河北省邯郸市2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试卷

高一数学答案 第1 页(共6页) 邯郸市2024-2025学年第一学期期末质量检测 高一数学参考答案 本套试卷以2019人教A版教材为依据，深研高考命题趋势，从题目深度、题目难度 上遵循了高一的学习规律，结合高一学生的学情，从知识点的基础性、全面性、应用性上 下功夫，适合高一期末考查使用。 1.立足数学核心素养 本套试卷涵盖了数学的六大核心素养——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想 象、数学运算和数据分析，确保全方位考查学生的数学能力。 例如，第5题从购物优惠 政策建模得到分段函数，体现了数学素养中的数学建模和数学运算；第6题从折扇文化 得到扇形图形，并根据扇形与圆的关系进行圆心角的计算，体现了数学素养中的直观想 象和数学运算；第17题从三角函数的定义出发，灵活应用三角函数表示长度，在数学素 养上体现对数学抽象和逻辑推理等的考查。 2.考查基本方法和基本知识点 本套试卷以全面考查学生的双基为出发点，涵盖了必修一课本的重要知识点，且都 是对基本知识点的考查。 例如，第6题考查扇形的面积公式，第15题考查集合的基本运 算，第18题考查函数的奇偶性等，这些都是高一的基本知识点，属于常规题型，考查通 性通法。 3.命制试题亮点 本套试卷的第13，19题是整套试题的亮点题目，其中第13题考查同角三角函数的基 本关系和倍角公式，以开放性的条件考查公式的记忆，强调熟记公式的重要性；第19题 以教材中对基本不等式的介绍入手，强调结构变式的重要性，以题目得解题方法，用解 题方法解决新的数学问题，充分考查学生的数学思维和逻辑推理能力。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B B D C B D ACD AC AC 1.A 解析:集合A=2 ,B=1,2 ,则A∪B=1,2 ,故选A. 2.C 解析:根据存在量词命题的否定可知,“∃x∈R”改为“∀x∈R”,“x2<x”改为“x2≥x”,故选C. 3.B 解析:sin-31π6 =sin -6π+5π6 =sin5π6=12,cos10π3 =cos4π-2π3 =cos2π3=-12,则原式= 1 2- - 1 2 =1,故选B. 4.B 解析:a10=22=4,b10=33=27,所以1<a<b,又0<c=log0.30.4<1,所以b>a>c,故选B. 高一数学答案 第2 页(共6页) 5.D 解析:设购物的折扣优惠金额为y 元,购物的总金额为x 元,则y 关于x 的表达式为y= 0,0<x≤600, 0.05(x-600),600<x≤1 200, 0.15(x-1 200)+30,x>1 200, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 因为60>30,所以购物金额超过1 200元,即0.15(x-1200)+30=60, 解得x=1 400,因此李女士实际所付金额为1 400-60=1 340(元),故选D. 6.C 解析:由题意,设圆形纸的半径为r,扇子的圆心角为α,剩余部分的圆心角为β,则 S1 S2= 1 2αr 2 1 2βr 2 =α β = 5-1 2 ,且α+β=2π,计算得α=(3- 5)π,则扇子的圆心角为 (3-5)π π ×180°≈0.764×180°= 137.52°≈138°,故选C. 7.B 解析:若函数f(x)= 13 x+m -3的图象不经过第一象限,则f(0)≤0,解得m≥-1,则“m>-2”是 “函数f(x)= 13 x+m -3的图象不经过第一象限”的必要不充分条件,故选B. 8.D 解析:由题意,最小正周期T=2πω> π 2 ,则0<ω<4.由π6<x< π 3 ,得π 6ω+ π 3<ωx+ π 3< π 3ω+ π 3 ,因 为0<ω<4,则π6ω+ π 3∈ π 3 ,π ,π3ω+π3∈ π3,5π3 ,因此函数f(x)在 π6,π3 上单调时, π 6ω+ π 3< π 2 , π 3ω+ π 3< π 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ①或 π 6ω+ π 3> π 2 , π 3ω+ π 3< 3π 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ②,由①可得0<ω<12 ,由②可得1<ω<72. 又函数f(x)图象的对 称轴为直线x=2π3 ,则2π 3ω+ π 3=kπ+ π 2 (k∈Z),解得ω=3k2+ 1 4 (k∈Z),因此符合要求的ω 的取值有 1 4 (k=0时),74 (k=1时),134 (k=2时),则ω的所有值的和为214 ,故选D. 9.ACD 解析:对于A选项,1a- 1 b= b-a ab <0 ,即1 a< 1 b ,故选项A正确;对于B选项,当c≤0时,ac>bc 不成立,故选项B错误;对于C选项,由a>b>-c>0可得,ab>b(-c)>(-c)2=c2 成立,故选项C正 确;对于D选项,3a+b=2(a+b)+(a-b),由0<a+b<2,2<a-b<4可得,2<3a+b<8,故选项D 正确,故选ACD. 10.AC 解析:对于A选项,因为函数f(x)=ln a+x 1-x 的图象关于原点对称,所以f(-x)=-f(x),即 lna-x1+x=-ln a+x 1-x ,解得a=±1,a=-1舍去,故a=1,故选项A正确;对于B选项,由选项A知,函 数f(x)=ln 1+x 1-x ,由1+x 1-x>0 ,解得-1<x<1,故f(x)的定义域为(-1,1),函数f(x)=ln 1+x 1-x= ln-1+ 21-x ,因为函数y= 21-x在(-1,1)上单调递增,y=ln x 是增函数,由复合函数的单调性可 知,函数f(x)=ln 1+x 1-x 在(-1,1)上单调递增,故选项B错误;对于C选项,因为x∈(-1,1),所以1- 高一数学答案 第3 页(共6页) x∈(0,2),则 21-x∈ (1,+∞),-1+ 21-x∈ (0,+∞),所以函数f(x)的值域为R,故选项C正确;对于 D选项,f(x)>ln 2,即ln1+x1-x>ln 2,即1+x1-x>2 ,解得1 3<x<1 ,故选项D错误,故选AC. 11.AC 解析:对于A选项,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+bx+c+ 2x+3,化简得2ax+a+b=2x+3,则 2a=2, a+b=3, 解得 a=1 , b=2, 又f(0)=-1,则c=-1,所以f(x)= x2+2x-1,故选项A正确;对于B选项,f x1+x2 2 -f(x1)+f(x2)2 = x1+x22 2 +2x1+x22 -1- x21+2x1-1+x22+2x2-1 2 = (x1+x2)2 4 - x21+x22 2 = 2x1x2-(x21+x22) 4 = -(x1-x2)2 4 ≤0 ,故选项B错 误;对于C选项,令t=f(x),由f(f(x))+1=0得,f(t)=-1,解得t=0或t=-2,即f(x)=0或 f(x)=-2,当f(x)=0时,解得x=-1-2或x=-1+2,当f(x)=-2时,解得x=-1,因此方程 f(f(x))+1=0有3个不等的实根,故选项C正确;对于D选项,g(x)=(x-2)f(x)+2x-1=(x- 2)(x2+2x-1)+2x-1=x3-3x+1,由g(-1)=3>0,g(1)=-1<0,g(2)=3>0,根据零点存在定 理,函数g(x)在(-1,1)和(1,2)内都存在零点,故选项D错误,故选AC. 12.54 解析:8 27 -23 -(e-1)ln 1+lg 4+lg 25-7 log72= 23 -2 -(e-1)0+lg 100-2=94-1+2-2= 5 4. 13.sin x cos x(答案不唯一) 解析:由①得[f(x)]2+[g(x)]2=1,结合②可得f(x)=sin x,g(x)= cos x,或者f(x)=sin 2x,g(x)=cos 2x,或者f(x)=sin 1 2x ,g(x)=cos 1 2x 等符合条件的表达式均可. 14.4 解析:由题可知,函数f(x)在 2,+∞ 上有两个零点,所以 Δ=(2a+1)2-4(a2-2)>0, 2a+1 2 >2 , f(2)=a2-4a≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得a≥ 4,由根与系数的关系可得,x1+x2=2a+1,x1x2=a2-2,则|x2-x1|= (x1+x2)2-4x1x2= (2a+1)2-4(a2-2)= 4a+9,所以当a=4时,|x2-x1|取得最小值5. 15.解:(1)当t=4时,B=x|5≤x≤7 , (2分)………………………………………………………………… 所以∁RB={x x<5或x>7}, (4分)……………………………………………………………………… 所以 ∁RB ∩A={x 1≤x<5}. (6分)…………………………………………………………………… (2)当B=⌀时,t+1>2t-1,即t<2,符合题意, (8分)…………………………………………………… 当B≠⌀时, t≥2, t+1≥7 或t≥2 , 2t-1<1, (10分)………………………………………………………………… 解得t≥6, (12分)……………………………………………………………………………………………… 综上,当A∩B=⌀时,实数t的取值范围为 -∞,2 ∪ 6,+∞ (13分)……………………………… 16.解:f(x)=cos x 1 2sin x- 32cos x + 34 =12cos xsin x- 32cos 2x+ 34 高一数学答案 第4 页(共6页) =14sin 2x- 34 (2cos2x-1) =14sin 2x- 34cos 2x =12 1 2sin 2x- 32cos 2x =12sin2x- π 3 . (5分)…………………………………………………………………………… (1)函数f(x)的最小正周期T= 2π 2=π , (6分)…………………………………………………………… 当2kπ-π2≤2x- π 3≤2kπ+ π 2 ,k∈Z时,解得kπ-π12≤x≤kπ+ 5π 12 ,k∈Z, 则函数f(x)的单调递增区间为 kπ-π12 ,kπ+5π12 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 ,k∈Z. (8分)………………………………………… (2)当x∈ -π4 ,π 4 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 时,由(1)可知f(x)在 -π4 ,-π12 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 上单调递减,在 -π12 ,π 4 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 上单调递增, (10分) …… ……………………………………………………………………………………………………… f -π4 =-14,f -π12 =-12,f π4 =14, (13分)…………………………………………………… 所以当x=-π12 时,f(x)取得最小值为- 1 2 ;当x=π4 时,f(x)取得最大值为 1 4. (15分)……………… 17.解:(1)由题可知,m= 1cos θ ,n= 1sin θ , (2分)……………………………………………………………… 因此S△OMN= 1 2mn= 1 2sin θcos θ= 1 sin 2θ , (4分)………………………………………………………… 当sin 2θ=1,即θ=π4 时,△OMN 的面积最小为1. (6分)………………………………………………… (2)由题可知,NP= 1tan θ ,MP=tan θ,所以MN= 1tan θ+tan θ, (8分)………………………………… △OMN 的周长C△OMN=OM+ON+MN= 1 cos θ+ 1 sin θ+ 1 tan θ+tan θ, (9分)………………………… 当θ变化时,C△OMN= 1 cos θ+ 1 sin θ+ 1 tan θ+tan θ= 1cos θ+ 1 sin θ+ cos θ sin θ+ sin θ cos θ =sin θ+cos θ+cos2θ+sin2θ sin θcos θ = sin θ+cos θ+1 sin θcos θ (*), (11分)…………………………………………… 令t=sin θ+cos θ,则t=2sinθ+π4 ∈1,2 , t2=1+2sin θcos θ,则sin θcos θ=t 2-1 2 , (*)式化为C△OMN= t+1 t2-1 2 = 2 (t+1) (t+1)(t-1)= 2 t-1 , (13分)……………………………………………… 因此,当t=2,即θ=π4 时,△OMN 的周长有最小值,即为2(2+1). (15分)………………………… 高一数学答案 第5 页(共6页) 18.解:(1)由条件f(x)+g(x)=21-x①, 得f(-x)+g(-x)=21+x, 根据f(x)和g(x)的奇偶性得-f(x)+g(x)=21+x②, (2分)………………………………………… 由①和②可得f(x)=2-x-2x,g(x)=2-x+2x. (6分)…………………………………………………… (2)(i)h(-x)=f (-x) g(-x)= -f(x) g(x)=-h (x),则h(x)为奇函数. (7分)………………………………… 又h(x)=f (x) g(x)= 2-x-2x 2-x+2x= 1-4x 1+4x= -(1+4x)+2 1+4x =-1+ 2 1+4x , (9分)……………………………… 任取x1,x2∈R,且x1<x2,有h(x1)-h(x2)= 2 1+4 x1- 2 1+4 x2= 2(4 x2-4 x1) (1+4 x1)(1+4 x2) , 因为函数y=4x 在R上单调递增,所以4 x2>4 x1, 因此h(x1)-h(x2)>0,即h(x1)>h(x2),则h(x)在R上单调递减. (12分)………………………… (i)因为h(5+t2)+h(4t-2t2)<0,所以h(5+t2)<-h(4t-2t2), 所以h(5+t2)<h(2t2-4t),因此5+t2>2t2-4t, (15分)……………………………………………… 则t2-4t-5<0,解得-1<t<5. 所以实数t的取值范围是(-1,5). (17分)………………………………………………………………… 19.解:(1)证明:1a+b+ 1 c= a+b+c a+b + a+b+c c =1+ c a+b+ a+b c +1≥2+2 c a+b ·a+b c =4 , 当且仅当 c a+b= a+b c ,即c=a+b=12 时,等号成立. (3分)……………………………………………… (2)14a+ 4a 2a+b= 1 4a+ 4a a+(a+b)= a+1-a 4a + 4a a+1= a+1 4a + 4a a+1- 1 4≥2- 1 4= 7 4 , 当且仅当a+1 4a = 4a a+1 ,即a=13 ,b=23 时,等号成立,则1 4a+ 4a 2a+b 的最小值是7 4. (8分)……………… (3) 1a2+1+ 1 b2+1= a2+b2+2 (a2+1)(b2+1)= (a+b)2+2-2ab (ab)2+(a+b)2-2ab+1= 18-2ab (ab)2-2ab+17 , (10分)………… 令t=abt≤a+b2 2 =4 ,原式= 2(9-t)t2-2t+17, (12分)…………………………………………………… 令μ=9-t(μ≥5),原式= 2μ (9-μ)2-2(9-μ)+17 = 2μ μ2-16μ+80 = 2 μ+ 80 μ -16 ≤ 2 85-16 = 5+24 , (15分)………………………………………………………………………………… 当且仅当μ= 80 μ ,即μ=45,t=ab=9-45时,等号成立. 所以 1 a2+1+ 1 b2+1 的最大值为 5+2 4 . (17分)……………………………………………………………… 高一数学答案 第6 页(共6页) 编写细目表 题号 题型 分值 知识点 难度 1 选择题 5分 集合的基本运算 易 2 选择题 5分 存在量词命题的否定 易 3 选择题 5分 诱导公式 易 4 选择题 5分 比较大小 易 5 选择题 5分 分段函数应用问题 中 6 选择题 5分 扇形的面积公式 中 7 选择题 5分 充分必要条件及指数型函数应用 中 8 选择题 5分 三角函数的性质 难 9 选择题 6分 不等式的性质 易 10 选择题 6分 对数型函数的综合应用 中 11 选择题 6分 二次函数性质的应用 难 12 填空题 5分 指数运算及对数运算 易 13 填空题 5分 同角三角函数的基本关系及倍角公式 中 14 填空题 5分 一元二次方程根的分布 难 15 解答题 13分 集合的基本运算 易 16 解答题 15分 三角恒等变换及三角函数的性质 易 17 解答题 15分 三角函数的定义及应用 中 18 解答题 17分 指数型函数的性质 中 19 解答题 17分 基本不等式的变式应用 难 邯郴市20242025学年第一学期期末质量检测 解春显：本温共5小题：共7出。 低（本小翠满》5分】 高一数学答题卡 以（未小要病分口分】 姓名： 班级： 考场/座位号 贴条形码区 《。小题6分 2 LA)(63 Icl I 6 (J 13]IC)(DI 10 (A]CHI IEJ E0I IAJ L0I CCI [0I 14s1的(c 11IA CB][C][B] AaIc日【时&EAI E8J ICI【1 填空题：本哪共小厘。等小屋5分，共15分. 12 四囚■ 囚ㄖ■ 1宜具6领 第2项共6页 购真共5项 ■ ■ 13.《本小心两分17分】 ▣ 17.(本小四满分15分) MO) 线.（本小思满分17分》 0 0 r 囚■囚 囚■因 第别页共6页 颈北6项 第6页共6项绝密★启用前 邯郸市2024一2025学年第一学期期未质量检测 高一数学 班级 姓名 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号及准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若集合A={x∈N”|1<x<3},B={x|x2-3x+2=0),则AUB= A.{1,2} B.{2} C.{x|1≤x<3} D.{x11<x<2} 2.命题“3x∈R,x2<x”的否定是 A.Vx∈R,x2<x B.3xR,x2<x C.Hx∈R,x2≥x D.3xtR,x2≥x 3.sin( 31πY 6 一cos09的值为， A.0 B.1 c+9 吃9 4.若a=22,b=303,c=log%.30.4,则a,b,c的大小关系是 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 5.某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如下：如果顾客购物的总金额不超过600元，不享受折 扣优惠；如果顾客的购物总金额超过600元，那么超过600元的部分享受折扣优惠，折扣优惠 按下表计算。 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过600元不超过1200元的部分 5% 超过1200元的部分 15% 李女士在商场获得的折扣优惠金额为60元，则她实际所付金额为 A.1600元 B.1540元 C.1400元 D.1340元 6折扇在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的 形式体现我国的传统文化（如图1），也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征，图2为其 结构简化图.若在圆形纸张上剪下一把扇形的扇子（扇形的半径和圆形纸张的半径相同），记该 扇形的面积为S,剩下的图形面积为S,若S,与S2的比值满足黄金分制值5,1，则扇子的 2 圆心角大约为 高一数学第1页（共4页） (参考数据：5≈2.236) 图1 图2 A.222 B.146 C.138 D.111° 7“m>-2”是“函数fx)-(兮) 一3的图象不经过第一象限”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8&.已知函数fx)=sin(ax+)o>0)的最小正周期T>受，若函数f(x)在（答，写）上单调， 且关于直线z-晉对格，则符合要求的。的所有值的和是 A是 B.2 C.5 n终 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法正确的是 A若a>b>0,则上< B.若a>b>c,则ac>bc C.若a>b>-c>0,则ab>c2 D.若0<a十b<2,2<a-b<4,则2<3a+b<8 10.已知函数f)=h告的图象关于原点对称，则下列结论正确的是 Aa±1 B.函数f(x)在（一1,1）上单调递 C.函数f(x)的值域为R D.若f(z)>ln2,则x>号 11.已知二次函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+2x十3，且f(0)=一1，则下列结论正确的是 A.f(x)的解析式是f(x)=x2+2x-1 &V1:R,总有f≥生f 2 C.方程f(f(x)十1=0有3个不等的实根 D.若g(x)=(x一2)f(x)十2x一1，则函数g(x)在（一1,2）内不存在零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12(0》-(e-1D1+g4+1g25-72= 13.若函数f(x)和g(x)满足下列条件：①[f(x)十g(x)]2+[f(x)-g(x)]=2;②f(2x)= 2f(x)g(x).请写出符合条件的一组函数表达式：f(x)= ,g(x)= 高一数学第2页（共4页） 14.已知函数f(z)=x2-(2a+1)x十a2-2在[2，+∞)上有两个零点x1,x2,则当a= 时，lx2一x1|取得最小值 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知集合A={x|1≤x<7),B={xlt+1≤x≤2t-1}. (1)当t=4时，求(CRB)∩A； (2)若A∩B=财，求实数t的取值范围」 16.(本小题满分15分) 已知函数fx)=coin(女-)+店，x∈R (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f:)在区间[一至，到上的最大值和最小值， 17.(本小题满分15分) 如图，在平面直角坐标系中，锐角8的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点 P,过P作圆O的切线交x轴的正半轴于M(m,0),交y轴的正半轴于N(0,n). (1)用0表示△OMN的面积，并求其最小值； (2)当8变化时，△OMN的周长是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由. N(0,n) Mm,0) 高一数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 若函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且满足f(x)十g(x)=21 (1)求f(x)和g(x)的解析式； (2)记h(x) f(x) g(x)' (i)判断h(x)的奇偶性，并用定义证明h(x)的单调性； (ii)若h(5十t2)+h(4t一2t2)<0成立，求实数t的取值范围. 19.(本小题满分17分) 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是 完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算（代 数变形)可以解决很多关于基本不等式的问题， 例如此题：已知a,6为正实数，且a+6=1,则合+弓的最小值为 其解法如下会+合-名+告-名+号+12≥2侣·号+1=8当且仅当名-号，即a= b a 6=号时，等号成立，因此名+云的最小值为3 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们 总是成群生长”.根据上述材料解决以下问题， 1已知a,6c为正实数，且a+6十c=1,求证g十6+>4 (2)已知a>0,b>0,且a+6=-1,则品+246的最小值是多少 (3)某同学在解决题目“已知x为正实数y为非负实数，且x十2y=2,则十1+2少 y子的最 小值是多少？”时，给出如下解法： 令t=y+1(t≥1)，则x+2y=2化为x+2t=4, 原式-中1+2少-x+2+26+}-2=运+2=0++2=上+号 -(2+2）x+2)=5+Ξ+)≥号 当且孜当4-经，即x=1=号，即x=专y=时，等号成立。 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a,6∈R,a十b=4,则，中1力 6+中的最大值是多少？ 1 高一数学第4页（共4页）