第1章 直角三角形（单元重点综合测试，湘教版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湖南专用）

第1章 直角三角形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是关键． 根据直角三角形的两个锐角互余即可解答． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是，另一个锐角是． 故选：D． 2．（本题3分）如图，在中，，，的垂直平分线交于点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选C． 3．（本题3分）已知：在中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键． 利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，∴，，，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴可设，∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选B． 4．（本题3分）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（    ） A．斜边和一条直角边分别相等 B．一个锐角和斜边分别相等 C．两条直角边分别相等 D．两个锐角分别相等 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、利用，可以判定两个直角三角形全等，不符合题意； B、利用，可以判定两个直角三角形全等，不符合题意； C、利用，可以判定两个直角三角形全等，不符合题意； D、利用，不能得到两个直角三角形全等，符合题意； 故选D． 5．（本题3分）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：图1：延长，交于点F，如图所示： ， ， ∴， 即，故图1符合题意； 图2：补成一个边长为的大正方形，如图所示： 则大正方形的面积为：， 将大正方形看作边长为c的小正方形和四个直角三角形的面积之和，则大正方形的面积为：， ∴， ∴， ∴，故图2符合题意； 图3：，， ∴， 整理得，故图3满足题意； 图4无法证明直角三角三边关系，故图4不符合题意； 综上分析可知：以用来验证勾股定理的有3个． 故选：C． 6．（本题3分）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则为长度的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴的长是． 故选：C． 7．（本题3分）如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用和实数与数轴，利用勾股定理求得的长度，然后结合数轴求得的值即可． 【详解】解：在中，，， ， 设点A所表示的数为， ∵， ∴， ∴， 数轴上点所表示的数是：． 故选：D． 8．（本题3分）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 故选A． 9．（本题3分）代数式最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．作，过点A作，过点D作，使，，连接，设，，当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值，然后构造，利用勾股定理可求得的值． 【详解】解：如图，作，过点A作，过点D作，使，，连接，过点作，交延长线与点F， 设，， 当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值， ， ， ， ， （平行线间距离相等）， 同理得：， 中，，， ， 代数式最小值为5， 故选：B． 10．（本题3分）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论： ①；②；③当时，E，F分别是，的中点：④若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形三边关系、平行线的性质，根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质定理判断④． 【详解】解：∵在中，和的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴，故②正确； 当时，， ∴、不是、的中点，故③错误； 作于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴点在的平分线上， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）若直角三角形斜边上的高是，面积是，则斜边的中线长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式、直角三角形的性质，解决本题的关键是根据三角形的面积公式求出直角三角形的斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出直角三角形斜边的中线长． 【详解】解：设直角三角形斜边的长为， 直角三角形斜边上的高是，面积是， ， 解得：， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长是． 故答案为： ． 12．（本题3分）如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有 对． 【答案】3/三 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， 故图中的全等三角形一共有3对， 故答案为：3． 13．（本题3分）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A，B，C，D的面积的和是64cm2，则最大的正方形的边长为 cm． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理．勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积． 根据题意可得，最大的正方形的面积为，则答案可解． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，最大的正方形的面积为，则最大的正方形的边长为． 故答案为：8． 14．（本题3分）如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：在直角三角形中， ，， ， ，， ， 在中 ， 故答案为：8． 15．（本题3分）如图，在中，是边上的高，若分别是和上的动点，则的最小值为 ． 【答案】9.6 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，勾股定理求出，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴垂直平分， ∴若连接，则，， ∴ 过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出的最小值为是解题的关键． 16．（本题3分）如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ；若，则 ． 【答案】 或 /60度 【分析】本题考查了直角三角形的判定“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等”，理解并掌握这个知识点是解题的关键，本题容易忽略两种情况，要注意分类讨论． 本题要使和全等，已知和斜边，要想证明全等，还需要一个直角边相等条件，即或．当，根据内角和为，且，可求得． 【详解】解：当 时，点和点重合， 在和中， ， ∴． 当 时，在和中， ， ∴． 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或；． 17．（本题3分）如图，在中，和的平分线、相交于点，过点作于点，则下列结论：①若，则；②；③若，，则；④平面内到三条直线、、距离相等的点有个．正确的有 ．（只填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及性质，三角形面积的计算方法，掌握角平分线的定义及性质，数形结合思想是解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，在中有三角形内角和定理可判定①；根据三角形面积的计算方法可得，，根据面积的比值即可判定②；如图所示，过点作于点，连接，根据角平分线的性质可判定③；根据角平分线在三角形内部的交点，三角形外角角平分线的交点及性质可判定④；由此即可求解． 【详解】解：在中，若，则， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，故①正确； 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，过点作于点，连接， ∵平分，， ∴， ∵ ，故③正确； ∵， ∴三角形内部有一个点到直线、、距离相等， 如图所示，作外角的角平分线，交于点， ∴由角平分线的性质定理可得， 同理可得，三角形外部共有3个点直线、、距离相等， ∴共有4个点直线、、距离相等，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③ ． 18．（本题3分）观察下列表格中数组的规律． 组别 数字 等式 1 3，4，5 2 5，12，13 3 7，24，25 4 9，40，41 … … … 根据上表的规律，写出第组的三个数字满足的等式： ． 【答案】 【分析】根据题意，找出规律列式表示即可；本题主要考查勾股数，找规律，准确得出规律并列式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第一列数字都为奇数，且后一排比上一排大2，第三列比第二列大1， 且三个数成勾股数 根据表格规律：第一列数字是组数的2倍加1 第组第一列数字为, 设第二列数为，则第三列数为，由勾股定理得： 解得： 第组的三个数字满足的等式是：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）如图，中，，，D为边上的中点，E为上的一动点（不与A、C点重合），过点D作的垂线交于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．连接，先根据等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，，，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵中，，，为边上的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20．（本题6分）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且． (1)试说明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，于是结论得证； （2）由（1）可得，进而可得，利用可证得，于是可得，然后在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ； （2）解：由（1）可得：， ， ，， ， ， ． 21．（本题8分）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据证明，则可得，再根据证明即可． （2）根据全等三角形对应边相等可得，,进而可得的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，， ∴，, 又∵， ∴， ∴． 22．（本题8分）如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，，的面积是，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； （）根据三角形的面积，代入计算即可； 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴由， 则， ∵，， ∴， ∴， 23．（本题9分）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，新路长度是80米 (2)该车没有超速，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． （2）解：该车没有超速．     理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 24．（本题9分）已知：在等腰直角三角形中，，，点D在直线上，连接，在的右侧作，． (1)如图1， ①点D在边上，线段和线段的关系是 ； ②直接写出线段之间的数量关系 ； (2)如图2，点D在B右侧．请写出之间的数量关系并说明理由，若，．请求出的长． 【答案】(1)①，；② (2)，理由见解析， 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键： （1）①证明，得到，根据等边对等角，全等三角形的对应角相等，推出，得到，即可；②利用勾股定理结合等量代换，即可得出结论； （2）同法（1）进行判断，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上：，； ②由①知：，， 由勾股定理，得：， ∴； （2），理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 25．（本题10分）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题： ；（是的面积）； ；（是的面积）； ；（是的面积）； (1)推算出________，________； (2)用含有（为正整数）的等式________； (3)求出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件中和的值发现并总结出其变化规律，即可求出答案； （2）根据（1）中发现并总结出的规律求出答案即可； （3）根据（1）中发现并总结出的规律，求出，，，，，，，再代入所求代数式，然后利用分母有理化进行计算即可． 【详解】（1）解：，（是的面积）， ，（是的面积）， ，（是的面积）， ， ，（是的面积）， ，， 故答案为：，； （2）解：，（是的面积）， ，（是的面积）， ，（是的面积）， ， ，（是的面积）， ，（是的面积）， 故答案为：； （3）解：由（1）可知： ，，，，，，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，数字类规律探索，求一个数的算术平方根，实数的混合运算等知识点，发现并总结出其一般规律是解题的关键． 26．（本题10分）【阅读】 如图1，在中，，，是中线，求的取值范围．小明同学的做法是：延长到，使，连接，证明．得到，在中．，即，所以； 【理解】 如图2．是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； 【运用】 如图3．在中，，为的中点，，求证：． 【答案】【理解】详见解析【运用】详见解析 【分析】【理解】由可证，可得，进而可证，利用等角对等边即可得解； 【运用】同上可证，可得，进而可证，最后由勾股定理即可得解． 【详解】【理解】证明：如图，延长到点，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【运用】如图，延长至，使，连接，， ， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理并能灵活运用类比的方法是解决此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直角三角形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，在中，，，的垂直平分线交于点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（本题3分）已知：在中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 4．（本题3分）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（    ） A．斜边和一条直角边分别相等 B．一个锐角和斜边分别相等 C．两条直角边分别相等 D．两个锐角分别相等 5．（本题3分）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（本题3分）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则为长度的（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（   ）      A． B． C． D． 8．（本题3分）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 9．（本题3分）代数式最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 10．（本题3分）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论： ①；②；③当时，E，F分别是，的中点：④若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）若直角三角形斜边上的高是，面积是，则斜边的中线长是 ． 12．（本题3分）如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有 对． 13．（本题3分）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A，B，C，D的面积的和是64cm2，则最大的正方形的边长为 cm． 14．（本题3分）如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是 ． 15．（本题3分）如图，在中，是边上的高，若分别是和上的动点，则的最小值为 ． 16．（本题3分）如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ；若，则 ． 17．（本题3分）如图，在中，和的平分线、相交于点，过点作于点，则下列结论：①若，则；②；③若，，则；④平面内到三条直线、、距离相等的点有个．正确的有 ．（只填写序号） 18．（本题3分）观察下列表格中数组的规律． 组别 数字 等式 1 3，4，5 2 5，12，13 3 7，24，25 4 9，40，41 … … … 根据上表的规律，写出第组的三个数字满足的等式： ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）如图，中，，，D为边上的中点，E为上的一动点（不与A、C点重合），过点D作的垂线交于点F．求证：． 20．（本题6分）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且． (1)试说明：； (2)若，求的长． 21．（本题8分）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（本题8分）如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，，的面积是，求． 23．（本题9分）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 24．（本题9分）已知：在等腰直角三角形中，，，点D在直线上，连接，在的右侧作，． (1)如图1， ①点D在边上，线段和线段的关系是 ； ②直接写出线段之间的数量关系 ； (2)如图2，点D在B右侧．请写出之间的数量关系并说明理由，若，．请求出的长． 25．（本题10分）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题： ；（是的面积）； ；（是的面积）； ；（是的面积）； (1)推算出________，________； (2)用含有（为正整数）的等式________； (3)求出的值． 26．（本题10分）【阅读】 如图1，在中，，，是中线，求的取值范围．小明同学的做法是：延长到，使，连接，证明．得到，在中．，即，所以； 【理解】 如图2．是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； 【运用】 如图3．在中，，为的中点，，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$