广东省广州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

高二数学（试题） 第 1 页 共 5 页 2024 学年第一学期期末教学质量监测 高二数学（试题） 本试卷共 5 页，19 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填 写在答题卡上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．已知圆 C1： 2 2( 2) 4x y   ，圆 C2： 2 2 6 5 0x y y    ，则两圆的位置关系为 A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 2．已知 M是椭圆 2 2 : 1 16 4 x yC   上一点，F1，F2是其左右焦点，则 A．椭圆的焦距为 32 B． 1 2 16MF MF  C．椭圆的离心率 3 2 e  D． 1 2MFF△ 的面积的最大值是 32 3．如图，在平行六面体中，M为 A1C1，B1D1 的交点． 若 1 DA DC DD      ， ，a b c ，则向量DM  = A． 1 1 2 2   a b c B． 1 1 2 2  a b c C． 1 1 2 2   a b c D． 1 1 2 2  a b c 4．柜子里有 3 双不同的鞋，从中随机地取出 2 只，则“取出的鞋不成双”的概率是 A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 高二数学（试题） 第 2 页 共 5 页 5．斜率为 1 的直线经过抛物线 2 4 1 xy  的焦点，且与抛物线交于 A，B两点，则线段 AB的长为 A．8 B． 2 13 C． 2 11 D．4 6．设直线 l的方程为 sin 1 0( [0, ))x y       ，则直线 l的倾斜角的范围是 A． 0, B． 0, 4      C． , 4 2       D． 3, 4 4       7．在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，侧棱 AA1=1，直线 A1C1与平面 A1BCD1 所成角的余弦值为 2 5 5 ，则该正四棱柱的体积等于 A． 5 3 B． 3 2 C． 5 2 D． 1 8 8．双曲线 C的两个焦点为 F1，F2，以 C的实轴为直径的圆记为 D，过 F1作 D的切线与 C的一支交 于 M，N两点，且 1 2 3cos 5 F NF  ，则 C的离心率为 A． 5 2 B． 3 2 C． 13 2 D． 17 2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对得部分分． 9．下列四个正方体中，直线 l是正方体的一条对角线，点 M，N，P分别为其所在棱的中点，满足 直线 l⊥面 MNP的有 A． B． C． D． 10．一个正四面体的四个面分别标有数字 1，2，3，4，任意抛掷两次，观察它与地面接触的面上的 数字，事件 A表示“第一次的数字小于 3”，事件 B表示“第二次的数字为奇数”，事件 C表示 “两次的数字和为 7”，则下列说法正确的是 A． ( ) 1P A B  B． 9( ) 16 P B C  C．事件 A和事件 B相互独立 D．事件 B和事件 C相互独立 高二数学（试题） 第 3 页 共 5 页 11．我们把由半椭圆 )012 2 2 2  x b y a x （ 与半椭圆 )012 2 2 2  x c x b y （ 合成的曲线称作“果圆”，其中 222 cba  ， 0 cba ．如图，设点 F0，F1，F2 是相应椭圆的焦点，A1，A2，和 B1，B2， 是“果圆”与 x， y轴的交点，叫做“果圆”的顶点，M是线段 A1A2 的中点，P为“果圆”上 任意一点．则 A．若半椭圆方程为 )0(1 34 22  xyx ，则两个半椭圆离心 率的乘积为 6 3 B．若 0 1 2F F F△ 是边长为 1 的等边三角形，则“果圆”部分 方程为 )0(1 3 4 22  xxy C．若 2121 BBAA  ，则 2 4 2 5 b a   D．若 PM 取得最小值，则P为“果圆”的顶点 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．过点（1，1），方向向量为（2，－3）的直线方程是 * ． 13．某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度 AB=24m，拱高 OP=6m，建造时每间隔 3m 需要用一根支柱支撑，则 A1P1= * ． 14．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反 向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点 连线的夹角．已知 F1，F2分别为双曲线 2 2: 1 3 xC y  的左，右焦点，O为坐标原点，过 C右支 上一点   0 0 0, 3A x y x  作双曲线的切线交 x轴于点 M，过点 F1作 1FH AM ，垂足为 H，则 OH * ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 一个袋子里有大小和质地完全相同的 4 个球，其中 3 个红球 1 个黄球，从中不放回地依次随机 摸出 3 个球. （1）写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； （2）分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论？ y O 1A 2B 2A 1B ． ． ．M 1F 0F 2F x ． 高二数学（试题） 第 4 页 共 5 页 16．（15 分） 已知直线 : 1 0l x my   与圆 2 2: ( 1) 4C x y   交于 A、B两点． （1）当 1m 时，求弦长 AB ； （2）当 ABC 面积为 3 时，求 ABC 的外接圆的方程． 17．（15 分） 如图，把 60ABC  的菱形纸片 ABCD沿对角线 AC翻折，E，F，G，H分别为 AB，BC，CD， DA的中点，O是菱形 ABCD对角线的交点． （1）证明：E，F，G，H四点共面； （2）若菱形纸片 ABCD沿对角线 AC翻折成直二面角，求折纸后异面直线 AB，DC所成角的余 弦值； （3）若菱形纸片 ABCD沿对角线 AC翻折到使异面直线 AB，DC的所成角为 2  ，求平面 ABC与 平面 ADC的夹角的余弦值． 18．（17 分） 已知椭圆 E： 2 2 2 2 1 0) x y a b a b    （ 的焦距为 4 2 ，点 (2 2, 2)P 在椭圆 E上． （1）求椭圆 E的标准方程； （2）点 A，B，D为椭圆 E上不同三点，且 B，D关于原点对称，以 AB，AD为邻边作平行四边 形 ABCD，已知平行四边形 ABCD存在内切圆． （ⅰ）判断该内切圆是否为定圆，若不是，说明理由，若是，求出它的方程； （ⅱ）求平行四边形 ABCD的面积的取值范围． 高二数学（试题） 第 5 页 共 5 页 19．（17 分） 如图，边长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M为底面 ABCD上一动点，且满足 1 1AM AC ， 过点 M作 MF垂直于 AB，ME垂直于 AD，直线 ME与直线 DF交于点 P. （1）若以 D为原点，DA为 x轴，DC为 y轴建立平面直角坐标系，求点 P的轨迹方程. （2）以 PC为直径作圆 O，以圆 O为底面，AA1 为高作圆柱 OO1，是否存在一个与平面 ADD1A1 平行的平面 ，该平面与圆柱 OO1相交，所得截面面积为定值，若存在，确定平面 的位 置，并求截面的面积；若不存在，说明理由． 2024-2025学年第一学期期末教学质量监测 高二数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 题目1 2 3 4 5 6 8 答案B c D D C B 8.【答案】A,解析：当直线与双曲线交于一支时， 如图，记切点为A,连接OA,则OAa,|FA=b, 3 过E作FB⊥MN于B,则EB-2a,因为cos∠ENE= 所以3卡受，B牛妥 B 2 1g1是-（空沙=a+沙=a,即a=20 ,A正确。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分。 题目9 10 11 答案ABD BCD BC 1A错误，离心率为因为？轴右创半精贯方程为子 =1(x≥0)，则所对应的离心率 义轴左侧半椭圆方程为+x2=1低≤0)：则所对应的椭圆的离 y5三6，所以两个半椭圆离心率的乘积为}×5.6 V53 23-6 B正确，E(c,0).E(0-VB2-c2B(0.VB-c2) R-c+e=b=lR则=26-C=1,于是c-}a=B+- 4 所求果圈方程为+=1(20)，广+1《≤0. C正确，因为44>BB,,故a+c>2b,得Va2-6>2b-a, 而(2b)'>2b>b+c2=a,即2b>a,于是，d-b>4b-4b+a,b4 a 5 又a心=6+<26，则，5，：.b的取值范围是 /24 a 2 25 D错误，设P是“果圆的半椭圆5+X】 。=1(红≤0)上任意一点.设P心，)，则 4 b <0,.|PM2的最小值只能在x=0或x=-c处取到. 即当PM取得最小值时，P在点B,B,或A处 对于P位于果圆的半椭圆若+术-1≥0上 r-(9+-a9 +b2+(a-o)_a(a-c) 2c2 4 4c2 当x=daQ≤a,即a-ac-2c2s0,(a+oXa-2o)≤0a≤2e时，lPM的最小 2c2 值在r=a(ad时取到，此时P的横坐标是(ad 2c3 2c2 当x=a(a=Q>a,即a>2c时，由于1PMP在x<a时是递减的，PM的最 2c2 小值在x=a时取到，此时P的横坐标是a. 综上所述，若a≤2c,当|PM|取得最小值时，点P的横坐标 a2(a-c,若a>2c 2c3 当PM|取得最小值时，点P的横坐标是a或-c 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 12 13 14 答案 3x+2y-5=0 3 3 14.解过点耳作H⊥AM,垂足为H,由双曲线的光学性质可知，M乎分∠4R,延长 FH与A的延长线交于点E, 则AH垂直平分FE,即A=AE,H为E的中点， 又O是耳E中点， 所以o=r,=0a-AD=0al-aD=a=5: 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 解：(1)设3个红球的标号分别为4,42,43,1个黄球的标号为b, .1分 可以借助树状图列出试验的所有可能结果 4 a /I /I\ aa b a as b /八/八/八 /八/八/八 a3baba马 as bab a as 43 b /1N /1 aa b 442% /八/八/八 八1八/八 a b ab aa a as a as aa, 用数组(；，x,x)表示可能的结果，x是第一次摸到的球的标号，x,是第二次摸到的球的 标号，x,是第三次摸到的球的标号，则该试验的样本空间为 2={《a,4,a)(a,a,b)(a,4,a)h(a,a3,b)(a,b,a)(a,b,a)(a2,a,a)b(a,4,b), (a,a,4)(a,a3,b)(42,b,a)(a2,b,a)a,a,a)(a,a1,b)(41,a2,4)(a,a,b), (a.b,a)(a:b,a)(b,aa),(b,aa)(b.aa)(b,a.a)b.aa)(b,aa) 该试验的样本空间共有24个样本点，(Q)=24, 45分 如没写样本空间只有树状图或其他列举方法扣2分 设事件A=“第一次摸到红球”，由古典概型得PA)= 4 6分 (2)设事件B=“第二次摸到红球”，C=“第三次摸到红球”， B={a,a,4)(a,a,b)(a,a,a)(a,4,b)(a2,4,a)(a,a,b), (a2,43,4)(42,4,b)(4,4,a2)(a,4,b)(a3,a2,4)(a3,42,b) (亿，a,4),6,4,a)(b,a2,4)(b,a,a4)b,4,4)b,a,4)} 第二次摸到红球的可能结果有18种，(B)=18 8分 此处的样本空间可以不写 C={《a,a,a)h(a,4,a)(a,b,a)(a,b,a)(a,4,a),(a,a,4 (a2,ba)(4,b,4)a,a,42)(a,a2,a)(a,b,4)(4,b,a) (6,4,4),b,4,4b,a,a)b(b,4,4)b,a,4)(b,4,a)} 第三次摸到红球的可能结果有18种，(C)=18…… .10分 此处的样本空间可以不写 则P(B)= 183 244 .11分 Prg--号 12分 三次抽到红球的概率是一样的，所以抽签不分先后，抽到的概率是一样的13分 16.(15分)解：设圆心C到直线I的距离为d (1)圆心坐标为C(0,),半径为2，直线/：x+y+1=0 解法1：将直线1的方程和圆C的方程联立 x2+(y-12=4.1) x+y+1=0 】分 (2) x=-2x2=0, 由(2)得y=-x-1,代入(1)整理得x2+2x=0,进而解得 y=1.y=-1 不妨设A(-2,1),B(0,-1) 3分 所以4=-x'+(y,-y=0-（2]+(1-1旷=22 5分 解法2：将直线1的方程和圆C的方程联立 x2+(y-12=4…( x+y+1=0 (2) 1分 由(2)得y=-x-1,代入(1)整理得x2+2x=0, 由韦达定理得，x+x=一2，xx2=0, 2分 AB=Vx-x+(y.-y月 43分 4分 =2+-1=22 所以，弦长AB=2W2. 5分 解法3：此时圆心C到直线1的距离d= 0+1+1-万 V12+12 2分 则AMV2-(V2=5 ….4分 所以，弦长AB=2√2 .5分 解法4：如图，直线1过点M(-l,0）,过点C,M的直线的斜率k。M=1,1分 所以，直线CM与直线1垂直， .2分 所以，点M是弦AB的中点， 3分 又因为直线1与圆C都过点B(0,-1),OM=OB=1，…4分 所以，在直角三角形MOB中，MB=√万， 所以，弦长AB=2MB=2V2 5分 @解法1：S=A水Csm∠ACB。 6分 由思意，)Csin∠ACB=5, 所以，sim∠ACB=5 所以4C8-子 .7分 3 此时圆心C到直线I的距离为d,d=D+mx1+ +1 V12+m Vm2+1 8分 (1)当∠4CB=时，由cos=g得，d=5 62 由m+1=5,得m-m+1=0,方程无解 Vm2+1 9分 (i)当∠ACB=2平时，由co 3 元_d得，d=1 32 由m1=1,得m=0. Vm2+1 此时直线I的方程为x=-1: 10分 x=-1 联立 +-旷=4据 x=-1,x=-1 y=1+5.,=1-5 不妨设A-1,1+V5,B(-1,1-5) 11分 设△4BC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 将A-1,1+V5),B(-1,1-V5),C(0,1)三点的坐标代入所设圆的方程 D-1+5)E-F=5+25, 得：D-(1-V5)E-F=5-25, 12分 E+F=-1 D=4, 解得 E=-2,所以，△4BC外接圆的方程为x2+y2+4x-2y+1=0.15分 F=1 解法2：Se=4Cm乙ACB. 6分 由题意，CACsin.∠ACB=5, 所以，sim∠ACB=5 所以∠4C8-子政子 (只写一个角不扣分).7分 3 此时圆心C到直线I的距离为d,d-0+mx1+刊 m+1 8分 +m Vm2+1 (i)当∠ACB=5时，由cos=g得，d=5. 62 0 由m+1=5,得m-m+1=0,方程无解 .9分 Vm2+1 0m当∠40B=20时，由co8得.d=1. 3 32 6 由m+ =1,得m=0.此时直线的方程为x=-1. .10分 Vm2+1 x=-1 联立 x2+(y-1)2=4 x=-1,x=-1 解得 =1+5=1-5不纺设41+5)-11-5 11分 设△MBC外接圆为G:(x-a)+(y-b)=r2 因为，当+业=1所以，弦AB中点M的纵坐标为1，由于圆心G(a,b)在直 2 线CM上，所以b=1,即G(a,1). 12分 lGA=lGC到得V(a+1+(5)=匠，得a=-2 …13分 所以圆心为G(-2,1)所以，r=GC=V-2=2, …14分 所以，△4BC外接圆方程为(x+2+(y-1=4.15分 17.(15分) 解：(1)因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF/1AC,…1分 同理GH//AC,所以EF/GH,2分 所以E、F、G、H四点共面。3分 （(2)思路一： 设AC中点为O,连接OD,OB 因为DA=DC,所以OD⊥AC.同理OB⊥AC. 因为平面ABC⊥平面ADC,平面ABC∩平面ADC=AC,DOC平面ADC, 所以DO⊥平面ABC. 4分 以O为原点，OA,OB,OD所在的直线分别为x轴，y轴，三轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，设OA=a,则OB=OD=√5a,则4A(a,0,0) B(0,5a,0),C(-a,0,0),D0,0,V5a.5分 则AB=(（←a√3a,0),DC=(-a,0,-3a.6分 cos<AB,DC>= AB.DC 1 AD可 4 7分 > 设异面直线AB,CD所成角为日， cos0-o= 所以异面直线AB,CD所成角的余弦值为 4 8分 思路二： 设AC中点为O,连接OD,OB,OH,OF 因为OH∥CD,OF∥AB, 所以∠HOF与异面直线AB,CD所成角相等或互补 4分 因为DA=DC,所以OD⊥AC.同理OB⊥AC 因为平面ABC⊥平面ADC,平面ABC∩平面ADC=AC,DOC平面ADC, 所以DO⊥平面ABC .5分 过H作M⊥AC交AC于M,过F作FN⊥AC交AC于N. 设OA=a,则OH=OF=a,HM=PN=OD=5 在直角三角形NF中，AN=a,PN= a,则M= -a 又因为HMI∥OD,所以M⊥平面ABC即M⊥FM, 所以HF=Va:+MF=0。 20. 6分 在三角形H0F中，cos∠H0F=H0+OF2-HF1 2×HO×OF 4 7分 因为异面直线AB,CD所成角8∈[0，， 1 所以异面直线AB,CD所成角的余弦值为 4 8分 (3)思路一： 设AC中点为O,连接OD,OB 因为DA=DC,所以OD⊥AC.同理OB⊥AC 所以∠DOB与平面ABC与平面ADC的夹角相等或互补. 9分 因为AB⊥DC,所以AB·DC=AB(AC-AD=0, 10分 则ABAC=ABAD 11分 则网Co子o∠DAB,则nAB=号 12分 则三角形DAB是等边三角形，则AB=AC=BC=DC=AD=BD=2a. 13分 在三角形D0B中，co8∠DOB=D0+OB-DB_3+3女-4：1 14分 2×DO×OB 6a3 因为平面ABC与平面ADC的夹角pe0孕： 所以平面ABC与平面ADC的夹角的余弦值为 3 】5分 思路二8 设AC中点为O,连接OD,OB 因为DA=DC,所以OD⊥AC.同理OB⊥AC 以O为原点，OA,OB所在的直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设OA=a,则0B=OD=√5a,则Aa,0,0),B(0,V5a,0),C(-a,0,0),9分 设Dxy),因为DA=DC,所以Vx-a2+y2+22=Vc+a+y2+2,则x=0. 因为4B⊥DC.所以BC而=-ax+a)+V5a=0,则y=5 因为0D=F+少+F=a,所以：=26。 3 11分 则AD=(-a, 526 3a,3 a),AC=(-2a,0,0) 设平面ADC的法向量1=(5，为，)， AC·%,=-2=0 AD1=-1+ 5.,2 39%+ 3匹，=0 则平面ADC的其中一个法向量为=(0，-2√2,1) 12分 平面ABC的其中一个法向量为2=(0,0,1) 13分 9 则c08<北4，> %·八21 3 14分 所以平面ABC与平面ADC的夹角的余弦值为 15分 18.(17分) 解析：(1)法一：c=2V2, 1分 22 22 …2分 a =lc2=a2-b =1, 168 4分 法=：E(2W2,0),PE=2,PE=2a-2,2c=4W2 4.2分 在RTAPEF,中lPF+(2c)=|Prf,a=4,b=2W5,+ -=14分 168 (2)因为存在内切圆，圆心O到四边距离相等，所以平行四边形ABCD为 菱形且四个顶点在椭圆E上…… …5分 i设斜率存在时设直线AB:y=x+b,与椭圆联立 y=kx+b →(2k2+1)x2+4bx+2b2-16=0 x2+2y2=16 6分 -4b 2b2-16 2b 2-16k2 x+x= 2k+5=2k2+y+4= k2+15= 2k2+1 7分 X62十h=03b2=16+16k2,.8分 b 半径为圆心到AB的距离r=d= 9分 +积 r-d- b4 10分 斜率不存在时r=d= 11分 10