第十章 二元一次方程组（单元复习 3个知识点+9类题型突破）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024）

第十章 二元一次方程组 01 思维导图 02 知识速记 【知识点01】二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【知识点02】 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【知识点03】二元一次方程（组）应用的 1． 解题步骤 1． 审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2． 设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 03 题型归纳 题型一　二元一次方程（组）的概念 例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列方程中是二元一次方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A、只有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B、，有两个未知数，且未知数次数为，是二元一次方程，符合题意； C、，分母含未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、，只有一个未知数且未知数次数为，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：B． 巩固训练 1.（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下列各式中属于二元一次方程的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．根据此概念进行判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程的概念知，①③两个方程是二元一次方程；②是一元一次方程；④中项的次数是二次，不是一次，不是二元一次方程；⑤中左边不是整式，故不是二元一次方程； 综上所述，是二元一次方程的有两个； 故选：A． 2.（23-24七年级下·云南德宏·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】此题考查的是二元一次方程组的判断，掌握二元一次方程组的定义是解决此题的关键． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，故A不符合题意； B． 是二元二次方程组，故B不符合题意； C．是二元一次方程组，故C符合题意； D．是分式方程组，故D不符合题意． 故选：C． 3.（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：②中含有三个未知数，④未知数的最高次数是2，都不符合二元一次方程组定义， ①③符合二元一次方程组的定义，属于二元一次方程组，共两个； 故选B． 题型二　二元一次方程（组）的解 例题：（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【详解】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 巩固训练 1.（23-24七年级下·全国·期末）写出二元一次方程的一个正整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，采用“给一个，求一个”的方法进行枚举，利用枚举法进行求正整数解是解题的关键．由，可得出，再进行枚举即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴是方程的一组正整数解； 故答案为：（答案不唯一）． 2.（23-24七年级下·全国·期末）已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 【答案】1 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故答案为：1． 3.（23-24七年级上·云南红河·期末）若是关于，的二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】二元一次方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查二元一次方程的解，解一元一次方程，正确掌握代入法是解题的关键．把代入，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得： 解得： 故答案为：5． 4.（23-24七年级下·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式的求值．根据二元一次方程的解的定义得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三　写出二元一次方程的正整数解 例题：（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）二元一次方程的正整数解为 ． 【答案】， 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，先变形为，然后求出二元一次方程的正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是正整数， ∴，， 故答案为：，． 巩固训练 1.（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）二元一次方程共有 组正整数解． 【答案】2 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，先求出，再根据x、y都是正整数，确定x的值，进而确定y的值即可，． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）， ∴二元一次方程共有2组正整数解， 故答案为：2． 2.（23-24七年级下·全国·期末）写出二元一次方程的一个正整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，采用“给一个，求一个”的方法进行枚举，利用枚举法进行求正整数解是解题的关键．由，可得出，再进行枚举即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴是方程的一组正整数解； 故答案为：（答案不唯一）． 3.（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）二元一次方程的所有正整数解为 ． 【答案】或 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 先用x表示y，再根据x与y为正整数可得x为偶数，从而得到x的取值，即可求得． 【详解】解：根据题意得，， ∵ x和y为正整数， ∴ x为2的倍数， ∴或4， ∴或． 故答案为：或． 题型四　解二元一次方程组 例题：（24-25八年级上·全国·期末）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法． （1）利用①+②，得，解得，把代入①，得，解得，即可得到答案； （2）方程组可化为，利用再利用加减法解方程组即可． 【详解】（1）解： ①+②，得， 解得， 把代入①，得，解得， 所以方程组的解是； （2） 方程组可化为， ②×2，得③， ①+③，得， 解得， 把代入②，得 解得， 所以原方程组的解是． 巩固训练 1.（23-24七年级下·全国·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、代入消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键： （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减代入消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得，解得 将代入，得，解得 故原方程组的解为 （2）解： 可得， 将整体代入， 可得， 解得， 将代入可得， 解得， 所以原方程组的解为 2.（23-24七年级下·全国·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先去分母，将原方程组变为，然后用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 3.（23-24七年级下·全国·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1） 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2） 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 4.（23-24七年级下·全国·期末）（1）用代入法解方程组； （2）用加减法解方程组． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1） 由①，可得：， 把③代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解是． （2） 由，可得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解是． 5.（23-24七年级下·全国·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，掌握消元法是解题关键． （1）①+②解得；把代入①即可求解； （2）原方程组可化为，①+②解得，把代入①即可求解； 【详解】（1）解： ①+②，得，解得 把代入①，得，解得， 所以原方程组的解为； （2）解：原方程组可化为 ①+②得，解得 把代入①得 则原方程组的解为 6.（23-24七年级下·山东济宁·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1） 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2） 整理得：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 题型五　构造二元一次方程组求解 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、构造二元一次方程组求解、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 巩固训练 1.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果与是同类项，那么 ． 【答案】0 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查同类项及二元一次方程组的应用，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”，求出a，b的值即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ， 解得， ， 故答案为：0． 2.（22-23八年级上·河南鹤壁·开学考试）在方程中，当时，；当时，．当时，求y的值是 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了二元一次方程，以及解二元一次方程组，先构造二元一次方程组解得，然后把代入即可求出y的值． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， ∴方程为， ∴当，， 故答案为：． 3.（23-24七年级下·湖南·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查解二元一次方程组和二元一次方程组的解，先把化成，再根据方程组的解是，列出关于、的方程组，求解即可．解题关键是掌握二元一次方程组的解的定义：使各个方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程组的解是， ∴， 解得：， ∴方程组的解是． 故答案为：． 题型六　二元一次方程组-同解问题 例题：（23-24七年级下·新疆喀什·期末）已知方程组 和 的解相同，则 ． 【答案】3 【知识点】方程组相同解问题 【分析】根据题意，两个方程组解相同，则可将和联立，解出x和y的值，再将x和y的值代入求出m和n的值，随后即可求出的值． 【详解】解：将和联立得：，解得， ∴， 故答案为：3． 巩固训练 1.（23-24七年级下·重庆万州·期末）若关于x，y的方程组和的解相同，则 ． 【答案】16 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解一定能使方程左右相等是解题的关键； 首先把和组成方程组求得x、y的值，再把x、y的值代入， 可得关于a、b的方程组，求值然后再次代入进而完成解答． 【详解】解：解方程组， 解得． 将代入方程得， 解得：， ． 故答案为：16． 2.（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先分别解两个方程组得到，，再根据两个方程组的解相同得到，解方程组求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：解方程组得， 解方程组得， ∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3.（23-24七年级下·河南许昌·期末）若关于的二元一次方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【知识点】方程组相同解问题、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，联立两个已知的方程求出x和y的值是解题的关键． 先联立，求出x和y的值，代入，求出a和b的值,最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组和的解相同， ∴联立，解得：， 将代入得，解得：， ∴． 故答案为． 4.（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查的是同解方程组，二元一次方程组的解法，利用同解的含义重组方程组是解题的关键．把方程组中的两个已知方程组合可得，解方程组可得：，再代入另外两个方程，求解 从而可得答案． 【详解】解：根据题意得： ①②： 把代入①： 把代入得 解得： ； 故答案为： 题型七　二元一次方程组-错解复原问题 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题．解得：得：③……（1） 得：……（2） 将代入②得：……（3） 所以该方程的解是……（4） (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在______步（填序号），第二次出错在______步（填序号）； (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程． 【答案】(1)（1），（2） (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）第（1）步未乘以2，第（2）步，等式右边计算错误； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：第（1）步未乘以2，第（2）步，等式右边计算错误； 故答案为：（1），（2）； （2）解：得：③ 得：，解得：； 将代入②得：； 所以该方程组的解是． 巩固训练 1.（23-24七年级下·广西南宁·期末）下面是数学课上小颖同学上黑板解课本第96页练习1（2）方程组的过程，老师为了方便与同学们一起讲评在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①×3得③  第一步 由②×5得④  第二步 ③-④得  第三步   第四步 把代入①得，  第五步 ∴原方程组的解为  第六步 (1)小颖用______消元法解方程组；（填“代入”或“加减”）； (2)小颖的解题从第______步出现了错误； (3)请直接写出该方程组的解． 【答案】(1)加减 (2)二 (3) 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组． （1）根据解方程组的过程即可得出答案． （2）根据解方程组的过程即可得出答案． （3）按照加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由③④得可得出小颖用加减消元法解方程组， 故答案为：加减． （2）解：∵第二步没有做到每一项都乘以5， ∴小颖的解题从第二步出现了错误， 故答案为：二． （3）解： 解：由①×3得③ 由②得④ ③④得 解得： 把代入①得，， 解得：． ∴原方程组的解为 2.（23-24八年级上·山西忻州·期末）下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组: 解：由①，得③…..第一步 ③-②，得，……第二步 将代入①，解得，…...第三步 所以，原方程组的解为，……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是__________． (2)第_______步开始出现错误，具体错误是___________． (3)直接写出该方程组的正确解：____________． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)一，等式右边没有乘3 (3) 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法与加减消元法是关键． （1）根据加减消元法，解二元一次方程组的步骤进行解答； （2）根据加减消元法判断即可； （3）根据加减消元法，解二元一次方程组求解． 【详解】（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：加减消元；等式的基本性质 （2）第一步开始出现错误，具体错误是等式右边没有乘3， 故答案为：一，等式右边没有乘以3； （3）解方程组: 解：由①，得③ ③②，得， 将代入①， 解得， 所以，原方程组的解为， 故答案为：． 3.（22-23七年级下·浙江台州·期末）小明解二元一次方程组的过程如下： 解： 第1步：①两边同乘以2，得，③（______） 第2步：③－②，得，（______） 第3步：． 第4步：把代入①，得，． 第5步：所以原方程组的解是 (1)请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据． (2)小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解． 【答案】(1)等式性质2，等式性质1 (2)不正确，第②步错误，见解析 【知识点】加减消元法 【分析】（1）根据等式性质即可得出答案； （2）根据加减消元法解方程组的步骤进行判断即可． 【详解】（1）解：①两边同乘以2，得，③，该步骤利用的是等式性质2； ，得，该步骤利用的是等式性质1； 故答案为：等式性质2；等式性质1； （2）错误，他解题过程中最早在第2步出现错误，正确步骤如下： 两边同乘以2，得：③， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 【点睛】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 题型八　二元一次方程组应用古代问题 例题：（23-24八年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．    【答案】小和尚有75人，大和尚有25人 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小和尚有x人，大和尚有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：小和尚有75人，大和尚有25人． 巩固训练 1.（23-24七年级上·陕西西安·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】共有48人，13辆车 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设共有x人，y辆车，根据“每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”即可得到关于x、y二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设共有x人，y辆车，根据题意得： 解得： 共有48人，13辆车． 2.（22-23七年级上·云南昆明·期末）中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算．其中有这样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 【答案】大和尚人，小和尚人． 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题关键．设大和尚人，小和尚人，根据“有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完”列方程组求解即可． 【详解】解：设大和尚人，小和尚人， 由题意得：，解得：， 答：大和尚人，小和尚人． 3.（23-24八年级上·山东青岛·期末）解方程 (1) (2)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程，以此方式，表示的方程是______；请将这两个方程联立成方程组，并求出这个方程组的解． 【答案】(1) (2)， 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、代入消元法 【分析】本题考查了列二元一次方程组，解方程组，解题的关键是： （1）根据代入消元法求解即可； （2）根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组，根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：由①，可得：③， ③代入②，可得：， 解得， 把代入③，可得：， 原方程组的解是． ； （2） 解：，表示的方程是 由，可得， 解得 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的解是． 4.（23-24七年级下·吉林松原·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 【答案】(1)每头牛3两银子，每只羊2两银子； (2)方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊． 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用11两银子买牛和羊，列出二元一次方程，然后求出满足条件的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得： ， 解得：， 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子； （2）解：设购买m头牛，n只羊， 依题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ∴商人有2种购买方法：方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．． 题型九　二元一次方程组应用几何问题 例题：（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，求阴影部分图形的总面积． 【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，可得． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据题意，得 解得 所以，小长方形的长为，宽为． 阴影部分图形的总面积． 巩固训练 1.（23-24七年级下·甘肃陇南·期末）某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【答案】(1)小长方形的长和宽分别为45米，15米 (2) 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、长方形的面积等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键． （1）设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值即可； （2）先求出大长方形的长与宽，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x米，宽为y米， 由题意得：， 解得． 答：小长方形的长和宽分别为45米，15米． （2）解：大长方形的长为米，宽为60米， 所以大长方形的面积． 答：该实践基地的面积为． 2.（23-24七年级下·吉林白山·期末）如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】长为，宽为 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设小长方形的长为，宽为，由图可得，解二元一次方程组即可得到答案，读懂题意，由图中长和宽建立等式列出方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为，宽为． 3.（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【答案】小长方形的长是，宽是 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得： 整理得： 解得：， 答：小长方形的长是，宽是． 4.（23-24七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)3，2 (2)横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个 (3)是5的整数倍，理由见解析 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据长方体的六个面的特点求解即可； （2）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合均为正整数．即可得出是5的整数倍． 【详解】（1）解：做一个横式无盖纸盒需要3张长方形纸板和2张正方形纸板， 故答案为：3，2； （2）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个； （3）解：是5的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是5的整数倍． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组 01 思维导图 02 知识速记 【知识点01】二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【知识点02】 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【知识点03】二元一次方程（组）应用的 1． 解题步骤 1． 审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2． 设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 03 题型归纳 题型一　二元一次方程（组）的概念 例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列方程中是二元一次方程的为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1.（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下列各式中属于二元一次方程的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.（23-24七年级下·云南德宏·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3.（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二　二元一次方程（组）的解 例题：（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 巩固训练 1.（23-24七年级下·全国·期末）写出二元一次方程的一个正整数解 ． 2.（23-24七年级下·全国·期末）已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 3.（23-24七年级上·云南红河·期末）若是关于，的二元一次方程的解，则的值为 ． 4.（23-24七年级下·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 题型三　写出二元一次方程的正整数解 例题：（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）二元一次方程的正整数解为 ． 巩固训练 1.（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）二元一次方程共有 组正整数解． 2.（23-24七年级下·全国·期末）写出二元一次方程的一个正整数解 ． 3.（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）二元一次方程的所有正整数解为 ． 题型四　解二元一次方程组 例题：（24-25八年级上·全国·期末）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 巩固训练 1.（23-24七年级下·全国·期末）解方程组： (1)； (2)． 2.（23-24七年级下·全国·期末）解方程组： (1)； (2)． 3.（23-24七年级下·全国·期末）解下列方程组： (1) (2) 4.（23-24七年级下·全国·期末）（1）用代入法解方程组； （2）用加减法解方程组． 5.（23-24七年级下·全国·期末）解下列方程组： (1) (2) 6.（23-24七年级下·山东济宁·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 题型五　构造二元一次方程组求解 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果与是同类项，那么 ． 2.（22-23八年级上·河南鹤壁·开学考试）在方程中，当时，；当时，．当时，求y的值是 ． 3.（23-24七年级下·湖南·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 题型六　二元一次方程组-同解问题 例题：（23-24七年级下·新疆喀什·期末）已知方程组 和 的解相同，则 ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·重庆万州·期末）若关于x，y的方程组和的解相同，则 ． 2.（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则 ． 3.（23-24七年级下·河南许昌·期末）若关于的二元一次方程组和的解相同，则 ． 4.（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 题型七　二元一次方程组-错解复原问题 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题．解得：得：③……（1） 得：……（2） 将代入②得：……（3） 所以该方程的解是……（4） (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在______步（填序号），第二次出错在______步（填序号）； (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程． 巩固训练 1.（23-24七年级下·广西南宁·期末）下面是数学课上小颖同学上黑板解课本第96页练习1（2）方程组的过程，老师为了方便与同学们一起讲评在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①×3得③  第一步 由②×5得④  第二步 ③-④得  第三步   第四步 把代入①得，  第五步 ∴原方程组的解为  第六步 (1)小颖用______消元法解方程组；（填“代入”或“加减”）； (2)小颖的解题从第______步出现了错误； (3)请直接写出该方程组的解． 2.（23-24八年级上·山西忻州·期末）下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组: 解：由①，得③…..第一步 ③-②，得，……第二步 将代入①，解得，…...第三步 所以，原方程组的解为，……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是__________． (2)第_______步开始出现错误，具体错误是___________． (3)直接写出该方程组的正确解：____________． 3.（22-23七年级下·浙江台州·期末）小明解二元一次方程组的过程如下： 解： 第1步：①两边同乘以2，得，③（______） 第2步：③－②，得，（______） 第3步：． 第4步：把代入①，得，． 第5步：所以原方程组的解是 (1)请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据． (2)小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解． 题型八　二元一次方程组应用古代问题 例题：（23-24八年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．    巩固训练 1.（23-24七年级上·陕西西安·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 2.（22-23七年级上·云南昆明·期末）中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算．其中有这样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 3.（23-24八年级上·山东青岛·期末）解方程 (1) (2)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程，以此方式，表示的方程是______；请将这两个方程联立成方程组，并求出这个方程组的解． 4.（23-24七年级下·吉林松原·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 题型九　二元一次方程组应用几何问题 例题：（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，求阴影部分图形的总面积． 巩固训练 1.（23-24七年级下·甘肃陇南·期末）某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 2.（23-24七年级下·吉林白山·期末）如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求小长方形的长和宽． 3.（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 4.（23-24七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$