重难点1-2 利用基本不等式求最值（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

重难点1-2 利用基本不等式求最值 三年考情分析 2025年考向预测 基本不等式的应用在近三年的高考中一直是一个重要的考查点，主要集中在求最值和大小判断． 主要以选择题和填空题的形式出现，题目难度适中，考查学生对基本不等式的熟练掌握程度． 基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容．2025年会继续以选择题和填空题的形式考查基本不等式的直接应用，重点在于“一正二定三相等”的条件和变形技巧，题目可能会更加灵活．与解三角形、圆锥曲线、导数等知识结合的综合题型也有可能出现． 题型1 直接法求最值 条件和问题之间存在基本不等式的关系 转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． 乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 1．（24-25高三上·吉林·期末）已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高三上·河南驻马店·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知正数满足，则的最小值为 . 4．已知正数，满足，则的最小值是 . 题型2 配凑法求最值 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。 利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 1．（24-25高三上·贵州·期中）的最小值为 ． 2．（24-25高三上·北京·月考）的值可以为（    ） A． B． C．8 D．9 3．（24-25高三上·天津河西·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C． D． 4．（24-25高三上·甘肃白银·期中）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型3 消元法求最值 根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围． 1．（24-25高三上·新疆·月考）已知，则的最大值为 ． 2．（24-25高三上·重庆·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．17 4．（24-25高三上·海南·月考）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 题型4 “1”的代换求最值 1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值。 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 1．（24-25高三上·安徽·月考）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 3．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知，则的最小值为 ． 4．（24-25高三上·山东济宁·期末）若，且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 题型5 双换元法求最值 双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况． 具体操作如下：如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 另外，当形式比较复杂时，也可以考虑使用换元法进行化简． 1．已知正实数满足且，则的最小值为 2．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . 3．（24-25高三上·江苏·月考）对于任意的，，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江西南昌·月考）设实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 题型6 齐次化法求最值 适用于能构造成分式，且分式上下为齐次式的题型，构造齐次式后则可进行下面的操作 再进行换元则题目变成分式类型，按照单变量分式类型计算即可． 1．（24-25高三上·河南·月考）已知，则的最小值为 . 2．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知实数，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 3．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知x，y为正实数，则的最小值为 ． 4．（23-24高三下·湖北·一模）已知正实数满足，则的最大值为 . 题型7 构造不等式求最值 当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值． 1．（24-25高三上·广东广州·月考）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 3．（23-24高三下·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 4．（24-25高三上·广东湛江·月考）已知正数 满足 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型8 多次使用不等式求最值 同一式子中若使用多次基本不等式，需满足以下两个条件：（1）不等号的方向已知；（2）取等条件一致． 1．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知，，，且恒成立，则的取值范围是 . 2．（24-25高三上·福建宁德·月考）已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 3．（23-24高三上·江苏南京·月考）设正实数满足，且，则的最小值为 . 4．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考），，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型9 三角换元法求最值 适用于双变量不等式能构造平方和形式的题型．利用进行换元． 例如 1．（24-25高三上·江苏盐城·期中）若实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知均为正数，，则的最大值为 . 4．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型10 利用柯西不等式求最值 适用于：已知的值，求的取值范围，或者已知的值，求的最值或求的最值． （1）二维柯西不等式：设均为实数，有，当且仅当时等号成立． （2）维柯西不等式：，其中字母值域均为，当且仅当时等号成立． 1．（24-25高三上·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高三上·陕西西安·月考）已知，，则的最小值为 ． 3．（24-25高一上·陕西西安·月考）存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 4．（24-25高三上·广西钦州·月考）（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．100 2．（24-25高三上·四川广安·月考）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（24-25高三上·广东中山·月考）若正实数，满足，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 4．（24-25高三上·湖北黄冈·月考）若，且，则的最小值为（    ） A．20 B．12 C．16 D．25 5．（24-25高三上·江西上饶·月考）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 6．（24-25高三上·江苏·月考）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 7．（23-24高三下·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 8．（24-25高三上·天津河东·期末）已知且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏镇江·月考）已知，，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 10．（24-25高三上·山西·月考）已知为正实数，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．（24-25高三上·重庆·模拟预测）若 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·江苏泰州·月考）已知均为正实数，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．若，则的最大值为8 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 三、填空题 13．（24-25高三上·福建·月考）已知，，则的最小值为 . 14．若x，y满足，则的最大值为 15．（24-25高三上·天津河西·月考）已知，，，则的最小值为 . 16．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知，，，则的最小值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点1-2 利用基本不等式求最值 三年考情分析 2025年考向预测 基本不等式的应用在近三年的高考中一直是一个重要的考查点，主要集中在求最值和大小判断． 主要以选择题和填空题的形式出现，题目难度适中，考查学生对基本不等式的熟练掌握程度． 基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容．2025年会继续以选择题和填空题的形式考查基本不等式的直接应用，重点在于“一正二定三相等”的条件和变形技巧，题目可能会更加灵活．与解三角形、圆锥曲线、导数等知识结合的综合题型也有可能出现． 题型1 直接法求最值 条件和问题之间存在基本不等式的关系 转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． 乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 1．（24-25高三上·吉林·期末）已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】已知正数满足，则， 当且仅当时取等号.故选：C. 2．（24-25高三上·河南驻马店·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为，且，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为.故选：C 3．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】12 【解析】因为，所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为12. 故答案为：12. 4．已知正数，满足，则的最小值是 . 【答案】 【解析】因为，为正数，由基本不等式可得，所以， 当且仅当，即当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为： 题型2 配凑法求最值 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。 利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 1．（24-25高三上·贵州·期中）的最小值为 ． 【答案】7 【解析】由题意得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. 故答案为：7 2．（24-25高三上·北京·月考）的值可以为（    ） A． B． C．8 D．9 【答案】B 【解析】当时，， 当且仅当，即时取等号， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以的取值范围为.故选：B. 3．（24-25高三上·天津河西·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，可得， 且，得， 当且仅当，即时取等号， 因此， 所以的最大值为.故选：C. 4．（24-25高三上·甘肃白银·期中）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】，，， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为6.故选：C. 题型3 消元法求最值 根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围． 1．（24-25高三上·新疆·月考）已知，则的最大值为 ． 【答案】1 【解析】由题意，，即，解得， 因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 即的最大值为1. 故答案为：1 2．（24-25高三上·重庆·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得， 即， 当且仅当，取到等号，故选：C. 3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．17 【答案】B 【解析】方法一：， 则， 当且仅当，即，时取等号. 方法二：， 则， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B. 4．（24-25高三上·海南·月考）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【解析】因为，，所以， 因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：B. 题型4 “1”的代换求最值 1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值。 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 1．（24-25高三上·安徽·月考）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由条件可知， 所以， 当且仅当，时取等号．故选：A． 2．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【解析】由，得， 则， 当且仅当时，等号成立.故选：B 3．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， ， 当且仅当：，即时不等式取等号， 故答案为：. 4．（24-25高三上·山东济宁·期末）若，且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，则，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最小值为，故选：B. 题型5 双换元法求最值 双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况． 具体操作如下：如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 另外，当形式比较复杂时，也可以考虑使用换元法进行化简． 1．已知正实数满足且，则的最小值为 【答案】 【解析】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 故答案为： 2．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】4 【解析】设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. 故答案为：4 3．（24-25高三上·江苏·月考）对于任意的，，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，则， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 即的最大值为，故选：D. 4．（24-25高三上·江西南昌·月考）设实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为，所以， 令，所以， 因为，所以 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最小值为.故选：C. 题型6 齐次化法求最值 适用于能构造成分式，且分式上下为齐次式的题型，构造齐次式后则可进行下面的操作 再进行换元则题目变成分式类型，按照单变量分式类型计算即可． 1．（24-25高三上·河南·月考）已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 2．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知实数，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【解析】 设，，故， ， 当且仅当，即时，等号成立.故选：B 3．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知x，y为正实数，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】，令， 所以， 当且仅当取等号. 所以的最小值为. 故答案为： 4．（23-24高三下·湖北·一模）已知正实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以.又， 所以， 当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故答案为： 题型7 构造不等式求最值 当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值． 1．（24-25高三上·广东广州·月考）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，则， 当且仅当时，等号成立，即， 解得或（舍），解得，故选：C. 2．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立， 即的最小值为9.故选：B. 3．（23-24高三下·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】解法（1）：由， 令，即，， ，即最大值为2； 解法（2）： 当且仅当，即时取等号， ，即最大值为2，故选：A. 4．（24-25高三上·广东湛江·月考）已知正数 满足 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故原题干等式可转化为 ， 得 ， 设 ，则 ，解得 ， 因为，所以 ， 解得或 ，又因为 ， 所以，整理得，解得 ， 当且仅当时，等号成立. 因此，即2，所以的取值范围是.故选：D. 题型8 多次使用不等式求最值 同一式子中若使用多次基本不等式，需满足以下两个条件：（1）不等号的方向已知；（2）取等条件一致． 1．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知，，，且恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，，， 故， 当且仅当、，即，时，等号成立， 故，即，则的取值范围是. 故答案为：. 2．（24-25高三上·福建宁德·月考）已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 【答案】2 【解析】由题意知，当时取等号， 故 ，当时取等号， 综上，当时，的最小值为2. 故答案为：2 3．（23-24高三上·江苏南京·月考）设正实数满足，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】， 由于是正实数，且， 所以 ， 当且仅当，即，所以时等号成立， 则的最小值为2， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考），，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 当且仅当，即，所以，时等号成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为.故选：. 题型9 三角换元法求最值 适用于双变量不等式能构造平方和形式的题型．利用进行换元． 例如 1．（24-25高三上·江苏盐城·期中）若实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，令且， 所以，显然的最小值为， 当且仅当，即时取最小值.故选：D 2．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 设，，， 则，其中， 当时等号成立， 所以的最大值为.故选：D. 3．（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知均为正数，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为，，设， 则， 其中， 可知的最大值为，其中，即， 可得， 综上所述：的最大值为，其中. 故答案为：. 4．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】，由，得， 令，且， 所以，有， 即，故， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为1.故选：A 题型10 利用柯西不等式求最值 适用于：已知的值，求的取值范围，或者已知的值，求的最值或求的最值． （1）二维柯西不等式：设均为实数，有，当且仅当时等号成立． （2）维柯西不等式：，其中字母值域均为，当且仅当时等号成立． 1．（24-25高三上·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】，由，解得， 当时，，当，， 当，则，此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2.故选：C. 2．（24-25高三上·陕西西安·月考）已知，，则的最小值为 ． 【答案】10 【解析】由,得 所以 当且仅当,即时,等号成立, 故的最小值为10. 故答案为：10. 3．（24-25高一上·陕西西安·月考）存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 【答案】3 【解析】由柯西不等式可知 由能成立. 故答案为：3. 4．（24-25高三上·广西钦州·月考）（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由得：， 当且仅当，即时取等号， 当且仅当时取等号， 即当时，， ，解得：，可能的取值为.故选：BCD. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．100 【答案】B 【解析】， 又因为，所以， 则，当且仅当时取等， ．故选：B. 2．（24-25高三上·四川广安·月考）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【解析】由，可得，故， 则， 当且仅当，时取等号，故目标式的最小值为9.故选：A 3．（24-25高三上·广东中山·月考）若正实数，满足，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【解析】令，则，， 当且仅当，即时，取等号.故选：C 4．（24-25高三上·湖北黄冈·月考）若，且，则的最小值为（    ） A．20 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为.故选：D. 5．（24-25高三上·江西上饶·月考）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值为27.故选：C. 6．（24-25高三上·江苏·月考）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为，，所以， 又， 因为，， 由基本不等式就可得， 当且仅当，时等号成立， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为.故选：A 7．（23-24高三下·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】设，则，，， ∴，当且仅当时取等号， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，所以的最小值是2，故选：C． 8．（24-25高三上·天津河东·期末）已知且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为， 故； 当且仅当，且，也即，且时取得等号. 故的最小值为.故选：B. 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏镇江·月考）已知，，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】因为，，， 对于A：∵，，∴， 当时，取最小值，故A不正确； 对于B：， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C：， 当且仅当，即时等号成立. 故C正确； 对于D： ，当且仅当，即时等号成立. ，故D不正确.故选：BC. 10．（24-25高三上·山西·月考）已知为正实数，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【解析】对于选项A，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项B错误， 对于选项C，因为， 当且仅当，即时取等号， 又，解不等式得，即，得到的最大值为8，所以选项C错误， 对于选项D，由选项A知，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项D正确.故选：AD. 11．（24-25高三上·重庆·模拟预测）若 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，则，A正确； 对于B，由，得，，则，B正确； 对于C，，则， 当且仅当时取等号，因此，C错误； 对于D，， 令，对勾函数在上递减，在上递增， 因此，D正确.故选：ABD 12．（24-25高三上·江苏泰州·月考）已知均为正实数，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．若，则的最大值为8 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】对于A，因为，当且仅当时取等，所以，故A正确， 对于B，因为，当且仅当时取等， 而，所以，解得，则的最小值为8，故B错误， 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，故C正确， 对于D，因为，所以， 因为， 令，所以新函数为， 由题意得若取得最小值，则取得最大值， 由二次函数性质得，当时，取得最大值， 且其最大值为， 所以最小值为，故D错误.故选：AC 三、填空题 13．（24-25高三上·福建·月考）已知，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】， 故，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：4. 14．若x，y满足，则的最大值为 【答案】3 【解析】设，， 因此，其中 ，所以当时，取到最大值3. 故答案为：3. 15．（24-25高三上·天津河西·月考）已知，，，则的最小值为 . 【答案】25 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为25. 故答案为：25 16．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知，，，则的最小值为 . 【答案】6 【解析】因为，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，解得或（舍去）， 所以的最小值为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$