（寒假预习讲义）第1单元圆柱与圆锥知识汇总、例题精讲、巩固作业-2024-2025学年数学六年级下册北师大版

第1单元圆柱与圆锥 知识汇总、例题精讲、巩固作业 知识精讲 “点、线、面、体”之间的关系 点的运动形成线；线的运动形成面；面的旋转形成体。 圆柱的特征 （1）圆柱的两个底面是半径相等的两个圆，侧面是曲面。 （2）两个底面间的距离叫做圆柱的高。 （3）圆柱有无数条高，且高的长度都相等。 （4）圆柱是由长方形绕长或宽旋转360度得到的立方体，所以沿高线切割后的切面是长方形。 圆锥的特征 （1）圆锥的底面是一个圆，和底面相对的位置有一个顶点。 （2）圆锥的侧面是一个曲面。 （3）圆锥只有一条高。 （4）圆锥是由直角三角形绕一条直角边旋转360度得到的立方体，所以沿高线切割后的切面是等腰三角形。 圆柱的侧面展开图 沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形）（如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形）。 圆柱的侧面积 圆柱的侧面积＝底面周长×高，用字母表示为：S侧＝Ch。 圆柱的侧面积公式的应用： （1）已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝ch； （2）已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝πdh； （3）已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝2πrh 圆柱的表面积 圆柱表面积的计算方法：如果用S侧表示一个圆柱的侧面积，S底表示底面积，d表示底面直径，r表示底面半径，h表示高，那么这个圆柱的表面积为：S表=S侧+2S底  或S表=2πrh+2 圆柱表面积的计算方法的特殊应用： （1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体。 （2）圆柱的表面积只包括侧面积的，例如烟囱、油管等圆柱形物体。 圆柱的体积 一个圆柱所占空间的大小。 圆柱的体积＝底面积×高如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么V＝Sh 。 圆柱体积公式的应用： （1）计算圆柱体积时，如果题中给出了底面积和高，可用公式：V＝Sh。 （2）已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：V＝h； 圆柱形容器的容积＝底面积×高，用字母表示是V＝Sh。 圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。 圆锥的体积 一个圆锥所占空间的大小。 圆锥的体积＝1/3×底面积×高 如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，则字母公式为：1/3Sh 圆锥体积公式的应用： （1）求圆锥体积时，如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用“v= 1/3Sh”这一公式。 （2）求圆锥体积时，如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用1/3πr²h （3）求圆锥体积时，如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用1/3π（d/2）²h （4）求圆锥体积时，如果题中给出底面周长和高这两个条件，可以运用1/3π（c/2r）²h 例题精讲 例题一：圆柱与圆锥的认识 1．下列四组概念，具有如下图这样关系的是（    ）。 A．平行四边形、长方形、正方形 B．长方体、圆柱、圆锥 C．三角形、等腰三角形、直角三角形 D．长方体、长方形、正方形 【答案】A 【分析】A．正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形，所以平行四边形包含长方形，长方形包含正方形，所以平行四边形、长方形、正方形是包含关系，据此解答。 B．长方体、圆柱、圆锥都是独立的，所以长方体、圆柱、圆锥不是包含关系；据此解答； C．三角形包含等腰三角形和直角三角形，而等腰三角形包含等腰直角三角形，不包含直角三角形，所以三角形、等腰三角形、直角三角形不是包含关系，据此解答； D．正方形是特殊的长方形，长方体不包含长方形，所以长方形、长方形、正方形不是包含关系；据此解答。 【详解】根据分析可知，具有如下图这样关系的是平行四边形、长方形、正方形。 故答案为：A 2．下列图形旋转后可以得到的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察旋转后形成的图形可知，上下是两个圆锥，中间是圆柱，组成的几何体；直角三角形旋转一周形成圆锥，长方形旋转一周形成圆柱，所以可旋转成这个几何体的平面图形应该是上下都是直角三角形，中间是长方形，据此解答即可。 【详解】根据分析可得，这个图形旋转后可形成组合图形：。 故答案为：A 【点睛】本题考查圆柱和圆锥，解答本题的关键是掌握圆柱和圆锥的特征。 3．一个直角三角形，两条直角边分别为3厘米、4厘米，以它的任意一条直角边为轴旋转一周成（    ）。 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，得到的几何体是圆锥体；据此解答。 【详解】一个直角三角形，两条直角边分别为3厘米、4厘米，以它的任意一条直角边为轴旋转一周成圆锥。 故答案为：D 例题二：圆柱的侧面积 1．小明正在制作一个圆柱形灯笼，底面半径是2分米，高是5分米。他想知道需要多少平方分米的布料来覆盖这个灯笼的侧面。（    ） A．20π B．30π C．60π D．35π 【答案】A 【分析】根据题意，求覆盖圆柱形灯笼的侧面需用布料的面积，就是求圆柱的侧面积；根据圆柱的侧面积S侧＝Ch，其中C＝2πr，代入数据计算即可求解。 【详解】2×π×2×5＝20π（平方分米） 需要20π平方分米的布料来覆盖这个灯笼的侧面。 故答案为：A 2．端午节时，乐乐做了一个底面直径为4cm，高为8cm的圆柱形粽子，现在她要在粽子的侧面沾上一层糖，粽子沾糖的面积是（    ）cm2。 A．200.96 B．100.48 C．401.92 D．125.6 【答案】B 【分析】根据题意，要在圆柱形粽子的侧面沾上一层糖，求粽子沾糖的面积，就是求圆柱的侧面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，代入数据计算即可求解。 【详解】3.14×4×8 ＝12.56×8 ＝100.48（cm2） 粽子沾糖的面积是100.48cm2。 故答案为：B 3．用铁皮焊接一节长为4m，底面直径为20cm的圆柱形烟囱，至少需要铁皮（    ）m2。 A．502.4 B．251.2 C．5.024 D．2.512 【答案】D 【分析】根据题意可知，圆柱形烟囱的底面直径为20cm，长为4m，即圆柱形的高为4m；根据1m＝100cm，先进行单位统一，然后利用“圆柱的侧面积＝底面周长×高”进行计算，即可解答。 【详解】20cm＝0.2m 3.14×0.2×4 ＝0.628×4 ＝2.512（m2） 所以用铁皮焊接一节长为4m，底面直径为20cm的圆柱形烟囱，至少需要铁皮2.512m2。 故答案为：D 例题三：圆柱的表面积-包装纸问题 1．一个圆柱形茶叶罐的底面半径是3厘米，高是8厘米，茶叶罐的侧面和上面都贴上了商标纸，贴商标纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】178.98平方厘米 【分析】根据题意，在一个圆柱形茶叶罐的侧面和上面都贴上了商标纸，则贴商标纸的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的一个底面积，根据S侧＝2πrh，S底＝πr2，代入数据计算即可求解。 【详解】2×3.14×3×8＋3.14×32 ＝18.84×8＋3.14×9 ＝150.72＋28.26 ＝178.98（平方厘米） 答：贴商标纸的面积是178.98平方厘米。 2．我校“小小厨艺班”兴趣小组要求每个学生做一个薯片筒。底面直径为10厘米，长为20厘米，制作50个这样的薯片筒，至少需要多大面积的纸板？ 【答案】39250平方厘米 【分析】根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，求出做一个薯片筒需要纸板的面积，再乘50，即可解答。 【详解】[3.14×（10÷2）2×2＋3.14×10×20]×50 ＝[3.14×52×2＋31.4×20]×50 ＝[3.14×25×2＋628]×50 ＝[78.5×2＋628]×50 ＝[157＋628]×50 ＝785×50 ＝39250（平方厘米） 答：至少需要39250平方厘米的纸板。 3．一个圆柱形笔筒，底面半径是4厘米，高是10厘米。小佳想给笔筒外侧面和下底面贴上彩纸，大约需要多少平分厘米的彩纸？（得数保留整数） 【答案】302平方厘米 【分析】贴彩纸部分的面积是圆柱的侧面积与一个底面面积的和。，，计算结果采用进一法取近似数，据此解答。 【详解】 （平方厘米） 答：大约需要302平分厘米的彩纸。 例题四：圆柱的表面积-蓄水池问题 1．在城市建设中，大鹏新区修建了一个圆柱形蓄水池，底面直径是8米，深4米，在蓄水池的底面和四周抹上水泥。抹水泥部分的面积是多少平方米？ 【答案】150.72平方米 【分析】在圆柱形蓄水池的底面和四周抹上水泥，求抹水泥的面积，就是求圆柱的一个底面积与侧面积之和，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，圆柱的侧面积公式：面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（8÷2）2＋3.14×8×4 ＝3.14×42＋25.12×4 ＝3.14×16＋100.48 ＝50.24＋100.48 ＝150.72（平方米） 答：抹水泥部分的面积是150.72平方米。 2．修建一个圆柱形的蓄水池，底面直径是20米，深2.5米，在池子的内壁和下底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【答案】471平方米 【分析】抹水泥的部分是这个圆柱的底面和侧面。圆柱底面积＝3.14×底面半径2，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此分别求出底面积和侧面积，再相加求出抹水泥的面积。 【详解】 ＝471（平方米） 答：抹水泥的面积是471平方米。 【点睛】本题考查了圆柱的表面积，熟记公式是解题的关键。 3．一个圆柱形蓄水池，底面半径4米，高4米，沿着这个蓄水池的四周及底部抹水泥。如果每千克水泥可涂5平方米，一共需多少千克水泥？ 【答案】30.144千克 【分析】由题意知：沿着这个蓄水池的四周及底部抹水泥，就是求这个蓄水池的一个底面积和侧面积的和，再和这个除以5，即可得需要的水泥质量。据此解答。 【详解】 （平方米）， （千克）， 答：一共需要30.144千克水泥。 【点睛】明确本题就是求圆柱的侧面积和一个底面的面积的和是解答本题的关键。 例题五：圆柱的体积 1．粤粤把一张长方形的纸沿着长边方向正好卷成一个圆柱（如下图）。这个圆柱的侧面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 【答案】628平方厘米；1570立方厘米 【分析】根据圆柱的侧面展开图的特点：圆柱的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽可知，这个圆柱的侧面积就是这个长方形纸的面积，所以根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形纸的面积，即为圆柱形纸筒的侧面积；再根据圆柱的半径r＝C÷π÷2，求出圆柱的半径，再根据圆柱的体积V＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】31.4×20＝628（平方厘米） 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 3.14×52×20 ＝3.14×25×20 ＝78.5×20 ＝1570（立方厘米） 答：这个圆柱的侧面积是628平方厘米，体积是1570立方厘米。 2．人民大会堂壮观巍峨，建筑平面呈“山”字形，两翼略低，中部稍高，四面开门。人民大会堂正门面对天安门广场，正门门额上镶嵌着中华人民共和国国徽，正门迎面有十二根浅灰色大理石门柱，正门柱每根直径2米，高25米。建造这十二根大理石门柱共用石材多少立方米？ 【答案】942立方米 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此求出1根大理石门柱所用石材的体积，再乘12即可求出建造这十二根大理石门柱共用石材多少立方米。 【详解】3.14×（2÷2）2×25×12 ＝3.14×12×25×12 ＝3.14×1×25×12 ＝3.14×25×12 ＝78.5×12 ＝942（立方米） 答：建造这十二根大理石门柱共用石材942立方米。 3．重阳节这天，妙妙亲自动手做一个美味的蜂蜜蛋糕准备送给奶奶。这个蛋糕的形状近似圆柱体，直径是10厘米，高是12厘米，这个蛋糕的体积是多少立方厘米？ 【答案】942立方厘米 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（10÷2）2×12 ＝3.14×25×12 ＝78.5×12 ＝942（立方厘米） 答：这个蛋糕的体积是942立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 例题六：水中浸物问题 1．将一石块放入一个底面积是1.5平方分米的圆柱形玻璃缸后，水深18厘米，拿出石块后，水面下降到15厘米。石块的体积是多少立方分米？ 【答案】0.45立方分米 【分析】石块的体积等于下降的水的体积，由于下降部分形成一个圆柱体，根据圆柱的体积公式：底面积×高，则用容器的底面积乘下降的厘米数即可。 【详解】18－15＝3（厘米） 3厘米＝0.3分米 1.5×0.3＝0.45（立方分米） 答：石块的体积是0.45立方分米。 【点睛】此题主要考查不规则物体体积的测量方法以及圆柱的体积公式，结合题意分析解答即可，要注意统一单位。 2．一个圆柱形玻璃容器，从里面量，底面半径是5厘米，高是19厘米，容器内水深为13厘米，把一块鹅卵石完全浸没在水中，水面上升到16厘米（水未溢出），这块鹅卵石的体积是多少？ 【答案】235.5立方厘米 【分析】水面上升的体积就是鹅卵石的体积，圆柱底面积×水面上升的高度＝鹅卵石体积，据此列式解答。 【详解】16－13＝3（厘米） 3.14×52×3 ＝3.14×25×3 ＝235.5（立方厘米） 答：这块鹅卵石的体积是235.5立方厘米。 【点睛】关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为规则的圆柱进行计算。 3．一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径8分米，高12分米，里面装有6分米深的水。 （1）做这个水桶至少用了多少铁皮？ （2）王叔叔把一个假山石放入桶中，完全浸没在水里，结果水面上升了25厘米。这个假山石的体积是多少立方分米？合多少立方米 【答案】（1）351.68平方分米 （2）125.6立方分米；0.1256立方米 【分析】（1）要求做这个水桶至少用了多少铁皮，就是求圆柱的底面积加一个侧面积的和，，，据此代入数据计算即可； （2）假山石的体积就相当于上升的水的体积，根据1厘米＝0.1分米，所以25厘米＝2.5分米，，据此即可求出圆柱形水柱的体积，即假山石的体积；再根据1立方分米＝0.001立方米，即可把单位立方分米换算成立方米。 【详解】（1）底面积： ＝3.14×（8÷2）2 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 侧面积： ＝3.14×8×12 ＝25.12×12 ＝301.44（平方分米） 需要铁皮：50.24＋301.44＝351.68（平方分米） 答：做这个水桶至少用了351.68平方分米的铁皮。 （2）25厘米＝2.5分米 ＝50.24×2.5 ＝125.6（立方分米） 125.6立方分米＝0.1256立方米 答：这个假山石的体积是125.6立方分米，合0.1256立方米。 【点睛】本题考查圆柱表面积和体积的灵活运用，注意：要看清关键词“无盖”和单位。 例题七：圆锥的体积 1．某建筑工地有一堆圆锥形沙土，底面直径是10米，高是1.2米，如果每立方米沙土重1.6吨，这堆沙土重多少吨？ 【答案】50.24吨 【分析】 要求这堆沙子的重量，先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式V＝πr2h求得体积，进一步再求沙堆的重量，问题得解。 【详解】沙堆的体积： ×3.14×（10÷2）2×1.2 ＝×3.14×52×1.2 ＝×3.14×25×1.2 ＝3.14×25×0.4 ＝3.14×10 ＝31.4（立方米） 沙堆的重量： 1.6×31.4＝50.24（吨） 答：这堆沙子大约重50.24吨。 2．一个圆锥形沙堆，底面周长12.56米，高1.5米，学校打算用这堆沙铺一个长4米，宽2米的沙坑（如图），可以铺多厚？ 【答案】0.785米 【分析】圆的周长＝2πr，据此求出这个圆锥的底面半径。圆锥的体积＝πr2h，代入数据计算即可求出沙堆的体积。用这堆沙铺沙坑时，沙堆的形状变为长方体，但体积不变。长方体的体积＝长×宽×高，据此用沙堆的体积除以沙坑的长以及宽，即可求出沙铺的厚度。 【详解】12.56÷3.14÷2＝2（米） ×3.14×22×1.5 ＝×3.14×4×1.5 ＝6.28（立方米） 6.28÷4÷2＝0.785（米） 答：可以铺0.785米厚。 3．为了方便学生练习跳远，东方小学新建了一个长方体沙坑，沙坑的底面积是16平方米。运来的沙堆成了一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高是1.2米，用这堆沙来铺沙坑，能铺多少厘米厚？ 【答案】31.4厘米 【分析】 根据圆锥体积＝底面积×高×，求出沙堆体积，铺到沙坑的厚度相当于长方体的高，根据长方体的高＝体积÷底面积，列式解答即可，根据1米＝100厘米，统一单位。 【详解】 3.14×22×1.2×÷16 ＝3.14×4×1.2×÷16 ＝5.024÷16 ＝0.314（米） 0.314米＝31.4厘米 答：能铺31.4厘米厚。 例题八：组合图形的表面积与体积的应用 1．用等底等高的圆柱和圆锥合在一起做成水箱，高都是3米，圆柱的底面周长为6.28米，现往水箱内每分注入0.8立方米水，从空箱到注满，一共需要多少分？（厚度忽略不计） 【答案】 15.7分 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，求出圆柱、圆锥的底面半径；然后根据体积公式V柱＝πr2h，V锥＝πr2h，求出圆柱、圆锥的体积，再相加，就是水箱的体积；最后用水箱的容积除以每分钟注入水的容积，即可求出水箱注满需要的时间。 【详解】 （米） （分） 答：一共需要15.7分。 2．2023年5月30日，我国长征二号F运载火箭搭载神舟十六号载人飞船顺利升空并取得园满成功。整流置是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。学校创客小组制作了运载火箭整流置的模型（如图所示），请问这个整流置模型的体积是多少？ 【答案】18.84立方分米 【分析】这个整流置模型的体积等于底面直径是2分米，高是5分米的圆柱的体积加上底面直径是2分米，高是（8－5）分米的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（2÷2）2×5＋3.14×（2÷2）2×（8－5）× ＝3.14×12×5＋3.14×12×3× ＝3.14×1×5＋3.14×1×3× ＝3.14×5＋3.14×3× ＝15.7＋9.42× ＝15.7＋3.14 ＝18.84（立方分米） 答：这个整流置模型的体积是18.84立方分米。 3．如图1，某种油菜籽榨油机的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成的。底面半径是4分米，这两部分的高都是6分米。每立方分米油菜籽重0.5千克。 图1     图2 （1）这个漏斗最多能装多少千克油菜籽？ （2）如果张师傅打算用铁皮给这个漏斗做一个圆柱形的防尘罩（如图2，没有下底面），至少需要多少平方分米铁皮？ 【答案】（1）200.96千克 （2）455.3平方分米 【分析】（1）漏斗的容积＝圆柱的容积＋圆锥的容积，圆柱的容积＝底面积×高，圆锥的容积＝底面积×高÷3，据此求出漏斗的容积，漏斗的容积×每立方分米油菜籽的质量＝漏斗最多装的油菜籽质量。 （2）防尘罩没有下底面，防尘罩的表面积＝底面积＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。 【详解】（1）3.14×42×6＋3.14×42×6÷3 ＝3.14×16×6＋3.14×16×6÷3 ＝301.44＋100.48 ＝401.92（立方分米） 401.92×0.5＝200.96（千克） 答：这个漏斗最多能装200.96千克油菜籽。 （2）3.14×（10÷2）2＋3.14×10×12 ＝3.14×52＋376.8 ＝3.14×25＋376.8 ＝78.5＋376.8 ＝455.3（平方分米） 答：至少需要455.3平方分米铁皮。 跟踪训练 一、选择题 1．在数学课上，老师向学生们展示了如何通过旋转一个长方形来创建一个三维形状，他们可以得到一个（    ）。 A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体 2．一个底面半径为6cm、高为10cm的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），得到的平行四边形的面积是（    ）cm2。 A．60π B．120π C．360π D．无法确定 3．一个等底等高的圆柱和圆锥，如果圆锥的高增加18cm，那么圆柱和圆锥的体积相等。已知圆锥的底面半径是5cm，则原来圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A．50π B．75π C．100π D．200π 4．如图，至少要（    ）个这样的杯子才能装下2000mL的牛奶。 A．6 B．7 C．8 D．9 5．一个圆锥的体积是15立方厘米，底面积是5平方厘米，高是（    ）厘米。 A．3 B．9 C．12 D．15 6．如图，两位同学分别对同一个圆柱平均切分成两部分。甲同学切分后，表面积比原来增加了（    ）；乙同学切分后，表面积比原来增加了（    ）。 A．2πr2；4rh； B．2rh；πr2 C．πr2；4rh D．4rh；2πr2 二、填空题 7．一个圆柱的底面半径是3厘米，高是4厘米，它的侧面积是( )平方厘米；一个圆锥的底面直径是4分米，高是9分米，它的体积是( )立方分米。 8．如图，把底面周长18.84cm、高10cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。长方体的长是( )cm，体积是( )cm3。 9．科技小组的同学要展示制作地球仪的过程，佳佳把一根圆柱形木材削成一个最大的圆锥做支架，削去的木材体积是圆锥体积的( )。 10．扎染活动小组要给一个圆柱形花瓶（侧面）包装一层扎染效果的布料，这个圆柱形花瓶高是8cm，底面半径是4cm，包装一个这样的花瓶要用( )cm2扎染布料。 11．六（2）班课外活动小组在制作神舟十五号的模型，欢欢和乐乐两人分别将一张长为18.84厘米、宽为12.56厘米的长方形海绵纸用两种不同的方法卷成一个圆柱（接头处不重合）做模型的身体，那么卷成的两个圆柱( )相等。 12．如图一个圆锥形容器中装4.5L水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个圆锥形容器一共能装水( )L。 三、判断题 13．一个圆柱的底面半径是2cm，高是12.56cm，把这个圆柱的侧面沿高剪开后得到的是正方形。( ) 14．底面积为20平方厘米的圆柱的体积一定大于底面积为10平方厘米的圆柱的体积。( ) 15．一个圆柱形橡皮泥的高是7厘米，把它捏成底面半径相同的圆锥，这个圆锥的高是21厘米。( ) 16．一个正方体与一个圆锥的底面积和高分别相等，这个圆锥的体积等于这个正方体体积的。( ) 17．一个底面是正方形的长方体和一个圆柱体高相等，底面周长也相等，则此长方体和圆柱体的体积之比是。( ) 18．圆柱底面半径扩大到原来的2倍，高不变，那么它的侧面积也随着扩大到原来的2倍。( ) 四、计算题 19．分别求下面圆柱的表面积和圆锥的体积。（单位：cm） （1）             （2） 20．计算下面图形的表面积。 五、解答题 21．一个圆柱形水池，水池内壁和底部都镶上瓷砖，水池内部底面半径4米，池深1.5米，镶瓷砖的面积是多少平方米？ 22．某野营部队训练时，搭建了一个近似圆锥形的帐篷，它的底面直径是6米，高是4米，帐篷里面的空间有多大？ 23．把一瓶2升的可乐倒入底面周长是18.84厘米，高10厘米的圆柱形玻璃杯中（杯壁厚度忽略不计），最多能倒满多少杯？ 24．一张长方形铁皮（下图），剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成一个底面半径为10厘米的圆柱体，圆柱体铁皮的表面积是多少平方厘米？ 25．白居易在《种柳三咏》中说“白头种松桂，早晚见成林”，可见我国自古以来就有大量种树保护树木的传承。每到冬季，街道两旁一些树木的树干部分都涂成白色以防止冻裂，防治病虫害。城西小学劳动课计划给校园的50棵大树刷白，每平方米的树干需要400克的石灰水，要求树干刷白的高度为1.2米。这批大树的平均直径是20厘米，请你计算至少需要多少克的石灰水？ 26．如图，将甲容器装满水后，全部倒入空的乙容器中。已知乙容器的水深5厘米，它的底面积是多少平方厘米？（容器厚度忽略不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（寒假预习作业）第1单元圆柱与圆锥知识汇总、例题精讲、巩固作业-2024-2025学年数学六年级下册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B B C B A 1．A 【分析】我们知道，点运动构成线，线运动构成面，而面运动构成体，以长方形或正方形的一边为轴，旋转一周，长方形或正方形的另外两个顶点绕轴旋转构成两个等圆，这两个圆面是圆柱的两个底，与轴平行的一边构成一个曲面，这就是圆柱的侧面，长方形或正方形这个面就构成圆柱；以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；通过旋转一个圆可以得到球，据此分析。 【详解】根据分析，一个长方形绕其一条边旋转一周，可以得到一个圆柱。 故答案为：A 2．B 【分析】平行四边形的面积就是圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式，代入数据计算即可。 【详解】2×π×6×10 ＝12π×10 ＝120π（cm2） 这个平行四边形的面积是（120π）cm2。 故答案为：B 3．B 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的高增加18厘米后，圆锥与圆柱的体积相等，说明圆锥体积增加了2倍，即高增加了2倍，先算出圆锥原来的高，再根据公式：圆锥的体积＝×底面积×高，算出原来圆锥的体积，据此解答。 【详解】18÷2＝9（厘米） ×π×52×9 ＝×π×25×9 ＝75π（立方厘米） 即原来圆锥的体积是75π立方厘米。 故答案为：B 4．C 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，求出一个底面直径是6厘米、高是10厘米的杯子的容积，再用2000除以杯子的容积，如果有余数，要用“进一法”，如果没有余数，商即为所求。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3.14××10 ＝28.26×10 ＝282.6（立方厘米） 282.6立方厘米＝282.6毫升 2000÷282.6≈8（个） 所以至少要8个这样的杯子才能装下2000mL的牛奶。 故答案为：C 5．B 【分析】根据圆锥的体积公式可知，圆锥的高＝体积×3÷底面积，直接列式计算即可。 【详解】15×3÷5＝9（厘米） 高是9厘米。 故答案为：B 6．A 【分析】第一种切割方法，把圆柱切割成两部分后，表面积增加了2个圆柱的底面积，根据圆的面积公式即可得解； 第二种切割方法，把圆柱切割成两部分后，表面积增加了2个以圆柱的高为长，直径为宽的长方形的面积；由此即可解决问题。 【详解】πr2×2＝2πr2 2×2rh＝4rh 甲同学切分后，表面积比原来增加了2πr2；乙同学切分后，表面积比原来增加了4rh。 故答案为：A 7． 75.36 37.68 【分析】根据圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，代入数据计算即可求出圆柱的侧面积； 根据圆锥的体积公式V锥＝πr2h，代入数据计算即可求出圆锥的体积。 【详解】圆柱的侧面积： 2×3.14×3×4 ＝18.84×4 ＝75.36（平方厘米） 圆锥的体积： ×3.14×（4÷2）2×9 ＝×3.14×4×9 ＝37.68（立方分米） 圆柱的侧面积是75.36平方厘米，圆锥的体积是37.68立方分米。 8． 9.42 282.6 【分析】根据圆柱体积公式的推导的过程可知，把一个圆柱剪拼成一个近似长方体，体积不变，拼成的长方体的长等于圆柱底面周长的一半，宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高。根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】（厘米） （立方厘米） 所以，这个长方体的长是厘米，体积是立方厘米。 9．2倍 【分析】圆柱形木材削成一个最大的圆锥，圆柱与圆锥等底等高，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥的3倍，圆柱体积－圆锥体积＝削去部分的体积，据此分析。 【详解】3－1＝2 削去的木材体积是圆锥体积的2倍。 10．200.96 【分析】根据圆柱侧面积＝底面周长×高，代入数据，列式计算即可。 【详解】3.14×2×4×8 ＝6.28×4×8 ＝25.12×8 ＝200.96（cm2） 包装一个这样的花瓶要用200.96cm2扎染布料。 11．侧面积 【分析】 根据题意，结合长方形与圆柱的特征可知，一种方法卷成圆柱的高为12.56厘米，底面积的周长为18.84厘米，另一种方法是卷成的圆柱的高是18.84厘米，底面积的周长为12.56厘米，再根据圆柱的侧面积公式：底面周长×高可知，这两种方法卷成的圆柱侧面积相等。 【详解】 欢欢和乐乐两人分别将一张长为18.84厘米、宽为12.56厘米的长方形海绵纸用两种不同的方法卷成一个圆柱（接头处不重合）做模型的身体，那么卷成的两个圆柱侧面积相等。 12．36 【分析】 水面高度正好是圆锥高度的一半，说明圆锥容器的高是容器内水面高的2倍，则圆锥容器的半径也水面半径的2倍，圆锥体积＝圆周率×底面半径的平方×高÷3，所以容器的容积是容器内水的体积的（22×2）倍，据此分析。 【详解】22×2＝4×2＝8 4.5×8＝36（L） 这个圆锥形容器一共能装水36L。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆锥体积公式，理解圆锥容积和水的体积之间的关系。 13．√ 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，如果圆柱的底面周长和高相等，那么圆柱的侧面展开图一定是正方形。根据圆的面积公式：S＝πr2，据此求出圆柱的底面半径，再根据圆的周长公式：C＝2πr，求出圆柱的底面周长，然后与高进行比较，如果圆柱的底面周长和高相等，那么这个圆柱的侧面沿高展开，得到一个正方形。据此判断。 【详解】由题意知，圆柱的底面周长为： 2×3.14×2 ＝6.28×2 ＝12.56（厘米） 底面周长与高12.56厘米相等 所以它的侧面沿高剪开是正方形； 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查圆的周长公式、周长公式的灵活运用，圆柱侧面展开图的特征及应用，关键是求出圆柱的底面半径。 14．× 【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；由于两个圆柱的底面积已知，高无法确定，也就无法判断哪个圆柱的体积大，哪个圆柱的体积小，据此解答。 【详解】根据分析可知，底面积为20平方厘米的圆柱的体积不一定大于底面积为10平方厘米的圆柱的体积。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握圆柱的体积公式是解答本题的关键。 15．√ 【分析】根据圆柱体积公式：V＝Sh，圆锥体积公式：V＝Sh，若把圆锥体积看作单位“1”，则同底等高的圆柱体积是该圆锥体积的3倍，所以当圆柱和圆锥的体积相等、底面积也相等时，圆锥的高就是圆柱高的3倍，据此解答即可。 【详解】由分析可得： 同底等高时，圆柱高是7厘米， 则圆锥高为：7×3＝21（厘米） 综上所述：一个圆柱形橡皮泥的高是7厘米，把它捏成底面半径相同的圆锥，这个圆锥的高是21厘米。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了同底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系，熟记圆柱和圆锥的体积公式是解题的关键。 16．√ 【分析】根据正方体体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，设正方体的底面积为s，高为h，则圆锥的底面积是s，高是h；带入正方体体积公式和圆锥体积公式，分别求出正方体体积公式和圆锥的体积公式，再用圆锥的体积÷正方体的体积，即可解答。 【详解】设正方体的底面积为s，高为h，则圆锥的底面积是s，高是h。 正方体体积：sh 圆锥的体积：sh× sh×÷sh＝ 一个正方体与一个圆锥的底面积和高分别相等，这个圆锥的体积等于这个正方体体积的。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】利用正方体体积公式和圆锥的体积公式进行解答，关键是熟记公式。 17．√ 【分析】由题可知，长方体和圆柱的体积公式都是V＝Sh，因为长方体的底面是正方形，长方体和圆柱的高相等，假设高为h，底面周长为C，正方形的边长为a，圆的半径为r，分别代入体积公式求出长方体和圆柱体的体积，进行比较即可。 【详解】假设高为h，圆柱体的周长为C，正方形的边长为a，圆的半径为r，则正方形的周长可表示为C＝4a，圆的周长表示为C＝2πr。 因为长方体和圆柱体的底面周长相等，所以4a＝2πr。 长方体的底面积是： 圆柱的底面积是： 长方体的底面积与圆柱体的底面积的比是： ∶＝ 因为它们的高相等，所以长方体的体积是圆柱体体积的， 所以长方体和圆柱体的体积之比是。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查长方体、圆柱体体积公式的灵活运用。 18．√ 【分析】圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，则圆柱的底面周长也扩大到原来的2倍，圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的高不变，则它的侧面积也扩大到原来的2倍，举例说明即可。 【详解】假设圆柱的底面半径为r，高为h，则扩大后的底面半径为2r。 ＝2 所以，圆柱的侧面积也扩大到原来的2倍。 故答案为：√ 【点睛】根据圆柱的底面半径扩大的倍数求出底面周长扩大的倍数，并熟记圆柱的侧面积计算公式是解答题目的关键。 19．（1）11.304cm2； （2）1884cm3 【分析】（1）圆柱的表面积公式：S表＝S侧＋2S底，S侧＝πdh，S底＝πr2，将d＝2r＝2cm，h＝0.8cm代入公式计算即可； （2）将数据代入圆锥的体积公式：V＝πr2h计算即可。 【详解】（1）3.14×2×0.8＋3.14×（2÷2）2×2 ＝3.14×2×0.8＋3.14×12×2 ＝5.024＋3.14×1×2 ＝5.024＋6.28 ＝11.304（cm2） 圆柱的表面积为11.304cm2。 （2）×3.14×（20÷2）2×18 ＝×18×3.14×（20÷2）2 ＝×18×3.14×102 ＝×18×3.14×100 ＝6×3.14×100 ＝1884（cm3） 圆锥的体积为：1884cm3。 20．914dm2 【分析】 由于上面的圆柱与下面的正方体组合在一起，圆柱的直径为正方体的边10dm，上面的圆柱只求侧面积，下面正方体求表面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，正方体的表面积公式：S＝6a2，代入数据后求和即可。 【详解】3.14×10×10＋10×10×6 ＝31.4×10＋100×6 ＝314＋600 ＝914（dm2） 这个图形的表面积是914dm2。 21．87.92平方米 【分析】求镶瓷砖的面积，就是求这个圆柱形水池的一个底面积与侧面积的和，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×42＋3.14×4×2×1.5 ＝3.14×16＋12.56×2×1.5 ＝50.24＋25.12×1.5 ＝50.24＋37.68 ＝87.92（平方米） 答：镶瓷砖的面积是87.92平方米。 22．37.68立方米 【分析】求圆锥形帐篷的空间，就是求圆锥形帐篷的体积，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×4× ＝3.14×32×4× ＝3.14×9×4× ＝28.26×4× ＝113.04× ＝37.68（立方米） 答：帐篷里面的空间有37.68立方米。 23．7杯 【分析】已知圆柱形玻璃杯的底面周长，则底面半径，据此算出底面半径，再根据圆柱的体积公式，计算出一个玻璃杯的容积，可乐的总体积除以每个杯子的容积，商的小数部分表示不满一杯的量，故结果采用去尾法，保留整数即可。 【详解】（厘米） （立方厘米） 2升＝2000立方厘米 （杯） 答：最多能倒满7杯。 24．1884平方厘米 【分析】根据圆柱的展开图的特征，圆柱的侧面展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，圆柱的高等于底面直径，再根据圆柱表面积＝2πr2＋＝2πrh，代入数据，把两个数据相加求出圆柱体铁皮的表面积即可。 【详解】3.14×102×2＋3.14×2×10×（10×2） ＝3.14×100×2＋6.28×10×20 ＝314×2＋62.8×20 ＝628＋1256 ＝1884（平方厘米） 答：圆柱体铁皮的表面积是1884平方厘米。 25．15072克 【分析】把树干需要刷白的部分看作是一个底面直径为20厘米，高度是1.2米的圆柱，要求刷白部分的树干的面积也就是求圆柱的侧面积，利用圆柱的侧面积＝底面周长×高，代入相应数值计算，所得结果即为一棵树干需要刷白的面积；用面积乘400计算出需要的石灰水重量；最后结果再乘50，所得结果即为至少需要的石灰水重量，注意单位的换算。 【详解】20厘米＝0.2米 3.14×0.2×1.2×400×50 ＝0.628×1.2×20000 ＝0.7536×20000 ＝15072（克） 答：刷白这批大树至少需要15072克石灰水。 26．113.04平方厘米 【分析】根据题意甲容器的体积等于乙容器水的体积。甲容器是一个圆锥，底面半径是6厘米，高是15厘米，根据圆锥的体积公式：得出水的体积。乙是一个圆柱形，水也是一个圆柱形，即根据圆柱的体积公式：，其中h是5厘米，且，把数据代入公式解答。 【详解】 （平方厘米） 答：它的底面积是113.04平方厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$