第10讲 一次函数（4考点+23题型）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第三章 函数 第10讲 一次函数（3~6分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的相关概念 考点二 一次函数的图象与性质 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 考点四 一次函数的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的定义 题型01 一次函数的定义及其参数问题 题型02 求一次函数的自变量或函数值 命题点二 一次函数的图像 题型01 判断一次函数的图像 题型02 根据一次函数图象解析式判断象限 题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围 题型04 一次函数与坐标轴交点问题 题型05 一次函数的平移问题 命题点三 一次函数的性质 题型01 判断一次函数增减性 题型02 根据一次函数增减性判断参数取值范围 题型03 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 题型04 求一次函数解析式 题型05 一次函数的规律探究问题 命题点四 一次函数与方程（组）、不等式 题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点 题型03 利用图象法解一元一次方程 题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型05 求两直线与坐标轴围成的图形面积 题型06 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 题型07 根据两条直线交点求不等式的解集 命题点五 一次函数的实际应用 题型01 分配问题 题型02 最大利润问题 题型03 行程问题 题型04 现实生活相关问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一次函数的相关概念 · 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式； 10年7考 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律.. 一次函数的图象与性质 · 解正比例函数； · 能画一次函数的图象，根据图象和表达式 y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况. · 会运用待定系数法确定一次函数的表达式. 10年8查 一次函数与方程（组）、不等式 · 体会一次函数与二元一次方程的关系. 10年8考 一次函数的应用 · 能用一次函数解决实际问题 10年10考 考点一 一次函数的相关概念 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. ( 1 . 一次 函数一般形式的特征： 1 ） k ≠ 0 ； 2 ） x 的 次数为 1 ； 3 ）常数 b 可以 取任意实数 . 2 . 正比例 函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数 . 3 . 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量 x 出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： 1 ）整个分母不能等于 0 ； 2 ）根号里的整个式子要大于或等于 0. 4 . 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成 y=kx+b （ k ≠ 0 ）的形式 . ) 考点二 一次函数的图象与性质 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． ( 1 . 正比例函数 y= kx 中， |k| 越大，直线 y= kx 越靠近 y 轴；反之， |y| 越小，直线 y= kx 越靠近 x 轴 . 2 . 判断一次函数的增减性，只看 k 的符号，与 b 无关 . 3 . 一次函数 y= kx+b （ k ≠ 0 ）的自变量 x 的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值 . 但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析 . 4 . 一次 函数 y= kx+b （ k ≠ 0 ）与 x 轴交于 ( , 0) ，与 y 轴交于 (0 ， b) ，且这两个交点与坐标 轴原点构成的三角形面积为 s= . ) 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 二、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. ( 1 ） 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法 ) 考点四 一次函数的实际应用 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 命题点一 一次函数的定义 ►题型01 一次函数的定义及其参数问题 1．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南长沙·一模）函数的图像经过点，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 3．（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2022·四川成都·二模）若函数是一次函数，则的值为（    ） A．-1 B． C．1 D．2 ►题型02 求一次函数的自变量或函数值 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在画一次函数的图象时列出了如下表格： x … 0 1 2 y … 4 1 … 小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（   ） A．1 B． C． D． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知一次函数，是常数，且，若，则该一次函数的图象必经过点（　　） A． B． C． D． 7．（2024·广西桂林·二模）已知一次函数的图象经过点，则a的值为（    ） A．8 B． C．1 D．0 8．（2024·陕西西安·模拟预测）点，是一次函数（为常数，且）的图象上的两点，且，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 命题点二 一次函数的图像 ►题型01 判断一次函数的图像 9．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A．B．C． D． 10．（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（    ） 11．（2024·陕西西安·三模）若为常数且，则一次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 12．（2024·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的大致图像是（    ） A．B．C． D． ►题型02 根据一次函数图象解析式判断象限 13．（2023·贵州六盘水·一模）一次函数的图象如图所示，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（2024·上海·模拟预测）无论实数m为何值，直线与的交点不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（2018·陕西西安·模拟预测）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B． C． D． 16．（2023·河南平顶山·二模）在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）的图象经过点，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象经过点 B．函数值随的增大而减小 C．函数图象不经过第三象限 D．函数图象与坐标轴围成三角形的面积为 ►题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围 17．（2024·福建福州·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为   (    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（2023·辽宁沈阳·中考真题）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 19．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）已知关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，则代数式可化简为（   ） A． B． C． D． 20．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型04 一次函数与坐标轴交点问题 21．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 22．（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，若直线与轴交于点，与直线交于点，则交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 23．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线关于轴对称，则直线与轴的交点坐标为(    ) A． B． C． D． 24．（2024·山西晋城·三模）如图，函数的图象分别与轴，轴交于点，，的平分线与轴交于点，则点的纵坐标为（    ） A．4 B． C．5 D．6 ►题型05 一次函数的平移问题 25．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 26．（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（　　） A． B． C． D． 27．（2024·陕西咸阳·模拟预测）将直线向下平移2个单位长度后得到直线，将直线向左平移1个单位长度后得到直线．若直线和直线恰好重合，则k的值为（    ） A． B． C．1 D． 28．（2023·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点A，将直线沿轴向上平移个单位长度，交x轴于点C，若，则的值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 命题点三 一次函数的性质 ►题型01 判断一次函数增减性 29．（2024·湖南衡阳·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 30．（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 31．（2024·广东广州·一模）关于函数，下列结论成立的是（    ）． A．函数图象经过点 B．随的增大而增大 C．当时， D．函数图象不经过第一象限 32．（2023·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．函数，y随x增大而增大 B．直线经过第一、二、三象限 C．函数，y随x增大而减小 D．函数的图象向右平移2个单位后，函数解析式为 ►题型02 根据一次函数增减性判断参数取值范围 33．（2024·湖南益阳·二模）一次函数，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（2022·贵州遵义·中考真题）若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是（    ） A．2 B． C． D． 35．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 36．（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型03 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 37．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 38．（2024·陕西渭南·二模）已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 39．（2023·安徽滁州·二模）已知，，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 40．（2023·湖北十堰·中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型04 求一次函数解析式 41．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 42．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点B，则直线的表达式为（      ） A． B． C． D． 43．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知一次函数经过点，则下列结论正确的是（　　） A．函数值随增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与轴交于点 D．当时， 44．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于点A、B，若的面积为3，则的值为（    ） A． B． C． D． ►题型05 一次函数的规律探究问题 45．（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上．已知点，点，，则的坐标是(　　) A． B． C． D． 46．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且是等边三角形．在射线上取点，分别以为边作等边三角形使得在同一直线上，该直线交轴于点．若，则点的纵坐标是（    ）    A． B． C． D． 47．（2023·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（    ）    A． B． C． D． 48．（2020·广东广州·一模）如图，直线y＝x+1与x轴和y轴分别交于B0，B1两点，将B1B0绕B1逆时针旋转135°得B1B0′，过点B0'作y轴平行线，交直线y＝x+1于点B2，记△B1B0B2的面积为S1；再将B2B1绕B2逆时针旋转135°得B2B1'，过点B1'作y轴平行线，交直线y＝x+l于点B3，记△B2B1'B3的面积为S2…以此类推，则△BnBn﹣1'Bn+1的面积为Sn＝（    ） A．（）n B．（）n﹣1 C．2n D．2n﹣1 命题点四 一次函数与方程（组）、不等式 ►题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 49．（2021·广东佛山·一模）如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．方程的解是 D．随的增大而减小 50．（2024·陕西渭南·一模）如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 51．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知一次函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（    ） A．， B．方程的解是 C．当时， D．随的增大而减小 52．（2021·广西贺州·中考真题）直线（）过点，，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． ►题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点 53．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 54．（2023·陕西西安·模拟预测）直线关于x轴对称后，与y轴的交点为，则a的值为（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－1 55．（2021·河南安阳·一模）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移4个单位长度，则平移后的图象与x轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 56．（2021·安徽合肥·二模）若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． ►题型03 利用图象法解一元一次方程 57．（2024·陕西西安·二模）如图，已知直线（为常数，），则关于的方程的解是（    ） A． B． C．0 D． 58．（2024·贵州遵义·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 59．（2022·湖北武汉·模拟预测）关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．（2020·山西·一模）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，方程3x＝ax+b的解为（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3 ►题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解 61．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B．随x的增大而增大 C．当时， D．关于x，y的方程组的解为 62．（2024·广东深圳·二模）在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．随x的增大而减小 B． C．当时， D．方程组的解为 63．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 64．（2023·陕西西安·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元方程组的解是（    ） A． B． C． D． ►题型05 求两直线与坐标轴围成的图形面积 65．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 66．（2024·陕西汉中·二模）已知一次函数（k、b为常数，且）的图象是由正比例函数的图象向右平移3个单位长度后得到的，若一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为9，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 67．（2022·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线都经过，且，设与轴交于点，则的面积为　　 A． B． C． D． 68．（2023·内蒙古包头·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（    ）    A． B． C． D． ►题型06 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 69．（2024·四川眉山·二模）如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 70．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一次函数（k、b为常数，且）与x轴，y轴分别交于两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 71．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，直线l是一次函数的图象，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 72．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ►题型07 根据两条直线交点求不等式的解集 73．（2024·云南昆明·模拟预测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 74．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 75．（2024·贵州·模拟预测）如图，一次函数和一次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 76．（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 命题点五 一次函数的实际应用 ►题型01 分配问题 77．（2024·广东梅州·模拟预测）五华，这片土地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元． (1)求每个足球和足球锥形桶的单价； (2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 78．（2024·河南驻马店·一模）今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元． (1)求甲、乙两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用． 79．（2024·广东广州·一模）人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们生活品质．某科创公司计划投入一笔资金购进、两种型号的芯片．已知购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元． (1)求购进1片型芯片和1片型芯片各需多少元？ (2)若该科创公司计划购进、两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？ ►题型02 最大利润问题 80．（2024·广东广州·模拟预测）年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同． (1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ (2)已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？ 81．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． (1)求A，B两种香料的单价； (2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 82．（2024·广东肇庆·二模）某水果商店准备购进苹果和荔枝两种水果，苹果每千克的进价为10元，荔枝每千克的进价为20元，商店为了获得利润，将苹果每千克的售价定为20元，荔枝每千克的售价定为50元． (1)商店计划用不超过1400元的资金购进苹果和荔枝共100千克，问荔枝的进货数量不超过多超少千克？ (2)因荔枝的保鲜期较短，商店准备对荔枝每千克的售价优惠元，但苹果的售价不变，已知荔枝的进货数量不低于30千克，在（Ⅰ）的条件下，求销售这100千克水果获得利润最大时的进货方案． ►题型03 行程问题 83．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）随着疫情的消失，三年的管控使人们的消费和旅游在年的“五一”假期得以全面释放．小明和小军分别骑车和驾车从本村出发，沿同一条公路去东门外生态公园游玩．小明骑一段时间后，小军驾车出发，结果半路遭遇堵车，当小明追上小军后，小军坐小明的自行车一起去生态公园小军泊车时间忽略不计，如图是小明、小军两人在去生态公园过程中经过的路程与小明出发时间之间的函数图像．请结合图像回答：      (1)村与公园的距离为______ ，小明骑车速度是______ ． (2)小军在离开村多少公里处遭遇堵车？从小军遇到堵车到追上小明用了多长时间？ (3)直接写出两人何时相距？ 84．（2023·广东江门·三模）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同的路线，从甲港到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象(直线)．      (1)轮船的速度是______千米/时，快艇的速度是______千米/时； (2)分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式； (3)快艇出发多长时间赶上轮船？ 85．（2022·浙江湖州·中考真题）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时． (1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？ (2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式； (3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值． ►题型04 现实生活相关问题 86．（2024·广东·模拟预测）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的 ． 请根据以上素材，解答下列问题： (1)如图，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式； (3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 87．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 88．（2024·山西太原·模拟预测）请仔细阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 树的胸径与树高的关系 胸径和树高是树木重要的测量因子，也是反映森林生长状况的重要参数．由于测量树高比测量胸径更加费时、费力，且误差更大，因此实际测量时，多采用树高-胸径模型来估算树木的高度． 技术人员查阅相关资料，发现柳树在某段成长时期，其树高y（单位：m）可以看成胸径x（单位：）的一次函数．下表是他们在当地收集到的“一号”柳树树高与胸径的数据： 胸径 16 21 23 28 35 42 树高 7.2 8.4 9 10.7 11.2 11.7 根据表中的数据，他们在如图所示的平面直角坐标系中描出了坐标点，发现这六个点并不在一条直线上，继续查阅资料，找到如下解决办法： 设树高y与胸径x的函数关系式为，将表格中的数据按x的值从小到大排序后，均分为两组代入得到 第一组：； 第二组：； 分别将两组中的三个式子相加，得到方程组解得，从而得到“一号”柳树树高y与胸径x的一次函数模型为， 技术人员只要测量出“一号”柳树的胸径，就可以利用这个一次函数模型来估算“一号”柳树的高度．    任务： (1)以上材料中，主要运用的数学思想是___________（从下面的选项中选择两个即可）． A．模型思想    B．公理化思想    C．统计思想 (2)技术人员在当地收集到“二号”柳树的树高y与胸径x的数据如下： 胸径： 14 18 25 32 38 45 树高 4.5 5.8 7.55 9.3 10.75 12.3 ①请你参照材料中的方法，求“二号”柳树的树高y与胸径x的一次函数模型（函数表达式）． ②一段时间后技术人员测得“二号”柳树胸径为，查阅相关资料发现，此时对应树高超过才算生长良好，请你判断“二号”柳树生长是否良好． 基础巩固 1、 单选题 1．（2024·广东佛山·三模）把直线向上平移三个单位长度后经过点，则b的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是（　　） A．B．C． D． 3．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 4．（2024·广东广州·二模）下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象必过原点 B．函数的图象不经过第二象限 C．函数的图象位于第一、三象限 D．函数的图象中，当时，随增大而增大 5．（2023·广东揭阳·一模）如图，已知直线与相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A．B． C． D． 6．（2023·广东深圳·二模）如图是小杰同学家中的一个沙漏计时器，相关实验结果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，从计时器开始计时到计时止，上面玻璃球内的含沙量（）与时间（）之间的函数关系图像大致为（    ）    A．  B．  C．   D．   7．（2023·广东广州·一模）对于一次函数，下列说法错误的是（    ） A．随的增大而减小 B．图象与轴交点为 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象经过点 8．（2023·广东深圳·二模）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2024·广东·模拟预测）已知y是关于x的一次函数，点在该一次函数的图象上，且y随x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数表达式： ． 10．（2024·广东·模拟预测）一个皮球从16m高处下落，第一次落地后反弹起8m，第二次落地后反弹起4m，以后每次落地后反弹的高度都减半．请写出反弹高度h（单位：m）与落地次数n的对应关系的函数解析式 ． 11．（2024·广东东莞·三模）已知点，点在直线上，则 ．（填“”“”或“”） 12．（2024·广东阳江·二模）先从，，0，6四个数中任取一个数记为，再从余下的三个数中任取一个数记为．若，则正比例函数的图象经过第一、三象限的概率是 ． 13．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 三、解答题 14．（2024·山东青岛·一模）某高速公路通车后，农户的农产品运往外地的运输成本大大降低，一农户需要将，两种农产品定期运往某加工厂，每次运输，产品的件数不变，原来每运一次的运费是元，现在每运一次的运费比原来减少了元，，两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示： 品种 原运费 现运费 (1)求每次运输的农产品中，产品各有多少件？ (2)由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加件，但总件数中产品的件数不得超过产品件数的倍，问：产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？ 15．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 能力提升 一、单选题 1．（2024·广东汕头·二模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 2．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（2024·广东广州·一模）已知一次函数经过点，正比例函数不经过第三象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 4．（2023·广东湛江·一模）甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车离开A地的距离与甲行驶时间的函数图象．根据图中提供的信息，有下列说法：①乙车速度是；②m的值为1；③a的值为40；④乙车比甲车早到达B地．其中正确的有（　　）    A．①②③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 5．（2022·广东深圳·三模）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上．直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（　　） A． B． C． D．2 二、填空题 6．（2024·广东东莞·三模）直线上有点，过点作轴交图象于点，且则点的坐标为 ． 7．（2024·广东深圳·二模）如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点A，与反比例函数交于点 C，与 x轴交于点B，如果，则k的值为 8．（2024·广东深圳·模拟预测）小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面朝上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标，那么点P落在直线上的概率为 ． 9．（2024·广东潮州·一模）如图所示，点，，，…在轴上，点，，，…在直线上．已知，轴，，…，，，则的坐标为 ． 10．（2024·广东中山·三模）如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位，与轴、轴分别交于点、，以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形若反比例函数的图象经过点，则的面积为 ． 三、解答题 11．（2024·广东·模拟预测）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，九年级（1）班负责校园某绿化角的设计．种植与养护同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍已知绿萝每盆元，吊兰每盆元． (1)采购组计划将经费元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？ (2)请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值． 12．（2024·广东广州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C． (1)求点B、点C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标． 13．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，直线与双曲线 在第二象限内交于A，B两点，已知 (1)求的值及直线的解析式； (2)点C是线段上的一个动点，过点C作轴于点D，交双曲线于点F，E是x轴上一点，当的面积最大时，求点F的坐标． 14．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． $$ 第三章 函数 第10讲 一次函数（3~6分） ( 89 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的相关概念 考点二 一次函数的图象与性质 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 考点四 一次函数的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的定义 题型01 一次函数的定义及其参数问题 题型02 求一次函数的自变量或函数值 命题点二 一次函数的图像 题型01 判断一次函数的图像 题型02 根据一次函数图象解析式判断象限 题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围 题型04 一次函数与坐标轴交点问题 题型05 一次函数的平移问题 命题点三 一次函数的性质 题型01 判断一次函数增减性 题型02 根据一次函数增减性判断参数取值范围 题型03 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 题型04 求一次函数解析式 题型05 一次函数的规律探究问题 命题点四 一次函数与方程（组）、不等式 题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点 题型03 利用图象法解一元一次方程 题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型05 求两直线与坐标轴围成的图形面积 题型06 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 题型07 根据两条直线交点求不等式的解集 命题点五 一次函数的实际应用 题型01 分配问题 题型02 最大利润问题 题型03 行程问题 题型04 现实生活相关问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一次函数的相关概念 · 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式； 10年7考 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律.. 一次函数的图象与性质 · 解正比例函数； · 能画一次函数的图象，根据图象和表达式 y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况. · 会运用待定系数法确定一次函数的表达式. 10年8查 一次函数与方程（组）、不等式 · 体会一次函数与二元一次方程的关系. 10年8考 一次函数的应用 · 能用一次函数解决实际问题 10年10考 考点一 一次函数的相关概念 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. ( 1 . 一次 函数一般形式的特征： 1 ） k ≠ 0 ； 2 ） x 的 次数为 1 ； 3 ）常数 b 可以 取任意实数 . 2 . 正比例 函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数 . 3 . 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量 x 出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： 1 ）整个分母不能等于 0 ； 2 ）根号里的整个式子要大于或等于 0. 4 . 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成 y=kx+b （ k ≠ 0 ）的形式 . ) 考点二 一次函数的图象与性质 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． ( 1 . 正比例函数 y= kx 中， |k| 越大，直线 y= kx 越靠近 y 轴；反之， |y| 越小，直线 y= kx 越靠近 x 轴 . 2 . 判断一次函数的增减性，只看 k 的符号，与 b 无关 . 3 . 一次函数 y= kx+b （ k ≠ 0 ）的自变量 x 的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值 . 但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析 . 4 . 一次 函数 y= kx+b （ k ≠ 0 ）与 x 轴交于 ( , 0) ，与 y 轴交于 (0 ， b) ，且这两个交点与坐标 轴原点构成的三角形面积为 s= . ) 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 二、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. ( 1 ） 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法 ) 考点四 一次函数的实际应用 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 命题点一 一次函数的定义 ►题型01 一次函数的定义及其参数问题 1．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，符合题意； B、不是一次函数，不符合题意； C、不是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，不符合题意． 故选：A 2．（2023·湖南长沙·一模）函数的图像经过点，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将图像上的点代入解析式求解即可． 【详解】一次函数的图像经过点， ， 解得． 故选B． 【点睛】本题考查函数图像的性质，图像上的点的横纵坐标符合解析式方程．将点的坐标代入解析式方程求解参数是解题的关键． 3．（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查根据一次函数的定义求参数，判断直线经过的象限，根据是y关于x的一次函数，得到，求出的值，进而判断直线经过的象限即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴直线解析式为：， ∴直线经过一、二、四象限，不经过第三象限； 故选C． 4．（2022·四川成都·二模）若函数是一次函数，则的值为（    ） A．-1 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由一次函数的定义：比例系数不为零，自变量的指数为1，可得答案． 【详解】解：由题意可得，m-1≠0， ∴m=-1， 故选A 【点睛】本题考查一次函数的定义，准确掌握定义的要点是解题的关键． ►题型02 求一次函数的自变量或函数值 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在画一次函数的图象时列出了如下表格： x … 0 1 2 y … 4 1 … 小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求出一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标（任取两个），利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐一验证其它三点坐标即可得出结论． 【详解】解：设该一次函数的解析式为（）， 将，代入得，， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 当时，； 当时，； 当时，． 故选：B． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知一次函数，是常数，且，若，则该一次函数的图象必经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．由，可得出，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出该一次函数的图象必经过点． 【详解】解：，即， 一次函数，是常数，且的图象必经过点． 故选：A 7．（2024·广西桂林·二模）已知一次函数的图象经过点，则a的值为（    ） A．8 B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式成为解题的关键． 将点代入求解即可． 【详解】解：将点代入可得：． 故选D． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）点，是一次函数（为常数，且）的图象上的两点，且，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质，将，代入得，是解题的关键． 【详解】解：将，代入得， ，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 命题点二 一次函数的图像 ►题型01 判断一次函数的图像 9．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点． 联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为， 选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意； 而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意； 选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意； 选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意； 故选：． 10．（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案． 【详解】解：，点， 与关于轴对称， 即这个函数图象关于轴对称，故选项A不符合题意； ，点， 当时，随的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 故选：B． 11．（2024·陕西西安·三模）若为常数且，则一次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的相关性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴一次函数的图象在第一、二，四象限． 故选：B． 12．（2024·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的大致图像是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图像，分和两种情况分类讨论进行解题即可. 【详解】当时，一次函数图象经过一、三、四象限， 当时，一次函数图象经过一、二、四象限， 故选A. ►题型02 根据一次函数图象解析式判断象限 13．（2023·贵州六盘水·一模）一次函数的图象如图所示，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据图象分布，确定k，b的符号，后确定位置即可． 本题考查了一次函数图像：一次函数、为常数，图像分布与k，b得关系是解题的关键． 【详解】解：∵图象分布在二、三、四象限， ∴， ∴在第三象限； 故选C． 14．（2024·上海·模拟预测）无论实数m为何值，直线与的交点不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】∵直线中，，， ∴直线过第一、三、四象限， ∴无论为何实数，直线与的交点不可能在第二象限， 故选：B． 15．（2018·陕西西安·模拟预测）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象．若过第一、三象限，则，所以过第二、四象限，可对、进行判断；若过第二、四象限，则，，，所以过第一、三象限，与轴的交点在轴下方，则可对、进行判断． 【详解】解：A、过第一、三象限，则，所以必过二、四象限，所以A选项错误； B、过第二、四象限，则，，，所以必过一、三象限，与轴的交点在轴下方，所以B选项错误； C、过第二、四象限，则，，，所以必过一、三象限，与轴的交点在轴下方，所以C选项正确； D、过第一、三象限，则，所以必过二、四象限，所以D选项错误． 故选：C． 16．（2023·河南平顶山·二模）在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）的图象经过点，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象经过点 B．函数值随的增大而减小 C．函数图象不经过第三象限 D．函数图象与坐标轴围成三角形的面积为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据待定系数法求出的值，得出函数解析式，再根据一次函数的图象和性质依次进行求解判断即可． 【详解】解：将点代入到函数（为常数）中， 则， 解得： 故函数解析式为． A.当时：， 故A是正确的； B.∵， ∴函数值随的增大而增大， 故B是错误的； C.∵， ∴函数图象为上升的直线， ∴函数图象必然经过第三象限， 故C是错误的； D.由解析式可得函数图象与坐标轴的交点为：，， ∴函数图象与坐标轴围成三角形的面积为， 故D是错误的； 故选：A． ►题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围 17．（2024·福建福州·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为   (    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由图象经过第一、三、四象限可知求出，再根据不等式的性质得到，即可判断所处象限． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图像与系数的关系，解一元一次不等式，点的坐标特征，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 18．（2023·辽宁沈阳·中考真题）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是数形结合．根据一次函数的图像所在的象限并结合一次函数的性质即可求解． 【详解】解：一次函数的图像过一、三象限， ， 一次函数的图像与轴交于负半轴， ， 故选：B． 19．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）已知关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，则代数式可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，明确题意、利用一次函数的性质得到m的取值范围是解题的关键． 根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到m的取值范围，然后取绝对值后计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，解得：， ∴． 故答案为：5． 20．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可． 【详解】解：由一次函数：的图象可得： ，， 由一次函数：的图象可得： ，， ∴，，，， 正确的结论是A，符合题意， 故选A． ►题型04 一次函数与坐标轴交点问题 21．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键． 先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可． 【详解】解：令，则， 解得：， 即点为， 则点A关于y轴的对称点是． 故选：A． 22．（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，若直线与轴交于点，与直线交于点，则交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是两条直线相交问题，考查一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求得一次函数的解析式．先求出的值，再联立方程组求解即可． 【详解】解：直线与轴交于点， ， 解得：， 直线，直线， ，解得：， ， 故选：C． 23．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线关于轴对称，则直线与轴的交点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴交点问题，先得出直线与轴交于点，，根据轴对称的性质得出直线过点，，待定系数法的求得解析式，进而即可求解． 【详解】∵直线、关于轴对称，直线与轴交于点， ∴直线过点， 设直线的解析式为， ∴将点，代入中得， 解得， ∴， 令，解得， ∴与轴的交点坐标为． 故选：C． 24．（2024·山西晋城·三模）如图，函数的图象分别与轴，轴交于点，，的平分线与轴交于点，则点的纵坐标为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，勾股定理，角平分线的性质，过点作于点先求出，的长，然后根据勾股定理求出的长，再根据角平分线的性质证得，然后根据列方程即可求出的长，进而得到答案． 【详解】解：过点作于点， 的图象分别与轴、轴交于点、， 当，当 点坐标为，点坐标为， ，， 在中，， 平分，，， ， ， ， 即， 解得：， 点的纵坐标为， 故选：A． ►题型05 一次函数的平移问题 25．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先利用一次函数解析式求出点坐标，再证明，得到，即得点的坐标，最后根据一次函数平移的性质即可求出直线的函数解析式． 【详解】解：对于直线， 当时，， ∴， ∵直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴平移以后的函数解析式为． 故选：． 26．（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．先根据平移规律求出直线向上平移m个单位的直线解析式，再把各选项点坐标代入与，验证即可． 【详解】解：直线向上平移个单位后，得到， A．把代入得，， ∴交点不可能是，故A不合题意； B．把代入得，， ∴交点不可能是，故B不合题意； C．把代入得，， 把代入，求得， ∴交点可能是，故C符合题意； D．把代入得，， 把代入，求得， ∴交点不可能是，故D不合题意； 故选：C． 27．（2024·陕西咸阳·模拟预测）将直线向下平移2个单位长度后得到直线，将直线向左平移1个单位长度后得到直线．若直线和直线恰好重合，则k的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了直线的平移．直线的平移规律遵循：上加下减，左加右减，据此分别求出平移后直线、的解析式，结合与直线恰好重合可得关于的方程，解方程即得答案． 【详解】解：直线向下平移2个单位长度后得到直线， 直线的解析式为， 将直线向左平移个单位长度后得到直线， 直线的解析式为， 直线和直线恰好重合， ， 解得：， 故选：A． 28．（2023·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点A，将直线沿轴向上平移个单位长度，交x轴于点C，若，则的值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．熟练掌握函数图象平移以及平移性质，反比例函数与一次函数的交点，是解题的关键． 解析式联立，解方程组求得A的纵坐标，根据平移和相似三角形性质求得B的纵坐标，代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入即可求得b的值． 【详解】解：分别过点A，B作轴于点D，轴于点E，则, ∵直线与反比例函数的图象交于点A， ∴， 解得，，或（舍去）， ∴， ∴， 由平移知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B的纵坐标为4， 把代入， 得，， 解得，， ∴， ∵将直线沿轴向上平移b个单位长度得到直线， ∴把B的坐标代入得，， 解得，， 故选：D． 命题点三 一次函数的性质 ►题型01 判断一次函数增减性 29．（2024·湖南衡阳·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数，且，得出随的增大而减小，令，得出一次函数与轴交于点，它的图象经过第一、二、四象限，当时，则，即可作答． 【详解】解：∵一次函数，且， ∴随的增大而减小，故B选项不符合题意； 令时，则，即一次函数与轴交于点， 故A选项符合题意； 则一次函数经过第一、二、四象限，故D选项不符合题意； ∵一次函数的随的增大而减小， ∴令时，则， ∴当时，则，故C选项不符合题意； 故选：A． 30．（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】A、当时，， 一次函数的图象经过点，选项A错误，不符合题意； B、由的图象向下平移2个单位长度得到，故选项B错误，不合题意 C、， 随的增大而减小，选项C错误，不符合题意； D、，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意； 故选：D． 31．（2024·广东广州·一模）关于函数，下列结论成立的是（    ）． A．函数图象经过点 B．随的增大而增大 C．当时， D．函数图象不经过第一象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．将代入解析式求出函数值，即可判断A选项；根据一次函数的增减性，即可判断B选项；根据一次函数与坐标轴的交点坐标，即可判断C选项；根据一次函数的系数，即可判断D选项． 【详解】解：A．当时，，即函数图象经过点，原结论错误，不符合题意； B．，即随的增大而减小，原结论错误，不符合题意； C．函数过点，即当时，，原结论正确，符合题意 D．函数图象经过一、二、四象限，原结论错误，不符合题意； 故选：C． 32．（2023·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．函数，y随x增大而增大 B．直线经过第一、二、三象限 C．函数，y随x增大而减小 D．函数的图象向右平移2个单位后，函数解析式为 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质分析判断A，B，再根据反比例函数的性质判断C，最后根据二次函数的平移规律判断D即可． 【详解】因为函数中，，可知函数值y随着x的增大而减小，所以A不符合题意； 因为直线中，，，可知直线经过第一、三、四象限，所以B不符合题意； 因为函数中，，可知图象位于第一象限，函数值y随着x的增大而减小，所以C符合题意； 因为函数的图象向右平移2个单位长度后，函数解析式为，所以D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的性质，掌握系数与不同函数之间的关系是解题的关键． ►题型02 根据一次函数增减性判断参数取值范围 33．（2024·湖南益阳·二模）一次函数，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对应一次函数，当时， y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数，函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴， 故选：C． 34．（2022·贵州遵义·中考真题）若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴． 解得． 观察各选项，只有D选项的数字符合 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 35．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的增减性即可判断，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：D． 36．（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的增减性，由时，，可得y随x的增大而减小，进而可得一次项系数，解不等式即可． 【详解】解：，， ， ， 故选D． ►题型03 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 37．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数来说，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据直线中，得到随的增大而减小，由即可得到的取值范围． 【详解】解：对于直线来说， ∵， ∴随的增大而减小． ∵， ∴． 故选：A 38．（2024·陕西渭南·二模）已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，根据解析式可得y随x增大而减小，再由，即可得到． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 39．（2023·安徽滁州·二模）已知，，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】先分析出一次函数的增减性，再根据不同情况进行分类讨论． 【详解】解：直线是一次函数， 是小于0的， 随的增大而减小． ， ． 若，则与同号， 但不能确定、的正负，故选项A不符合题意； 若，则与异号， 但不能确定、的正负，故选项B不符合题意； 若，则与异号，则与同时为负， 故、同时为正，故，选项C符合题意； 若，则与同号， 但不能确定、的正负，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查一次函数图象和性质，掌握一次函数的增减性性质是解题关键． 40．（2023·湖北十堰·中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为 联立 解得：或 ∴， 由，则，对称轴为直线， 设，则点在上， ∵且， ∴点在点的左侧，即，， 当时， 对于，当，，此时， ∴， ∴ ∵对称轴为直线，则， ∴的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键． ►题型04 求一次函数解析式 41．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式． 【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为． 故选：A． 42．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点B，则直线的表达式为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数解析式的求解，根据题干信息得出，再利用待定系数法求解． 【详解】解：点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点， 设直线的表达式为，则 ， 解得：， ， 故选：B． 43．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知一次函数经过点，则下列结论正确的是（　　） A．函数值随增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与轴交于点 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象上点的坐标特征、一次函数的性质，求得一次函数的解析式是解题的关键．先将点代入一次函数解析式求得值，再根据一次函数的图像与性质逐项判断即可． 【详解】解：将点代入一次函数解析式得， 解得： 一次函数的解析式为 A、因为，所以函数值随的增大而减小，故A选项不符合题意； B、函数图象如图所示， 所以此函数图象经过第一、二、四象限，故B选项不符合题意． C、令得，，解得，所以函数图象与轴的交点坐标为，故C选项符合题意； D、当时，，故D选项不符合题意． 故选：C． 44．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于点A、B，若的面积为3，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法，先求出再利用的面积为3求出得出，代入函数解析式即可求出的值． 【详解】解：当时，， ∴，即， ∵， ∴， ， 将点代入， 得． 故选A． ►题型05 一次函数的规律探究问题 45．（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上．已知点，点，，则的坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，即可得到，，，，的纵坐标，根据图象得出，，，即可得到，，，，在一条直线上，直线的解析式为，把的纵坐标代入即可求得横坐标． 【详解】∵，点， ∴， ∴， 过作x轴于M， 过作y轴于N， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，， 同理可求得：纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，和，和，和，和的纵坐标相同， ，，，，，的纵坐标分别为1，2，4，8，16，， 根据图象得出，，， 直线的解析式为， 的纵坐标为， 把代入，解得， 的坐标是， 当时，， 故选：D． 【点睛】此题考查了点的坐标规律探究，待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形和正方形的性质，找到规律是解题的关键． 46．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且是等边三角形．在射线上取点，分别以为边作等边三角形使得在同一直线上，该直线交轴于点．若，则点的纵坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标规律，等边三角形性质，解答本题的关键是寻找点的坐标规律．利用待定系数法求得直线的解析式，利用等边三角形的性质分别求出，，，的坐标，然后找到点坐标的变化规律，即可求出的纵坐标． 【详解】解：是等边三角形，， 的横坐标为，， 设，则， 解得：或， 点在第一象限， ， 的解析式为， ，，是等边三角形， ， ， ， ， ， 的横坐标为， 的纵坐标为， 同理 ，，， ， ∴的纵坐标是． 故选：D． 47．（2023·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先令，求得点与点的坐标，从而求出、、的长度，然后结合图形的翻转知道点经过次旋转后重新落在直线：上，第次旋转点的位置不变，再结合次一循环得到翻滚次后点的坐标． 【详解】解：∵直线l：与两坐标轴交于、两点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 如图，等边经过第次翻转后，， 过点作轴于点，则，    ∵， ∴， ， 等边经过第次翻转后，， 等边经过第次翻转后，点仍在点处， ∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位， ∵，第次与第次翻转后点处在同一个点， ∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位， ∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过实际操作理解等边经过第次翻转与第次翻转后点处在同一个点． 48．（2020·广东广州·一模）如图，直线y＝x+1与x轴和y轴分别交于B0，B1两点，将B1B0绕B1逆时针旋转135°得B1B0′，过点B0'作y轴平行线，交直线y＝x+1于点B2，记△B1B0B2的面积为S1；再将B2B1绕B2逆时针旋转135°得B2B1'，过点B1'作y轴平行线，交直线y＝x+l于点B3，记△B2B1'B3的面积为S2…以此类推，则△BnBn﹣1'Bn+1的面积为Sn＝（    ） A．（）n B．（）n﹣1 C．2n D．2n﹣1 【答案】D 【分析】根据直线与x轴的成角和已知，可以判断∴△B1B0B2；…；△BnBn﹣1'Bn+1都是直角三角形，再由旋转的性质得到B1B0′＝OB0，B2B1′＝B1B0′，…，Bn+1B′n＝BnBn﹣1′，可以B1B0′＝，B2B1′＝2，…，BnBn﹣1'＝，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：直线l1：y＝x+1与x轴正半轴夹角45°， 由题意可知B′0B1∥x轴，B1′B2∥x轴，…，Bn′Bn+1∥x轴， B′0B2∥y轴，B′1B3∥y轴，…，B′n﹣1Bn+1∥y轴， ∴△B1B0B2；…；△BnBn﹣1'Bn+1都是直角三角形， ∴B1B0′＝OB0，B2B1′＝B1B0′，…，Bn+1B′n＝BnBn﹣1′ 由直线l1：y＝x+1可知，B0（﹣1，0），B1（0，1）， ∴OB0＝1， ∴B1B0′＝，B2B1′＝2，…，BnBn﹣1'＝， ∴△BnBn﹣1'Bn+1的面积为Sn＝（）2＝2n﹣1 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象及性质，直角三角形的性质；利用直线与x轴的成角，平行线的性质，在直角三角形中利用角的关系得到边的关系是解题的关键． 命题点四 一次函数与方程（组）、不等式 ►题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 49．（2021·广东佛山·一模）如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．方程的解是 D．随的增大而减小 【答案】C 【分析】利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴k＞0，b＞0，y随x的增大而而增大，故ABD错误； 又∵图象与x轴交于（−2，0）， ∴kx＋b＝0的解为x＝−2，故C正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确从函数图象中获取信息，掌握一次函数的性质． 50．（2024·陕西渭南·一模）如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的交点问题，一次函数与一元一次方程．根据图象，两直线的交点的纵坐标为4，将其代入得即可． 【详解】解：由图象知，两直线的交点的纵坐标为4，将其代入得． 故选：A． 51．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知一次函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（    ） A．， B．方程的解是 C．当时， D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系，以及一次函数的性质．根据图象可得，该一次函数的图象过一、二、三象限，进而可得k、b的值，以及与轴交点，函数的增减性，即可得出答案． 【详解】解：图象过一、二、三象限，且与轴交于正半轴， ，， 故A错误，不符合题意； 图象与轴交于点， 方程的解是， 故B正确，符合题意； 由图知，当时，， 故C错误，不符合题意； ， 随的增大而增大； 故D错误，不符合题意； 故选：B． 52．（2021·广西贺州·中考真题）直线（）过点，，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于的方程的解为函数的图象与x轴的交点的横坐标，由于直线过点A(2,0)，即当x=2时，函数的函数值为0，从而可得结论． 【详解】直线（）过点，表明当x=2时，函数的函数值为0，即方程的解为x=2． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，即一元一次方程的解是一次函数的图象与x轴交点的横坐标，要从数与形两个方面来理解这种关系． ►题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点 53．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 54．（2023·陕西西安·模拟预测）直线关于x轴对称后，与y轴的交点为，则a的值为（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－1 【答案】A 【分析】先求出直线关于x轴对称后的解析式，然后把代入即可求出a的值． 【详解】解：∵对于直线，当时，， ∴直线与y轴的交点为， ∵关于x轴的对称点为． ∴直线关于x轴对称后的解析式为， 把代入得， ， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形变化-轴对称，以及待定系数法求函数解析式，表示出直线关于x轴对称后的解析式为是解答本题的关键． 55．（2021·河南安阳·一模）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移4个单位长度，则平移后的图象与x轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令y=0，解得即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y=-2x的图象向上平移4个单位长度所得函数的解析式为y=-2x+4， ∵此时与x轴相交，则y=0， ∴-2x+4=0，即x=2， ∴与x轴交点坐标为(2，0)， 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的平移，以及一次函数与坐标轴的交点，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 56．（2021·安徽合肥·二模）若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵方程的解为x=2， ∴当x=2时mx+n=0； ∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0）， ∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0）， ∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n， ∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． ►题型03 利用图象法解一元一次方程 57．（2024·陕西西安·二模）如图，已知直线（为常数，），则关于的方程的解是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的综合应用，正确解得直线函数解析式是解题关键．首先根据待定系数法解得直线解析式，再令，解得的值，即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，直线经过点，， 将点，代入， 可得，解得， ∴该直线解析式为， 令，可得， 解得， ∴关于的方程的解是． 故选：A． 58．（2024·贵州遵义·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得： ，解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：D． 59．（2022·湖北武汉·模拟预测）关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将的解看成函数的图象与直线的交点的横坐标，函数的图象是定折线，直线过定点，绕定点旋转，计算旋转过程中有交点和没交点的临界状态，判断即可 【详解】解：方程的实数根，即为函数的图象与直线的交点的横坐标 如图，分别画出两函数的图象： 等价于 过定点 当直线与平行时： 当直线过点时 解得： 观察图象可知： 当时，直线与函数的图象有两个交点 故选：C 【点睛】本题考查一元一次方程一元一次函数，分段函数，图像与系数的关系；本题的关键是将方程问题转化为函数图像的交点问题 60．（2020·山西·一模）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，方程3x＝ax+b的解为（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3 【答案】A 【分析】根据方程的解即为函数图象的交点横坐标解答． 【详解】解：∵直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3） ∴方程3x＝ax+b的解为x＝1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． ►题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解 61．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B．随x的增大而增大 C．当时， D．关于x，y的方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系．根据一次函数与方程、不等式的关系求解． 【详解】解：A、由图象得：，，所以，故本选项不符合题意； B、由图象得随的增大而减小，故本选项不符合题意； C、由图象得：当时，，故本选项符合题意； D、由图象得：的解为，故本选项不符合题意． 故选：C． 62．（2024·广东深圳·二模）在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．随x的增大而减小 B． C．当时， D．方程组的解为 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、把代入得，解得，故与的交点为，由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 63．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 64．（2023·陕西西安·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用直线确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案． 【详解】解：把代入得， 解得，即点坐标为， 所以二元一次方程组的解为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． ►题型05 求两直线与坐标轴围成的图形面积 65．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．根据方程或方程组得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，    在中，令，得， 解得，， ∴，， ∴的面积， 故选：B． 66．（2024·陕西汉中·二模）已知一次函数（k、b为常数，且）的图象是由正比例函数的图象向右平移3个单位长度后得到的，若一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为9，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴围成的图形面积，一次函数图象的平移问题，先根据平移方式求出平移后的解析式为，进而求出一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点为，再根据一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为9，列出方程求解即可． 【详解】解：∵一次函数（k、b为常数，且）的图象是由正比例函数的图象向右平移3个单位长度后得到的， ∴， ∴在中，当时，，当时，， ∴一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点为， ∵一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为9， ∴， ∴， 故选：C． 67．（2022·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线都经过，且，设与轴交于点，则的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作y轴于C，由即可得到，进而求得，然后根据三角形面积公式即可求得的面积． 【详解】过作y轴于C ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题是考查一次函数与相似综合问题，三角形的面积等，利用相似求出的长是解题的关键． 68．（2023·内蒙古包头·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点A的坐标为，点B的坐标为，根据平行四边形性质得出点的坐标为，求出直线的解析式为，得出点D的坐标为，求出直线的解析式为：，的解析式为，求出点E的坐标为，得出，求出，，即可求出结果． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 把代入得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴点的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴的解析式为， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与x轴，y轴的交点问题，直线围成的三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是求出点E的坐标． ►题型06 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 69．（2024·四川眉山·二模）如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求的解集，即为，就是求函数值小于0时，x的取值范围，解题时应结合函数和不等式的关系找出正确的答案． 【详解】∵要求的解集，即为求的解集， ∴从图象上可以看出等时，， 故选：C． 70．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一次函数（k、b为常数，且）与x轴，y轴分别交于两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 由一次函数的图象过点，且随的增大而增大，从而得出不等式的解集． 【详解】由一次函数的图象可知，随的增大而增大， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，有． 故选：C． 71．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，直线l是一次函数的图象，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，求一次函数解析式，求一次函数值，先根据待定系数法求出函数解析式，再求出当时，，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：由图可知，一次函数的图象与坐标轴的交点分别为， ∴ ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为， ∴当时， ∴当时，y的取值范围是． 故选：A． 72．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． ►题型07 根据两条直线交点求不等式的解集 73．（2024·云南昆明·模拟预测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集，只有选项C符合， 故选：C． 74．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数与不等式之间的关系，根据题意可得直线与直线的交点坐标为，再根据一次函数的增减性即可得到答案． 【详解】解：直线与直线分别可以看作由直线与直线向左平移2个单位长度得到． ∵直线与直线相交于点， 直线与直线的交点坐标为， ∵在中，在中， ∴在中，y随x增大而减小，在中y随x增大而增大， ∴不等式的解集为． 故选C． 75．（2024·贵州·模拟预测）如图，一次函数和一次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，两条直线的交点，解决问题的关键是掌握一次函数图象和性质．根据一次函数的性质即可判断A、B；根据两条直线交点的横坐标即可判断C、D． 【详解】解：A．∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴，故A错误； B．∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴，故B错误； C．∵两条直线交点的横坐标为， ∴， ∴， 即，故C正确； D．∵当时，一次函数的图象在一次函数的图象上面， ∴时，，故D错误． 故选：C． 76．（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【详解】解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． 所以． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， 所以． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 故选：B． 命题点五 一次函数的实际应用 ►题型01 分配问题 77．（2024·广东梅州·模拟预测）五华，这片土地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元． (1)求每个足球和足球锥形桶的单价； (2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元 (2)当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一次函数的应用等知识． （1）设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元，根据“买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元”列出方程组，解方程组即可求解； （2）设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元，根据题意列出函数关系式，根据题意得到，根据一次函数性质即可得到当时，，问题得解． 【详解】（1）解：设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元． 依题意，得， 解得：， 答：每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元； （2）解：设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元， 则， 由题意得：， ∴， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，， （个）． 答：当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元． 78．（2024·河南驻马店·一模）今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元． (1)求甲、乙两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用． 【答案】(1)甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克． (2)甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式得应用； （1）设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，根据题意列二元一次方程组即可； （2）设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质求解即可 【详解】（1）设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，由题意可得： 解得 答：甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克． （2）设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元． 由题意得：． ∴ w随m的增大而增大． 又， ∴． ∴ 当时，w有最小值为（元）． 答：甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元． 79．（2024·广东广州·一模）人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们生活品质．某科创公司计划投入一笔资金购进、两种型号的芯片．已知购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元． (1)求购进1片型芯片和1片型芯片各需多少元？ (2)若该科创公司计划购进、两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？ 【答案】(1)购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元； (2)该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少,最少资金是万元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）设购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元，根据“购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元”列二元一次方程组求解即可； （2）设购进型芯片的数量为万片，则购进型芯片数量为万片，根据“购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍”列不等式，求出的取值范围，令购买芯片所需资金为，根据题意得到关于的一次函数，利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元， 由题意得：，解得：， 答：购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元； （2）解：设购进型芯片的数量为万片，则购进型芯片数量为万片， 由题意得：， 解得；， 令购买芯片所需资金为， 则， ， 随的增大而增大， 当时，最小，最小值为万元， 万片， 答：该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少,最少资金是万元 ►题型02 最大利润问题 80．（2024·广东广州·模拟预测）年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同． (1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ (2)已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？ 【答案】(1)B款文化衫每件元，A款文化衫每件元 (2)购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量与不等量关系，正确列出分式方程和不等式． （1）设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，依题意得，，可求，由题意知，，然后根据一次函数的图象与性质求解作答即可． 【详解】（1）解：设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴， ∴B款文化衫每件元，A款文化衫每件元； （2）解：设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元， 依题意得，， 解得，， 由题意知，， ∵， ∴当时，费用最低为（元）， ∴购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元． 81．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． (1)求A，B两种香料的单价； (2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元 (2)购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程组、不等式以及一次函数的解析式成为解题的关键． （1）设A，B两种香料的单价分别为x元，y元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A种香料a千克，则购买B种香料千克，总费用为w元．根据题意列不等式可求得，再列出函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设A，B两种香料的单价分别为x元，y元， 根据题意得：，解得：． 答：A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元． （2）解：设购买A种香料a千克，则购买B种香料千克，总费用为w元． 由题意可得:， , 由题意可得, , ，． 答：购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元． 82．（2024·广东肇庆·二模）某水果商店准备购进苹果和荔枝两种水果，苹果每千克的进价为10元，荔枝每千克的进价为20元，商店为了获得利润，将苹果每千克的售价定为20元，荔枝每千克的售价定为50元． (1)商店计划用不超过1400元的资金购进苹果和荔枝共100千克，问荔枝的进货数量不超过多超少千克？ (2)因荔枝的保鲜期较短，商店准备对荔枝每千克的售价优惠元，但苹果的售价不变，已知荔枝的进货数量不低于30千克，在（Ⅰ）的条件下，求销售这100千克水果获得利润最大时的进货方案． 【答案】(1)荔枝的进货数量不超过千克 (2)当苹果购买千克，荔枝购买千克，且荔枝每千克优惠元时，商店的利润最大 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设荔枝的进货数量为千克，根据题意列出不等式即可求解； （2）根据题意得出，根据（1）的结论，当时，，当时，，当时，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设荔枝的进货数量为千克， 依题意，得：， 解得：， 答：荔枝的进货数量不超过40千克。 （2）依题意，得：， 当时，， 随的增大而增大， ， 时，即苹果购买60千克，荔枝购买40千克时利润最大，元， 且， ∴当时，元 当时，， 随的增大而减小， 当时，即苹果购买70千克，荔枝购买30千克利润最大，元 ， ， 当时，元； 综上所述，当苹果购买60千克，荔枝购买40千克，且荔枝每千克优惠15元时，商店的利润最大 ►题型03 行程问题 83．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）随着疫情的消失，三年的管控使人们的消费和旅游在年的“五一”假期得以全面释放．小明和小军分别骑车和驾车从本村出发，沿同一条公路去东门外生态公园游玩．小明骑一段时间后，小军驾车出发，结果半路遭遇堵车，当小明追上小军后，小军坐小明的自行车一起去生态公园小军泊车时间忽略不计，如图是小明、小军两人在去生态公园过程中经过的路程与小明出发时间之间的函数图像．请结合图像回答：      (1)村与公园的距离为______ ，小明骑车速度是______ ． (2)小军在离开村多少公里处遭遇堵车？从小军遇到堵车到追上小明用了多长时间？ (3)直接写出两人何时相距？ 【答案】(1)， (2)公里； (3)或或或时 【分析】（1）从小明的图像可以得到村与公园的距离，根据路程、速度和时间的关系式也可以算得小明的骑车速度； （2）利用图像和待定系数法不难得到小军、小明经过路程与小明出发时间之间的函数关系式，然后在小明的函数关系式中令即可得到小军遭遇堵车的路程处．在小军的函数关系式中令路程为即可得到小军遭遇堵车的时间，从而算出从小军遇到堵车到小明追上小军的时间； （3）分，，，几种情况讨论可以得到解答． 【详解】（1）解：， 从图中可以看出村与公园的距离为，小明骑车速度是， 故答案为：，． （2）解：由题意不难得到小明路程与小明出发时间之间的函数关系为：， 当时，，即为；当时，， 在小军经过的路程与小明出发时间之间的函数图像上， 设，则： ，解得：， 小军经过的路程与小明出发时间之间的函数关系式为：， 从图像可以看出，当时，， 小军在离开村公里处遭遇堵车， 在中，若，则， ， 从小军遇到堵车到小明追上小军用了． （3）解：可以分以下几种情况讨论： 当时，，解得，； 当时，，解得，； 当时，，解得，； 当时，，解得，； 综上所述，当小明出发时间分别为或或或时，小军与小明两人何时． 【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图像、待定系数法的应用、分类讨论的思想方法及路程、速度、时间三者之间的关系是解题关键． 84．（2023·广东江门·三模）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同的路线，从甲港到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象(直线)．      (1)轮船的速度是______千米/时，快艇的速度是______千米/时； (2)分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式； (3)快艇出发多长时间赶上轮船？ 【答案】(1)， (2)表示轮船行驶过程的函数解析式为：；表示快艇行驶过程的解析式为： (3) 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出轮船和快艇的速度； （2）待定系数法求解析式即可求解； （3）设快艇出发与轮船相遇，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）轮船的速度为：，快艇的速度为：， 故答案为：，； （2）解：设表示轮船行驶过程的解析式为，将点代入得，， ∴表示轮船行驶过程的函数解析式为：， 设表示快艇行驶过程的解析式为：，将代入得， ， 解得： ∴表示快艇行驶过程的解析式为： （3）设快艇出发与轮船相遇， ， 得， 故答案为：； 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息是解题的关键． 85．（2022·浙江湖州·中考真题）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时． (1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？ (2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式； (3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值． 【答案】(1)轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米 (2)点B的坐标是，s＝60t－60 (3)小时 【分析】(1)设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为小时，根据路程两车行驶的路程相等得到即可求解； (2)由(1)中轿车行驶的时间求出点B的坐标是，进而求出直线AB的解析式； (3)根据大巴车行驶路程与小轿车行驶路程相等即可得到，进而求出a的值 【详解】（1）解：设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为小时． 根据题意，得:, 解得x＝2． 则(千米)， ∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米． （2）解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时， ∴点B的坐标是． 由题意，得点A的坐标为． 设AB所在直线的解析式为， 则： 解得k＝60，b＝－60． ∴AB所在直线的解析式为s＝60t－60． （3）解：由题意，得， 解得：， 故a的值为小时． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是读懂题意，明确图像中横坐标与纵坐标代表的含义． ►题型04 现实生活相关问题 86．（2024·广东·模拟预测）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的 ． 请根据以上素材，解答下列问题： (1)如图，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式； (3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 【答案】(1)图见解析；； (2) (3)此时双层部分的长度为 【分析】（1）直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出的最大值和最小值； （2）根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式，用含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可； （3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：描点并作图如图所示： 根据图象可知，变量、满足一次函数关系． 设、为常数，且， 将，和，代入， 得， 解得， ． 当背带都为单层部分时，； 当背带都为双层部分时，，即， 解得， 的取值范围是； （2）解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， 总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得， ∴； （3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，， 背包提在手上，且背包的悬挂点离地面高度为， 手到地面的距离为， 设小明爸爸的身高为． 臂展和身高一样，且肩宽为， 小明爸爸一条胳膊的长度为， ， 解得， 根据任务2，得， 解得， 此时双层部分的长度为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及求一次函数解析式，画一次函数图象，求一次函数值，理解题意，利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键． 87．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； (2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可； （2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； （2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得， ， ∵， ∴y随m增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少． 88．（2024·山西太原·模拟预测）请仔细阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 树的胸径与树高的关系 胸径和树高是树木重要的测量因子，也是反映森林生长状况的重要参数．由于测量树高比测量胸径更加费时、费力，且误差更大，因此实际测量时，多采用树高-胸径模型来估算树木的高度． 技术人员查阅相关资料，发现柳树在某段成长时期，其树高y（单位：m）可以看成胸径x（单位：）的一次函数．下表是他们在当地收集到的“一号”柳树树高与胸径的数据： 胸径 16 21 23 28 35 42 树高 7.2 8.4 9 10.7 11.2 11.7 根据表中的数据，他们在如图所示的平面直角坐标系中描出了坐标点，发现这六个点并不在一条直线上，继续查阅资料，找到如下解决办法： 设树高y与胸径x的函数关系式为，将表格中的数据按x的值从小到大排序后，均分为两组代入得到 第一组：； 第二组：； 分别将两组中的三个式子相加，得到方程组解得，从而得到“一号”柳树树高y与胸径x的一次函数模型为， 技术人员只要测量出“一号”柳树的胸径，就可以利用这个一次函数模型来估算“一号”柳树的高度．    任务： (1)以上材料中，主要运用的数学思想是___________（从下面的选项中选择两个即可）． A．模型思想    B．公理化思想    C．统计思想 (2)技术人员在当地收集到“二号”柳树的树高y与胸径x的数据如下： 胸径： 14 18 25 32 38 45 树高 4.5 5.8 7.55 9.3 10.75 12.3 ①请你参照材料中的方法，求“二号”柳树的树高y与胸径x的一次函数模型（函数表达式）． ②一段时间后技术人员测得“二号”柳树胸径为，查阅相关资料发现，此时对应树高超过才算生长良好，请你判断“二号”柳树生长是否良好． 【答案】(1)AC (2)①，②不良 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）根据题意即可得出结论； （2）①根据材料中方法求出二号柳树的树高与胸径的一次函数模型即可；②把代入①中解析式求出与14比较即可． 【详解】（1）解：主要运用的数学思想是模型思想与统计思想， 故选：AC； （2）解：①设树高与胸径的函数关系式为，将表格中的数据按的值从小到大排序后，均分为两组代入得到： 第一组：，，； 第二组：，，． 分别将两组中的三个式子相加，得到方程组， 解得， “二号”柳树树高与胸径的一次函数模型为； ②当时，， “二号”柳树生长良好． 基础巩固 1、 单选题 1．（2024·广东佛山·三模）把直线向上平移三个单位长度后经过点，则b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，待定系数法求一次函数解析式．先求出平移后的直线解析式，再根据平移后的直线经过点进行求解即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度后的直线解析式为， 平移后的直线经过点， ， ， 故选：B． 2．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象．根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：当，时，直线经过一、二、三象限；则直线经过一、二、三象限；无正确选项； 当，时，直线经过一、三、四象限；则直线经过一、二、四象限；A选项正确； 当，时，直线经过一、二、四象限；则直线经过一、三、四象限；无正确选项； 当，时，直线经过一、三、四象限；则直线经过一、三、四象限；无正确选项； 故选：A． 3．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 4．（2024·广东广州·二模）下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象必过原点 B．函数的图象不经过第二象限 C．函数的图象位于第一、三象限 D．函数的图象中，当时，随增大而增大 【答案】D 【分析】A、将代入即可；B、函数的图象经过第一，三，四象限；C、根据值的大小即可判断图象经过的象限；D、先判断函数的对称轴和开口方向，再判断增减性．本题考查了一次函数的性质，反比例函数图象和性质，二次函数的图象与性质，属于常考题． 【详解】解：A、将代入，得，左右两边相等，不符合题意； B、函数的图象经过第一，三，四象限，即图象不经过第二象限，不符合题意； C、函数的图象位于第一、三象限，不符合题意； D、由函数可知函数图象的开口方向向上，对称轴为，当时，随增大而增小，符合题意． 故选：D． 5．（2023·广东揭阳·一模）如图，已知直线与相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集． 根据图象和交点坐标得出关于x的不等式的解集是，即可得出答案． 【详解】解：由图象可得，当时，， ∴关于x的不等式的解集是， 用数轴表示为： 故选：D 6．（2023·广东深圳·二模）如图是小杰同学家中的一个沙漏计时器，相关实验结果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，从计时器开始计时到计时止，上面玻璃球内的含沙量（）与时间（）之间的函数关系图像大致为（    ）    A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】根据题意可得含沙量Q与时间t之间的函数关系图像大致为一条直线，且含沙量Q随时间均匀减少，即可求解． 【详解】解：因为沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速， 所以相同时间内，玻璃球内的含沙量Q的减少量相同， 所以从计时器开始计时到计时止，上面玻璃球内的含沙量Q与时间t之间的函数关系图像大致为一条直线，且含沙量Q随时间均匀减少， 故D符合题意，ABC不符合题意． 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数图形的识别，利用数形结合思想解答是解题的关键． 7．（2023·广东广州·一模）对于一次函数，下列说法错误的是（    ） A．随的增大而减小 B．图象与轴交点为 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象经过点 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，与坐标轴的交点，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：中，， A. ，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；     B. 当时，，则图象与轴交点为，故该选项正确，不符合题意； C. ∵，则图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，不符合题意； D. 当时，，则图象经过点，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数图象的增减性，求函数值，与坐标轴交点，能正确根据k判断增减性是解题的关键． 8．（2023·广东深圳·二模）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质可得出点A的坐标，再观察图象可得当时，函数的图象位于的图象的下方，即可求解． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点， ∴， 解得， ∴点A坐标为， 根据图象可知，不等式的解集为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的不等式的关系，利用数形结合思想解答是解题的关键． 二、填空题 9．（2024·广东·模拟预测）已知y是关于x的一次函数，点在该一次函数的图象上，且y随x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，开放性试题，答案不唯一，满足条件即可．设一次函数的表达式为，由随的增大而减小，则，图像经过点，可得的值，综合两者取值即可． 【详解】解：设一次函数的表达式为， ∵图像经过点， ∴， ∵随的增大而减小， ∴， 即取负数，当时，函数解析式为． 故答案为：． 10．（2024·广东·模拟预测）一个皮球从16m高处下落，第一次落地后反弹起8m，第二次落地后反弹起4m，以后每次落地后反弹的高度都减半．请写出反弹高度h（单位：m）与落地次数n的对应关系的函数解析式 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用．由题意可知，每次落地后的反弹高度都减半，依次可得表示反弹高度与落地次数的对应函数关系． 【详解】解：根据题意得， 表示反弹高度h（单位：m）与落地次数n的对应关系的函数解析式：（n为正整数）； 故答案为：． 11．（2024·广东东莞·三模）已知点，点在直线上，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象上点的坐标特征、比较函数值的大小，熟知一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：， 中，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 12．（2024·广东阳江·二模）先从，，0，6四个数中任取一个数记为，再从余下的三个数中任取一个数记为．若，则正比例函数的图象经过第一、三象限的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意列表表示出所有可能得情况，然后根据正比例函数的图象经过第一、三象限则，据此求解即可． 【详解】解：列表如下： 0 6 0 0 0 0 0 0 6 0 共有12种等可能结果，其中满足的有2种， 则正比例函数的图象经过第一、三象限的概率是． 故答案为：． 13．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图象的位置关系和交点坐标写出直线在下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由，得到：． 根据图象可知：两函数的交点为， ∴关于的一元一次不等式的解集是， 即关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 三、解答题 14．（2024·山东青岛·一模）某高速公路通车后，农户的农产品运往外地的运输成本大大降低，一农户需要将，两种农产品定期运往某加工厂，每次运输，产品的件数不变，原来每运一次的运费是元，现在每运一次的运费比原来减少了元，，两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示： 品种 原运费 现运费 (1)求每次运输的农产品中，产品各有多少件？ (2)由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加件，但总件数中产品的件数不得超过产品件数的倍，问：产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？ 【答案】(1)每次运输产品件，产品件 (2)最少运费需要元 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数结合不等式，根据题意正确列式是解题关键． （1）设每次运输产品件，产品件，根据原一次运费和现一次运费列出二元一次方程组即可； （2）设运输产品件，运费为元，列出关于的一次函数，再根据总件数中产品的件数不得超过产品件数的倍，确定自变量的范围，再取最小值即可． 【详解】（1）解：设每次运输产品件，产品件，由题意得： ， 解得， 答：每次运输产品件，产品件． （2）设运输产品件，则产品为件，运费为元， ， 又，∴， ∵，∴随着的增大而增大， ∴要最少，取最小， 即当时，， 答：最少运费需要元． 15．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ （3）解：将代入得： ∴估计这个人身高 能力提升 一、单选题 1．（2024·广东汕头·二模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键． 先求出一次函数与轴交点关于直线的对称点，得到的值，再求出一次函数与轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出的值即可． 【详解】解：∵一次函数与轴交点为， ∴点关于直线的对称点为， 代入直线，可得， ∵一次函数与轴交点为， ∴关于直线的对称点为， 代入直线，可得， 解得． 故选：D． 2．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了对高斯函数的理解，以及对方程的解和函数图象交点之间联系的理解，解题的关键在于利用数形结合的方式找出临界点．根据题意可得与有三个不同的交点，恒过点，画出函数图象，找出临界点，即可求出实数的取值范围． 【详解】解：关于的方程有三个不同的实根， 与有三个不同的交点， 有恒过点， 如下图： 当过点时，， 当过点时，， 当过点时，， 当过点时，， 关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是或 ． 故选：D． 3．（2024·广东广州·一模）已知一次函数经过点，正比例函数不经过第三象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数、一次函数、反比例函数图象．熟练掌握正比例函数、一次函数、反比例函数的图象是解题的关键． 由正比例函数不经过第三象限，可得，由一次函数经过点，可知一次函数经过第二、三、四象限，即，进而可判断反比例函数的图象位于第二、四象限． 【详解】解：∵正比例函数不经过第三象限， ∴， 又∵一次函数经过点， ∴一次函数经过第二、三、四象限， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， 故选：D． 4．（2023·广东湛江·一模）甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车离开A地的距离与甲行驶时间的函数图象．根据图中提供的信息，有下列说法：①乙车速度是；②m的值为1；③a的值为40；④乙车比甲车早到达B地．其中正确的有（　　）    A．①②③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了就函数图象获取信息，求一次函数的表达式．根据图象可得乙车形式120千米用小时，即可判断①；根据甲车途中休息了，即可求出m的值，即可判断②；求出甲车的速度，即可判断③；用待定系数法求出设甲车休息之后行驶路程与时间的函数关系式为，把代入求出，即甲车用7小时到达，再求出乙车行驶需要，即可求出乙车比甲车早到达B地，即可判断④． 【详解】解：（千米/小时）， 即乙车速度是，故①正确； 由题意，得．故②正确； ，则， 故③正确； 设甲车休息之后行驶路程与时间的函数关系式为， 把代入得： ， 解得， ∴， 根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车， 把代入得：， 解得：， ∵乙车的行驶速度：， ∴乙车行驶需要， ∴， ∴乙车比甲车早到达B地．故④正确． 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选：A． 5．（2022·广东深圳·三模）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上．直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先待定系数法求出直线的解析式，过作于点，过作于点，易证，根据全等三角形的性质可得和的长，再证，易得点坐标，再根据平移可得平移后的点坐标，代入直线解析式即可求出的值． 【详解】解：点在直线上， ， ， 直线的解析式为， 过作于点，过作于点，如图所示： 则，， ， 在正方形中，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 同理可证， ，， ， ， 正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上， 设平移后点的坐标为， ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平移的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题 6．（2024·广东东莞·三模）直线上有点，过点作轴交图象于点，且则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，根据题意，作图分析，设，则，由此可得，由此即可求解，掌握反比例函数，一次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 设，则， ∴， 当时，，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，（不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，点的坐标为， 故答案为：或 ． 7．（2024·广东深圳·二模）如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点A，与反比例函数交于点 C，与 x轴交于点B，如果，则k的值为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数解析式，联立方程组根据只有一个交点求出值得到交点坐标，根据直线解析式求出点坐标，依据中点坐标公式分别求出点和点坐标，即可得到值，求出点坐标是关键． 【详解】解：联立方程组得 整理得： ∵只有一个交点， 舍去负值， ， ∴一次函数解析式为 ∴联立方程组得 解得：，（舍去）， ∴点， ∵当时， ∴ ∴线段的中点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴， ∴ ∴ 在反比例函数图象上， ∴， ， 故答案为： 8．（2024·广东深圳·模拟预测）小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面朝上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标，那么点P落在直线上的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数的性质，注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意画出树状图，然后由表格求得所有等可能的结果与点P落在直线上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图如下： 故所有等可能结果为 ； ； ； ； ； ， 共36种等可能结果． 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故有，，，，满足在直线上，共5种情况， ∴点P落在直线上的概率为． 故答案为：． 9．（2024·广东潮州·一模）如图所示，点，，，…在轴上，点，，，…在直线上．已知，轴，，…，，，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知为等腰三角形，，再证明、均为等腰三角形，进而可得，即点的横坐标为8，即可获得答案． 【详解】解：∵，轴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵，轴， ∴轴， ∴， 同理可得为等腰三角形，轴，轴， ∴，即点的横坐标为8， 将代入直线， 可得， ∴． 故答案为：． 10．（2024·广东中山·三模）如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位，与轴、轴分别交于点、，以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形若反比例函数的图象经过点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，过点作轴，作轴，证明，得到，进而求出点坐标，求出点坐标，进而求出的长，利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作轴，作轴，则四边形为矩形， ∴， ∵以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， 则：， ∴（负值舍掉）， ∴， ∵将直线向上平移个单位，与轴、轴分别交于点、， ∴平移后的直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 11．（2024·广东·模拟预测）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，九年级（1）班负责校园某绿化角的设计．种植与养护同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍已知绿萝每盆元，吊兰每盆元． (1)采购组计划将经费元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？ (2)请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值． 【答案】(1)可购买绿萝盆，吊兰盆 (2)购买吊兰的盆，绿萝盆，总花费最少，最少为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键， （1）设可购买绿萝盆，吊兰盆，根据题意：计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，采购组计划将预算经费元全部用于购买绿萝与吊兰，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆，由绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，得，求得的取值范围，设购买两种绿植共花费元，由题意得：，根据一次函数的增减性即可求得最省钱的方案． 【详解】（1）解：设可购买绿萝盆，吊兰盆， 依题意得：， 解得：， 答：可购买绿萝盆，吊兰盆； （2）解：设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆， 绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍， ， 解得：， 设购买两种绿植共花费元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最小值，即花费最少， （元）， 此时购买吊兰盆，绿萝（盆）， 答：购买吊兰的盆，绿萝盆，总花费最少，最少为元． 12．（2024·广东广州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C． (1)求点B、点C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)存在，点M的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）分别将和代入直线，即可求出点B、点C的坐标； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出，再设点的坐标为，进而表示出，再根据的面积是的面积的，列方程求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于点B、C， 令，则，解得：， 令，则， ，； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 即直线的解析式为； （3）解：存在，理由如下： ，， ， 点M在射线上， 设点的坐标为， ， 的面积是的面积的， ， 解得：， 当时，， 当时，， 点M的坐标为或． 13．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，直线与双曲线 在第二象限内交于A，B两点，已知 (1)求的值及直线的解析式； (2)点C是线段上的一个动点，过点C作轴于点D，交双曲线于点F，E是x轴上一点，当的面积最大时，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质与几何问题，反比例函数与一次函数的交点问题，求函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求一次函数解析式，得出，再将代入， 得，即可作答． （2）先求出双曲线的解析式为；设，，则，根据求的面积列式得，结合二次函数的图象性质，，即可作答． 【详解】（1）解：将代入， 得 整理得， 解得(不合题意，舍去) ∴ ∴ ∴直线的解析式为 将代入， 得； （2）解：由（1）可知， ∴双曲线的解析式为 依题意，设，， ∵过点C作轴于点D 则 . ∴ ∴ ∵，， ∴当时，有最大值． ∴点F的坐标为． 14．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的图像与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是分类讨论思想的运用． （1）分别将，代入抛物线解析式与直线的解析式，即可得解； （2）过点作轴，交直线于点，设点，则点，得到，，结合，当t＝2时，取最大值，求得； （3）分两种情况：当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，分别解答即可得解． 【详解】（1）解：将，代入直线得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ， 当时，取最大值， 此时； （3）在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． $$