6.2.2排列数（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.2 排列数 第 六 章 计 数 原 理 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 排列的定义 时的排列叫选排列，时的排列叫全排列. 两个排列相同的充要条件: 两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序相同． AB和BA是不同的排列 说明：第一步：取出元素；第二步：按照一定顺序列． 一定顺序就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志． 章节导读 0 6.1分类加法、分步乘法 6.2排列与组合 6.3二项式定理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 二项式定理 二项式系数的性质 排列数 组合 组合数 排列 学习目标 1 2 3 了解排列数的定义，能利用计数原理推导排列数公式． 能运用排列数公式及其变形熟练地进行相关计算． 能利用排列数公式解决一些有关排列的实际问题． 0 新课引入 0 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的活动，其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题2：从1， 2，3， 4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数， 共可得到多少个不同的三位数? 第1步：确定参加上午活动的同学，有3中选法 第2步：确定参加下午活动的同学，有2种选法 第1步：确定百位数字，有4中取法；第2步：确定十位数字，有3中取法； 第3步：确定个位数字，有2种取法. 由分步乘法计数原理可得， 不同的选法有 3×2＝6 种 由分步乘法计数原理可得， 不同的三位数有个 我们采用分步乘法计数原理或列举法来求排列个数，但随着元素个数的增加，计算会越来越繁琐， 是否有能便捷的计算出排列个数的公式呢！ 读教材 0 阅读课本P17-P20，4分钟后完成下列问题： 1.排列数的定义是什么？ 我们一起来探究“排列数”吧！ 2.排列数公式是什么？有什么特点？ 01 03 02 目录 1 排列数的定义与公式推导 学习过程 2 题型训练 1 新知1－－排列数的定义 一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 排列的定义 排列数的定义 我们把从个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示. 取出元素个数 元素总数 排列的 第一个字母 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 1 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的活动，其中1名参加上午的活动， 1名参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 新知探究 思考：你能说说排列与排列数的区别吗？ 第1步：确定参加上午活动的同学，有3中选法 第2步：确定参加下午活动的同学，有2种选法 由分步乘法计数原理可得，不同的选法有 3×2＝6 种 列举法：甲乙、甲丙、乙丙、 乙甲、丙甲、丙乙. 不同的选法有 6 种 一个排列就是完成一件事的一种方法，它不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数. 新知探究 1 从3个不同元素中任取2个，然后按一定顺序排成一列，有多少种不同的排法？ 从4个不同元素中任取3个，然后按一定顺序排成一列，有多少 种不同的排法？ 从3个不同元素中取出2个元素的排列数， 表示为 已经算得. 从4个不同元素中取出3个元素的排列数， 表示为 已经算得. 那么，从个不同元素中取出个元素的排列数是多少？ 新知探究 1 思考1：如何求从个不同元素中取出2个元素的排列数？ n种 第1步 第2步 n－1种 根据分步乘法计数原理： 从 思考2：如何求从个不同元素中取出3个元素的排列数？ n种 n－1种 n－2种 第1步 第2步 第3步 根据分步乘法计数原理： . 新知探究 1 思考3： 如何求从个不同元素中取出个元素的排列数 n种 n－1种 n－2种 第1步 第2步 第3步 n－m+1种 第m步 ...... 事情可以分为个步骤完成： 第1步:从个不同元素中任选1个填在第1位，有种选法； 第2步:从剩下的个元素中任选1个填在第2位,有种选法； 第3步:从剩下的个元素中任选1个填在第3位,有种选法； …… 第步:从剩下的个元素中任选1个填在第位,有种选法. 1 新知1－－排列数的定义 排列数公式 取出元素个数 元素总数 排列的 第一个字母 ，，并且. 我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列. 排列数公式中，即有 正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示规定，. 所以 所以 个连续正整数的乘积. 学以致用 例1 计算：(1)；(2)；(3)， 解：根据排列数公式，可得 (1)； (2)； (4)； (5)(6). 学以致用 例2 (1)用排列数表示：(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)； 解：∵55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n， 且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数， 所以(55－n)(56－n)…(69－n)=. 学以致用 例2 (2)用排列数表示：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m). 解：∵n，(n＋1)，(n＋2)，(n＋3)，…(n＋m)中的最大数为n＋m， 且共有(n＋m)－n＋1＝m＋1(个)数， 所以n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)=. 学以致用 例3 可表示为( ). A. B. C. D. C 思路点拨 排列数公式的选择： (1) 排列数公式的乘积形式适用于计算排列数. (2)： 排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 01 03 02 目录 学习过程 1 排列数的定义与公式推导 2 题型训练 2 例1 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起； 解：(1)男生站在一起，即对3名男生进行全排列：有种不同的站法， 女生站在一起，即对4名生进行全排列：有种不同的站法， 男生、女生看成两个元素，再进行全排列：有种不同的站法， 故共有(种)不同的站法. (2)男生排在一起全排列看成一个元素，再与4名女生组成5个元素全排列， 故共有(种)不同的站法. 题型1－－(不)相邻问题(捆绑法＋插空法) 2 例1 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻. 解：(1)先对4名女生进行全排列：有种不同的站法， 把3名男生安排在4名女生隔出的五个空格中：有种不同的站法， 故共有(种)不同的站法. 题型1－－(不)相邻问题(捆绑法＋插空法) (2)先对3名男生进行全排列：有种不同的站法， 把4名女生安排在3名男生隔出的四个空格中：有种不同的站法， 故共有(种)不同的站法. 2 例2 7人站成一排：(1)甲必须在乙的前面，则有多少种不同的排列方法？ (2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变，则有多少不同的排列方法？ 题型2－－定序问题(先排后除法) 解：(1)就甲乙两人共则甲在乙前面的排法种数占全体排列 种数的一半，故共有(种)不同的站法. (2)甲、乙、丙三人共有种排法，则甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变的排法种数占全体排列种数的倍，故共有(种)不同的站法. 2 例3 用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序 确定，则有_____个七位数符合条件？ 210 解：1,3,5,7四个数字共有＝24种排法，则1,3,5,7的顺序 确定的排法种数占全体排列种数的，故共有(个)符合条件. 题型2－－定序问题(先排后除法) 2 例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列： (1)甲不在首位的排法有多少种？ 解：F1(特殊位置法) 第一步，先安排首位： 从除甲的同学中选，共有种； 第二步，再安排其他四个位置： 从剩下6名同学选4名，共有种； 故有＝2160(种)排法. 题型3－－限制条件的排列问题(肯定＋否定) 解：F2(间接法)先不考虑限制条件， 然后把不满足条件的排列去掉： 不考虑甲同学，共有种； 考虑甲在首位，共有种； 故有＝2160(种)排法. 2 例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列： (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解：F1(特殊位置法) 第一步，先安排首、末位： 从除甲的同学中选，共有种； 第二步，再安排其他三个位置： 从剩下5名同学选3名，共有种； 故有＝1800(种)排法. 题型3－－限制条件的排列问题(肯定＋否定) 解：F2(间接法)先不考虑限制条件， 然后把不满足条件的排列去掉： 不考虑甲同学，共有种； 考虑甲在首位，共有种； 考虑甲在末位，共有种； 故有＝1800(种)排法. 2 例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列： (3)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 解：(特殊位置法) 第1类：乙在首位：此时满足甲不在首位、乙不在末位：共有种； 第2类：乙不在首位：第一步，先安排首位：甲不在首位：共有种； 第二步，再安排末位：乙不在末为：共有种； 第三步，再安排其他三个位置：从剩下5名同学选3名，共有种； 故有＋＝1860(种)排法. 题型3－－限制条件的排列问题(肯定＋否定) 2 例5 要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长， 但a不能当副组长，则不同的选法有多少种？ 题型3－－限制条件的排列问题(肯定＋否定) 解：a 当副组长，则从剩下的四个人选1名组长：共有＝4种选法， 则a不能当副组长的选法种数共有(种)选法. 思路点拨 排列问题中特殊元素、特殊位置、相邻、不相邻、定序等问题： (1)相邻问题“捆绑法”：将相邻的元素视为一个整体再进行排列. (2)不相邻问题“插空法”：先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中. (3)定序问题“先排后除法”：即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数. (4)限制条件问题：“特殊元素优先考虑＋特殊位置优先安排”的原则解决， 或采用“间接法”：先不考虑限制条件，然后把不满足条件的排列去掉. 课堂小结 一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 排列的定义 排列数的定义 我们把从个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示. 取出元素个数 元素总数 排列的 第一个字母 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 课堂小结 排列数公式 ，，并且. 全排列：排列数公式中， 即规定，. 所以 所以 个连续正整数的乘积. 解：89×90×91×92×…×100＝＝＝. $$