第02讲 比例（五类知识点+十一大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第02讲 比例（十一大题型） 学习目标 1．理解成比例的概念，并会判断四个量是否成比例； 2．了解比例中项的概念，并会求比例中项； 3. 掌握比例的基本性质并学会应用. 知识点1 成比例 在a 、b 、c 、d四个量中，如果a:b=c:d, 那么就说a 、b 、c 、d成比例 . 知识点2 比例的有关概念 1.比例项 a:b=c:d也可以表示为 其中a、b、c、d分别叫做第一、二、三、四比例项． 2.比例外项和比例内项 如果a : b = c : d，那么第一比例项a和第四比例项b叫做比例外项，第二比例项b和第三比例项c叫做比例内项． 知识点3 比例中项 特别地，当b 和c相同时，即a:b=b:d成立，那么把b叫作a和d的比例中项.例如，在等式144:96=96:64中，96叫作144和64 的比例中项. 要点：①a和d若存在比例中项，a和d只能同号，且不为0； ②求比例中项时注意分类讨论，正负两种情况，且要考虑实际意义 知识点4 比例的基本性质 a:b=c:d也可以表示为 ,在等式两边同时乘bd, 可以得到ad=bc; 反过来，如果b 、d 都不为0,并且ad=bc, 那么在等式两边同时除以bd, 就可以得到,即a:b=c:d. 比例的基本性质：如果a:b=c:d或 ,那么ad=bc. 反之，如果b、d都不为0,且ad=bc,那么a:b=c:d或 拓展推论：如果a:b=c:d或 , 那么ad=bc.还可以得到，， *等比性质：如果 *合比性质：如果 如果 知识点5 比例的实际应用 根据a:b=c:d，若已知其中三个量，则可以解第四个量的值，如： 比例的实际问题，解题过程中，首先根据比例的意义寻找两个比值相等的比，组成比例，然后利用比例的性质，求解未知量． 【即学即练1】下列四个数能成比例的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，3，2，4 C．1，2，3，6 D．1，3，2，5 【即学即练2】已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　） A． B．2a=3b C． D．3a=2b 【即学即练3】若（a、b均不为0），那么 . 【即学即练4】能与组成比例的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】如果 ，且b是a和c的比例中项，那么（    ） A． B．12 C． D． 【即学即练6】解比例： (1)； (2)． 题型1：判断四个量是否成比例 【典例1】．下列各数能组成比例的是（   ） A． B．0.2，0.8，12，30 C．1，3，4，6 D．1，2，3，4 【变式1-1】．下列四个数，不能组成比例的是（    ） A．2，6，4，12 B．，2，3， C．0.2，，2.5，1.2 D．4.5，2.5，5，9 【变式1-2】．下列各组数中，不能组成比例的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．、、和 【变式1-3】．下列四组数不能组成比例式的是（    ） A．2、3、4、6 B．1、2、2、4 C．0.1、0.3、0.5、1.5 D．、、、 【变式1-4】．下列四组中的两个比，可以组成比例的是（   ）． A．和 B．和 C．和 D．和 题型2：辨析成比例的变形式 【典例2】．如果，那么下列四个选项中，不正确（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．下列比例式中，不能由得到的比例式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】．把写成比例式，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】．根据，可以组成的比例有（   ） A． B． C． D． 题型3：根据成比例（的变形式）求比值 【典例3】．如果，那么＝ ． 【变式3-1】．已知，那么 ． 【变式3-2】．已知，其中，那么 ． 【变式3-3】．若，则 ． 题型4：求能与已知一组比组成比例的比 【典例4】．下列各比中，能与组成比例的是（　） A． B． C． D． 【变式4-1】．能与组成比例的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．能与0.3 : 4组成比例的是（      ）． A．4: 0.3 B．3: 40 C．3:4 题型5：根据已知比例式，及已知三项求另一项 【典例5】．如果a：b = 3：4，a= 9，那么 b= ． 【变式5-1】．已知四个数，9，2，d成比例，则d等于（　　） A．3 B．6 C． D． 【变式5-2】．已知则的第四比例项 ． 题型6：解比例 【典例6】．解比例． （1）；         （2）； （3）；         （4）． 【变式6-1】．求x的值：． 【变式6-2】．已知，求． 【变式6-3】．解方程． (1)； (2)． 题型7：求比例中项；根据比例中项求其他项 【典例7】．4和9的比例中项是（    ） A．6 B． C． D． 【变式7-1】．45与 的比例中项是8． 【变式7-2】．已知x是2和6的比例中项，则 ． 【变式7-3】．已知2是和4的比例中项，则 ． 【变式7-4】．如果，且是和的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-5】．已知线段，，则线段和的比例中项为（   ） A．6.5 B． C．6 D． 题型8：具有几何意义的比例中项 【典例8】．已知线段，，则，的比例中项线段长等于 ． 【变式8-1】．已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ． 题型9：已知三项求另一项（是否需要分类讨论） 【典例9】．已知三个数3，4，6，如果再添加一个数使得这四个数成比例，那么这个数可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．5 【变式9-1】．若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是 ． 【变式9-2】．已知三条线段的长度分别是3，6，5，试写出另一条线段的长度 ，使这四条线段成比例线段． 【变式9-3】．已知线段，，，若线段a， b， c， d 是成比例线段，则线段d 的长为 ． 题型10：比例的实际应用 【典例10】．数学测试，满分100分，60分及格；如果满分120分，多少分及格？ 【变式10-1】．神舟十八号飞船搭载的火箭总长约为米，现有一个该火箭的模型，它的总长与火箭总长的比是．这个模型的总长约为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【变式10-2】．一个牧场有马200匹、羊300只、牛80头，绘制条形统计图时，表示牛的直条高4厘米，表示马的直条高应是 厘米，表示羊的直条高应是 厘米． 【变式10-3】．甲、乙两种商品的价格比是，如果它们的价格分别上涨70元，那么它们的价格比是．甲商品原来的价格是（    ）元 A．200 B．210 C．270 D．240 【变式10-4】．北京到长沙的铁路大约是．一列由北京开往长沙的高铁，出发，到达郑州．北京到郑州的铁路大约是．按照这样的平均速度，从北京到长沙6时能到吗？通过计算说明．（列比例解答） 题型11：拓展（选学），等比、合比的性质及应用 【典例11】．如果，那么＝ ． 【变式11-1】．已知，求的值． 【变式11-2】．已知，求代数式的值. 【变式11-3】．已知，且x+y﹣z=6，求x、y、z的值． 【变式11-4】．已知a：b：c=3：2：5， 求的值. 【变式11-5】．已知，． （1）求最简整数比； （2）填空：的值为__________． 【变式11-6】．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式11-7】．已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式11-8】．已知a、b、c均为非零实数，且满足.求 的值． 【变式11-9】．已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 一、单选题 1．下列四组数中，不能组成比例的是（   ） A．0.2，0.3，0.4，0.6 B．2，4，6，8 C．，，5，2 D．，，， 2．如果和都不为零，且，那么下列比例中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A．3 B．4 C． D． 5．如果a=2，b=4，c=8，那么（    ） A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项 二、填空题 6．请将写成一个比例式为： ． 7．已知，那么 ． 8．已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是 厘米． 9．如果6是m与12的比例中项，那么m的值是 10．已知，，c是a、b的比例中项，则 ． 11．四条线段，，，成比例，若，，，则线段的长为 ． 12．已知三条线段的长为，若添加一条线段能使这四条线段成比例，则添加的线段可以是 ． 三、解答题 13．求x的值：． 14．解比例． (1) (2) (3) (4) 15．一辆汽车匀速行驶3小时行驶了240千米，以同样的速度，行驶小时可以行驶多少千米？（用比例方法解） 16．王师傅1.5小时加工1350个零件，照这样的速度，王师傅小时可以加工多少零件？（用比例方法求解）． 17．将6本相同厚度的书叠起来，它们的高度为14厘米，如果将21本这样相同厚度的书继续叠在上面，那么新的高度是多少？（用比例的方法求解） 18．有一个自助餐厅，规定每次用餐费用为男士30元，女士20元，儿童10元．某天前来用餐的男士、女士人数之比为2 : 9，女士与儿童之比为3 : 7． (1)若一天共收到900元，求儿童的人数？ (2)若收到女士的费用比儿童少210元，求各类人数． 19．我国著名的农民数学家于振善爷爷曾遇到这样的问题（如图）：一张地图，它的实际土地面积是公顷，需要求出其中一块不规则部分的实际土地面积．于振善爷爷想出了一个巧妙的方法，他找来一块厚薄均匀、质地相同的木板，将这张地图画在上面，并将画有这张地图的木板锯下来，称得木板质量是克．他又将这张地图中的不规则部分也锯下来，称得木板质量是克，这样其中不规则部分的实际土地面积就算出来了，是公顷． (1)根据题意，把表格填完整． 木板质量 克 克 实际土地面积 公顷 公顷 (2)分别算一算木块和的“木板质量”和“实际土地面积”的比值． 计算过程： 你的发现： （用语言表述或式子表示）． (3)如果当时将同一块木板上的另一块不规则图形锯下来后，称得木板质量为克．那么这块不规则图形的实际土地面积是多少公顷？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 比例（十一大题型） 学习目标 1．理解成比例的概念，并会判断四个量是否成比例； 2．了解比例中项的概念，并会求比例中项； 3. 掌握比例的基本性质并学会应用. 知识点1 成比例 在a 、b 、c 、d四个量中，如果a:b=c:d, 那么就说a 、b 、c 、d成比例 . 知识点2 比例的有关概念 1.比例项 a:b=c:d也可以表示为 其中a、b、c、d分别叫做第一、二、三、四比例项． 2.比例外项和比例内项 如果a : b = c : d，那么第一比例项a和第四比例项b叫做比例外项，第二比例项b和第三比例项c叫做比例内项． 知识点3 比例中项 特别地，当b 和c相同时，即a:b=b:d成立，那么把b叫作a和d的比例中项.例如，在等式144:96=96:64中，96叫作144和64 的比例中项. 要点：①a和d若存在比例中项，a和d只能同号，且不为0； ②求比例中项时注意分类讨论，正负两种情况，且要考虑实际意义 知识点4 比例的基本性质 a:b=c:d也可以表示为 ,在等式两边同时乘bd, 可以得到ad=bc; 反过来，如果b 、d 都不为0,并且ad=bc, 那么在等式两边同时除以bd, 就可以得到,即a:b=c:d. 比例的基本性质：如果a:b=c:d或 ,那么ad=bc. 反之，如果b、d都不为0,且ad=bc,那么a:b=c:d或 拓展推论：如果a:b=c:d或 , 那么ad=bc.还可以得到，， *等比性质：如果 *合比性质：如果 如果 知识点5 比例的实际应用 根据a:b=c:d，若已知其中三个量，则可以解第四个量的值，如： 比例的实际问题，解题过程中，首先根据比例的意义寻找两个比值相等的比，组成比例，然后利用比例的性质，求解未知量． 【即学即练1】下列四个数能成比例的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，3，2，4 C．1，2，3，6 D．1，3，2，5 【答案】C 【分析】本题考查成比例线段，对于线段a，b，c，d，若，则这四条线段成比例，据此概念进行一一验证即可．掌握概念是关键． 【解析】解：A、，故这四个数不成比例； B、，故这四个数不成比例； C、，故这四个数成比例； D、，故这四个数不成比例； 故选：C 【即学即练2】已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　） A． B．2a=3b C． D．3a=2b 【答案】B 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【解析】解：由得，3a=2b， A、由比例的基本性质得： 3a=2b，正确，不符合题意； B、由比例的基本性质得3a=2b，错误，符合题意； C、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意； D、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积． 【即学即练3】若（a、b均不为0），那么 . 【答案】/ 【分析】此题主要考查比例的基本性质的逆运用，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可得出答案． 【解析】解：因为，则． 故答案为：． 【即学即练4】能与组成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的基本性质：内项积等于外项积，逐一判断即可． 【解析】解：A、，故与不能组成比例，故本选项不符合题意； B、，故与能组成比例，故本选项符合题意； C、，故与不能组成比例，故本选项不符合题意； D、，故与不能组成比例，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】此题考查的是判断两个比是否能组成比例，掌握比例的基本性质是解决此题的关键． 【即学即练5】如果 ，且b是a和c的比例中项，那么（    ） A． B．12 C． D． 【答案】B 【分析】利用比例中项的定义得到，然后利用比例的性质求的值．本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【解析】解：根据题意得， 即， 解得． 故选：B 【即学即练6】解比例： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把原式改写成，然后等式的两边同时除以1.2即可； （2）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把原式改写成，然后等式的两边同时除以3即可． 【解析】（1）解：， ， 得， 即； （2）解∶ ， ， 得 即． 【点睛】本题主要考查解比例，根据比例的基本性质和等式的性质进行解答即可． 题型1：判断四个量是否成比例 【典例1】．下列各数能组成比例的是（   ） A． B．0.2，0.8，12，30 C．1，3，4，6 D．1，2，3，4 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的意义和性质的运用，掌握比例的基本性质“两外项的积等于两内项的积”成为解题的关键． 根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，据此逐项判断即可． 【解析】解：A、因为，所以0.4，0.6，1，1.5能组成比例，符合题意； B、因为，所以不能组成比例，不符合题意； C、因为，所以1，3，4，6不能组成比例，不合题意； D、因为，所以1，2，3，4不能组成比例，不合题意． 故选：A． 【变式1-1】．下列四个数，不能组成比例的是（    ） A．2，6，4，12 B．，2，3， C．0.2，，2.5，1.2 D．4.5，2.5，5，9 【答案】C 【分析】此题考查了比例的性质．找出四个数字中的最大数与最小数，求出乘积，剩下两数也求出乘积，比较判断即可． 【解析】解：A、，能组成比例，不符合题意； B、，能组成比例，不符合题意； C、，不能组成比例，符合题意； D、，能组成比例，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】．下列各组数中，不能组成比例的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．、、和 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例的概念，最大值与最小值相乘，另外两个相乘，它们的积相等，则成比例线段，由此即可求解． 【解析】解：A、，能成比例，不符合题意； B、，能成比例，不符合题意； C、，不能成比例，符合题意； D、，能成比例，不符合题意； 故选：C ． 【变式1-3】．下列四组数不能组成比例式的是（    ） A．2、3、4、6 B．1、2、2、4 C．0.1、0.3、0.5、1.5 D．、、、 【答案】D 【分析】根据比例的定义，把能够组成比例的选项写成比例式． 【解析】A选项：； B选项：； C选项：； D选项不能组成． 故选：D． 【点睛】本题考查比例式，解题的关键是能够根据四个数找到它们之间的比例关系． 【变式1-4】．下列四组中的两个比，可以组成比例的是（   ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握成比例的线段是解题的关键． 根据成比例的线段对各选项判断作答即可． 【解析】解：A．由题意知，，不能组成比例，故A不符合要求； B．，能组成比例，故B符合要求； C．，不能组成比例，故C不符合要求； D．，不能组成比例，故D不符合要求； 故选：B． 题型2：辨析成比例的变形式 【典例2】．如果，那么下列四个选项中，不正确（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例内向的积等于比例外项之积即可求解 【解析】解：∵ ∴ A. ，即，故该选项正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，不符合题意； C. ，即，故该选项正确，不符合题意；     D. 即，故该选项不正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 【变式2-1】．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【解析】解：∵3x＝2y（y≠0）， A、由得，2x＝3y，故本选项比例式不成立； B、由得，2x＝3y，故本选项比例式不成立； C、由得，xy＝6，故本选项比例式不成立； D、由得，3x＝2y，故本选项比例式成立． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键． 【变式2-2】．下列比例式中，不能由得到的比例式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，牢记两内项之积等于两外项之积的性质是解题的关键． 根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积逐项判断即可． 【解析】解：A. 由可得，故选项符合题意； B. 由可得，故选项不符合题意； C. 由可得，故选项不符合题意； D. 由可得，故选项不符合题意； 故选：． 【变式2-3】．把写成比例式，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是比例的性质，解题关键是熟练掌握比例性质． 利用两内项之积等于两外项之积对每一个选项进行转换进行判断即可． 【解析】解：、即，则，不符合题意，选项错误； 、即，符合题意，选项正确； 、即，则，不符合题意，选项错误； 、即，则，不符合题意，选项错误． 故选：． 【变式2-4】．根据，可以组成的比例有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，进行计算即可解答． 【解析】解：， ， 故选：A． 题型3：根据成比例（的变形式）求比值 【典例3】．如果，那么＝ ． 【答案】 【分析】根据比例的性质，把所给的等式，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数3就作为比例的另一个外项，和y相乘的数5就作为比例的另一个内项，据此写出比例即可． 【解析】解：因为，所以． 故答案为： 【点睛】此题考查把给出的等式改写成比例式的方法，在改写时，要注意：相乘的两个数要作内项就都作内项，要作外项就都作外项． 【变式3-1】．已知，那么 ． 【答案】 【分析】根据比例的性质，可得答案． 【解析】解：由3x=4y，两边同时除以3y， 得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，等式的两边都除以3y是解题关键． 【变式3-2】．已知，其中，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质，变形计算即可． 【解析】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】．若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的基本性质，由题意得到，再利用比例的基本性质即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 题型4：求能与已知一组比组成比例的比 【典例4】．下列各比中，能与组成比例的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了比例的基本性质的灵活应用，根据比例的基本性质即可求解，解题的关键是灵活掌握并能熟练应用比例的基本性质． 【解析】、不能与组成比例，选项不符合题意； 、不能与组成比例，选项不符合题意； 、能与组成比例，选项符合题意； 、不能与组成比例，选项不符合题意； 故选：． 【变式4-1】．能与组成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的基本性质：内项积等于外项积，逐一判断即可． 【解析】解：A、，故与不能组成比例，故本选项不符合题意； B、，故与能组成比例，故本选项符合题意； C、，故与不能组成比例，故本选项不符合题意； D、，故与不能组成比例，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】此题考查的是判断两个比是否能组成比例，掌握比例的基本性质是解决此题的关键． 【变式4-2】．能与0.3 : 4组成比例的是（      ）． A．4: 0.3 B．3: 40 C．3:4 【答案】B 【解析】0.3 : 4= ，故选B. 题型5：根据已知比例式，及已知三项求另一项 【典例5】．如果a：b = 3：4，a= 9，那么 b= ． 【答案】12 【分析】根据比例的性质：内项之积等于外项之积计算即可得答案． 【解析】∵a：b=3：4，a=9， ∴3b=4a=36， 解得：b=12． 故答案为：12 【点睛】本题考查比例的性质，熟记比例的内项之积等于外项之积是解题关键． 【变式5-1】．已知四个数，9，2，d成比例，则d等于（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例．熟练掌握比例的定义，比例的基本性质，是解决问题的关键．比例的定义：在四个数中，如果两个数的比等于另外两个数的比，就叫做这四个数成比例；比例的基本性质：两内项之比等于两外项之比． 根据比例的定义，写出比例式，运用比例的基本性质解答． 【解析】∵四个数，9，2，d成比例 ∴， ∴， 解得，． 故选：D． 【变式5-2】．已知则的第四比例项 ． 【答案】6 【分析】根据第四比例项的概念，得，再根据比例的基本性质进行求解． 【解析】解：∵是、、的第四比例项 ∴ ∴ ∵，， ∴ 故答案为：6． 【点睛】熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 题型6：解比例 【典例6】．解比例． （1）；         （2）； （3）；         （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）由比例的基本性质可以得到，等式两边同时除以2即可得到x的值； （2）由比例的基本性质可以得到 ，等式两边同时除以0.9即可得到x的值； （3）由比例的基本性质可以得到 ，等式两边同时除以4即可得到x的值； （4）由比例的基本性质可以得到 ，等式两边同时除以18即可得到x的值．　 【解析】解：（1），，， ． （2），， ，． （3），，， ． （4），，，． 【点睛】本题考查比例的应用，根据比例的基本性质把比例化成等式，再根据等式的基本性质即可算得x的值． 【变式6-1】．求x的值：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解比例，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据“在比例中，内项之积等于外项之积”，即可求解． 【解析】解：， ， ， ． 【变式6-2】．已知，求． 【答案】 【分析】本题考查了解比例，运用比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积）来解答，解题的关键是根据比例的基本性质来解比例． 【解析】∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解比例，熟练掌握比例的基本性质，是解题的关键． （1）根据比例的基本性质先将变形为，然后再解方程即可； （2）根据比例的基本性质先将变形为，然后再解方程即可． 【解析】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 即． 题型7：求比例中项；根据比例中项求其他项 【典例7】．4和9的比例中项是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例中项的定义：如果存在a、b、c三个数，满足，那么b就交租ac的比例中项，进行求解即可． 【解析】解：设4和9的比例中项为x， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了求比例中项，熟知比例中项的定义是解题的关键． 【变式7-1】．45与 的比例中项是8． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义列式求解即可． 【解析】解：设45与的比例中项是8， 则， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了成比例线段，正确理解比例的基本性质是解本题的关键． 【变式7-2】．已知x是2和6的比例中项，则 ． 【答案】 【分析】根据比例中项的概念，得，则x可求出来． 【解析】是2和6的比例中项， ， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算． 【变式7-3】．已知2是和4的比例中项，则 ． 【答案】1 【分析】根据两内项之积等于两外项之积可得方程，再解即可． 【解析】由题意得:22=4x，解得:x=1， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了比例线段，关键是掌握比例的性质． 【变式7-4】．如果，且是和的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例中项的概念（如果a、b、c三个量成连比例即，b叫做a和c的比例中项）可得，则可求得的值． 【解析】解：∵，b是a和c的比例中项， 即， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例中项的概念，理解比例中项的定义是解题关键． 题型8：具有几何意义的比例中项 【典例8】．已知线段，，则线段和的比例中项为（   ） A．6.5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出答案． 本题考查了比例线段，掌握比例中项的概念是解决问题的关键． 【解析】解：设线段和的比例中项为， 根据比例中项的概念，得， ， 线段不能是负数，应舍去，取． 故选：C． 【变式8-1】．已知线段，，则，的比例中项线段长等于 ． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【解析】解：设a，b的比例中项为c， 根据比例中项的定义得：比例中项的平方等于两条线段的乘积， ∴c2＝ab＝4×8＝32， 解得：c＝或c＝−（不合题意，舍去） 故答案为：． 【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数． 【变式8-2】．已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ． 【答案】8 【分析】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项． 【解析】解：线段c是a、b的比例中项， ， 解得：， 又线段是正数， ． 故答案为：8． 题型9：已知三项求另一项（是否需要分类讨论） 【典例9】．已知三个数3，4，6，如果再添加一个数使得这四个数成比例，那么这个数可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质“在比例里，两个内项的积等于两个外项的积”，即可解答． 【解析】解：A、，添加的数不可以是4，故A不符合题意； B、，添加的数不可以是3，故B不符合题意； C、，添加是数可以是2，故C符合题意； D、，添加是数不可以是5，故D不符合题意； 故选：C． 【变式9-1】．若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是 ． 【答案】或15或 【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，列式解答即可． 【解析】当x与6组成外项时，，； 当x与2组成外项时，，； 当x与5组成外项时，，. 故答案为：或15或 【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握两外项之积等于两内项之积是解答此题的关键． 【变式9-2】．已知三条线段的长度分别是3，6，5，试写出另一条线段的长度 ，使这四条线段成比例线段． 【答案】10或或 【分析】本题考查了成比例线段的关系．设所加的线段是x，则得到：或或，即可求得． 【解析】解：设所加的线段是x，则得到： 或或， 解得：或或． 故答案为：10或或． 【变式9-3】．已知线段，，，若线段a， b， c， d 是成比例线段，则线段d 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段的概念是解题关键．根据成比例线段的定义可得，代入计算即可得． 【解析】解：∵线段是成比例线段， ∴， ∵线段，，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型10：比例的实际应用 【典例10】．数学测试，满分100分，60分及格；如果满分120分，多少分及格？ 【答案】如果满分120分，72分及格 【分析】本题主要考查了比例的应用，设满分120分，x分及格，则根据题意可得，解比例方程即可得到答案． 【解析】解：设满分120分，x分及格， 由题意得，， 解得， 答：如果满分120分，72分及格． 【变式10-1】．神舟十八号飞船搭载的火箭总长约为米，现有一个该火箭的模型，它的总长与火箭总长的比是．这个模型的总长约为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】C 【分析】本题考查了比例的应用，可设这个模型总长米，根据题意，列出比例式计算即可求解． 【解析】解：设这个模型的总长是米， ， ， 米厘米 故选：C． 【变式10-2】．一个牧场有马200匹、羊300只、牛80头，绘制条形统计图时，表示牛的直条高4厘米，表示马的直条高应是 厘米，表示羊的直条高应是 厘米． 【答案】 10 15 【分析】本题考查了比例式的应用，熟练掌握比例式的基本计算是解题的关键．根据题意，列出比例式计算即可． 【解析】解：设表示马的直条高应是x厘米，表示羊的直条高应是y厘米， 根据题意，得，， 解得， 故答案为：10，15． 【变式10-3】．甲、乙两种商品的价格比是，如果它们的价格分别上涨70元，那么它们的价格比是．甲商品原来的价格是（    ）元 A．200 B．210 C．270 D．240 【答案】B 【分析】本题考查比的应用，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据甲、乙两种商品的价格比是，设甲的价格是，乙的价格是，再根据它们的价格分别上涨70元，那么它们的价格比是，由比例的基本性质进行列式计算即可． 【解析】解：由题可知，甲、乙两种商品的价格比是， 设甲的价格是，乙的价格是， 则， 解得， 则甲的价格（元． 故选：B． 【变式10-4】．北京到长沙的铁路大约是．一列由北京开往长沙的高铁，出发，到达郑州．北京到郑州的铁路大约是．按照这样的平均速度，从北京到长沙6时能到吗？通过计算说明．（列比例解答） 【答案】能到达；理由见解析 【分析】本题主要考查了比的应用，先求出北京到郑州所用时间为：小时，设按照这样的平均速度，6小时可以通过的路程为，根据平均速度相同得出，求出x的值，再与进行比较即可得出答案． 【解析】解：能到达；理由如下： 北京到郑州所用时间为：小时， 设按照这样的平均速度，6小时可以通过的路程为，根据题意得： ， 解得：， ， 答：按照这样的平均速度，从北京到长沙6时能到达． 题型11：拓展（选学），等比、合比的性质及应用 【典例11】．如果，那么＝ ． 【答案】8 【分析】根据已知可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解析】解：， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了比例的性质，准确熟练进行计算是解题的关键． 【变式11-1】．已知，求的值． 【答案】 【分析】由比例的性质，求出，，，然后进行计算，即可得到答案． 【解析】解：根据题意，设比值为，即， 则，，． ∴． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题． 【变式11-2】．已知，求代数式的值. 【答案】 【分析】由可设a=2k，b=3k，代入计算即可. 【解析】由可设a=2k，b=3k， ∴=. 【点睛】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值，本题较为简单，属于基础题． 【变式11-3】．已知，且x+y﹣z=6，求x、y、z的值． 【答案】x=12，y=18，z=24． 【分析】根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入方程求出k的值，再求解即可． 【解析】解：∵， ∴设x=2k，y=3k，z=4k， ∴2k+3k﹣4k=6， 解得k=6， 所以，x=12，y=18，z=24． 【变式11-4】．已知a：b：c=3：2：5， 求的值. 【答案】 【分析】根据比例式设未知，利用代入法求解. 【解析】设a=3k，则b=2k，c=5k == 考点：比例的性质 【变式11-5】．已知，． （1）求最简整数比； （2）填空：的值为__________． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用已知将原式变形进而得出答案． （2）根据（1）的整数比，即可求值． 【解析】解：（1）；； ∴． （2）令：，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键． 【变式11-6】．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． （1）设，则，代入计算即可得； （2）设，则，代入计算可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得． 【解析】（1）解：设，则， 则． （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式11-7】．已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件将整理，再代入即可得出答案． 【解析】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：由得， ∵， ∴． 【变式11-8】．已知a、b、c均为非零实数，且满足.求 的值． 【答案】8或-1 【解析】试题分析：根据比例的等比性质解决分式问题．注意分两种情况：；进行讨论． 试题解析: (1)若a+b+c≠0，由等比定理有 若 所以 于是有 (2)若 于是有 【变式11-9】．已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 【答案】(1)等比；合比 (2) 【分析】（1）根据题意，利用等比和合比的基本性质解答即可； （2）由题意可设，由此得出，，，所以得出，，进而得出答案． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 【解析】（1）解：依题意，根据题意可知，解题过程在第一步中应用了等比的基本性质，在第二步解题过程中应用了合比的基本性质； 故答案为：等比；合比． （2）解：依题意，设， 则，，， ． 一、单选题 1．下列四组数中，不能组成比例的是（   ） A．0.2，0.3，0.4，0.6 B．2，4，6，8 C．，，5，2 D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例性质，关键是掌握内项之积等于外项之积．根据比例性质，只需判断四个数中，最小的数与最大的数相乘的积是否等于另外两数相乘的积，若相等，就能组成比例，否则不能组成比例． 【解析】解：A．由于，即，能组成比例，故选项A不符合题意； B．在2，4，6，8中，不存在两个数的积等于另两个数的积，能组成比例，故选项B符合题意； C．由于，即，能组成比例，故选项C不符合题意； D．由于，能组成比例，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．如果和都不为零，且，那么下列比例中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据逆用比例的基本性质，将乘积式化成比例式，逐个判定即可． 【解析】解：A、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； B、∵，∴，故此选项正确，符合题意； C、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； D、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查比例的基本性质，熟练掌握根据比例的基本性质，将乘积式化成比例式是解题的关键． 3．已知，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质即可解答． 【解析】解：根据比例的性质可得． 故选：B． 4．若，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，根据得出，即可求解． 【解析】解：∵ ∴， 故选：D． 5．如果a=2，b=4，c=8，那么（    ） A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项 【答案】D 【分析】根据线段成比例进行判断即可． 【解析】A选项a、b、c的第四比例项是16，因为 ， B选项3a、2b和3c的第四比例项为32，因为， C选项c不是ab的比例中项，因为， D选项b是ac的比例中项，因为 故选：D 【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质解答． 二、填空题 6．请将写成一个比例式为： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据比例的性质，即可求解， 本题考查了比的性质，解题的关键是：熟练掌握比的性质． 【解析】解：∵， ∴或， 故答案为：． 7．已知，那么 ． 【答案】 【分析】根据比例的性质，可得答案． 【解析】解：由3x=4y，两边同时除以3y， 得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，等式的两边都除以3y是解题关键． 8．已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是 厘米． 【答案】6 【分析】本题考查了成比例线段，设线段a和c的比例中项为b，由题意得出，计算即可得解． 【解析】解：设线段a和c的比例中项为b， ∴，即， ∴（负值舍去）． 故答案为：6． 9．如果6是m与12的比例中项，那么m的值是 【答案】3 【分析】本题主要考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义可得方程，解方程即可得到答案． 【解析】解：∵6是m与12的比例中项， ∴， ∴ 故答案为：3． 10．已知，，c是a、b的比例中项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握“当比例式中的两个内项相同时叫比例中项”是解题关键．根据题意得，再进行计算即可． 【解析】解：c是a、b的比例中项， ，即， ，， ， ， 故答案为：． 11．四条线段，，，成比例，若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义．由四条线段、、、成比例，根据比例线段的定义，即分类讨论，即可求得的值． 【解析】解：∵四条线段，，，成比例， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．已知三条线段的长为，若添加一条线段能使这四条线段成比例，则添加的线段可以是 ． 【答案】或或． 【分析】根据四条线段成比例可得、、，分别求出d即可得． 【解析】解∶根据题意，得∶ 当时，解得∶； 当时，解得∶； 当时，解得：； 故答案为：为或或． 【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是找出所有成比例的情况分别求解． 三、解答题 13．求x的值：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解比例方程，先根据内项之积等于外项之积得到，再两边同时乘以即可得到答案． 【解析】解： ． 14．解比例． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据比例的基本性质，把比例式化成方程式，再根据等式的性质，两边同时除以； （2）根据比例的基本性质，把比例式化成方程式，再根据等式的性质，两边同时除以； （3）根据比例的基本性质，把比例式化成方程式，再根据等式的性质，两边同时除以； （4）根据比例的基本性质，把比例式化成方程式，再根据等式的性质，两边同时除以． 【解析】（1）解：， ， ， 解得：； （2）， ， ， ， ， 解得：； （3）， ， ， ， ； （4）， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解比例，把比例式化成方程式，再根据等式的性质求解是解答本题的关键． 15．一辆汽车匀速行驶3小时行驶了240千米，以同样的速度，行驶小时可以行驶多少千米？（用比例方法解） 【答案】行驶小时可以行驶440千米 【分析】本题主要考查了比例的应用，设行驶小时可以行驶x千米，根据速度路程时间可得比例，解比例即可得到答案． 【解析】解：设行驶小时可以行驶x千米， 由题意得，， 所以， 所以， 所以， 答：行驶小时可以行驶440千米． 16．王师傅1.5小时加工1350个零件，照这样的速度，王师傅小时可以加工多少零件？（用比例方法求解）． 【答案】750个零件 【分析】本题考查了列比例式解决实际问题，根据题意列出比例式进而求解即可，准确理解题意是解题的关键． 【解析】设王师傅小时可以加工x个零件，由题意得 所以，王师傅小时可以加工750个零件． 17．将6本相同厚度的书叠起来，它们的高度为14厘米，如果将21本这样相同厚度的书继续叠在上面，那么新的高度是多少？（用比例的方法求解） 【答案】63厘米 【分析】设新的高度是厘米，根据每本书的高度相等列出比例式子，由此即可得． 【解析】解：设新的高度是厘米， 由题意得：， 解得， 答：新的高度是63厘米． 【点睛】本题考查了比例的应用，找准等量关系是解题关键． 18．有一个自助餐厅，规定每次用餐费用为男士30元，女士20元，儿童10元．某天前来用餐的男士、女士人数之比为2 : 9，女士与儿童之比为3 : 7． (1)若一天共收到900元，求儿童的人数？ (2)若收到女士的费用比儿童少210元，求各类人数． 【答案】(1)42 (2)14、63和147 【分析】根据条件得到男士、女士和儿童的比为，设男士、女士和儿童人数分别为、和，根据条件列出方程即可． 【解析】（1）解：男士、女士和儿童的比为，设男士、女士和儿童人数分别为、和， 有， 可得， 则儿童人数为42． （2）解：男士、女士和儿童的比为，设男士、女士和儿童人数分别为、和， 由题意，可得：，解得：， 则男生、女士和儿童人数分别为14、63和147． 【点睛】本题主要考查比的应用，本题关键是把男生、女士和儿童人数写成连比． 19．我国著名的农民数学家于振善爷爷曾遇到这样的问题（如图）：一张地图，它的实际土地面积是公顷，需要求出其中一块不规则部分的实际土地面积．于振善爷爷想出了一个巧妙的方法，他找来一块厚薄均匀、质地相同的木板，将这张地图画在上面，并将画有这张地图的木板锯下来，称得木板质量是克．他又将这张地图中的不规则部分也锯下来，称得木板质量是克，这样其中不规则部分的实际土地面积就算出来了，是公顷． (1)根据题意，把表格填完整． 木板质量 克 克 实际土地面积 公顷 公顷 (2)分别算一算木块和的“木板质量”和“实际土地面积”的比值． 计算过程： 你的发现： （用语言表述或式子表示）． (3)如果当时将同一块木板上的另一块不规则图形锯下来后，称得木板质量为克．那么这块不规则图形的实际土地面积是多少公顷？ 【答案】(1)，； (2)比值相等，都是； (3)这块不规则图形的实际土地面积是公顷． 【分析】（）根据题中信息，把数据填入表格； （）分别用木块的“木板质量”和除以“实际土地面 积”，求出比值，比较两个比值的大小，发现规律； （）根据木板质量实际土地面积面积为公顷的木板的质量，列式解答； 本题考查了比的应用，根据比的意义求出木板质量与实际土地面 积的比值是解题的关键． 【解析】（1）解：由题可知： 木板质量 克 克 实际土地面积 公顷 公顷 故答案为：，； （2）解：木板：， 木板：， 我的发现：比值相等，都是， 故答案为：比值相等，都是； （3）解：这块不规则图形的实际土地面积是公顷， ， 答：这块不规则图形的实际土地面积是公顷． 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$