第十章 二元一次方程组（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024）

第十章 二元一次方程组（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列选项是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组值中，是方程组的解的是（） A． B． C． D． 3．已知是方程的一个解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 5．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 6．若关于、的方程组的解为，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？译文：今有若干人出行，如果三人同乘一辆车，两车空；二人同乘一辆车，有九人步行．问人与车各是多少？设人数为x人，车数为y辆，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 9．用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则B点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知 ，用含x的代数式表示y，则 ． 12．二元一次方程有 个非负整数解． 13．方程组的解满足．则 ． 14．若关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解，则 ， ． 15．若实数a，b满足，则 ． 16．对定义一种运算，规定（其中为非零常数），如，若，则的值为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．解方程组： (1) (2) 18．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 19．小华在解方程组时，具体解法如下： 解：①×2得，③，…………………（第一步） ③－②得，，……………………（第二步） 所以，， 将代入①得，．………………（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做 （填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是 ； (2)以上解答过程从第 步开始出现错误，具体错误是 ； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解 ． 20．解答下列各题 (1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值． (2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 22．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 23．“亲子猫”研学公司组织某中学师生共人到佛顶山去参加研学活动，请阅读下列对话，解决实际问题： 老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到佛顶山研学，一天的租金共计元．” 小英说：“我们学校七年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到佛顶山研学活动，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用应为多少元？ 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ． (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为， 求关于的方程组的解． 25． (1)填表，使上下每对，的值是方程的解． (2)以上表中的值为横坐标，的值为纵坐标，在图的平面直角坐标系中标出这些点观察并思考： ①这些点是否在一条直线上? ②过这些点中的任意两点作直线，在该直线上任取一点，这个点的坐标是方程的解吗? (3)(2)中这样的点我们可以找到无数个，这些点的全体叫做方程的图象；请在图的同一平面直角坐标系中画出方程的图象，并根据两个方程的图象直接写出方程组的解． (4)图2给出了方程组的图象，根据图象提供的信息求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列选项是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A. 不是方程，故该选项不正确，不符合题意；     B. 是二元一次方程，故该选项正确，符合题意；     C. 不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，未知数的项的最高次数是2，故不是二元一次方程，不符合题意． 故选：B． 2．下列各组值中，是方程组的解的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，关键在于观察未知数的系数，再利用加减消元法求解．观察可知的系数互为相反数，故可以利用加减消元法中令方程两个方程组相加即得，故得，再将代入得． 【详解】解： ，得， 解得， 将代入①，得， 所以二元一次方程组的解是 故选：A． 3．已知是方程的一个解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．根据题意将代入求解即可． 【详解】解：是方程的一个解， ， 解得：， 故选：A． 4．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查加减消元法．根据加减消元法，逐一进行判断即可． 【详解】解： 要消去，可以将，要消去，可以将 故选：C． 5．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 由得，，即 解得：． 故选：A． 6．若关于、的方程组的解为，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可．正确求出的值是解题关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？译文：今有若干人出行，如果三人同乘一辆车，两车空；二人同乘一辆车，有九人步行．问人与车各是多少？设人数为x人，车数为y辆，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程组是关键．设人数为x人，车数为y辆，如果三人同乘一辆车，两车空；二人同乘一辆车，有九人步行．据此即可列出二元一次方程组． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 8．如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键． 将代入中求出，再把代入求出，再将代入方程即可求出m． 【详解】解：把代入，得， ∴， 则， 把代入，得， ∴， ∴二元一次方程为：， 把代入，得， ∴， ∴． 故选：A． 9．用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则B点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用．结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看和从水平方向看，列出方程组，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点B，两个长方形的长，一个长方形的长一个长方形的宽，从而求出点B的坐标． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 则， 解得， 则，； 点在第二象限， ， 故选：D． 10．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知 ，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】根据等式的性质计算即可． 本题考查了用一个未知数表示另一个未知数，熟练掌握等式的性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由方程可得到 ． 故答案为：． 12．二元一次方程有 个非负整数解． 【答案】4 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，将化为，然后根据方程的解为非负整数求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵方程的解为非负整数， ∴， ∴有4组非负整数解． 故答案为：4． 13．方程组的解满足．则 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，一元一次方程，解题的关键是先求出方程组的解，然后代入，再解关于的方程即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程组的解满足， ∴， ∴． 故答案为：． 14．若关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解，则 ， ． 【答案】 1 【知识点】加减消元法、方程组相同解问题 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，利用方程组的解的定义，，满足个方程，则先解和组成的方程组，再把、代入另外两个方程得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值．能得出关于、的方程组是解此题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解， ∴关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解， 解方程组，得， 把代入，得， 解得：， 故答案为：；． 15．若实数a，b满足，则 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法 【分析】本题考查了算术平方根的性质，非负数的性质，根据题意列出方程组，求得的值是解题的关键．根据平方的非负性以及算术平方根的非负性确定的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴ 解得 ∴． 故答案为：． 16．对定义一种运算，规定（其中为非零常数），如，若，则的值为 ． 【答案】8 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法 【分析】本题以新运算为载体，考查了二元一次方程组的解法，正确得出方程组是解题的关键．根据新运算法则可得关于的方程组，解方程组可得的值，再根据新运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 得：， ∴， 把代入①得：， ∴， ∴， ∴的值为8． 故答案为：8． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．解方程组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）直接利用代入法求解即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：； （2）解：原方程组整理得：， 得：， 解得：， 把得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 18．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 【答案】合伙买羊的有21人，羊价为150钱． 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设合伙买羊的有人，羊价为钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设合伙买羊的有人，羊价为钱， 依题意，得：， 解得：． 答：合伙买羊的有21人，羊价为150钱． 19．小华在解方程组时，具体解法如下： 解：①×2得，③，…………………（第一步） ③－②得，，……………………（第二步） 所以，， 将代入①得，．………………（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做 （填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是 ； (2)以上解答过程从第 步开始出现错误，具体错误是 ； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解 ． 【答案】(1)加减消元法，等式的性质 (2)二，合并常数项时计算错误 (3) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）根据解题步骤可知，为加减消元法，变形依据为等式的性质； （2）第二步出现错误，合并常数项时计算错误； （3）利用加减消元法进行求解即可。 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：加减消元法，等式的性质； （2）第二步出现错误，原因是，合并常数项计算出错； （3）解：得，③， ③－②得，， 所以，， 将代入①得，． 所以这个方程组的解是． 20．解答下列各题 (1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值． (2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组； （1）依题意，，由①可得，代入②得，，即可求解． （2）依题意，③，代入②得，，，将代入①得，，即可求解． 【详解】（1）解： 依题意， 由①可得， 解得： ∴，代入②得， 解得： （2）解： 依题意，③ 将③代入②得，， 解得： ∴ 将代入①得， 解得： 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】二元一次方程的定义、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 22．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或3或或5 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、二元一次方程的解 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方程组的解是本题的关键． （1）用含的代数式表示，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：． （2）解：， ， 当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ， ， 恰为整数，也为整数， 是3的约数， 或，或3，或． 故或3或，或5. 23．“亲子猫”研学公司组织某中学师生共人到佛顶山去参加研学活动，请阅读下列对话，解决实际问题： 老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到佛顶山研学，一天的租金共计元．” 小英说：“我们学校七年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到佛顶山研学活动，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用应为多少元？ 【答案】(1)座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元 (2)租车费用为元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组，进行解答，即可． （1）设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元，根据题意，列出方程组，即可； （2）设租辆座客车，辆座客车，根据题意得：，分类讨论，，的值，根据租金为，求出最省钱的方案，即可． 【详解】（1）解：设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元， ∴由题意得，， 解得：． 答：座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元． （2）解：设租辆座客车，辆座客车， ∴ ∴ ∵，都是非负整数， ∴或或或 ∵租金为， ∴当时，（元）； 当时，（元）； 当时，（元）； 当时，（元）； ∵， ∴使用最省钱的租车方式，费用为元． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ． (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为， 求关于的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，根据题目给出的示例，用换元法解二元一次方程组是解答本题的关键． （1）设，即可得到，解方程组即可求解； （2）设，则原方程组化为，解方程组即可求解； （3）设，则原方程组化为，，根据已知，可得，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 则原方程组化为， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：设， 则原方程组化为， 解得， ∴， 解得； （3）解：设， 则原方程组化为， 整理得， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， ∴． 25． (1)填表，使上下每对，的值是方程的解． (2)以上表中的值为横坐标，的值为纵坐标，在图的平面直角坐标系中标出这些点观察并思考： ①这些点是否在一条直线上? ②过这些点中的任意两点作直线，在该直线上任取一点，这个点的坐标是方程的解吗? (3)(2)中这样的点我们可以找到无数个，这些点的全体叫做方程的图象；请在图的同一平面直角坐标系中画出方程的图象，并根据两个方程的图象直接写出方程组的解． (4)图2给出了方程组的图象，根据图象提供的信息求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①均在同一条直线上；是 (3) (4) 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解及其直线方程的图象； （1）先解出方程的四个解，再在平面直角坐标系中利用描点法作图，再根据图形解答即可； （2）根据（1）所作的图形即可解答； （3）用描点法分别画出两个二元一次方程的图象，根据图象的交点就是方程组的解，即可解答； （4）根据方程组的解为，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程的解， 可以为：， 填表如下， （2）①如图所示，由图可知，这些点都在同一条直线上； ②在这条直线上任取一点，这个点的坐标是方程的解； （3）解：的解， 可以为： 如图所示， 根据图象的交点就是方程组的解，则方程组的解为 （4）解：根据函数图象可得方程组的解为 ∴ 解得： ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$