浙江省慈溪市2024-2025学年高二上学期期末测试数学试卷

（高二数学期末）试题卷 第 1页 共 4页 2024 学年第一学期高二期末测试卷 数学学科试卷 说明: 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分． 考试时间 120 分钟，不得使用计算器，请考生将所有题目的答案均写在答题卷上． 第Ⅰ卷（选择题,共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知直线 l 过点 (1, 3)A 和 ( 2,0)B ，则 l 的倾斜角为 A．120 B．90 C．60 D．30 2. 已知函数 ( ) 2xf x ，则 0 (2 ) (2) lim x f x f x A． 4ln 2 B． 4 ln 2 C． ln 2 2 D． 1 2ln 2 3. 已知等比数列{ }na 的前 n项和为 nS ，若 1 1a ， 4 64a ，则 5S  A．51 B． 13 C． 205 D． 256 4. 已知 1 3 ( ,1, ) 2 2 A ， 1 (1, ,0) 2 B ， (0,1,0)C ， 1 (1, ,1) 2 D ，则 AB 在CD上的投影向量为 A． 1 1 1 ( , , ) 9 18 9  B． 1 1 1 ( , , ) 9 18 9   C． 3 3 3 ( , , ) 38 76 38  D． 3 3 3 ( , , ) 38 76 38   5. 已知圆 2 21 : ( 1) ( 4) 5C x y ，圆 2 2 2 : 4 4 0C x y x y m ，若圆 1C 与圆 2C 恰有 三条公切线，则m A． 72 B． 12 C．3 D．5 6. 已知在棱长为1的正四面体 ABCD中， 1 2 BM BC ， 3AN ND ，则直线 AM 和CN 夹 角的余弦值为 A． 2 3 B． 2 13 13 C． 5 14 D． 39 13 7. 已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b 的左焦点为 1F ，一条渐近线方程为 10 2 y x， 过 1F 作这条渐近线的垂线，垂足为 A ，交另一条渐近线于点 B ，则 1F A AB A． 4 3 B． 3 4 C． 3 7 D． 7 3 （高二数学期末）试题卷 第 2页 共 4页 8. 已知斐波那契数列{ }nF 满足 1 2 1F F ， * 1 2 ( 3, )n n nF F F n n N .卢卡斯数列{ }nL 满足 1 1L ，且 * 1 2 ( )n n nL F F n N ，则 2025F A． 2022 2024 2 1 5 5 L L B． 2023 2025 1 1 3 5 L L C． 2024 2026 1 1 5 5 L L D． 2025 2027 1 1 3 7 L L 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知曲线 2 2: (3 ) ( 1) (3 )( 1)C m x m y m m ，则 A．当 1m 时，C 是半径为 2 的圆 B．当 1 1m 时，C 是焦点在 x 轴上的椭圆 C．当 3m 时，C 是焦点在 x 轴上的双曲线 D．当 1m 时，C 是两条直线 10.已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 1 1a ，且对任意 *,m n N ，都有 1m n m na a a ， 则 A． 2 3a B． 2025 2020 6 1a a a C． 1011 1013 2024a a a D．数列 nS n 是递增数列 11.如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 4 ， ,P Q 分别是线段 1 1,AB A D 上的动点， M 是线段 PQ的中点，且满足 2 6PQ ，过 PQ作平面 ，使得 1B C∥ ，则 A．当 1 12AQ QD 时， AM 平面 1 1B CD B．当 P 为线段 AB 中点时，直线 1B C 到平面 的距离为 10 11 11 C．直线 PQ与平面 1ACD 所成角的最大角的正弦值为 2 1 3  D．MC MD的最小值为 22 4 10 第Ⅱ卷（非选择题,共 92 分） 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分） 12.已知点 (2, 3)P 和直线 : 3 1 0l x y ，则点 P 到 l 的距离为 ▲ ． 13.已知数列{ }na 满足 1 2 1 3 n n na a a ，若 1 1a ， 2 1 9 a ，则{ }na 的前 n 项积的最大值 为 ▲ ． （高二数学期末）试题卷 第 3页 共 4页 14.椭圆有如下结论：“过椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b 上一点 0 0( , )P x y 作该椭圆的切线，切线 方程为 0 0 2 2 1 x x y y a b ．”设椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b 的左、右焦点为 1F ， 2F ，P 为椭 圆上一点，过 P 的切线 l 分别与坐标轴交于 NM、 两点，若 1 2 3 cos 5 F PF 时， MON （O为坐标原点）的面积取到最小值，则C 的离心率为 ▲ ． 四、解答题（本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 已知函数 2 ln ( ) 2 x f x ax x   . （1）若 1a ，求 ( )f x ； （2）若 ( )f x 在 (1, (1))f 处的切线与直线 3 2 0ax y 垂直，求 a． 16.（15 分）如图，在四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD是平行四边形，平面 SAC 平面 ABCD， 60ADC ， 90SAC ， 2 2AD AS CD ． （1）证明：CD 平面 ACS ； （2）求平面 SBC 与平面 SCD夹角的余弦值． 17．（15 分）已知直线 : 1 0l x y ，圆 2 2 2: ( 2) ( 0)C x y r r ，点 P 在 l 上，点Q 在 C 上． （1）若一条光线沿着直线 l 从右上往左下射出，经 y 轴反射后，与C 相切，求 r ； （2）若 1r ， (2,2)R ，求点 P 坐标，使 PR PQ 有最小值，并求出这最小值． （高二数学期末）试题卷 第 4页 共 4页 18.（17 分）已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点为 F ，点 (3, )A t 在C 上，且 7 2 AF ． （1）求C 的方程； （2）若 M ， N 是 C 上的两个不同动点（ M 在 x 在轴上方， N 在 x 在轴下方），满足 8OM ON ． (ⅰ)求证：直线MN 过定点 P ； (ⅱ)设直线MN 的斜率为 k ，过点 P ，且斜率为 2 k 的直线交C 于 R ，S 两点，求四边 形 MRNS 面积的最小值． 19.（17 分）若数列 }{ na 满足： 11   nnnn aaaa ,2( n 且 ) Nn ，则称数列 }{ na 为“差 增数列”；若对于差增数列 }{ na ，存在整数 k ，同时满足以下两个条件：①对任意 Nn ， 都有 knan  成立；②存在 Nn ，使得 knan  成立，则称数列 }{kn 为差增数列 }{ na 的 “下限数列”. （1）已知数列 }{ na 是差增数列，若 xxan |{ 为小于 20的质数}，试写出项数为5 的差 增数列 }{ na ； （2）已知等差数列 }{ nb 是公差为 d 的正项数列，其前 n 项和为 nS ，等比数列 }{ nc 是公 比为 *( )q q N 的非常数数列，且 31 c ； (ⅰ)试判断数列 }{ nnS 是否为“差增数列”，并说明理由； (ⅱ)若 21 b ，且 4,, 432 SSS 成等比数列，则是否存在以数列 } 2 { n q d 为“下限数列”的 差增数列 }{ n n S c ？若存在，求 q 的值；若不存在，请说明理由. （高二数学期末）参考答案 第 1 页 共 4 页 2024 学年第一学期期末考试 高二数学学科参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C A B D B C 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分；全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分， 部分选对的得部分分。 题号 9 10 11 答案 AC ABD BCD 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．3； 13． 1 3 ； 14． 3 3 . 四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分。 15．(1) 因为 2ln( ) 2xf x x x   ，所以 3 2 2 1 ln 1 ln 4 ( ) 4 x x x f x x x x ……5 分 (2) 因为 2 1 ln ( ) 4 x f x ax x ，所以 (1) 1 4f a， ……8 分 由题意知， (1 4 ) 1 3 a a ，即 24 3 0a a ， 所以 (4 3)( 1) 0a a ， ……11 分 所以 1a 或 3 4 a . ……13 分 16．(1) 因为平面 SAC 平面 ABCD，平面 SAC 平面 ABCD AC， SA AC ， 所以 SA 平面 ABCD， 所以 SA CD ； ……3 分 在 ACD中， 2AD ， 1CD ， 60ADC ，所以 2 14 1 2 2 1 3 2 AC ， 所以 2 2 2AD AC CD ，即 AC CD； ……5 分 又因为 SA AC A，所以CD 平面 SAC . ……7 分 (2)由（1）知， SA 平面 ABCD， AB AC ，建立以 A 为原点， AB ， AC ， AS 分别 为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则 (0,0,2)S ， (1,0,0)B ， (0, 3,0)C ， ( 1, 3,0)D ……9 分 所以 (0, 3, 2)SC ， ( 1, 3,0)BC ， ( 1,0,0)CD 设平面 SBC 的一个平面法向量 ( , , )m x y z ，则 0 0 m SC m BC ，即 3 2 0 3 0 y z x y ，所以取 3 (3, 3, ) 2 m ； ……11 分 同理可得，平面 SCD的一个法向量 (0,2, 3)n ； ……13 分 所以 3 3 2 3 1332cos , 1957 7 4 m n m n m n ， （高二数学期末）参考答案 第 2 页 共 4 页 所以平面 SBC 与平面 SCD夹角的余弦值为 133 19 . ……15 分 17．（1）由题意知，入射光线与 y 轴交于点 (0,1)，反射光线的斜率为 1， 所以反射光线所在的直线方程为 1 0x y ， ……4 分 因为圆心 (2,0)，所以圆心到反射光线所在直线的距离等于 r ， 即 2 1 2 22 r . ……7 分 （2）设点 R 关于直线 l 的对称点为 ( , )R a b ， 则 2 1 2 2 2 1 0 2 2 b a a b ，解得 1 3 a b ； ……9 分 所以 PR PQ PR PQ R Q R C r ， 因为 10R C ， 1r ， 所以 PR PQ 的最小值等于 10 1， ……13 分 此时，点 P 就是直线 R C 与 l 的交点. 由 1 0 3 6 x y y x 得， 5 4 9 4 x y ， 所以当点 5 9 ( , ) 4 4 P 时， PR PQ 的最小值等于 10 1. ……15 分 18．（1）因为 7 3 2 2 p AF ，所以 1p ，所以抛物线C 的方程为 2 2y x. ……4 分 （2）(i)设直线MN 的方程为 x my n ，由题意知 0n ， 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y 由 2 2 x my n y x 得， 2 2 2 0y my n ， 24 8 0m n ， 1 2 2y y m， 1 2 2y y n， ……6 分 因为 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( 1) ( )OM ON x x y y my n my n y y m y y mn y y n 2 2 8n n ，所以 4n 或 2n （舍）， 所以直线MN 过定点 (4,0)P . ……9 分 (ii)设直线MN 的方程为 ( 4)y k x ， 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ， 3 3( , )R x y ， 4 4( , )S x y 由 2 ( 4) 2 y k x y x 得， 2 2 8 0y y k ，则 1 2 2 y y k ， 1 2 8y y ， 所以 21 2 1 22 2 2 1 1 4 1 ( ) 4 1 32MN y y y y k k k ， ……11 分 （高二数学期末）参考答案 第 3 页 共 4 页 则 ,R S 到直线MN 的距离和 3 3 4 4 3 3 4 4 2 2 4 4 1 1 kx y k kx y k kx y kx y d k k 因为直线 RS 的直线方程为 2 ( 4)y x k ，所以 3 4 4 3( ) 2 k x x y y ， 所以 2 24 3 4 3 2 2 2 22 1 2 1 k y y k d y y k k ， ……14 分 由 2 2 ( 4) 2 y x k y x 得， 2 8 0y ky ，即 3 4y y k ， 3 4 8y y ， 所以 2 4 3 32y y k ， 所以 2 2 2 2 1 2 32 1 2 2 8 257 ( ) 8( ) 257 2 2 2 k S MN d k k k k k k k ， 令 2 t k k ， 2 2t ，则 2 1 8 225 2 S t t ，所以当 2 2t ，即 2k 时， min 17 2S . ……17 分 19. （1） 19,11,5,3,2 54321  aaaaa ……3 分 （2）(ⅰ)因为 0nb ，则首项 01 b ，公差 0d ， 所以 dnbbn )1(1  ， d nn nbSn 2 )1( 1   ， 因为 nnn nSSnSn 2)1()1( 11   ] 2 )1( [2] 2 )2)(1( )1)[(1(] 2 )1( )1)[(1( 111 d nn nbnd nn bnnd nn bnn       0)13(2 1  dnb ， 即 11 )1()1(   nnnn SnnSnSSn 对任意 2n 且 Nn 恒成立， 故数列 }{ nnS 为“差增数列”. ……8 分 (ⅱ)因为 )4( 42 2 3  SSS ， 则 )468)(4()36( 2  ddd ，且 0d ， 所以 2d ，所以 )1(2 2 )1( 2    nn nn nSn ， ……10 分 假设存在以数列 } 2 { n q d 为“下限数列”的差增数列 }{ n n S c ， 则 Z q  4 ，而 Nq ， 1q ，所以 q 的可能取值为 2 、 4 ， ……12 分 （高二数学期末）参考答案 第 4 页 共 4 页 ①若 2q ，则 )1( 23 1     nnS c n n n ， 若存在，则其下限数列为 }2{ n ，即 n nn n 2 1 23 1     ）（ 恒成立， 事实上，当 1n 时， 2 2 3  ，故 2q 时不符合； ……13 分 ②若 4q ，则 nnS c n n n )1( 43 1     ， 所以 nnnnnnS c S c S c nnn n n n n n n )1( 43 2 )1( 43 )2)(1( 43 2 12 1 1 1 1               )1()1)(2( 673 49 2 2     nnnn nnn ， 2n ， 而 0462743)673( min 2  nn ， 所以 1 1 1 1      n n n n n n n n S c S c S c S c 对任意 2n 恒成立， 所以数列 } )1( 43 { 1 nn n    是差增数列， 令 2 1 )1( 43 nn t n n     ，则 22 21 2 1 21 )1)(2( )233(43 )1( 43 )1)(2( 43 nnn nn nnnn tt nnn nn            ， 当 1n 时， 012  tt ，即 21 tt  ， 当 2n 时， 0233 2  nn ，所以 01  nn tt ，即 1 nn tt ， 所以 1)( 2min  ttn ， 所以 1k 符合，所以数列 } 43 { 2 1 nn n    的下限数列为 }{n ； 综上所述，存在以数列 } 2 { n q d 为“下限数列”的差增数列 }{ n n S c ，此时 q 的值为 4. ……17 分 考试范围： 选择性必修第一册&第二册的第四章（即一二册中除去“导数”一章）。（2023.1考试）