．如图为双塔公园中的牡丹园、双塔寺和文峰塔的位置．将其放在适当的平面直角坐标系中，若双塔寺的坐标为，文峰塔的坐标为，则牡丹园的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形．根据双塔寺和文峰塔的坐标建立直角坐标系，即可得到牡丹园的坐标． 【详解】解：由双塔寺的坐标为，文峰塔的坐标为，建立直角坐标系如下：   牡丹园的坐标为， 故选：D． 命题点三 函数 ►题型01 常量与变量 25．（2024·湖北武汉·模拟预测）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如下表： 尺码 衣长 若小明需要定制，则他的衣长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义，根据题意当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解． 【详解】解：根据题意，当尺码增加，则衣长增加， 到，增加了个尺码， ∴， ∴他的衣长可能是； 故选：B． 26．（2024·湖北武汉·模拟预测）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示： 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（）                          当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） A．27 B． C．20 D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的表示方法，根据“重物质量每增加，弹簧伸长”写出关于的关系式是本题的关键． 根据“重物质量每增加，弹簧伸长”写出关于的关系式，将代入该关系式求出对应的值即可． 【详解】由表格可知，重物质量每增加，弹簧伸长， 加弹簧总长与重物质量的关系式为， 当时，． 故答案为：A． 27．（2023·广西桂林·一模）下列问题情境能列出反比例函数的是（　　） A．矩形的长为119，矩形的面积y与宽x的关系 B．一个“哪吒”玩偶119元，买x个这样的玩偶与总的钱数y元之间的关系 C．一个企业每个月产值都相同，若该企业x个月总的产值为119万元，则每个月的产值y万元与x个月的关系 D．小明原有119元零花钱，已经花费的钱数y（元）与剩余的钱数x（元）的关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据题意列出对应变量之间的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：A、矩形面积y与宽x之间关系为： ，为正比例函数，不符合题意； B、总的钱数y与数量x之间关系为：，为正比例函数，不符合题意； C、每个月的产值y与月数x之间关系为：，为反比例函数，符合题意； D、已经花费钱数y与剩余钱数x之间关系为：，为一次函数，不符合题意； 故选：C． 28．（2023·广西南宁·二模）南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（    ）    A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】火车通过隧道分为3个过程：逐渐进入隧道，完全进入隧道并在其中行驶，逐渐出隧道，进而求解即可． 【详解】火车在逐渐进入隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐增加； 火车完全进入隧道后，还在隧道内行驶一段时间，因此在隧道内的长度是火车长，且保持一段时间不变； 火车在逐渐出隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐减少； 符合上述分析过程的为：D． 故选：D． 【点睛】本题考查函数图像在生活中的应用，解题关键是分析事件变化的过程，并能够匹配对应函数图像变化 ►题型02 函数的概念 29．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点 C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数，二次函数，反比例函数的定义，正确把握它们的区别与联系是解题的关键． 直接利用一次函数，二次函数，反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A、任何函数都不一定与x轴有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意． B、一次函数，二次函数都与y轴有交点，原说法正确，故此选项符合题意． C、反比例函数与y轴不会有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意． D、原点是坐标轴上的点，原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 30．（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查函数的概念和图象，关键是根据当x取一值时，y有唯一与它对应的值判断． 根据函数的概念解答即可． 【详解】解：A、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、当x取一值时，y有两个值与其对应，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 31．（2024·北京·模拟预测）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（    ） A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米 【答案】C 【分析】本题考查函数图象，常量和变量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数的定义可以判断变量是的函数，）根据图象可以得到摩天轮的直径． 【详解】解：根据图象可得，变量y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，所以变量y是x的函数； 由图象可得，摩天轮的直径为：． 故选C． 32．（2023·北京丰台·一模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（   ） ①圆的周长C是半径r的函数；②表达式中，y是x的函数； ③下表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 6 3 2 ④下图中，曲线表示y是x的函数 A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案． 【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意； ②表达式中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意； 由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意； 在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键． ►题型03 函数的解析式 33．（2023·安徽六安·二模）某登山队大本营所在地的气温为．海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“大本营所在地的气温为，海拔每升高，气温下降”可得向上登高可得气温下降了，即可写出函数关系式． 【详解】解：由题意得，y与x的函数关系式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列函数关系式，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 34．（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式，由题意可得树苗每个月增长的高度是，进而得出答案． 【详解】解：由题意得，树苗每个月增长的高度是， 故该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为， 故选：． 35．（2024·广东佛山·三模）如图，弹簧秤不挂重时弹簧长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度（挂重不超过）内，弹簧的长度与所挂重之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列函数关系式，根据“每挂重物体，弹簧伸长”可得每挂重物体，弹簧伸长，由此可解． 【详解】解：由题意知，每挂重物体，弹簧伸长， 因此弹簧的长度与所挂重之间的关系式是， 故选D． 36．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方形中，连接，点H和点Q分别在线段上，若点B、H、Q、C四点共圆，若，设为x，三角形的面积为y，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了求函数解析式、圆周角定理、解直角三角形等知识，过点H作于点M，过点H作于点N，则，证明四边形是矩形，是四边形的外接圆的直径，求出，，，得到，进一步得到，即可得到三角形的面积． 【详解】解：过点H作于点M，过点H作于点N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，是四边形的外接圆的直径， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴三角形的面积， 故选：A． ►题型04 自变量与函数值 37．（2024·贵州黔东南·一模）若函数有意义，则自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， ∴， 故选：D． 38．（2024·云南文山·模拟预测）下列各数中，不可能是函数的自变量x的值的是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件求出自变量x的取值范围，即可解答． 【详解】解：函数的自变量x应满足，即， ∴自变量x不能是． 故选：D 39．（2024·山东济宁·一模）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，因函数式中含有分母，分母应不为零；函数式中含有二次根式，被开方数应非负，由此即可确定自变量的取值范围． 【详解】解：由题意知：且， 解得：且； 故； 故选：C． 40．（2024·山东烟台·二模）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是（   ） A．3 B．1 C． D．3或 【答案】C 【分析】此题考查了求函数值．根据所示的程序，输入，由，则把代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴根据题意得，当时，， 故选：C． ►题型05 函数的图像获取信息 41．（2024·贵州·模拟预测）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（    ） A．客人距离厨房门口； B．慧慧比聪聪晚出发； C．聪聪的速度为； D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为； 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，一次函数图象的性质是解题的关键．根据图象分别求出聪聪的解析式，结合图象的性质，即可求解． 【详解】解：聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变， ∴表示的是聪聪行走的时间与路程的关系， 设的解析式为，图象经过点， ∴， 解得，， ∴的解析式为， 由图象知，慧慧从出发到送餐结束用时为， ∴A、客人距离厨房门口，正确，不符合题意； B、慧慧比聪聪晚出发，正确，不符合题意； C、∵， ∴聪聪的速度为，正确，不符合题意； D、当时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大， ∴当时，， 当时，聪聪与慧慧的距离先减小，再增加， 当时，， ∴， 当时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到， ∵, ∴D选项不正确，符合题意 ； 故选：D ． 42．（2024·贵州遵义·模拟预测）生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程（单位：）与时间（单位：）的函数关系图象．则下列结论正确的是（    ） A．后的速度为 B．中途停留了 C．后速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 利用速度路程时间，可求出后800m的速度，判断A选项；利用中途停留的时间，可求出中途停留的时间，判断B选项；当时，关于的函数图象是线段，可得出后速度不变，判断C选项；利用整个登山过程的平均速度总路程总时间，可求出整个登山过程的平均速度，判断D选项． 【详解】解：A、后的速度为，选项A正确，符合题意； B、中途停留了，选项B错误，不符合题意； C、当时，关于的函数图象是线段，即后速度不变，选项C错误，不符合题意； D、整个登山过程的平均速度为，选项D错误，不符合题意． 故选：A． 43．（2024·广东东莞·模拟预测）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量与其托运费用y(元)的关系如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可免费携带行李的最大质量为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题，本题关键是理解一次函数图象的意义以及与实际问题的结合．根据图中数据，用待定系数法求出直线解析式，然后求时，x对应的值即可． 【详解】解：设y与x的函数关系式为，把点，分别代入得， 由题意可知， 解得 所以y与x的函数关系式为， 当时，， 解得． 即旅客可免费携带行李的最大质量为， 故选：C． 44．（2024·湖北武汉·模拟预测）甲和乙两辆车从地同时出发，沿相同的路线匀速驶向地．在甲车行驶了2小时后，因发生故障停车进行维修．维修结束后，甲车继续以匀速驶向地，结果比乙车晚到了30分钟．甲、乙两车行驶的路程与离开地的时间的函数图象如图所示，当两车相距60km时，乙车所行驶的时间是（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，利用待定系数法求解一次函数解析式，一元一次方程的应用，理解题意，明确坐标含义是解本题的关键．利用待定系数法求出甲车和乙车的解析式，根据两车相距60km建立方程求解即可． 【详解】解：当时，设甲车的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 由图象可知：当时，甲车的解析式为； 当时，设甲车的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 设时，乙车的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 由图象可知：时，， ∵两车相距60km， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去） 综上所述：两车相距60km时，乙车所行驶的时间是或或． 故选：D． ►题型06 函数的三种表示方法 45．（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为4是解题的关键． 根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确； 故选：C． 46．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 47．（2022·北京·模拟预测）对于温度的计量， 世界上大部分国家使用摄氏温标 (℃) ， 少数国家使用华氏温标(°F)， 两种温标间有如下对应关系： 摄氏温标（°C） … 0 10 20 30 40 50 … 华氏温标（°F） … 32 50 68 86 104 122 … 则摄氏温标 (℃) 与华氏温标(°F)满足的函数关系是（   ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】B 【分析】从表格可看出，摄氏温标每增加10°C，华氏温标增加18°F，即摄氏温标 (℃) 与华氏温标(°F)成一次函数关系． 【详解】解：从表格可看出，摄氏温标每增加10°C，华氏温标增加18°F，即摄氏温标 (℃) 与华氏温标(°F)成一次函数关系． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数，根据已知得出y与x的函数关系式是解题的关键． 48．（2021·陕西西安·模拟预测）在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h（cm）下滑的时间t（s），得到如下数据： 支撑物高h（cm） 10 20 30 40 50 … 下滑时间t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … 以下结论错误的是（　　） A．当h＝10时，t为3.25秒 B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短 C．估计当h＝80时，t一定小于2.56秒 D．高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒 【答案】D 【分析】根据表格中数量的变化情况，分别进行判断即可． 【详解】解：由表格知：h＝10，t＝3.25． 故A结论正确． 由表格知：随着高度的增加，下滑时间越来越短． 故B，C结论正确． 当支撑物高度从10cm升高到20cm，下滑时间的减少0.24s， 从20cm升高到30cm时，下滑时间就减少0.2s， 从30cm升高到40cm时，下滑时间就减少0.15s， 从40cm升高到50cm时，下滑时间就减少0.1s， 因此，“高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒”的说法是错误的， 故选项D结论错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的概念，函数的定义：设x和y是两个变量，对于每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数．本题理解表格中两个变量之间的变化关系是正确判断的前提． ►题型07 动点的函数图像问题 49．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，，设点运动的路程为，则的面积随变化的函数图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，动点的函数图象问题，分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别用含x的式子表示出的面积，即可求解． 【详解】解：当点P在上运动时，作于点E，如图： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 即当时，，排除C，D选项； 当点P在上运动时，如图： ∵， ∴， 即当时，，排除B选项； 故选：A． 50．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理． 根据图象可得，当点P在上，点Q在上运动时，过点O作于点E，交于点F，则的长为，间的距离．通过“”证明，得到，从而当点P运动至点E时，点Q运动至点F，此时，根据勾股定理求出的长，即可得到，从而解答． 【详解】解：由图可知，当点P从点O向点A，点Q从点O向点C运动时，间距离y逐渐增大， 当点P运动到点A，点Q运动到点C时，由图象可知， ∴， ∵四边形四边形是平行四边形， ∴， 此时它们运动了， 当点P在上，点Q在上运动时， 过点O作于点E，交于点F，则的长为，间的距离 ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P，Q的运动速度相同， ∴当点P运动至点E时，点Q运动至点F，此时， 根据图象可知点P从点A运动至点E，需要， ∴， ∵， ∴中，， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：B 51．（2024·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（    ） 点的运动速度为； 点的坐标为； 线段段的函数解析式为； 曲线段的函数解析式为； 若的面积是四边形的面积的，则时间． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解析式，结合函数图象得出当秒时，，此时的面积为，进而求出为即可得出点的速度，进而求出的长即可，进而判断，当点在上时，如图，于点，根据三角形的面积公式可表达此时的，进而判断；过点作于点，画出图形可得出，，，则，求出即可面积可判断；首先得出的面积，分两种情形分别列出方程即可解决问题进而判断；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】由题意可得出：当时间为秒时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒， 当时间为秒时，，此时的面积为， ∴为， ∴点的运动速度为：，故正确； 当运动到秒时，函数关系式改变，则， 过作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， 由，则， ∴， ∴，故错误； 当点在上时，如图，于点， ∴，故正确； 如图，，，过点作于点， 由得， 则， ∴， 即曲线段的函数解析式为：，故正确； ∵， ∴， 当 时，，时，或（舍去）， 当 时，，解得或 （舍去）， ∴或，的面积是四边形的面积的，故错误， 综上可知， 故选：． 52．（2024·广东珠海·三模）如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（    ） A． B．当时，的面积是 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查动点的函数图象，从图象中有效的获取信息，是解题的关键；由函数图象得，当时，点到达点，点到达点，进而得到当时，点在上运动，，判断B，求出的长，勾股定理求出的长，判断A，过点作于点，证明，求出，判断C，求出时，的长，判断D即可． 【详解】解：由函数图象得，当时，点到达点，点到达点， 当时，点在上运动，， 当时，点到达点，故选项B正确； ∵，时，， 解得， ∴，故选项正确； 当时，点在线段上，则， 过点作于点，则：， ∴， ∴， ， ∴， ，故选项错误； ， 当时，点在线段上，此时，， ，故选项D正确． 故选：C． ►题型08函数综合问题 53．（2024·广东广州·一模）如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式，5时至8时的图象满足函数关系式．请根据图中信息，解答下列问题：    (1)填空：次日0时到8时的最低气温是______； (2)求一次函数的解析式； (3)某种植物在气温以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否需要采取防霜措施，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)需要采取防霜措施，见解析 【分析】（1）根据题意，当时，函数最小值，代入解析式计算即可． （2）把分别代入中，计算即可； （3）令，，计算交点坐标的横坐标的差，对照标准判断即可． 本题考查了待定系数法，图象信息识读，图象与x轴交点坐标的计算，熟练掌握待定系数法，交点坐标的计算是解题的关键． 【详解】（1）根据题意， 当时，函数有最小值，代入解析式得， ， 故答案为：． （2）把分别代入中， 得，解得， ∴． （3）令，解得；令，解得（舍去）， 故， ∵ ∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施． 54．（2024·广东深圳·二模）电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标，高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关．某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究： 下面是他们的探究过程，请补充完整： (1)他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据： 速度（千米/小时） 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160 续航里程（千米） 100 340 460 530 580 560 500 430 380 310 则设___为y，__为x，y是x的函数； (2)建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (3)结合画出的函数图象，下列说法正确的有_________ ①y随x的增大而减小； ②当汽车的速度在60 千米/小时左右时，汽车的续航里程最大； ③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小． (4)若想要该车辆的续航里程保持在460千米以上，该车的车速大约控制在_______至______千米/小时范围内． 【答案】(1)速度，续航里程 (2)见解析 (3)②③ (4)30，110 【分析】题考查列表法表示函数关系，熟练掌握自变量、因变量的定义． （1）根据表格，由函数定义求解即可； （2）利用表格数据，描点法画函数图象即可； （3）由函数图象即可得出结果； （4）由函数图象即可得出结果． 【详解】（1）∵y是x的函数， ∴速度为x，续航里程为y． 故答案为：速度，续航里程； （2） 该函数的图象如图所示：    （3）解：根据函数图象得：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故①说法错误； 当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大，故②说法正确； 汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小，故③说法正确； 正确的有：②③， 故答案为：②③； （4）解：根据函数图象得：想要该车辆的续航里程保持在460千米以上，该车的车速大约控制在30至110千米/小时范围内， 故答案为：30，110． 55．（2024·广东深圳·一模）参照学习函数的过程与方法，探究函数 的图象与性质，因为 即 所以我们对比函数 来探究． 列表： x … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … … 2 3 5 0 … 描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示； (1)请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题： 当时，y随x的增大而 ；（填“增大’或“减小”） 的图象可看作是由 的图象向 平移 个单位而得到的； 图象的两个分支关于点 中心对称； （填点的坐标） (3)试说明函数 与直线的交点情况． 【答案】(1)见解析； (2)①增大；②上、1；③； (3)无交点 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握描点法绘制函数图象，函数图象的平移，函数的对称性和增减性，是解题的关键． （1）用光滑曲线顺次连接即可； （2）利用图象法即可解决问题； （3）联立方程根据方程组解的情况判断，即可解决问题． 【详解】（1）把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来，如图， （2）当时，y随x的增大而增大； 故答案为：增大； 的图象可看作是由 的图象向上平移1个单位而得到的； 故答案为：上、1； 图象的两个分支关于点中心对称； 故答案为：； （3）解方程组，代入，消去y，得，，去分母，得，， 矛盾，x值不存在， 故函数 与直线无交点． 56．（2024·广东深圳·三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … b … （2）描点并连线． （3）观察图象并填空： ① ， ②写出该函数的一条性质： ③图象与x轴围成的三角形面积为 ④当时，直接写出x的取值范围 【答案】（2）见解析；（3）①，；②当时，y随x增大而增大（或）当时，y随x增大而减小（或）当时，y取最小；③16；④或 【分析】本题考查画函数图象，利用函数图象分析解决问题，掌握描点画图是解题的关键． （2）根据表格描出各点，然后连接即可得到图象； （3）①把给的任一点的坐标代入求出，然后把代入解题即可； ②观察图象得到性质即可； ④先根据求出自变量x的值，然后借助图象回答即可． 【详解】（2）如图 （3）①把，代入得，解得， ∴当时，， 故答案为：，； ②当时，y随x增大而增大  （或）当时，y随x增大而减小  （或）当时，y取最小 ③令，则，解得，， ∴图象与x轴围成的三角形面积为， 故答案为：16 ； ④令，则，解得，， ∴由图像可知，当时，直接写出x的取值范围或． 基础巩固 一、单选题 1．（2024·广东梅州·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点关于的对称点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，设点关于的对称点的坐标为，则，，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设点关于的对称点的坐标为， ∴点是的中点， ∴，则， ，则， ∴点的坐标为， 故选：C． 2．（2024·广东揭阳·一模）过点和点作直线，则直线（    ） A．平行于轴 B．平行于轴 C．与轴相交 D．与轴垂直 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，平行于轴的直线上的点的横坐标相等结合点的坐标即可得出答案． 【详解】解：平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，平行于轴的直线上的点的横坐标相等，且点和点的纵坐标相等， 直线平行于轴， 故选：B． 3．（2024·广东茂名·一模）已知点在第四象限，则x的取值范围在数轴上可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内符号特征，解一元一次不等式，根据第四象限的点的横坐标是正数可得不等式，求出解集，即可得出答案． 【详解】∵点在第四象限， ∴， 解得． 在数轴上表示为： 故选：A． 4．（2023·广东湛江·模拟预测）在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，它到x轴的距离为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，用到的知识点为点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值直接求解即可． 【详解】解：点到x轴的距离是：． 故选：C． 5．（2024·广东惠州·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查当函数是二次根式时自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数，再列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：， 故选 A． 6．（2024·广东江门·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（    ）    A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，可知y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象， ∴选项C图象适合表示y与x的对应关系． 故选：C． 二、填空题 7．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，若三角形为等边三角形，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形，设，根据等边三角形的三边相等，结合两点间的距离公式，列式求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴，解得：或， ∴点坐标为或； 故答案为：或． 8．（2022·广东东莞·一模）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（0，0）表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为 ． 【答案】(-1，1) 【分析】根据题意建立直角坐标系，直接读出坐标即可． 【详解】解：根据题意建立如图所示直角坐标系， 直接读出“将”位置的坐标为（-1，1）， 故答案为：（-1，1）． 【点睛】题目主要考查坐标与位置，理解题意，建立直角坐标系是解题关键． 9．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有菱形，点坐标为，点是对角线上一动点，点坐标为，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称最短问题、菱形的性质、勾股定理，学会利用轴对称解决最短问题是解题的关键． 如图，连接，．利用勾股定理求出，证明，可得，由此即可解答． 【详解】解：如图，连接，． ，， ， 四边形是菱形， 点、点关于对称， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 10．（2024·广东惠州·三模）综合探究 请根据学习函数的经验，将下列探究函数的图象与性质的过程补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是__________． (2)下表列出了与的几组对应值，请写出其中的值__________，__________； 0 2 3 4 2 1 (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以（2）表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)根据图象直接写出时的取值范围：__________． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 (4)或 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，函数自变量的取值范围．数形结合是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）将，分别代入，计算求解即可； （3）先描点，然后连线作图象即可； （4）数形结合求的解集即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得，， 故答案为：； （2）解：将代入得，， 将代入得，， 解得，， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：，； （3）解：作图象如下； （4）解：由图象可知，的解集为或， 故答案为：或． 11．（2024·广东广州·模拟预测）已知点，，． (1)请自行建立平面直角坐标系并作； (2)尺规作图：作的角平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)请你在水平方向平移使得点、、中恰有两点在反比例函数的图像上． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）建立直角坐标系，画出即可； （2）利用尺规作角平分线的方法作图即可； （3）分向左和向右平移两种情况，进行讨论即可． 【详解】（1）解：建立直角坐标系，画出，如图所示； （2）如图，即为所求； （3）当向右平移个单位时，则：， ∴当在反比例函数图象上时：， 解得：（舍去）； 当在反比例函数图象上时：， 解得：（舍去）； 当向左平移个单位时，则：， ∴当在反比例函数图象上时：， 解得：； 当在反比例函数图象上时：， 解得：； ∴平移后的如图： 【点睛】本题考查坐标与图形，坐标与平移，反比例函数图象上的点，尺规作图—作角平分线，熟练掌握相关知识点，正确的作图，是解题的关键． 能力提升 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查坐标的变化规律、旋转的性质、菱形的性质等知识，找到每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置由得到第20秒时是把菱形绕点逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了，即可可求出答案. 【详解】解：菱形的顶点， 与轴的夹角为 ∵菱形的对角线互相垂直平分， 点是线段的中点， 点的坐标是 ∵菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转 ∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置 ∵ ∴第20秒时是把菱形绕点逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了， ∴点的对应点落在第三象限，且对应点与点关于原点成中心对称， 第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为． 故选：B 2．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的弧多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2024秒时点的纵坐标为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查弧长的计算、点的坐标的特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，可以求得弧的长，然后由图可知，每走两个弧为一个循环，然后即可得到在第2024秒时点P的纵坐标． 【详解】解：（米） ； ∵（秒）， ∴每4秒一个循环， ∵， ∴在第2024秒时点P的纵坐标为0， 故选：C． 3．（2024·海南海口·二模）如图1，在矩形中，，动点P由点E出发，沿点的方向运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系如图2所示，当时，y的值为（　　） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质． 延长相交于点F，过点P作于点H，通过证明推出当点P在上时，y随x的增大而增大，则当时，点P 点C重合时，y取最大值，当时，点P与点D重合，进而求出各条线段的长度，即可解答． 【详解】解：当点P在上时，延长相交于点F，过点P作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵均为定值， ∴随的增大而增大， ∵当点P在上时，， ∴当点P在上时，y随x的增大而增大， 由图2可知，当时，点P 点C重合时，y取最大值，当时，点P与点D重合， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，点P在上， 此时， ∴． 故选：C． 4．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，．与矩形的一边都在直线上，其中、、，且点位于点处．将沿直线，向右平移，直到点与点重合为止．记点平移的距离为，与矩形重叠区域面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据经过点和经过点时计算出和，再分，和三种情况讨论，画出图形，利用面积公式解答即可． 【详解】解：当经过点时，如图所示： 为等腰直角三角形， ， ，， ； 当经过点时，如图所示： ，， ， ； ①当时，如图所示： 此时，， ， ； ②当时，如图所示： 过作于， 此时，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ； ③当时，如图所示： 此时， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解三角形等知识，关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行运算． 5（2024·广东梅州·一模）如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图像大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况：当点在线段上；当点在线段上；当点在线段上．分别用含表示出每一种情况的即可． 【详解】解：根据题意知：点的速度为，运动时间为，则， 过点作于点， ∵， ∴， ∵在等腰梯形中，，，， ∴， 设， 当点在线段上， ，， ∴的面积：， ∵，， ∴， 此时关于时间的函数图像是开口向上且经过原点并位于第一象限的抛物线的一部分； 当点在线段上， 在中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积：， 此时关于时间的函数图像是正比例函数图像的一部分； 当点在线段上， 则， ∴， ∴的面积： ， ∵，， ∴， 此时关于时间的函数图像是开口向下的抛物线的一部分； 综上所述，关于时间的函数图像大致是选项D所表示的图像， 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像，等腰梯形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，二次函数的定义及图像，正比例函数的定义及图像等知识点，运用了分类讨论的思想．明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 二、填空题 6．（2024·广东·模拟预测）物理课上老师讲到镜面成像时提到老花镜镜片的度数与焦距呈反比例函数的关系，引起了大家探究的兴趣．小明找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数 度 镜片与光斑的距离 根据以上数据，当老花镜的镜片与光斑的距离为时，老花镜的度数是 度． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，设，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把代入计算即可求解，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：D与f成反比例函数，设，把代入得，， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 7．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x 轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去， 若已知点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是灵活运用旋转的知识．根据点得，再根据旋转的过程寻找规律即可求解． 【详解】解：∵，点， ∴， 根据旋转可知： ∴， 所以点； 继续旋转得， ； … 发现规律： ． 所以点的坐标为． 故答案为：． 8．（2023·广东清远·三模）小华和小兰两家相距2400米，他们相约到两家之间的剧院看戏，两人同时从家出发匀速前行，出发15分钟后，小华发现忘带门票，立即以原来速度的倍返回家中，取完东西后仍以返回时的速度去见小兰；而小兰在出发30分钟时到达剧院，等待10分钟后未见小华，于是仍以原来的速度，从剧院出发前往小华家，途中两人相遇．假设小华掉头、取票时间均忽略不计．两人之间的距离y（米）与小华出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则当两人相遇时，小兰距离剧院有 米．    【答案】120 【分析】 本题考查了一次函数的应用，解题关键是读懂函数图象； 先求出小兰和小华的速度，再根据函数图象求出小华后来的速度和再次出发后两人相遇的时间，由此即可得出答案． 【详解】 解：由题意得， 小华从发现没带门票到返回家中拿到票所用时间为10分钟， 当小华拿到门票时，小兰用25分钟走了（米）， 小兰的速度：（米分）， 小兰家与剧院的距离为（米）， 小华家与剧院的距离为（米）； 又他们从家出发15分钟后，两人相距1200米， ，即， 解得，（米分）， 小华后来的速度为（米分）； 设小华再次从家出发到两人相遇所用时间为分， 则， 解得，， 两人相遇时，小兰与剧院的距离为（米）． 故答案为：120． 9．（2023·广东潮州·一模）如图1，在四边形中， ，，直线．当直线l沿射线方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形的边分别相交于点E、F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示，则四边形的周长是 ．    【答案】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据题意和函数图象中的数据，可以得到，，，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到，从而可以求得四边形的周长．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵，直线， ∴， 由图可得，， ， ， 由图象可得， ，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形的周长是：， 故答案为：．    10．（2024·广东佛山·二模）如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】分析出当点到点处时，，即，当点到点处时最短，，即，当点到点处时，，即，再根据勾股定理分别求出和，即可求出三角形的面积．本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 【详解】解：作，如图， 当点到点处时，，即， 当点到点处时最短，，即， 当点到点处时，，即， 在中，， 在中，， ． 故答案为： 三、解答题 11．（2024·广东广州·一模）如图所示，在平面直角坐标系中中，点的三个顶点都在格点上．将在坐标系中平移，使得点平移至图中点的位置，点对应点，点对应点． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在图中作出，并连接； (3)求在线段平移到线段的过程中扫过的面积； 【答案】(1)； (2)见解析 (3)19 【分析】本题考查作图—平移变换： （1）根据点D的位置，结合平移的性质可得出答案． （2）运用平移的性质作出图形即可； （3）线段沿的方向平移到的过程中扫过的图形为平行四边形，求出面 【详解】（1）解：点B的坐标为； ∵，， ∴由平移得点的坐标为：， 故答案为：；； （2）解：如图，和即为所作： （3）解：线段沿的方向平移到的过程中扫过的图形为平行四边形， ． 12．（2024·广东·模拟预测）科学研究表明：一般情况下，在一节的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间满足关系；以后，学生的注意力指数y与时间的图象呈抛物线形，到第时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束． (1)当时，注意力指数y为 ，8min以后，学生的注意力指数y与时间x(min)的函数关系式是 ； (2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长（精确到）？ (3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题(精确到；参考数据)？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意把代入，得到，即可解答．根据顶点式写出抛物线表达式，将，代入即可得到解析式； （2）根据对两个函数列出不等式，求解即可； （3）设出未知数，根据条件列出方程，解方程即可． 本题考查是二次函数的应用，解题关键是利用顶点式求出解析式，利用条件列出不等式，求出根据和当时对应的函数值相同求出t的值． 【详解】（1）解：根据题意，把代入可得：， ∵以后，学生的注意力指数y与时间的图象呈抛物线形，第时学生的注意力指数y达到最大值92， ∴可设抛物线的解析式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 故答案为：84，； （2）解：由学生的注意力指数不低于80，即， 当时，由可得：； 当时，则，即， 整理得：，解得：， ∴（分钟）， 答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟； （3）解：设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题， 由于， 要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大， 则当和当时对应的函数值相同， 即， 整理得： 解得：（不合题意，舍去） ∴ 答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大． 13．（2024·广东深圳·模拟预测）初中阶段研究新函数的性质往往需要先确定函数的解析式，再经历列表、描点、连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．下表是函数的部分信息：    请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题： (1)求 ______， ______， ______，并补全函数图象； (2)在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：______； (3)已知关于的方程无实数解，根据函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，，图象见解析 (2)图象关于轴对称 (3)或 【分析】本题主要考查函数的图象和性质，函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质、解一元一次不等式是解题的关键． （1）将，2，，别分别代入解析式即可得a、b、c的值然后补全图象即可； （2）观察图象即可得到； （3）根据图象求得即可． 【详解】（1）分别将，2，，别代入， 求得，，， 补全该函数图象如图，    故答案为：，，． （2）由图象可得，图象关于轴对称． （3）观察图象可知，或， 的取值范围为或． 14．（2024·广东深圳·模拟预测）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图， 列表：下表是与的几组对应值，其中　 　； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； (2)通过观察函数图象，写出该函数的一条性质：　 　． (3)利用函数图象，解不等式． 【答案】(1)，见解析 (2)图象关于轴对称 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程； （1）代入求值即可；经历描点、连线形成图象； （2）依据函数的图象关于轴对称； （3）先解方程求的交点坐标的横坐标，进而根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， 函数图象如图， 故答案为：； （2）观察图形得出函数的性质：图象关于轴对称； 故答案为：图象关于轴对称； （3）作出直线， 当时，则令，整理得， 解得或， 当时，则令，整理得， 解得， 观察图象可知，当或时，直线在函数的图象的下方， 故不等式的解集为或． $$