四川省成都市成华区嘉祥外国语学校2023-2024学年下学期九年级开学数学试卷

2023-2024学年四川省成都市成华区嘉祥外国语学校九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 2.下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，该几何体的左视图是(    ) A. B. C. D. 4.函数的自变量x的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 5.下表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中位数是(    ) 疫苗名称 克尔来福 阿斯利康 莫德纳 辉瑞 卫星V 有效率 A. B. C. D. 6.若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点若，，则FC的长是(    ) A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 8.已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ①； ②； ③为任意实数； ④； 其中正确的结论有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 9.设，是方程的两个根，且，则m的值为______. 10.为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖.在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同.设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为______. 11.如图，由边长为2的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则______. 12.如图，在正方形ABCD的内部作等边，连接MC、MD，则______ 13.在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点则CD与BD的数量关系是______. 14.若是关于字母a，b的二元一次方程的一个解，代数式的值是______. 15.如图，的直角边OC在x轴上，，反比例函数的图象经过AC的中点D，若，则k的值为______. 16.已知一列数：，，，，，，满足从第二个数起，每个数与前一个数的差都相等，若，且，则______. 17.如图，等腰中，，将沿EF翻折得到，点D为AB中点，则______. 18.如图，，与之间的距离为3，在上方作等腰直角三角形ABC，，，延长AC交于点D，在上方作等腰直角三角形DEF，，，M、N分别为、上的动点，且，连接AM、EN，则的最大值为______. 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题12分 计算： 解不等式组：，并在数轴上表示出解集. 先化简，再求值：，其中 20.本小题8分 为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动.竞赛项目有：回顾重要事件；列举革命先烈；讲述英雄故事；歌颂时代精神.学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： 本次被调查的学生共有______名； 在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为______，并把条形统计图补充完整； 从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率. 21.本小题8分 如图是某市体育中心运动场主席台侧面.若顶棚顶端D与看台底端A连线和地面垂直.测得看台AC的长为米，， 求看台高BC的长； 求顶棚顶端D到地面的距离AD的长结果精确到1m，取， 22.本小题10分 如图，是的外接圆，点D在AB上，AB为直径，连接CD，在BA延长线上取点E，连接EC， 求证：； 作的角平分线交CE于点F，若，，求的半径. 23.本小题10分 在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点和点 求k和点B的坐标； 如图1，连接OB，OA，在反比例函数图象上是否存在点M，使得，若存在，求M的横坐标； 如图2，过点A作轴，交y轴于点C，点G在射线CE上运动，H是CO的中点，连接GH，将沿GH翻折得到，请直接写出在G的运动过程中AP的最大值，并求出点P的坐标. 24.本小题8分 某批发商以6元/千克的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，批发商销售过程中发现，这种蔬菜的销售单价为10元/千克时，每天的销售量为300千克，如果调整价格，销售单价每涨1元，每天少卖出30千克，设销售价格为x元/千克，每天的销售量为y千克. 请直接写出y与x之间的函数关系式； 当每天销售单价是多少元时，该批发商销售这种蔬菜的利润为1200元？ 端午节期间，批发商对这种蔬菜进行优惠促销，每购买1千克这种蔬菜，赠送成本为2元的端午节饰品，这种蔬菜的售价定为多少元时，该批发商每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 25.本小题10分 已知平面直角坐标系上三点，，，，抛物线解析式 若抛物线对称轴为直线，求B，C坐标； 若直线与抛物线有两个不同的交点D、E点，若B，C，D与平面内一点F构成菱形，求F的坐标； 当时，作B点关于直线AC的对称点，直线与抛物线交于M，N两点，设M，N，A的横坐标为，，，若，求m的值. 26.本小题12分 如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点为点E， 当点G落在线段BC上时，，求CG； 旋转中矩形AEFG，连接 ①当C、G、F三点共线时，连接BE，求的面积； ②当点G落到矩形ABCD的对称轴上时，直接写出此时的值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：， 故选： 把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式不为分数形式，n为整数 本题考查科学记数法，解题关键是熟练掌握用科学记数法表示较大的数． 2.【答案】A  【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选： 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3.【答案】D  【解析】解：从左面看该几何体所得到的图形是一个长方形，被挡住的棱用虚线表示，图形如下： 故选： 根据左视图的意义，从左面看该几何体所得到的图形即可，注意能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示． 本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是画三视图的前提，理解能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的关键． 4.【答案】C  【解析】解：由题意可得：， 解得：且， 故选： 根据二次根式成立的条件，分式成立的条件，零指数幂的概念列不等式组求解． 本题考查分式成立的条件，二次根式成立的条件及零指数幂的概念，掌握分式的分母不能为零，二次根式的被开方数为非负数，是解题关键． 5.【答案】B  【解析】解：从小到大排列此数据为：、、、、，其中处在第3位为中位数． 故选： 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数． 本题考查了中位数的概念．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数． 6.【答案】A  【解析】解：关于x的一元二次方程没有实数根， ， 解得： 故选： 由方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：由题知，AC为直径， ， ， ， ， 为三角形ABC的中位线， ， 又， ， ， ，点O是AC中点， 是三角形ACF的中位线， ， 故选： 由题知，AC为直径，得，且OD是的中位线，OE是三角形AFC的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可． 本题主要考查勾股定理，三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：由图象可知， ，，， 所以 故①错误． 因为抛物线的对称轴是直线， 所以时与时的函数值相等． 又由图象可知， 时，函数值大于 所以时，函数值也大于 即 故②正确． 因为抛物线开口向下，且对称轴为直线， 所以当时，函数有最大值 则当为任意实数时，总有， 即 故③错误． 因为抛物线与x轴有两个交点， 所以， 即 故④正确． 故选： 根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称轴为直线和开口向下，即可解决问题． 本题考查二次函数的图象与系数的关系，能根据所给图象得出a，b，c的正负并巧妙的利用抛物线的对称性是解题的关键． 9.【答案】4  【解析】解：根据题意得，， ， ， 故答案为： 利用根与系数的关系得到，，从而得到的值，然后解一次方程即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则， 10.【答案】  【解析】解：设B种奖品的单价是x元，则A种奖品的单价是元， 依题意得： 故答案为： 设B种奖品的单价是x元，则A种奖品的单价是元，根据数量=总价单价，结合用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：为直径， ， 在中，， ， 故答案为： 先利用圆周角定理得到，，再利用正切的定义得到，从而得到的值． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形． 12.【答案】15  【解析】解：四边形ABCD是正方形，是等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为： 由等边三角形的性质和正方形的性质可得，，可得，由等腰三角形的性质可求 本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质是本题的关键． 13.【答案】  【解析】【分析】 根据尺规作图得到AD平分，再根据已知条件，得出，再根据，得到，进而可证明，可得结论． 本题考查作图-基本作图，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出各个角的度数，属于中考常考题型． 【解答】 解：，， ， 由作图可知AD平分， ， ， ， ， ， 故答案为： 14.【答案】24  【解析】解：把，代入，得 ， 故答案为： 把，代入原方程可得的值，把代数式变形为，然后计算． 本题考查了公式法分解因式，把作为一个整体是解题的关键，而也需要运用公式变形，以便计算． 15.【答案】  【解析】解：是AC的中点，， ， 的直角边OC在x轴上，， 丨k丨， 图象在第二象限， 故答案为： 根据题意可得，依据反比例函数k值几何意义可解得k值． 本题考查了反比例函数k值的几何意义，求出是关键． 16.【答案】5  【解析】解：设公差为d，则，，，，，， 根据题意得， ，即，，，①， ， ，即②， ， 解得，， ， 故答案为： 公差为d，则，，，，，，根据条件列出方程组，解得和d的值再代入计算即可． 本题考查了数字的变化规律，求出和公差是关键． 17.【答案】  【解析】解：为等腰直角三角形， ， 设， 将沿EF翻折得到，点D为AB中点， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 故答案为： 由题意可假设，根据折叠的性质得线段中点的定义得，，设，则，再中，利用勾股定理建立方程，求解即可得到答案． 本题主要考查等腰三角形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟记勾股定理之图形折叠模型是解题关键． 18.【答案】  【解析】解：当N在F右边时，如图， 过A作两条平行线，过M作两条平行线，过E作 则，， ， 设， ， ， 构造如图的直角三角形，， ， ， ， ， 故当AM、EN在一条直线上时， 最大 当N在F左边时，如图， 过A作两条平行线，过M作两条平行线，过E作 则，， ， 设， ， ， ， ， 构造如图的直角三角形，， ， ， ， ， 故当AM、EN在一条直线上时， 最大 ， 的最大值为 故答案为： 分两种情况讨论，构造直角三角形，运用勾股定理表示出AM、EN的值，然后构造A型相似即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，绝对值，平行线之间的距离，等腰直角三角形，构造A型相似是解题关键． 19.【答案】解： ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集是， 其解集在数轴上表示如下所示， . ， 当时，原式  【解析】先化简，然后计算乘法，最后算加减法即可； 先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可； 先将括号内的式子通分，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，最后将x的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查实数的运算、解一元一次不等式组、分式的化简求值，熟练掌握运算法则和解不等式的方法是解答本题的关键． 20.【答案】  补全统计图如下： 根据题意列表如下： 小华 小光 小艳 小萍 小华 小光，小华 小艳，小华 小萍，小华 小光 小华，小光 小艳，小光 小萍，小光 小艳 小华，小艳 小光，小艳 小萍，小艳 小萍 小华，小萍 小光，小萍 小艳，小萍 由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好小华和小艳被抽中的情况有2种． 则恰好小华和小艳被抽中的概率是  【解析】解：本次被调查的学生共有：名； 项目的人数有：人， 图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为：； 见答案 根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数； 用总人数减去其它项目的人数，求出B项目的人数，再用乘以“B项目”所占的百分比即可得出“B项目”所对应的扇形圆心角的度数，最后补全统计图即可； 根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 21.【答案】解：在中， 米，， 米， 米 答：看台高BC的长为米． 过点C作，垂足为 ，，， 四边形BCEA是矩形． 米，米． ，， ， 在中， ， 米 米 答：顶棚顶端D到地面的距离AD的长约为10米．  【解析】在中，利用直角三角形角的对边与斜边的关系得结论； 过点C作，先说明四边形BCEA是矩形，再利用矩形的性质得到BC、AE、CE、AB间关系，再在中求出DE，利用线段的和差关系得结论． 本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系及特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 22.【答案】证明：，， ， ， ， ∽， ， ， ， 解：由得， 为的直径， ， ， 设，则， ， ， ∽， ， ，， ， ， ，，， 作交AB于点G，则∽， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得， ， 的半径是  【解析】，推导出，而，可证明∽，得，则，整理得； 由AB为的直径，得，所以，设，则，，，所以，则，，得，于是得，求得，，，作交AB于点G，可证明，再证明，求得，则，所以，求得，则的半径是 此题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明∽是解题的关键． 23.【答案】解：点A在一次函数的图象上， ， 点， 反比例函数与一次函数的图象交于点， ， 反比例函数解析式为， 联立方程得：， 解得：，， 点； 点，点， ， ， 设点， ， 解得：舍去，， 点M的横坐标为； 轴，EF过点， ，， 是CO的中点， ， 将沿GH翻折得到， ， 点P在以CO为直径的圆上运动， 点P，点H，点A三点共线时，AP有最大值， 如图，过点P作于N， ，， ， 的最大值为， ，， ∽， ， ， ，， ， 点P的坐标为  【解析】利用待定系数法可求解析式，联立方程可求点B坐标； 先求出的面积，由面积关系可求点M的横坐标； 由折叠的性质可得，则点P在以CO为直径的圆上运动，即点P，点H，点A三点共线时，AP有最大值，通过证明∽，可求NH，PN的长，即可求解． 本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 24.【答案】解：， 与x之间的函数关系式为； 设每天销售单价是m元时，该批发商销售这种蔬菜的利润为1200元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每天销售单价是10元或16元时，该批发商销售这种蔬菜的利润为1200元． 设批发商销售利润为w元，售价定为x元，由题意得： ， ， 当时，w有最大值为1080元， 这种蔬菜的售价定为14元时，该批发商每天的销售利润最大，最大利润是1080元．  【解析】利用题干中的数量关系列出代数式即可； 利用利润销售价格-进价销售量列出方程，解方程即可得出结论； 设批发商销售利润为w元，利用利润销售价格-进价销售量列出函数关系式，再利用二次函数的性质解答即可． 本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，配方法，二次函数的性质，熟练掌握利润与进价，售价与销售量之间的关系是解题的关键． 25.【答案】解：抛物线对称轴为直线， ， 解得， ，； 当时，解得或， ，， ，， ， 四边形CBDF是菱形， ， ， 解得， ， ， ； 设直线AC的解析式为， ， 解得， 直线AC的解析式为， 设，则的中点在直线AC上， ， 整理得①， ， ②， 联立①②可得，，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，整理得， ，， ， ， 解得舍或  【解析】根据抛物线对称轴为直线，求出，即可求B、C点坐标； 求出，，再由，得到方程，解得，即可求； 直线AC的解析式为，设，则的中点在直线AC上，得①，再由，得②，联立①②可得，求出直线的解析式为，当时，整理得，由根与系数的关系可得，，再由已知得方程，即可求 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，轴对称的性质，根与系数的关系是解题的关键． 26.【答案】解：四边形ABCD是矩形， ，， ， ， ， ， ， 旋转， ， ①C、G、F三点共线时如图所示，设AG交BC于点L， 、G、F三点共线，， ， ，， ， ， ，， ≌， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， 作于点J，则， ， ∽， ，即， 解得， ； ②因为矩形的对称轴有两条，分别是AD和AB的垂直平分线，所以分两种情况讨论， 第一种情况：如图，当点G落在AD垂直平分线上时，此时存在两个点G满足题意， 设AD垂直平分线与AD和BC交于点M、N， 由知， ， ， ， ， 同理可得； 第二种情况：如图，当点G落在AB垂直平分线上时，此时存在两个点G满足题意， 设AB垂直平分线与AB和CD交于P、Q两点，则， ， 过作于点H，则， ， ， 同理可得 综上，的值为或或或  【解析】由题可得出，然后解直角三角形ABG，再用即可求出CG； ①要求的面积，我们必须点找到三点共线的情况，要画出这种情况的图形，因为，共线时，所以点G在以AC为直径的圆上，又因为，所以点G在以A为圆心，AD为半径的圆上，则两圆交点为点G，如图所示，有图可以发现两圆交点有两个，其中一个是D点，所以G点就定出来了，再作出矩形AEFG，根据条件求解即可； ②因为矩形的对称轴有两条，分别是AD和AB的垂直平分线，所以分两种情况讨论，依据题意画出图形，再分别找到所在的直角三角形，利用勾股定理求解即可，存在性问题难点在于分类讨论和画出图形，画出图形就很容易得解． 本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和画出符合题意的图形是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$