湖北省2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

湖北省2024一2025学年秋季学期高二期末联考 数学试卷 命题单位：荆州市教科院 审题单位：恩施州救科院 2025.1 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟， ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置， 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.抛物线y2=4x的焦点坐标为 A.(0,1) B.(0,2) C.(1,0) D.(2,0) 2.已知P(A)=0.5,P(B)=0.4,且B二A,则P(AB)= A.0.5 B.0.4 C.0.9 D.0.2 3.设数列a,6.}都是等比数列，则在4个数列a,+6.,a,-b1,a6,色中，一 a. 定是等比数列的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.直线4，的+个方向向量的坐标为(2,3)，直线42过点(1,2)且与4，垂直，则2的方程为 A.2x+3y-8=0B.3x-2y+1=0C.3x+2y-7=0 D.2x-3y+4=0 5.已知a.}是等差数列，a1+a+a5=21,a6++a0=51,则{a.的前10项和为 A.90 B.100 C.110 D.120 高二数学试卷第1页（共4页） 6.已知正三棱柱ABC-A'B'C的各条棱长均相等，棱CC'的中点为D,则直线A'C与直线 BD所成的角的余弦值为 A.0 R号 n唔 7.柜子里有红、黄、蓝三种颜色的鞋子各一双，从6只鞋子中随机地取出3只，则取出的3 只鞋子颜色均不相同的概率为 A号 a易 c号 8.圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆：同 样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆.已 知二面角α-【-B的大小为30°，半平面α内的圆C在半平面B上的投影是椭圆C1,C, 在半平面a上的投影是椭圆C2,则椭圆C2的离心率为 B号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：E=“点数不大于2”：F=“点数大于2”； G=“点数大于5”；H=“点数为奇数”.则下列说法正确的有 A.FUG=G B.E,F为对立事件 C.F与H互斥 D.GH=☑ 10.已知m≠n,设两条直线1：x-my+2=0,l2:x-y-2=0交点的轨迹为曲线C,则下列 说法正确的有 A.当mn=-4时，曲线C是椭圆的一部分，且椭圆焦点在x轴上 B.当mn=-2时，曲线C是椭圆的一部分，且椭圆焦点在y轴上 C.当mn<0时，曲线C是椭圆的一部分 D.当mn>0时，曲线C是双曲线的一部分 11.已知正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为4，点P在面ABB,A,(包含边界)内运动，且 PA+PB=25;点Q在面ABCD(包含边界)内运动，且Q到直线BB,的距离与其到平 面ADD,A的距离相等.若PQ//平面ADD,A,,则下列说法正确的有 A.PQ⊥AB B.直线PQ不可能与平面ABCD垂直 C.Q的轨迹为抛物线的一部分 D.线段PQ长度的取值范围为1，] 高二数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知0=(2,1,3)，02=(-2,1，x),且0A⊥0B,则1AB1= 3.双曲线C,号-=1(a>0,6>0)的左右焦点分别为F,R,以线段E为直径的圆 与双曲线C的渐近线在第-象限的交点为A,若1AF,1=21A,1,则白= 4数列a,中4=2且满足aa1一4，+a=6则数列6.的前2024项的和 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知数列{a}满足a.,1=2a。+1,且a1=1,设b.=a。+1. (1)求证：数列{b是等比数列： (2)设c.=a。+logb.,求数列{cn}的前n项和S 16.(本小题满分15分) 已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=4内有一点P。(1,2),过P。作直线与圆C交于A,B 两点 (I)若弦AB被点P。平分，求直线AB的方程. (2)若1AB1=2√3，求直线AB的方程. 17.(本小题满分15分)》 如图，平行六面体ABCD-AB,C,D,的所有棱长均相等，AD⊥DC,∠DCC,=60°，平面 CC,D,D⊥平面ABCD,点E,F满足D,E=EC,CF=2FC (1)求证：AE/平面BDF; (2)求直线CD与平面BDF所成的角0的正弦值. D 高二数学试卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点为A,焦点在x轴上且焦距为2，过右焦点F的 直线（不与x轴重合）交椭圆于M,W两点，当直线I与x轴垂直时，|MN=3. (1)求椭圆C的方程： (2)证明：直线MA,NA的斜率之积为定值. 19.(本小题满分17分) 已知A,B两个盒子里分别有a,b个小球，另有足够多的小球备用.重复进行n(a,b≥ 2)次如下操作：每次从A,B中随机选取一个盒子，向里面放入1个球或放人2个球，从剩 下的另一个盒子里取出1个球或取出2个球.每一次操作中某个盒子里“放人1个球”“放 人2个球”及“取出1个球”“取出2个球”均是等可能的，这n次操作结果均相互独立， (1)若a=9,b=11,求第一次操作后，A盒子里球的个数多于B盒子里球的个数的 概率； (2)求完成一次操作后，A,B两个盒子里球的个数之和减少的概率P: (3)求重复进行n次操作后，A,B两个盒子里球的个数之和为a+b+n的概率， 高二数学试卷第4页（共4页）第 1 页 共 4 页 湖北省 2024-2025 学年秋季学期高二期末联考 数学参考答案及评分标准 （2025.1） 一、单选题：1-8：CBBA DACD 二、多选题：9.BD 10.ABD 11.ACD 三、填空题：12. 52 13. 3 4 14. 10122 77  8.解析：不妨设圆C与二面角的棱 l切于点O，过O作与 l垂直的平面分别交半平面  , 于射 线 OBOA, (如图）。设圆的半径为 )0( rr ，椭圆 1C , 2C 的中心 分别为 1C , 2C ，长短半轴分别为 2211 ,,, baba ，则 raa  21 ， 2211 , OCbOCb  ，由平面几何知识易得， rOCb 4 3 4 3 2  ， 故椭圆 2C 的离心率 4 7 2 2 2 2 2 2 2    a bae . 11.解析：A 选项显然正确;以 AB的中点O为原点建立空间直角坐标 系，由椭圆定义，P的轨迹为椭圆的一部分，其在坐标平面 xOz内的 方程为 )0,22(1 5 2 2  zxzx ；Q到直线 1BB 的距离即为 QB的长，到平面 11AADD 的距离即为Q到直线 AD的距离，由此Q 的轨迹为抛物线的一部分，其在坐标平面 xOy内的方程为 )40(82  yxy ，故 C选项正确；由 //PQ 平面 11AADD 知， QP, 横坐标相等，设为 )20( 00  xx ， 设 ),0,( 0 pzxP ， )0,,( 0 QyxQ ， 1 5 2 2 0  pz x ， 0 2 8xyQ  ] 5 9,1[18 5 1)0()0()(|| 0 2 0 22222 00  xxzyzyxxPQ PQPQ 故 D 选 项正确；当 00 x 即 )0,0,0(),1,0,0( QP 时直线 PQ与平面 ABCD垂直.故 B 选项错误. 第 2 页 共 4 页 14.解析：由 1 2a  ，1 2 2 1 1, 2 4 a a a  得 ， 1 1 2 1 1 1, 2 2n n n nn n a a a a       得 2 1 2 n n a a   所以 ,,, 531 aaa 以及 ,,, 642 aaa 分别是公比为 1 2 的等比数列， 当 n为奇数时， 1 212 2 n na        ，当 n为偶数时， 2 2 2 21 1 1 4 2 2 n n na               所以，当 n为奇数时， 1 3 1 2 2 2 1 1 1 9 12 2 2 4 2 n n n n n nb a a                          ， 当 n为偶数时， 2 2 2 2 1 1 1 5 12 2 2 2 2 n n n n n nb a a                        ，    2024 1 3 2023 2 4 2024T b b b b b b         1012 1012 1012 9 1 5 1 71 1 7 2 2 2 2 2                             . 三、解答题： 15.解：（1）由已知， nnnnn baaab 2)1(222111   ，且 2111  ab 所以数列 }{ nb 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列…5 分 （2）由（1）知， 12,2  nn n n ab ，所以 12  nc n n …………8 分 )]1(210[)222( 2121  ncccS n nn  2 2 1 2 12 2 )1( 21 )21(2 21      nnnn n n ………………13 分 16.解：（1）由圆的性质知，弦 AB被点 0P 平分即为 ABCP 0 ，,故 1ABk …………3分 所以直线 12:  xyAB ，即 01 yx …………6 分 （2）（ⅰ）当 AB的斜率不存在时，直线为 1x ，此时 32|| AB ,符合题意……8 分 （ⅱ）当直线 AB的斜率存在时，设 )1(2:  xkyAB ，变形为 02  kykx ……9 分 圆心到直线 AB的距离 1 |1| 2    k kd …………11 分 由勾股定理得， 1,4)3( 22  dd ，解得 0k ，直线 2: yAB 综上，直线 AB的方程为 1x 或 2y .…………15 分 17.（1）证明如图，取 AB的中点G，连接CG交 BD于H ，连接 GCFH 1, ……………2 分 第 3 页 共 4 页 因为 DCBGDCBG //, 2 1  ，所以 HGCH 2 ，又 12FCCF  ，所以 GCFH 1// ………………4 分 由于 11,// ECAGECAG  ，所以 1//GCAE ，从而有 HFAE // …………………6 分 又 AE 平面 BDF ， FH 平面 BDF ，所以 //AE 平 面 BDF ……………7分 （2）设平行六面体各条棱长为 6.因为平面 DDCC 11 平面 ABCD，且 DCAD  ，所以 AD 平面 DDCC 11 ， 由于  601CDC ，所以 3,6,60 111  EDDDEDD ，由余弦定理 EDDEDE 1,33  ……………10 分 以D为原点， DEDCDA ,, 所在直线为 zyx ,, 轴建立空间直角坐标系，则 )0,6,0(),0,6,6()33,3,0(),0,6,6(),0,6,0(),0,0,0( 1  DCDBCBCD ， ， 由 12FCCF  得 )32,2,0()33,3,0(3 2 3 2 1  CCCF ， 从而 )32,2,6()0,0,6()32,2,0(  CBCFBF ……………12 分 设平面 BDF 的一个法向量为 ),,( zyxn  ，则       03226 066 zyxBFn yxDBn ， 可取 ) 3 2,1,1( n ，故 10 30|,cos|sin  DCn ……………15 分 18.解：（1）设椭圆 C 的标准方程为 2 2 2 2 1 x y a b   )0(  ba ， 32|| 2  a bMN … 3 分 由 2 21 1c a b  ， ，解得 3,4 22  ba .因此椭圆 C 的方程为 1 34 22  yx ……………6 分 （2）证明：因为直线 MN 不与 x 轴重合，设 : 1MNl x my  ………7 分 设点 ),(),,( 2211 yxNyxM ，联立       1 34 1 22 yx myx ，消元得 096)43( 22  myym ……10 分 第 4 页 共 4 页 得 )( 43 9 43 6 221 221              m yy m myy ，且 0 恒成立……………12 分 所以 9)(3)3)(3( 2121 2 21 21 21     yymyym yy mymy yykk ANAM ……14 分 将 )( 代入化简得 4 1 ANAM kk 所以直线 NAMA, 的斜率之积为 4 1  ……………17 分 19.解：设第 i次操作后 A,B 两个盒子里球的个数分别为 ),,2,1(, niba ii  （1）列举 ),( 11 ba 所有 8 种可能的情形： )13,7(),12,7(),13,8(),12,8()10,11(),9,11(),10,10(),910( ，， ……………3 分 满足 11 ba  的有 3种情形，所以 8 3)( AP ……………5分 （2）设 bbaa  00 , ，在第 ),,2,1( nii  次操作结果有 8 种等可能的情形， ① 当 1,1 11   iiii bbaa 或 2,2 11   iiii bbaa ， 或 1,1 11   iiii bbaa 或 2,2 11   iiii bbaa 时， 11   iiii baba …………………7分 ②当 1,2 11   iiii bbaa 或 2,1 11   iiii bbaa 时， 111   iiii baba ……8分 ③当 1,2 111   iiii bbaa 或 2,1 111   iiii bbaa 时， 111   iiii baba ……9 分 仅有③中所述 2种情形是减少的， 故一次操作后 A,B 两个盒子里球的个数之和减少的概率为 4 1 8 2 p ……………11 分 （3）由（2）的讨论知，每一次操作，A,B 两个盒子里球的个数之和有 3 种可能的变化：增加 1 个、不变、减少 1 个，要满足本 n次操作后，A,B 两个盒子里球的个数之和为 nba  ，即比 初始值 ba  增加 n个，则只可能是每一次操作均增加 1 个小球。 由（2）知，每次操作小球增加 1 个的概率为 4 1 8 2 p ……………14 分 由于每一次操作结果均独立，本 n次操作均增加 1 个的概率为 n n ) 4 1( 4 1 4 1 4 1     个  故 A,B 两个盒子里球的个数之和为 nba  的概率为 n) 4 1( ……………17 分