第二单元 长方体（一）（知识清单）数学北师大版五年级下册

第二单元 长方体（一）（知识清单） （思维导图+知识盘点+易错攻略+典例精讲+巩固培优） 知识点一：长方体的认识 1.长方体的特征 长方体有8个顶点，6个面，每个面都是长方形（特殊情况下有2个相对的面是正方形），相对的面面积相等；有12条棱，可以分为3组，分别叫长、宽、高，相对的棱长度相等。 2.正方体的特征 正方体有8个顶点，6个面，每个面都相同，都是正方形；有12条棱，每条棱的长度都相等。 3.长方体与正方体的联系 正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊长方体。 知识点二：展开与折叠 1.正方体的展开图 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的组合图形，有11种，相对的面完全隔开。 2.长方体的展开图 长方体的展开图可按上下、前后、左右对应的面进行组合、折叠成原来的形状。 知识点三：长方体的表面积 1.表面积和定义： 长方体和正方体6个面的面积之和就是它们的表面积。 2.长方体的表面积公式： 长方体的表面积=长x宽x 2+长x高x 2+宽x高x2=(长x宽+长x高+宽x高) x2。 3.长方体的表面积公式： 正方体的表面积=棱长x棱长x 6。 知识点四：露在外面的面 1.堆放在墙角的正方体搭成的组合体： 计算堆放在墙角的正方体搭成的组合体露在外面的面积时，要先数出露在外面的面的总个数，再用一个面的面积乘面的总个数。 2.堆放在一起的正方体搭成的组合体： 数堆放在一起的正方体搭成的组合体露在外面的面的个数时，要先观察正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数与正方体的个数之间存在的规律。 1.长方体的6个面有时不都是长方形。 2.长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。 3.在长方体中，同一方向的4条棱互相平行。 4.长方体的高=棱长总和÷4-（长+宽）。 5.判断图形折叠后能否围成正方体，除了要具备6个相同的正方形外，还要考虑折叠时6个面是否重复。 6.正方体的棱长扩大到原来的n倍，表面积就扩大到原来的n2倍。 7.用几个相同的正方体拼成一个长方体后，有几个接合处，表面积就减少（接合处的个数×2）个面的面积。 8.在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。 9.相同个数的小正方体摆放的方式不同，露在外面的面的个数一般也不同。 考点一：长方体的认识及特征 【典例一】在下面图中选出6个面，使它们组成一个长方体。这6个面分别是( )（填序号）。 【分析】长方体中：长4条棱相等，宽4条棱相等，高4条棱相等；且长方体对面形状，大小完全一样，这6个面需要两两相等。据此解答。 【详解】②和⑧，找不到与其形状相同的图形，排除。剩下的①和③都是长6厘米，宽4厘米的长方形，形状完全相同；④和⑤都是长8厘米，宽6厘米的长方形，形状完全相同；⑥和⑦都是长8厘米，宽4厘米的长方形，形状完全相同；且它们两两比较，都有相同长度的边，可以拼合在一起，组成长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。所以这6个面的编号分别是①③④⑤⑥⑦。 考点二：长方体的棱长总和应用 【典例一】用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长( )cm的铁丝。 【分析】题目中的相交于同一个顶点的三条棱的长度就是长方体的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详解】 （cm） 用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长80cm的铁丝。 考点三：正方体的特征 【典例一】把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体。这个长方体的长是( )分米，宽是( )分米，高是( )分米。 【分析】三个小正方体拼成长方体，只有一种拼法，即一字排列；拼成的这个长方体长为（3×2）分米，宽和高则都等于原来小正方体的棱长，据此解答。 【详解】 3×2＝6（分米） 1×2＝2（分米） 1×2＝2（分米） 因此把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体。这个长方体的长是6分米，宽是 2分米，高是2分米。 考点四：正方体的棱长总和应用 【典例一】把一根48分米长的铁丝焊接成一个正方体框架（接头处忽略不计），它的棱长是( )分米。 【分析】根据正方体棱长＝棱长总和÷12，列式计算即可。 【详解】 48÷12＝4（分米） 考点五：长方体的展开图 【典例一】如图是一个长方体的展开图，在图上标出另外三个面。          【分析】根据长方体的特征可知，长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，且相对的面不相邻，据此找出长方体展开图中的另外三个面。 【详解】 考点六：正方体的展开图 【典例一】有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6。小明、小刚、小红三人从不同的角度去观察这个正方体，观察结果如图所示，则数字3对面是数字( )。    【分析】观察第2个图形可以发现：3的对面不是1或2；观察第3个图形可以发现，3的对面也不是4或5。那么数字3对面是数字6。 【详解】通过观察、分析可知，数字3对面是数字6。 考点七：长方体的表面积应用 【典例一】学校要修建一个长30米、宽20米、深1.5米的游泳池，需要在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【分析】在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，就是计算长方体游泳池的侧面积和一个底面积，即贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算。 【详解】 （平方米） 答：贴瓷砖的面积是750平方米。 【典例二】长方体饼干盒长10厘米、宽5厘米 、高2厘米，将2个饼干盒包装在一起，成为一个包装盒，怎样包才能节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？ 【分析】把两个同样的长方体叠合成一个新的长方体，只有把最大的面重叠起来，才能使表面积最小，即使用的包装纸最少。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此算出至少需要多少平方厘米的包装纸。 【详解】 将2个饼干盒的长×宽的面叠合在一起，得到的大长方体的表面积最小，这样包才能节约包装纸。 （厘米） （平方厘米） 答：至少需要220平方厘米的包装纸。 考点八：立体图形的切拼 【典例一】将一块长方体木料（如图）平均切成三块，怎样切能使木料增加的表面积最多，多多少？先在图上画一画，再计算。 【分析】根据题意可知，要使表面积增加的最多，应使切割的面积最大，在本题中，长方体的前面、后面的面积最大，则平行于前、后面切割，据此画图；平均分成切成三块之后，表面积增加了四个前面的面积，根据长方形的面积＝长×宽，用长方体的长乘高，求出一个长方形的面积，再乘4即可解答。 【详解】如图： 15×8×4 ＝120×4 ＝480（平方分米） 答：多480平方分米。 考点九：堆放在墙角的立体图形露在外面的面积 【典例一】将5个棱长为30厘米的正方体纸箱堆在墙角处（如下图），露在外面的面积是多少平方厘米？ 【分析】先判断出露在外面一共有多少个面，再根据正方形的面积＝边长×边长，用正方形一个面的面积乘露在外面的面的数量，所得结果即为露在外面的面积。 【详解】 露在外面一共有10个面。 30×30×10＝9000（平方厘米） 答：露在外面的面积是9000平方厘米。 考点十：组合体的表面积 【典例一】下面是两个用相同的小正方体搭成的立体图形，它们的表面积相比，（    ）。 A．甲的表面积大 B．乙的表面积大 C．甲、乙表面积相等 D．无法比较 【分析】立体图形的表面积，是指覆盖该立体图形的所有面的面积的和。在此题中，这两个都是立体图形都是由相同的小正方体搭成的，所以我们可以数一数每个立体图形的表面各有多少个小正方形，然后作比较即可解答。 【详解】由图可知，甲图表面有24个小正方形，乙图表面有24个小正方形，所以甲乙两个立体图形表面积相等。 故答案为：C A.基础训练 一、选择题 1．拼成一个大正方体，完全相同的小正方体至少用（    ）个。 A．2 B．4 C．6 D．8 2．一个长方体中，相交于一个顶点的三条棱长分别是1cm、2cm、3cm，把这个长方体整个放在桌面上，占用桌面面积最大的是（    ）。 A．3cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．12cm2 3．如图：一个正方体六个面上各有一个数字，分别是1、2、3、4、5、6，观察下图，与2相对的面是（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．无法确定 4．棱长总和是108cm的正方体。一个面的面积是（    ）cm2。 A．9 B．36 C．81 D．48 5．下面图形不是正方体展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 6．把3个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了（    ）。 A．32平方厘米 B．16平方厘米 C．8平方厘米 D．4平方厘米 7．李叔叔喜欢养鱼。他要做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，求至少要用多少平方米的玻璃，这是求这个长方体鱼缸的（    ）。 A．体积 B．表面积 C．容积 D．侧面积 8．如图，把4个棱长3cm的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是（    ）cm2。 A．9cm2 B．27cm2 C．81cm2 D．100cm2 9．把5个棱长为1dm的正方体纸箱如图放在墙角，露在外面的面积是（    ）。 A．13dm2 B．12dm2 C．11dm2 D．10dm2 10．在一个棱长是10cm的正方体的一角，切去一个小长方体（如下图），它的表面积和原正方体的表面积相比，（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．不变 D．无法判断 二、填空题 11．长方体和正方体都有( )个面，( )个顶点。 12．用一根长72分米的铁丝做一个长7分米，高5分米的长方体框架，它的宽是( )分米。 13．下面图形折叠成正方体，“恰”字的对面是( )字，“快”字的对面是( )字。 14．一个长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米和3厘米，这个长方体的表面积为( )平方厘米。 15．一个长方体木块截成两个相同的正方体后，表面积增加了18cm2，原来长方体木块的表面积是( )cm2。 16．把两个棱长为5厘米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来减少了( )平方厘米。 17．由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为( )。 18．如图，妈妈把几个正方体纸箱堆放在墙角处，如果每个小正方体的棱长是3dm，那么露在外面的面积是( )dm2。 19．把一个长方体沿虚线切成两个长方体，如下图（单位：cm）。图( )的切法增加的面积最大，增加了( )平方厘米。 20．一个正方体的礼品盒，它的棱长是7dm，在所有的棱上粘上彩带，需要彩带( )dm。 三、判断题 21．正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体。( ) 22．长方体一共有12条棱，可分为4组，每组有3条棱的长度相等。( ) 23．长方体的展开图中，只有长方形，不可能出现正方形。( ) 24．正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大9倍。( ) 25．一个长方体的无盖水桶，长4分米，宽3分米，高5分米，做这个水桶至少需要94平方分米的铁皮。( ) 26．把4个小正方体摆放在一起，露在外面的面有12个。( ) 四、计算题 27．如图是一个长方体的展开图，求出它的表面积。 28．计算如图所示的图形的表面积。（单位：厘米） B.培优拓展 29．学校准备粉刷五年级三个班教室的墙壁和屋顶，每间教室长10米、宽6米、高3米，每间教室门窗和黑板面积是8平方米，三间教室需要粉刷的面积一共是多少平方米？ 30．收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？ 31．如下图，把一个长方体木块正好锯成三个大小相等的小正方体，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了36平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 32．笑笑搬了8个棱长为30厘米的正方体纸箱放在墙角（如图），露在外面的面积是多少平方厘米？ 33．下面是3个正方体的展开图，在正方体的6个面上分别标有数字，且相对的面上的数字之和是10，你能把这些数字补全吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第5页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 2．B 3．C 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 9．B 10．C 11．6 8 12．6 13．风 如 14．94 15．90 16．50 17．50 18．117 19． ③ 60 20．84 21．√ 22．× 23．× 24．√ 25．× 26．× 27． 【详解】（14×10＋14×7＋10×7）×2 ＝（140＋98＋70）×2 ＝308×2 ＝616（cm2） 28． 【分析】根据图示可知，这个图形是由一个正方体叠加在一个长方体上面，叠加部分减少正方体2个面的面积，即图示的表面积为长方体的表面积加上正方体4个面的面积，结合长方体的面积公式（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、正方体的面积公式：边长×边长×6，代入数据，计算即可。 【详解】 ＝9×4＋（24＋24＋9）×2 ＝36＋57×2 ＝36＋114 ＝150（平方厘米） 29． 【分析】根据题意，粉刷教室的墙壁和屋顶，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，然后减去门窗和黑板的面积，即是每间教室需粉刷的面积，再乘3，求出三间教室需粉刷的总面积。 【详解】10×6＋10×3×2＋6×3×2 ＝60＋60＋36 ＝156（平方米） 156－8＝148（平方米） 148×3＝444（平方米） 答：三间教室需要粉刷的面积一共是444平方米。 30． 【分析】在计算捆一圈的长度时，需要考虑到杂志的长、宽、高，分别计算出两个长、两个宽和四个高的长度，再相加得到总长度。然后，再加上打结时两端预留的绳子长度，即可得到妈妈一共用掉的绳子长度。最后，将长度单位从厘米转换为米。 【详解】2×26＋2×21＋4×12 ＝52＋42＋48 ＝142（厘米） 142＋10×2 ＝142＋20 ＝162（厘米） 162厘米＝1.62米 答：妈妈一共用掉了1.62米绳子。 31． 【分析】根据题意，把一个长方体木块平行于底面锯成三个大小相等的小正方体，说明原长方体的长、宽相等，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了4个底面的面积； 用增加的表面积36平方厘米除以4，求出原长方体的底面积为9平方厘米，因为底面是一个正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，得出原长方体的长、宽都是3厘米，再乘3，即是原长方体的高； 最后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出原长方体的表面积。 【详解】36÷4＝9（平方厘米） 9＝3×3 所以原长方体的长、宽都是3厘米； 原长方体的高：3×3＝9（厘米） 原长方体的表面积： （3×3＋3×9＋3×9）×2 ＝（9＋27＋27）×2 ＝63×2 ＝126（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是126平方厘米。 32． 【分析】因为是放在墙角处，所以露在外部的有：正面5个正方形，右面5个正方形，上面4个正方形，一共有5＋5＋4＝14个，每个小正方形面的面积是30×30＝900平方厘米，据此再乘14就是露在外部的总面积。 【详解】5＋5＋4 ＝10＋4 ＝14（个） 30×30×14 ＝900×14 ＝12600（平方厘米） 答：露在外面的面积是12600平方厘米。 33． 【分析】正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间隔着一个正方形。已知相对的面上的数字之和是10，用10减去已知的数字，得出相对面的数字，据此补全数字。 【详解】（1）10－1＝9 10－5＝5 10－3＝7 （2）10－7＝3 10－4＝6 10－2＝8 （3）10－9＝1 10－7＝3 10－4＝6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$