第七章 幂的运算（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版2024）

第七章 幂的运算（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若，则（   ） A．10 B．3 C．7 D．12 2．石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 8．若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．计算： ． 12．计算： ． 13．已知，，则 ． 14．计算： ． 15．已知，则 ． 16．已知，则的值为 ． 17．若，则 ． 18．已知，，则 （填“”或“”或“”）． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（本题5分）计算 (1)； (2)； (3) 20．（本题5分）先化简，再求值：，其中，． 21（本题6分）．计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 22．（本题6分）已知． (1)求的值； (2)求的值． 23．（本题6分）计算： (1)； (2)． 24．（本题6分）已知，，，计算下列代数式： (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 25．（本题7分）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； 26．（本题7分）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值． (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题： 小贤的作业 计算：． 解：． ①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：______． ②计算：． 27．（本题8分）【阅读材料】 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数；（十进制数不用标角标，其他要标角标） (1)类比十进制的计数原理：，把一个五进制数转化为十进制数的方法为：．请你请以下两个数转化为十进制数：__________，__________； (2)把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，一直除到商为0，余数为1止；再将余数从下向上倒序写，就是结果．例如将十进制数13转化为二进制数． 余1 余0 余1 余1 所以，请你仿照以上方法，将十进制数22转化成二进制数； (3)二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的加法运算法则如下： ． 请你根据上面的加法运算法则和所学的竖式计算相关知识，计算． 28．（本题10分）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 幂的运算（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若，则（   ） A．10 B．3 C．7 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟记同底数幂乘法的计算法则是解题的关键．根据同底数幂乘法法则的逆运算解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2．石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算、同底数幂的乘法，首先逆用同底数幂的乘法法则，得到原式，再提公因数得到，经计算得到结果． 【详解】解： ． 故选：B． 4．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，熟练掌握运算性质和运算法则是解题的关键． 根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则分别求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．不能合并，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方，直接利用积的乘方运算法则得出即可． 【详解】解：， 故选：A． 6．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 7．已知，，，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方的计算法则是解题的关键．利用同底数幂乘除法的逆运算，将变形为，再代入数据计算即可． 【详解】解：， ， 又，， ． 故选：A． 8．若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则进行计算即可得解，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， ∴， 化简得， ∴， 故选：C． 9．已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，根据题意可得，从而得出，，再分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，为自然数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的取值不可能是8， 故选：D． 10．若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则求出各数，再比较即可得解． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂，根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，据此计算即可． 【详解】解：． 13．已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法，先根据同底数幂的乘法法则计算得出，再根据同底数幂的除法法则计算即可得解． 【详解】.解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 14．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算法则，先逆用幂的乘方法则将化成，再逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 15．已知，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆用，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据同底数幂除法的逆用求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：2 16．已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查幂的混合运算，根据幂的运算法则得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 17．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，利用同底数幂乘除法法则求出m的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 18．已知，，则 （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆运算，解题关键是正确运用公式进行变形．先利用幂的乘方运算的逆运算对两个式子进行变形，再进行比较． 【详解】解：，， 又， ， 故答案为：． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（本题5分）计算 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的运算，解题的关键是： （1）先把除法转换为乘法，然后根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方、绝对值以及负整数指数幂，然后计算乘法，最后计算加减即可； （3）根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则、合并同类项法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 20．（本题5分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了积的乘方及整式的加减，整式的化简求值，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．化简，合并同类项计算，后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 21（本题6分）．计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方法则变形求解.     （2）利用同底数乘法的逆运算解答． 此题考查了逆用幂的乘方，同底数乘法的逆运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解：， （2）解：∵， ∴． ∴． 22．（本题6分）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法的运算及逆运算，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键． （1）根据，可得出，再根据同底数幂的乘除法即可得出答案； （2）将转化为再得到，最后将代入，即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴的值 ． 23．（本题6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算和幂的运算，解题关键是熟练掌握相关法则； （1）先算乘方，再算绝对值，然后算乘除，最后算减法即可； （2）利用幂的乘方法则及同底数幂除法法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 24．（本题6分）已知，，，计算下列代数式： (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)15 (2) (3)400 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方运算法则可得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）由，根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则可得，再根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，，． ． （2）解：． （3）解：． 25．（本题7分）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； 【答案】(1) (2)32 【分析】本题考查幂的混合运算，代数式求值．掌握幂的混合运算法则是解题关键． （1）由题意可求出．根据幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算可将所求式子变形为，最后整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，再将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解： ． 26．（本题7分）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值． (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题： 小贤的作业 计算：． 解：． ①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：______． ②计算：． 【答案】(1)6 (2)①；②5 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，学会逆向运用幂的运算性质是解答本题的关键． （1）逆向运用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则计算即可； （2）①根据幂的运算性质，得出求解方法逆向运用了积的乘方运算法则，即可得出结论；②逆向运算积的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． 的值为6． （2）解：①小贤的求解方法逆用了积的乘方运算性质，即， 故答案为：； ② ． 27．（本题8分）【阅读材料】 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数；（十进制数不用标角标，其他要标角标） (1)类比十进制的计数原理：，把一个五进制数转化为十进制数的方法为：．请你请以下两个数转化为十进制数：__________，__________； (2)把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，一直除到商为0，余数为1止；再将余数从下向上倒序写，就是结果．例如将十进制数13转化为二进制数． 余1 余0 余1 余1 所以，请你仿照以上方法，将十进制数22转化成二进制数； (3)二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的加法运算法则如下： ． 请你根据上面的加法运算法则和所学的竖式计算相关知识，计算． 【答案】(1)91；175 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和进制计算规则，根据题意弄清进制的计算规则是解本题的关键． （1）根据三进制转化十进制方法和八进制转化十进制方法，进行计算即可得解； （2）根据题干中提供的方法十进制转化二进制的方法进行计算即可得解； （3）根据二进制的算法列竖式，计算即可得解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵余0， 余1， 余1， 余0， 余1， ∴； （3）解：列竖式为： ∴． 28．（本题10分）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 9 / 学科网（北京）股份有限公司 $$