第七章 幂的运算（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版2024）

第七章 幂的运算（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗人李白眼里的雪花．单个雪花的质量其实很轻，只有，将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可得． 【详解】解：， 故选：C． 3．已知，，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法的逆用，逆用幂的乘方、同底数幂的乘法公式，将变形为，整体代入求解即可，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：，，， ， 故选：C． 4．已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方法则和同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 5．下列各题能用同底数幂乘法法用进行计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法的法则进行分析即可，熟练掌握同底数幂的乘法法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故A不符合题意； B、，底数一样，能用同底数幂的乘法的法则运算，故B符合题意； C、只能用合并同类项的法则运算，故C不符合题意； D、，底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故D不符合题意； 故选：B． 6．的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较和幂的乘方，先根据幂的乘方进行变形，再比较即可，能正确根据幂的乘方进行变形是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘除法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 8．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：，，则兆用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法、同底数幂的乘法．根据可得，根据可得，根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得． 【详解】解：， ， ． 故选：B ． 9．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本考查了积的乘方、同底数幂相乘，科学记数法等知识，先根据积的乘方法则计算，然后根据乘法交换律和结合律以及同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解∶原式 ， 故选∶C． 10．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为使两个幂的指数相同，再利用积的乘方逆运算进行计算. 【详解】， 故选：A. 【点睛】此题考查幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟记公式是解题的关键. 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，乘方的运算，熟练掌握积的乘方逆运算的公式：（、为正整数）是解题的关键．利用积的乘方的逆运算进行计算即可． 【详解】解： ． 12．计算：，，则 ． 【答案】128 【详解】本题考查同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆用法则解答即可，也是解题关键． 【分析】解：∵，， ∴ ． 故答案为：128． 13．计算： ． 【答案】/1.5 【分析】逆用公式解答即可． 本题考查了积的乘方的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法， 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 15．如无意义，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了负整数指数幂，由已知无意义，可知，然后代入求值． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴． 故答案为4． 16．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先计算幂的乘方，再计算同底数幂相乘，最后合并同类项即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 17．若，，，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方逆用，根据幂的乘方的计算方法得到即可． 【详解】解：∵，，，而， ∴， 即， 故答案为：． 18．已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是 ，第一百个拐弯处的数是 ． 【答案】 【分析】设第n个拐弯处的数为，由已知数据可以分析得到当时，n为奇数，，当n为偶数，，由此进行计算即可． 【详解】解：设第n个拐弯处的数为 由题意知：，，，， 观察可得：，，， ∴当且n为奇数时，，当n为偶数时，, ∴，即第六个拐弯处的数是． 故答案为： ∴第一百个拐弯处的数是 故答案为： 【点睛】本题考查数字的规律探索以及同底数幂相乘的计算法则，能够由已知数据得到通项公式是解题关键． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（本题5分）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （3）先算乘方，负整数指数幂，零次幂，再算乘法，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 20．（本题5分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的加减，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的运算公式是解题的关键． （1）先利用同底数幂的乘法和幂的乘方，结合整体法进行计算，再进行整式的加减； （2）先合并同类项，同底数幂的乘法和积的乘方，再进行整式的加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21（本题6分）．计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可； （2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案； 熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，并利用整体思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵． ∴， 解得 22．（本题6分）计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质； （1）把式子变形成进而可求解； （2）根据，再由，进而可解答； 【详解】（1）解： （2）解：， ， 23．（本题6分）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)125 (2)见解析 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）利用，即可求解． 本题考查了同底数幂除法与同底数幂乘法性质的逆向运用，逆向思维是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 24．（本题6分）求值 (1)已知，求的值；（用含、的代数式表示） (2)已知．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同体数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆运用同底数幂的乘法解答即可； （2）逆运用同底数幂的除法，幂的乘方解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 25．（本题7分）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 26．（本题7分）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】(1)3，0， (2)①证明见详解；②【，】 【分析】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键． （1）根据乘方的意义即可得到答案； （2）①模仿材料中的证明方法设【7，5】，【7，6】，再根据乘方的意义即可得到答案； ②根据【，】【3，4】和【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论即可猜想答案． 【详解】（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【，16】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 27．（本题8分）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+ 【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果； （2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果； （3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果； （4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解． 【详解】解：根据阅读材料可知： （1）设s＝①， 2s＝22＋23＋…＋220＋221②， ②−①得，2s−s＝s＝221−2； 故答案为：221−2； （2）设s＝①， s＝②， ②−①得，s−s＝-s＝-1， ∴s＝2-， 故答案为：2-； （3）设s＝① -2s＝② ②−①得，-2s−s＝-3s＝+2 ∴s＝； （4）设s＝①， as＝②， ②-①得：as-s=-a-， 设m=-a-③， am=-④， ④-③得：am-m=a-， ∴m=， ∴as-s=+， ∴s=+． 【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算． 28（本题10分）．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这两个法则是关键； （1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较底数的方法，即可比较大小； （2）把化为后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，，， 而， ； （2）解： ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 幂的运算（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗人李白眼里的雪花．单个雪花的质量其实很轻，只有，将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，那么（  ） A． B． C． D． 4．已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 5．下列各题能用同底数幂乘法法用进行计算的是（  ） A． B． C． D． 6．的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：，，则兆用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 9．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 10．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．计算： ． 12．计算：，，则 ． 13．计算： ． 14．计算： ． 15．如无意义，则 ． 16．计算： 17．若，，，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 18．已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是 ，第一百个拐弯处的数是 ． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（本题5分）计算： (1) (2) (3) 20．（本题5分）计算： (1)； (2)． 21（本题6分）．计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 22．（本题6分）计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 23．（本题6分）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 24．（本题6分）求值 (1)已知，求的值；（用含、的代数式表示） (2)已知．求的值． 25．（本题7分）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 26．（本题7分）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 27．（本题8分）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 28（本题10分）．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$