第一章 平面向量及其应用（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

第一章 平面向量及其应用（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知向量，若，则（ ） A．4 B．4 C．1 D．1 【答案】D 【知识点】利用向量垂直求参数、数量积的坐标表示 【分析】由，得，列方程可求出的值 【详解】因为向量，， 所以，得， 故选：D 2．（24-25高三上·吉林长春·期末）在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】直接利用向量数量积的定义计算即可. 【详解】因为在中，，，， 所以，. 故选：D. 3．（湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题）已知向量，，且，则实数（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、由向量共线（平行）求参数 【分析】由已知条件可求得，再根据向量平行的条件，即可求得的值. 【详解】由已知可得：， 因为，所以有，解之得：. 故选：C. 4．（24-25高一上·北京·期末）如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、向量加法的法则 【分析】利用向量的加减法运算法则运算即可得出答案. 【详解】由图形可知： . 故选：B. 5．（甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【知识点】正弦定理求外接圆半径 【分析】根据正弦定理（为的外接圆半径）求解即可. 【详解】设外接圆的半径为， 则，即. 故选：A . 6．（24-25高一上·北京·期末）设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、垂直关系的向量表示 【分析】由向量的垂直与模长结合充分必要条件的概念判断即可. 【详解】因为为非零向量，若，则， 所以，，则， 反之若，所以， 所以，由于为非零向量，故， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 7．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】选取作为基底，表示出，根据平面向量基本定理列方程求解即可. 【详解】由图可知，， 所以，解得，则. 故选：A. 8．（24-25高三上·福建泉州·期末）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A． B． C． D．8 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、条件等式求最值 【分析】先由题中条件，结合余弦定理求出，再由是角平分线，利用求出，根据基本不等式求出最小值，再计算向量数量积即可. 【详解】因为在中，，所以，则 又角的内角平分线，则， 又， 则， 即， 化简得：，即，当且仅当时，等号成立， 因此，当且仅当时，等号成立. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一上·辽宁·期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线 【分析】结合坐标运算，根据平面向量的基底定义逐个选项判断即可. 【详解】要使平面中两个向量作为基底， 必须满足是非零向量，且不共线，即不存在倍数关系，故A正确； 对于B，由，B正确； 对于D，由，D正确； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C错误. 故选：ABD 10．（23-24高一下·广西玉林·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．两个非零向量和，若，则与垂直 C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 D．已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则 【答案】BC 【知识点】垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】取，可判断A；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；将垂直关系转化为数量积为零，结合单位向量的定义可求向量坐标，进而判断C；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，则，则不一定共线，故A错； 对于B选项，两个非零向量和，若，则， 整理可得，故与垂直，故B对； 对于C选项，设与垂直的单位向量为， 由题意可得，解得或， 所以，与垂直的单位向量的坐标或，故C对； 对于D选项，已知向量， 则在上的投影向量为， 所以，，解得，故D错． 故选：BC. 11．（23-24高一下·四川成都·期末）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径为 B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示 【分析】取边的中点，得内心P、外心O、重心G都在中线上，且，由三角形面积相等求出可判断A；求出可判断B；由余弦定理得，平方关系求出，得的外接圆半径，利用可判断C；利用可判断D. 【详解】取边的中点，连接， 因为，所以内心P、外心O、重心G都在中线上， 且，，内切圆半径， 对于A，由得 ，解得，故A正确； 对于B，因为，所以， ，故B正确； 对于C，由余弦定理得， ，所以， 所以的外接圆半径， ，所以， 所以， ，故C错误； 对于D，的外接圆半径， ，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出内心P、外心O、重心G都在中线上. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一·全国·假期作业）设向量，的长度分别为4和3，夹角为，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据向量数量积的定义，即可求解. 【详解】由向量数量积的定义可知，. 故答案为：6 13．（2024·上海杨浦·一模）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案. 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 14．（23-24高一下·河南漯河·期中）在中，，，=，BF与BC边上的中线AE相交于点M.则的值为 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、用基底表示向量 【分析】先根据平面向量线性运算法则计算，再由数量积的定义求出， 为向量与的夹角，求出与，再由夹角公式计算可得. 【详解】为边上的中线，， ，可得. ． ， ， 则． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量. (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】零向量与单位向量、由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数 【分析】（1）根据单位向量的定义，结合共线向量的坐标运算公式求解即可； （2）根据向量平方和数量积的坐标运算公式进行计算即可. 【详解】（1）因为两向量共线，是单位向量， 所以设， 得到解得或 得或. （2）因为与垂直， 所以，而， 即， 解得. 16．（15分）（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出，进而得到； （2）计算出，结合（1）可得，证明出结论. 【详解】（1）由题可知， ， （2） ，且有公共点M ，，三点共线. 17．（15分）（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量. (1)若，求； (2)若向量与的夹角是钝角，求实数k的取值范围. 【答案】(1)； (2)且. 【知识点】向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】(1)根据向量共线的坐标表示即可求出k，根据向量模长公式即可计算； (2)若向量与的夹角是钝角，则＜0且与不反向，根据数量积即可运算. 【详解】（1）∵， ∴，解得， ∴. （2）∵与的夹角是钝角， ∴，且与不反向， 即且， ∴且. 18．（17分）（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，AC与EF交于点G，记． (1)试用基底表示； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)18 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可； （2）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面共线向量的性质、三角形面积性质进行求解即可 【详解】（1）由图可知， 因为，所以． 因为，所以 （2）由AC与EF交于点G，可设． ， ， 则解得 设边AB上的高为，边CE上的高为，则， 则． 19．（17分）（24-25高一上·辽宁·期末）如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用基底表示向量、由向量共线（平行）求参数、利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【详解】（1）因为所以， 所以, 所以. （2）由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. （3）易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 平面向量及其应用（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知向量，若，则（ ） A．4 B．4 C．1 D．1 2．（24-25高三上·吉林长春·期末）在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 3．（湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题）已知向量，，且，则实数（   ） A． B． C．5 D．10 4．（24-25高一上·北京·期末）如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 5．（甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．6 D．12 6．（24-25高一上·北京·期末）设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·福建泉州·期末）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A． B． C． D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一上·辽宁·期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·广西玉林·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．两个非零向量和，若，则与垂直 C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 D．已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则 11．（23-24高一下·四川成都·期末）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径为 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一·全国·假期作业）设向量，的长度分别为4和3，夹角为，则的值为 ． 13．（2024·上海杨浦·一模）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 14．（23-24高一下·河南漯河·期中）在中，，，=，BF与BC边上的中线AE相交于点M.则的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量. (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值. 16．（15分）（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 17．（15分）（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量. (1)若，求； (2)若向量与的夹角是钝角，求实数k的取值范围. 18．（17分）（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，AC与EF交于点G，记． (1)试用基底表示； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 19．（17分）（24-25高一上·辽宁·期末）如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$