6.2.1排列（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.1 排列 第 六 章 计 数 原 理 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 分步乘法计数原理 一般地，如果完成一件事需要个步骤， 在第1步中有种不同的方法， 在第2步中有种不同的方法， ……在第中有 种不同的方法； 那么完成这件事共有： N＝ …… 种不同的方法. 分类加法计数原理 一般地，如果完成一件事有类不同方案， 在第1类方案中有种不同的方法， 在第2类方案中有种不同的方法， ……在第类方案中有 种不同的方法； 那么完成这件事共有： N＝＋ ＋……种不同的方法. 区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步. 章节导读 0 6.1分类加法、分步乘法 6.2排列与组合 6.3二项式定理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 二项式定理 二项式系数的性质 排列数 组合 组合数 排列 学习目标 1 2 3 了解正确理解排列定义，能判断是否为排列问题． 掌握“树形图”和“分步乘法计数原理”分析排列问题． 能运用所学内容解决一些有关排列的实际问题． 0 读教材 0 阅读课本P14-P18，5分钟后完成下列问题： 1.排列的定义是什么？排列有什么特点？ 我们一起来探究“排列”吧！ 2.如何判断是否为排列问题？ 01 03 02 目录 1 排列的定义 学习过程 2 题型训练 新知探究 1 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的活动，其中1名参加上午的活动， 另外1名参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 完成一件什么事 有什么要求 第1步：确定参加上午活动的同学 第2步：确定参加下午活动的同学 选出2名同学参加活动 1名参上午的活动 另1名参加下午的活动 怎么完成这件事 乙 乙 丙 甲 下午 丙 乙 甲 上午 相应的选法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 甲 丙 由分步乘法计数原理可得，不同的选法有 3×2＝6 种 所有的排法如下 新知探究 1 问题2：从1， 2，3， 4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数， 共可得到多少个不同的三位数? 完成一件什么事 有什么要求 第1步：确定百位数字，有4种取法； 第2步：确定十位数字，有3种取法； 第3步：确定个位数字，有2种取法. 取三个数字排成三位数 从1,2,3,4中取3个 怎么完成这件事 你能列举出所有的三位数吗 新知探究 1 问题2：从1， 2，3， 4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数， 共可得到多少个不同的三位数? ４种 ３种 ２种 选法如下： 百位： 十位： 个位： 由此可写出所有的三位数： 123 124 132 134 142 143 213 214 231 234 241 243 312 314 321 324 341 342 412 413 421 423 431 432 由分步乘法计数原理可得， 不同的三位数有 个 新知探究 1 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的活动，其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题2：从1， 2，3， 4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数， 共可得到多少个不同的三位数? 思考：将具体问题背景舍去，上述问题可以概括为？ 从3个不同元素中任取2个，然后按一定顺序排成一列. 从4个不同元素中任取3个，然后按一定顺序排成一列. 上述问题1，2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？ 从不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数. 1 新知1－－排列的定义 一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 排列的定义 说明：第一步：取出元素；第二步：按照一定顺序列． 一定顺序就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志． 时的排列叫选排列，时的排列叫全排列. 两个排列相同的充要条件: 两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序相同． AB和BA是不同的排列 学以致用 例1 判断下列问题是否为排列问题： (1)选2个小组分别去植树和种菜； (2)选2个小组去种菜； (3)选10人组成一个学习小组； (4)某班2名学生在假期通话次数. (5)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？ 若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (6)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ 可确定多少条射线？ 是 是 是 不是 不是 不是 不是 不是 学以致用 例2 (1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各 取1盘菜，共有多少种不同的取法？ 解：可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，有5种取法； 然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，有4种取法； 最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙，有3种取法； 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×4×3＝60. 学以致用 例2 (2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 解：可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法； 再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法； 最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法. 所以按分步乘法计数原理，不同的选法种数为5×5×5＝125. 学以致用 例3 下面问题中，是排列问题的是（ ） A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B.从40人中选5人组成篮球队 C.从100人中选2人抽样调查 D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 A 解：选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素 即可，与元素的排列顺序无关，故选A. 思路点拨 排列中元素所满足的两个特性： (1)无重复性： 从个不同的元素中取出个不同的元素，否则不是排列问题. (2)有序性： 安排这个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列.而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. 01 03 02 目录 学习过程 1 排列的定义 2 题型训练 2 例1 将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法？ 解：树形图(如图)： 题型1－－树形图的应用 由树形图知，所有排法有: BADC，BCDA，BDAC， CADB，CDAB，CDBA， DABC，DCAB，DCBA. 2 例2 从1,2,3,4四个数字中，任取出两个数字组成一个两位数， 共有多少个不同的两位数？ 解：由题意作树形图，如图. 故所有两位数为： 12,13,14,21,23,24, 31,32,34,41,42,43，共有12个. 题型1－－树形图的应用 “F2”第1步： 确定十位上的数字： 在1,2,3,4中任取1个，有4种方法； 第2步： 确定个位上的数字： 当十位上的数字确定后，个位的数字只能 从余下的3个数字中去取， 有3种方法. 根据分步乘法计数原理， 不同的取法有4×3＝12个 2 例3 由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同 数字的四位数的个数为（ ） A.9 B.12 C.15 D.18 B 解：本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为： 由此可知共有12个符合题意的四位数. 题型1－－树形图的应用 2 例4 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ 解：三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一，但数字不重复： 第一步，得首位数字，有6种不同结果； 第二步，得十位数字，有5种不同结果； 第三步，得个位数字，有4种不同结果. 故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个). 题型2－－简单排列问题 2 例4 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时： (2)可以排出多少个不同的三位数？ 解：三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一，数字可重复： 第一步，得首位数字，有6种不同结果； 第二步，得十位数字，有6种不同结果； 第三步，得个位数字，有6种不同结果. 故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个). 题型2－－简单排列问题 2 例5 用0,1,2,3，…，9十个数字可组成不同的：(1)三位数 _____ 个； 解：第一步：确定百位数字： 由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法， 第二步：确定十位、个位数字： 十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有根据分步乘法计数原理，可以组成三位数有：9×10×10＝900(个). 题型2－－简单排列问题 900 2 例5 用0,1,2,3，…，9十个数字可组成不同的：(2)无重复数字的三位数_____个； 解：第一步：确定百位数字： 由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法， 第二步：确定十位数字： 十位与百位数字不重复，十位数字还有9种选法， 第三步：确定个位数字： 个位与百位、十位数字不重复，个位数字还有8种选法； 根据分步乘法计数原理，可以组成三位数有：9×9×8＝648(个). 题型2－－简单排列问题 648 2 例5 用0,1,2,3，…，9十个数字可组成不同的：(3)小于500且无重复数字的 三位奇数_____个. 解：小于500的无重复数字的三位奇数，应满足的条件是： 首位只能从1,2,3,4中选，个位必须为奇数，按首位分两类， 第一类，首位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，共有4×8×2＝64(种)； 第二类，首位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，共有5×8×2＝80(种). 由分类加法计数原理知，共有64＋80＝144(种). 题型2－－简单排列问题 144 思路点拨 排列问题的两种解决思路： (1)列举法(树形图)：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时， 是一种比较简单易懂的方法，但元素个数较多时不适用. (2)分析法：先将元素按一定顺序排出，结合分类加法和分步乘法对应分析，并且以先安排哪个元素为分类标准进行分类或分步，再安排第一、二个元素，并按此分类(步)，依次进行，直到完成一个排列。 注意：分类时要不重不漏，分步时要确保每一步都不能独立完成这件事. 课堂小结 一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 排列的定义 时的排列叫选排列，时的排列叫全排列. 两个排列相同的充要条件: 两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序相同． AB和BA是不同的排列 说明：第一步：取出元素；第二步：按照一定顺序列． 一定顺序就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志． $$