第1章 专题微课 平面向量及其应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

第1章 专题微课 平面向量及其应用 [课时跟踪检测] 1.已知△ABC中，AB=4，AC=3，cos A=.若D为边BC上的动点，则·的取值范围是 (　　) A.[4，12] B.[8，16] C.[4，16] D.[2，4] 解析：选C　由题意得=λ+(1-λ)，0≤λ≤1，·=·[λ+(1-λ)]=λ+(1-λ)||||cos A=16λ+4-4λ=12λ+4∈[4，16]. 2.已知向量a，b满足|a|=1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa+2b|≥|a+b|恒成立，则|b|的取值范围是 (　　) A. B. C.[1，+∞) D.(1，+∞) 解析：选C　因为|a|=1，a与b的夹角为， 所以a·b=|b|cos=|b|. 把|xa+2b|≥|a+b|两边平方， 整理可得x2+2|b|x+3|b|2-|b|-1≥0， 所以Δ=4|b|2-4(3|b|2-|b|-1)≤0， 即(|b|-1)(2|b|+1)≥0，解得|b|≥1. 3.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，=(a-1)e1+e2，=2be1-e2，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则+的最小值是 (　　) A.8 B.6 C.4 D.2 解析：选A　因为A，B，C三点共线，所以向量共线， 所以存在λ∈R，使得=λ， 即(a-1)e1+e2=λ(2be1-e2)， 即(a-1)e1+e2=2λbe1-λe2， 因为e1，e2不共线，所以 消去λ，得a+2b=1， 因为a>0，b>0，所以+=(a+2b)=4++≥4+2=4+2×2=8， 当且仅当a=，b=时，等号成立. 4.对任意非零向量a，b，定义新运算：a×b=.已知非零向量m，n满足|m|>3|n|，且向量m，n的夹角θ∈，若4(m×n)和4(n×m)都是整数，则m×n的值可能是 (　　) A.2 B.3 C.4 D. 解析：选B　由题意可得n×m==(k∈Z).因为|m|>3|n|>0，所以0<<.因为θ∈，所以<sin θ<1.所以0<sin θ<，即0<<，解得0<k<.因为k∈Z，所以k=1.所以n×m==.则=4sin θ，则=<，得<sin θ<1，故m×n==4sin2θ∈，符合该条件的是3. 5.已知a=(2sin 13°，2sin 77°)，|a-b|=1，a与a-b的夹角为，则a·b= (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：选B　因为a=(2sin 13°，2sin 77°)，所以|a|===2.又因为|a-b|=1，向量a与a-b的夹角为，所以cos ====，所以a·b=3，故选B. 6.如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(+)·的最小值是 (　　) A.2 B.0 C.-1 D.-2 解析：选D　由平行四边形法则得+=2，故(+)·=2·，又||=2-||，且反向，设||=t(0≤t≤2)，则(+)·=2·=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].∵0≤t≤2，∴当t=1时，(+)·取得最小值-2，故选D. 7.已知A，B(1，4)，且=(sin α，cos β)，α，β∈，则α+β=　　　　.  解析：由题意知==(sin α，cos β)，∴sin α=-，cos β=.又∵α，β∈，∴α=-，β=或-.∴α+β=或-. 答案：或- 8.定义a*b是向量a和b的“向量积”，其长度为|a*b|=|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a和b的夹角.若a=(2，0)，b=(1，)，则|a*(a+b)|=　　　　.  解析：因为a=(2，0)，b=(1，)， 所以a+b=(3，).所以|a|=2，|a+b|=2. 所以cos<a，a+b>==. 因为<a，a+b>∈[0，π]，所以sin<a，a+b>=. 所以|a*(a+b)|=2×2×=2. 答案：2 9.如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·+·=　　　　.  解析：连接EG，FH，交于点O(图略)，则·=·==1-=·=·==1-=，因此·+·=. 答案： 10.(10分)已知向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，c=(-1，0). (1)求向量b+c的模的最大值；（5分） (2)设α=，且a⊥(b+c)，求cos β的值.（5分） 解：(1)因为向量b=(cos β，sin β)，c=(-1，0)，所以b+c=(cos β-1，sin β)，则|b+c|===. 因为-1≤cos β≤1，所以0≤2-2cos β≤4.所以0≤|b+c|≤2. 所以向量b+c的模的最大值为2. (2)因为α=，所以a=. 因为a⊥(b+c)，所以a·(b+c)=0. 所以(cos β-1)+sin β=0. 化简得sin β=1-cos β，代入sin2β+cos2β=1，得(1-cos β)2+cos2β=1，得cos2β-cos β=0，解得cos β=0或cos β=1. 11.(15分)如图，已知矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=1，E为AB的中点，P为边DC上的动点(不包括端点). (1)求·的最小值；（5分） (2)设线段AP与DE的交点为G，求·的最小值.（10分） 解：(1)设DP=a，a∈(0，2)，如图建立平面直角坐标系. ∵A(0，0)，P(a，1)，B(2，0)， ∴=(-a，-1)， =(2-a，-1). ∴·=(-a)×(2-a)+(-1)×(-1)=a2-2a+1=(a-1)2. 当a=1时，·有最小值，最小值为0. (2)由图可得△AEG∽△PDG， 则==， ∴=.又=(a，1)， ∴=. ∴·=+===a+1-=(a+1)+-2≥2-2，当且仅当a+1=，即a=-1时取等号. ∴·的最小值为2-2. 12.(15分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a=(-1，2)，且点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin θ，t). (1)若⊥a，且||=||，求向量；（5分） (2)若向量与向量a共线，常数k>0，当f(θ)=tsin θ取最大值4时，求·.（10分） 解：(1)∵=(n-8，t)，⊥a， ∴8-n+2t=0　①. 又||=||，∴(n-8)2+t2=5×64　②. 联立①②，解得或∴=(24，8)或(-8，-8). (2)∵=(ksin θ-8，t)，向量与向量a共线， ∴t=-2ksin θ+16.∴tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ =-2k+. ①当k>4时，0<<1.∴当sin θ=时，tsin θ取最大值为.由=4，得k=8.此时θ==(4，8).∴·=(8，0)·(4，8)=32. ②当0<k≤4时，≥1. ∴当sin θ=1时，tsin θ取最大值为-2k+16.由-2k+16=4，得k=6(舍去). 综上所述，·=32. 学科网（北京）股份有限公司 $