第八章 实数（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024）

第八章 实数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．化简：（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义即可解答． 【详解】解：． 故选：A． 2．如图，数轴上点P表示的数可能是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴 【分析】此题考查了估算无理数的大小，以及实数与数轴，弄清估算的方法是解本题的关键．通过估算确定出各数的范围，即可作出判断． 【详解】解：A．， ，不满足题意； B． ，即，满足题意； C．不满足题意； D．不满足题意， 故选：B． 3．下列运算中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查算术平方根及立方根，解答的关键是对算术平方根及立方根的性质的掌握．利用算术平方根及立方根的性质对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 4．在实数，，，，（两个“1”之间依次多1个“2”）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】无理数、求一个数的立方根 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如（每两个8之间依次多1个0）等形式． 无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断． 【详解】解：， 、、（两个“1”之间依次多1个“2”）是无理数，共3个， 故选：C． 5．若x，y为实数，且，则的值为（    ） A．1 B．9 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】此题考查了算术平方根与绝对值的非负数性．运用非负数的性质先求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ， 故选：A． 6．若n为自然数，对下面判断正确的是（    ） A．一定无意义 B．一定有意义 C．若n为奇数，则必有意义 D．一定成立 【答案】C 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题主要考查了立方根，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义．根据立方根、平方根定义进行判断即可． 【详解】解：当为偶数，时，有意义， 当为偶数时，必有意义，不一定成立， 故C正确，ABD错误． 故选：C． 7．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为7，且， ， 点表示的数是1，且点在点左侧， 点表示的数为：． 故选：C． 8．用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．则的结果是（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义的运算法则是解题的关键． 根据定义的新运算发展进行计算即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 9．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数、程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查数值转换器，先取的算术平方根，即求的算术平方根；再判断的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理 【详解】解：∵，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，的算术平方根为，是无理数， ∴输出的的值是． 故选：D． 10．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数2024变为1需要进行操作的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据表 示不大于x的最大整数，结合定义的新运算和无理数的估算进行求解． 【详解】解：． ∴对只需进行4次操作后变为1． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小： ． 【答案】/小于 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键；根据估算和的大小，推出结果． 【详解】解：因为 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 12．64的平方根为 ；的立方根为 ． 【答案】 2 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的立方根等知识点，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义进行求解即可，注意先化简，再求解． 【详解】解：64的平方根为， 的立方根为， 故答案为：，． 13．已知，，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题关键．将变形为，再进行计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14．若，为两个有理数，且，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，代数式求值，关键是熟练掌握算术平方根的性质．根据题意得到，，求出，代入求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 15．已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数与数轴、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴可知，则可知，，即可根据平方根，立方根的性质进行化简． 【详解】根据数轴可知，则可知，， ； 故答案为：． 16．对于不相等的两个实数 、，定义一种运算 @ ： ，如   则 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握题中的新定义的运算法则是解本题的关键．根据题中的新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故 答 案 为 ：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．（1）计算：； （2）求的值：． 【答案】（1）；（2）或 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根、化简绝对值、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，绝对值，利用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简算术平方根，立方根，绝对值，再运算加减法，即可作答． （2）先整理原式为，再开方，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， ∴， ∴或． 18．把下列各数填在相应的横线上：， ， ，0， ，，， 整数： ； 负分数： ； 无理数： ． 【答案】，0，；，；， 【知识点】求一个数的立方根、实数的分类、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了实数的分类，先求出算术平方根，立方根，然后按照各自的定义分类即可． 无限循环小数或有限小数是有理数；无限不循环小数是无理数． 【详解】解：，， 整数：，0，； 负分数：，； 无理数：，； 故答案为：，0，；，；， 19．已知的立方根是2，的平方根是． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)6 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． （1）利用平方根、立方根定义确定出与的值即可； （2）把与的值代入计算即可求出所求． 【详解】（1）解：的立方根是2，的平方根是， ， 解得：，； （2）当，时，， 则36的算术平方根是6． 20．如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5，25（5的偶次方都对） 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 所以当，1时，始终输不出y值． （3）解：的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，， (1)求b的值； (2)已知的小数部分是m，的算术平方根是2，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、无理数整数部分的有关计算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值 【分析】（1）根据坐标轴可知，根据绝对值的性质进行求解即可； （2）先分别求出，的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ， ， ， ， ； （2）， 的小数部分是， 的算术平方根是2， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了实数与数轴，化简绝对值，无理数的整数部分和小数部分，掌握以上基础知识是解本题的关键． 22．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． （1）先用夹逼法估算，即可解答； （2）先用夹逼法估算和，得出和的值，即可解答； （3）先得出的取值范围，再得出的取值范围，进而得出和的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵的小数部分为的整数部分为， ， ． （3）解：∵， ∴，即， ， ∵是整数部分，是小数部分， ， ． 23．探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)6； (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) 【知识点】化简绝对值、与算术平方根有关的规律探索题、根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算 【分析】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．． （1）先计算平方，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6；； （2）解：不一定等于a， 规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 （3）解：由a、b、c在数轴上的位置可知，，， ，， ． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为________和________； (2)若数对的一个开方对称数对是，则________； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、新定义下的实数运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】（）根据新定义运算解答即可求解； （）根据新定义即可求解； （）根据新定义，分两种情况解答即可求解； 本题考查了新定义运算，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴数对的开方对称数对为和， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：若，， 则，， ∴； 若，， 则，， ∴； 的值为或． 25．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干例举的等式，即可答案； （2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：； （3）解：原式 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．化简：（　　） A．2 B． C．4 D． 2．如图，数轴上点P表示的数可能是（） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（） A． B． C． D． 4．在实数，，，，（两个“1”之间依次多1个“2”）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若x，y为实数，且，则的值为（    ） A．1 B．9 C．4 D．5 6．若n为自然数，对下面判断正确的是（    ） A．一定无意义 B．一定有意义 C．若n为奇数，则必有意义 D．一定成立 7．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 8．用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．则的结果是（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 9．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 10．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数2024变为1需要进行操作的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小： ． 12．64的平方根为 ；的立方根为 ． 13．已知，，则 ． 14．若，为两个有理数，且，则的平方根为 ． 15．已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简： ． 16．对于不相等的两个实数 、，定义一种运算 @ ： ，如   则 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．（1）计算：； （2）求的值：． 18．把下列各数填在相应的横线上：， ， ，0， ，，， 整数： ； 负分数： ； 无理数： ． 19．已知的立方根是2，的平方根是． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 20．如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，， (1)求b的值； (2)已知的小数部分是m，的算术平方根是2，求的平方根． 22．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的值． 23．探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为________和________； (2)若数对的一个开方对称数对是，则________； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 25．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： / 学科网（北京）股份有限公司 $$