第八章 实数（单元复习 6个知识点+10类题型突破）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024）

第八章 实数 01 思维导图 02 知识速记 知识点一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 知识点二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2．实数与数轴上的点一 一对应． 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3．实数的三个非负性及性质： 　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4．实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5．实数的大小的比较： 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 03 题型归纳 题型一 平方根、算术平方根、立方根 例题：（24-25八年级上·全国·期末）1的平方根 ；1的算术平方根 ；1的立方根 ； 【答案】 1 1 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了求平方根和立方根，根据平方根、算术平方根和立方根的意义，逐个计算即可． 【详解】解：1的平方根是，1的算术平方根是1，1的立方根是1， 故答案为：，1，1． 巩固训练 1．（22-23七年级下·重庆江津·期末）的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握相关定义是解题的关键． 本题根据立方根和平方根的定义可知，的平方根是，的立方根是，由此就求出． 【详解】解：，的平方根是； 的立方根是； 故答案为：； 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【答案】 3 2 / 【知识点】化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，绝对值化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据运算法则逐题计算即可． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 故答案为：（1）3；（2）2；（3）；（4）． 题型二 非负数的性质:算术平方根 例题：（23-24八年级下·广东江门·期末）已知x、y为实数，且，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了平方的非负性、算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性，求出x、y的值，代入计算，即可求解；理解平方与算术平方根的非负性是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ，， 解得：，， ， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·新疆喀什·期末）若实数，满足，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据非负数的性质可得，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【答案】； 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，且和互为相反数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是：， 故答案为：． 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程； （1）根据平方根的定义解方程即可求解； （2）根据立方根的定义解方程即可求解． 【详解】（1）解： ∴ 解得：或 （2）解： ∴ 解得： 巩固训练 1．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题考查了平方根和立方根解方程． （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，立方根的实际应用等知识点，熟练掌握利用平方根解方程和立方根的实际应用是解题的关键：利用平方根解方程的方法：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，只有一个平方根，负数没有平方根；在解方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值；利用立方根的概念解方程的方法：正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，的立方根是；在解方程时，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值；在求立方根时，常需转化为的形式，也常常将中的看作一个整体来处理． （1）在解方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值； （2）在解方程时，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值． 【详解】（1）解：， 整理，得：， 开平方，得：， ， ，； （2）解：， 整理，得：， 开立方，得：， ． 3．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）求下列式子中的值 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程， （1）将方程变形为，然后利用平方根的定义求出的值，再求的值； （2）利用立方根的定义求出的值，再求的值； （3）将方程变形为，然后利用平方根的定义求出的值； （4）将方程变形为，然后利用立方根的定义求出的值，再求的值； 解题的关键是明确平方根和立方根的定义． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴或， ∴的值为或； （2）， ∴， ∴， ∴的值为； （3）， ∴， ∴或， ∴的值为或； （4）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 题型四 平方根与立方根综合 例题：（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根的综合应用，掌握相关结论即可. （1）根据1的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解：∵1的算术平方根是1， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵的平方根是， ∴， ∴； （2）解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是； 巩固训练 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根． （1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可； （2）先求出的值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是3． ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴的平方根为． 2．（22-23七年级下·广西钦州·阶段练习）已知x的两个平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义．熟练掌握其定义及性质是解题的关键． （1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值，再求解的值即可； （2）将，的值代入中计算后利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：的两个平方根是与，且的算术平方根是3， ，， 解得：，； ∴； （2）解：，， ， 的立方根是2． 3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值： (2)求的平方根和立方根． 【答案】(1)，， (2)， 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】（1）根据算术平方根，平方根和立方根的概念分别计算出、、即可； （2）利用（1）的结论直接求值即可． 本题主要考查算术平方根，平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键． 【详解】（1）解： 的算术平方根是1， ， 解得； 的立方根是， ， ； 的平方根是， ， ． （2）解：由（1）知，，，， ， 的平方根是； 的立方根是． 4．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的平方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键． （1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 的算术平方根是5． 题型五 实数和实数的性质 例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期末） ， ． 【答案】 【知识点】实数的性质、化简绝对值 【分析】本题考查了绝对值的概念与性质，根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：，， 故答案为：，． 巩固训练 1．（23-24七年级下·天津滨海新·期末）的相反数是 ． 【答案】/ 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 2．（22-23七年级下·北京丰台·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、实数的性质 【分析】利用相反数概念和绝对值的性质可得答案． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了相反数和绝对值，关键是掌握正有理数的绝对值是它本身；负有理数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 题型六 无理数 例题：（24-25七年级上·浙江杭州·期中）在下列数中，属于无理数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了无理数，根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，是整数，不是无理数，该选项不合题意； 、是无理数，该选项符合题意； 、是有限小数，不是无理数，该选项不合题意； 、是分数，不是无理数，该选项不合题意； 故选：． 巩固训练 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）在（每两个1之间依次多1个0）这几个数中，无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】无理数、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键． 根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答． 【详解】解：， 在（每两个1之间依次多1个0）这几个数中，无理数有：（每两个1之间依次多1个0）共3个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数，，，，，，，中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”、算术平方根与立方根，熟练掌握无理数的定义是解题关键．先计算算术平方根与立方根，再根据无理数的定义求解即可得． 【详解】解：，， 则，，，0.1010010001，，都是有理数，和是无理数， 所以无理数有2个， 故选：A． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数，，0，，，，，···（两个“1”之间依次多个“0”）中无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查无理数的定义，立方根，平方根的知识；根据无理数是无限不循环小数即可得出答案． 【详解】解：， 无理数为：，，···（两个“1”之间依次多个“0”） 无理数的个数是3个， 故选：B． 题型七 实数与数轴 例题：（23-24七年级下·贵州黔南·期末）若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是 ．（只填一个） 【答案】(答案不唯一) 【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴；根据数轴可以得到的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：设点A在数轴上表示的数为， 由数轴可得，， ∵ 故答案为：(答案不唯一)． 巩固训练 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）． 【答案】D 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，首先分别求出点A，B，C，D在数轴上所对应的数的范围，然后根据算术平方根的意义求出即，据此即可得出答案，解答此题的关键是熟练掌握数轴上的点所表示的实数，准确估算出 的范围． 【详解】设点A，B，C，D在数轴上对应的分别是，，，， 则，，，， ∵， ∴， 即：， ∴实数对应的可能是点D， 故答案为：D． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、实数与数轴 【分析】本题考查了数轴和实数，首先求出正方形的对角线的长为，然后根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵在数轴上以单位长度为边长画一个正方形， ∴对角线的长为， ∴以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 故答案为：． 题型八 实数大小比较 例题：（24-25八年级上·全国·期末）比较大小：6 ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 巩固训练 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．根据实数的运算及不等式的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）比较大小： ． 【答案】> 【知识点】实数的大小比较 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法．作差法判断即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 题型九 实数的简单运算 例题：（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、化简绝对值 【分析】此题考查了算术平方根和立方根，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减； （2）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2)2 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数运算法则是解题的关键 （1）依次算乘方、算术平方根和立方根，再算除法，最后算加减； （2）依次算算术平方根、乘方、立方根，再算加减． 【详解】（1） （2） 2．（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)8 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2） 题型十 新定义下的实数运算 例题：（23-24七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 【答案】23 【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，掌握已知新运算法则是解题关键．根据已知新运算，先计算算术平方根，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：23． 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 【答案】3 【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算并掌握二次根式乘除法计算法则是解题的关键． 根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：3． 2．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【答案】/0.4 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数 01 思维导图 02 知识速记 知识点一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 知识点二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2．实数与数轴上的点一 一对应． 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3．实数的三个非负性及性质： 　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4．实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5．实数的大小的比较： 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 03 题型归纳 题型一 平方根、算术平方根、立方根 例题：（24-25八年级上·全国·期末）1的平方根 ；1的算术平方根 ；1的立方根 ； 巩固训练 1．（22-23七年级下·重庆江津·期末）的平方根是 ，的立方根是 ． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 题型二 非负数的性质:算术平方根 例题：（23-24八年级下·广东江门·期末）已知x、y为实数，且，则 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·新疆喀什·期末）若实数，满足，则的值是 ． 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 巩固训练 1．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）求下列式子中的值 (1) (2) (3) (4)． 题型四 平方根与立方根综合 例题：（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 巩固训练 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 2．（22-23七年级下·广西钦州·阶段练习）已知x的两个平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值： (2)求的平方根和立方根． 4．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 题型五 实数和实数的性质 例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期末） ， ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·天津滨海新·期末）的相反数是 ． 2．（22-23七年级下·北京丰台·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ． 题型六 无理数 例题：（24-25七年级上·浙江杭州·期中）在下列数中，属于无理数的是 （   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）在（每两个1之间依次多1个0）这几个数中，无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数，，，，，，，中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数，，0，，，，，···（两个“1”之间依次多个“0”）中无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型七 实数与数轴 例题：（23-24七年级下·贵州黔南·期末）若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是 ．（只填一个） 巩固训练 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 题型八 实数大小比较 例题：（24-25八年级上·全国·期末）比较大小：6 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）比较大小： ． 题型九 实数的简单运算 例题：（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 2．（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2) 题型十 新定义下的实数运算 例题：（23-24七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 2．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$