精品解析：四川省乐山市沐川县2024—2025学年九年级上学期期末考试数学试题

沐川县2024-2025学年上期九年级质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分，请务必在“答题卡”上与试题番号对应的位置处答题，位置错误，答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，那么EF等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共6个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，若从中随机摸出一个白球的概率是，则白球的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，D是的边上一点，添加一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，于E，设，且，，则长（ ） A. B. 10 C. 8 D. 10. 如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为（　　） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 11. 如图，在一块长，宽的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为( ) A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 14. 方程的根为__________ 15. 在100张奖券中，其中5张有奖，某人从中任抽一张，则他中奖的概率是______． 16. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=_____． 17. 已知，是一元二次方程两个实数根，则代数式的值为________． 18. 如图的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是，同时，点E沿从B向C运动，速度为．动点E到达点C时运动终止．连接． （1）当动点运动______秒时，与相似； （2）当动点运动______秒时，． 三、解答题：本大题共10个小题，共96分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 20. 解方程： 21. 计算：． 22. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 23. 在创建全国文明城市活动中，需要名志愿者担任“讲文明树新风”公益广告宣传工作，其中男生人，女生人． （1）若从这人中随机选取一人作为“展板挂图”讲解员，求选到女生的概率； （2）若“广告策划”只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁担任，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为，，，的扑克牌洗匀后，数字朝下放在桌面，先取出张牌后不放回，再取出张牌，若两张牌面数字之和为偶数，则甲担任，否则乙担任．试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由． 24. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到200件． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，如果售价不变，预计销售量和五月份持平，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降2元，销售量增加10件，当商品降价多少元时，商场六月可获利2250元？ 25. 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量古塔的高度，如图，古塔前有一座高为的观景台，已知米，斜坡的坡度，点、、在同一条水平线上．某学习兴趣小组在处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为（单位：米）． ①用含的代数式表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（，，，，结果精确到米）． 26. 已知：如图，在中，D是的中点，，，与相交于点E，与相交于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）若的面积为5，，求的长． 27. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根； （2）该方程的两个实数根为四边形的两条对角线长． ①若四边形为矩形，求k的值； ②若四边形为平行四边形，它的面积为，且两条对角线的一个夹角为，求k的值； （3）设方程的两个实数根分别为、，求代数式的最小值． 28. 在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沐川县2024-2025学年上期九年级质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分，请务必在“答题卡”上与试题番号对应的位置处答题，位置错误，答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B、，正确，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：B． 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 3. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是本题的关键．根据所给的方程找出a，b，c的值，再根据关于x的一元二次方程有两个实数根，得出，从而求出k的取值范围． 【详解】解：在关于的一元二次方程中， ，而方程有两个实数根， ， ； 故选：C． 4. 如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，那么EF等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，然后再代入已知条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即，解得：， 故选：C． 5. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共6个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，若从中随机摸出一个白球的概率是，则白球的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式．首先设白球的个数为x个，根据题意得：，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设白球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：， ∴白球的个数为2． 故选：B． 6. 如图，D是的边上一点，添加一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解， 本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：A、∵，， ∴，不符合题意， B、∵，， ∴，不符合题意， C、根据无法得到，符合题意， D、∵， 又∵， ∴，不符合题意， 故选：C． 7. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的值，根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 8. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设DE=3k，EA=2k，则AD=5k，由四边形ABCD是平行四边形，推出AD=BC=5k，DE∥BC，推出△DEF∽△BCF，利用相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵DE:EA=3:2， 设DE=3k，EA =2k，则AD=5k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=5k，DE∥BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 9. 如图，矩形中，于E，设，且，，则长（ ） A. B. 10 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可知：，，可以求出，然后根据勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：， ， ， ∵矩形中， ，， ， ， ， ， 由勾股定理，得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键． 10. 如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为（　　） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，，则，，然后证明∠ABF=∠DFB，得到DF=BD=7，则DE=DF+EF=11，再由，进行求解即可． 【详解】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴，， ∴∠DFB=∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠DFB， ∴DF=BD=7， ∴DE=DF+EF=11， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握三角形中位线定理． 11. 如图，在一块长，宽的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形， 依题意得：， 故选：C． 12. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形，与是等边三角形的性质求解，求解 从而可判断①；证明 可判断②；由，得到，而，得到比例式，可判断③； 证明 再证明 可得从而可判断④． 【详解】解： 正方形， 是等边三角形， 故①符合题意； 正方形， 是等边三角形， 而 由 故②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误，不符合题意； 正方形， ，故④符合题意， 综上：符合题意的有：①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，解直角三角形，含的直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 14. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 15. 在100张奖券中，其中5张有奖，某人从中任抽一张，则他中奖的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】用中奖的奖券数除以总奖券数即为所求的概率． 【详解】解：∵在100张奖券中有5张中奖，某人从中抽取1张，有可能出现100种结果，中奖的结果为5种， ∴他中奖的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)． 16. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=_____． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理可求得斜边AC，由正弦函数的定义即可解决． 【详解】由勾股定理知， ∴ 故答案为: 【点睛】本题考查了求锐角的正弦函数值，勾股定理，掌握正弦函数的定义是关键． 17. 已知，是一元二次方程两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用一元二次方程根的定义得到，再根据根与系数的关系得，然后利用整体代入即可求解． 【详解】解：，是一元二次方程两个实数根， ， ， 故答案为：． 18. 如图的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是，同时，点E沿从B向C运动，速度为．动点E到达点C时运动终止．连接． （1）当动点运动______秒时，与相似； （2）当动点运动______秒时，． 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】（1）分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质求解即可； （2）如图所示，过点E作于F，证明，求出，，则，再证明，得到，即，解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得，则， 在中，由勾股定理得， 当时， ∴，即， 解得； 当时， ∴，即， 解得； 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或； （2）如图所示，过点E作于F，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 三、解答题：本大题共10个小题，共96分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 20. 解方程： 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程－因式分解法．利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：． 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．解答本题的关键是熟练掌握几个特殊角的三角函数值． 将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】解：原式 ． 22. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：∵， ， ， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键； （1）根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可证明结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 即：， ； 【小问2详解】 略 23. 在创建全国文明城市活动中，需要名志愿者担任“讲文明树新风”公益广告宣传工作，其中男生人，女生人． （1）若从这人中随机选取一人作为“展板挂图”讲解员，求选到女生的概率； （2）若“广告策划”只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁担任，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为，，，的扑克牌洗匀后，数字朝下放在桌面，先取出张牌后不放回，再取出张牌，若两张牌面数字之和为偶数，则甲担任，否则乙担任．试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：画树状图： ∴牌面数字之和的结果为，，，，，，，，，，，，一共有种等可能得结果， ∴，， ∵， ∴这个游戏不公平． 【解析】 【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可； （）画出树状图，利用概率公式计算即可； 本题考查了画树状图法或列表法求概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵名志愿者担任“讲文明树新风”公益广告宣传工作，其中男生人，女生人， ∴； 【小问2详解】 略 24. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到200件． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，如果售价不变，预计销售量和五月份持平，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降2元，销售量增加10件，当商品降价多少元时，商场六月可获利2250元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系列出方程是解题关键． (1)首先设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，然后列出方程即可得解； (2)首先设商品降价m元，表示出每件利润和销售量，然后列出方程即可得解． 【小问1详解】 解：设四、五两个月销售量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（舍）， 答：四、五两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价 m 元， ∵每降2元，销售量增加10件， ∴每降1元，销售量增加5件， 则商品降价 m 元，销售量增加件， 由题意得，， 解得，（舍） 答：商品降价 5 元时，商场六月可获利 2250 元． 25. 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量古塔的高度，如图，古塔前有一座高为的观景台，已知米，斜坡的坡度，点、、在同一条水平线上．某学习兴趣小组在处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为（单位：米）． ①用含的代数式表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（，，，，结果精确到米）． 【答案】（1）（米）； （2）①米；②塔的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及含度角的直角三角形的性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． （1）解法一：由，可得，根据含角的直角三角形的性质求解即可；解法二：设，则，根据勾股定理列方程即可求解； （2）①由（1）可知，米，根据等腰直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可求解；②作于，则米，米，在中，，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：解法一：， ， 在中，（米）， 解法二：斜坡的坡度， 设，则， ， ， ， 解得：， 即米； 【小问2详解】 ①由（1）可知，在中，米， ，， ， 米； ②作于，则米，米， 在中，， ， 即， 解得：． 塔的高度为米． 26. 已知：如图，在中，D是的中点，，，与相交于点E，与相交于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）若的面积为5，，求的长． 【答案】（1） 证明∶∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2） 证明∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，利用三角形的面积公式求线段的长是解题的关键． （1）由可以得到，利用D是边上的中点，可以得到，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论； （2）由可以得到，再根据就可以证明； （3）利用相似三角形的性质就可以求出的面积，然后利用面积公式再根据比例就可以求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解∶ 作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴． 27. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根； （2）该方程的两个实数根为四边形的两条对角线长． ①若四边形为矩形，求k的值； ②若四边形为平行四边形，它的面积为，且两条对角线的一个夹角为，求k的值； （3）设方程的两个实数根分别为、，求代数式的最小值． 【答案】（1）证明：， ∵，即， ∴无论k取何值，方程总有两个实数根； （2）①；②； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）计算该方程根的判别式，即可解答； （2）①根据矩形的两条对角线相等，得出方程有两个相等的实数根，进而得出，解方程即可； ②先解直角三角形等可求出，根据平行四边形的面积可得出，根据根与系数的关系得出，则可得出关于k的方程，然后解方程即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，，再根据，求出关于k的二次函数，最后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵四边形为矩形，矩形的两条对角线相等． ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴； ②如图，在中，， 作于E， 在中， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵、是方程的两根， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵，， ． ∵ ∴， ∴代数式的最小值为． 28. 在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 【答案】（1）15°；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到； （2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则； （3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解． 【详解】（1）∵矩形， ∴， 由折叠的性质可知BF=BC=2AB，， ∴， ∴， ∴ （2）由题意可得， ， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； （3）过点作于点． ∴ 又∵ ∴． ∴． ∵，即 ∴， 又∵BM平分，， ∴NG=AN， ∴， ∴ 整理得：． 【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $