精品解析：吉林省长春市第五中学2024-2025学年高二上学期第三学程考试数学试题

2024—2025学年度高二年级上学期 第三学程 数学 学科试题 满分150 考试时间：120分钟 出题人：高一数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用两条直线平行的条件得到得到或再判断即可得到结果 【详解】由直线，，当两条直线平行时，解得或， 当时，， 当时， 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 2. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出数列的周期为，可得. 【详解】因为，， 所以，， ，，……， 所以数列的周期为，所以. 故选：A. 3. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图，在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为,河岸所在直线方程为,将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点为，然后将距离和转化成圆外一点到圆上一点距离最值问题求解即可. 【详解】 如图，设将军去河岸的B点喝水，回到军营的C点，所以需求出最小值即可， 圆的圆心为，半径， 设关于直线的对称点为，则，解得， 所以，此时， 所以“将军饮马”的最短路程为． 故选：D． 4. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾，所以， 故，则， 所以， ， 因此， 故选：B. 5. 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，且，是坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，结合已知求得，再应用三角形面积公式求面积. 【详解】由题意得，直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为， 联立，得，显然， 设，，则，， 由，可得，所以，， 所以，所以. 所以的面积为. 故选：A. 6. 已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率的坐标表示，结合椭圆的性质，可求得，再求得，进而可得即可求离心率. 【详解】 设，则， 所以， 又， 所以， 又点在上，所以， 所以， 即，由， 故选:D． 7. 设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率的公式求解即可. 【详解】由题意，故，故. 故选：B 8. 已知满足．若为增函数，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将中的由来替代，与原式联立求，由此可得，结合导数与函数的单调性的关系可得恒成立，利用基本不等式求得的最大值可得结论. 【详解】将中的由来替代，得到， 联立， 消去两个式子中的得到． 令，， 则，解得． 又（当且仅当时，等号成立）， . 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前10项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，可得，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，依次可判断A、B、C，再由裂项相消法判断D. 【详解】当时，由，得，解得， 当时，， 即， 即数列为以为首项，以为公比的等比数列， 则，，，所以A、C错误，B正确； 又， 数列的前10项和为： ，D正确. 故选：BD. 10. 已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】CD 【解析】 【分析】求抛物线的焦点坐标及准线方程，结合抛物线定义将问题转化为求与点到直线的距离和的范围，再结合平面几何方法求结论. 【详解】抛物线的焦点，准线． 如图，过点作于，过点作于，连接， 由抛物线的定义知，所以， 当且仅当点在上时，等号成立， 又，所以的最小值为， 故选：CD． 11. 已知函数，则（ ） A. 对任意，不等式恒成立 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的极大值为1 D. 当函数取得极小值时，自变量 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，对函数变形后，再根据分析判断即可，对于BCD，对函数求导后，再利用导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，进而进行分析判断. 【详解】由，得函数的定义域为． 对于A，．当时，，，所以，所以A正确； 对于BCD，由，得．由，得或；由，得或， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以的极大值为，极小值为，所以B错误，C，D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等差数列中，若，则=_____. 【答案】15 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求解. 【详解】因为， ， 所以，所以， 故答案为：15. 13. 曲线与在交点处存在公切线，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】运用导数几何意义，结合导数运算来判定单调性和求最值，计算即可， 【详解】设两曲线的公切点为，因为，， 依题意得，， 由，解得，将代入， 整理得，令，则，令， 则，令，解得（舍负）， 当时，；当时，， 所以有最小值，所以方程有唯一解，此时，解得． 故答案为：2. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的右支上一点，连接与轴交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的渐近线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，利用已知条件转化求解关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【详解】由题意双曲线的图形如图， 设，点是的右支上一点， 连接与轴交于点，若，， 易知与相似， 可得：，所以，又，所以， 可得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为：． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，可求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可写出直线方程； （2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式即可求出． 【小问1详解】 因为直线的方程为，所以直线的斜率为. 因为，所以直线的斜率为. 因为直线过点，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为直线，所以可设直线的方程为， 直线与直线之间的距离为， 所以，解得或. 故直线的方程为或. 16. 已知圆的圆心在直线上，且点，在上. （1）求圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出线段的垂直平分线所在的直线方程，与联立解出圆心坐标，再求出圆的半径即可； （2）由已知可得直线的方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解. 【小问1详解】 设线段的中点为，则， 因为直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线所在的直线方程为， 由得， 所以圆心，半径为， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又直线经过点，所以直线的方程为， 即， 所以点到直线的距离为， 所以. 17. 已知数列是等差数列，且． （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值． 【答案】（1） （2）或，最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算求得首项和公差即可得解. （2）利用等差数列求和公式求和，进而利用二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 设的公差为，则 解得 所以； 【小问2详解】 ， 所以当或时，取得最小值，最小值为． 18. 已知动点到点的距离，与点到直线：的距离相等. （1）求动点的轨迹方程； （2）若过点的直线与动点的轨迹交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）点的轨迹满足抛物线的定义，由此求得点的轨迹方程； （2）由于直线斜率存在且不为零，故设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，消去，写出韦达定理，代入可求得的值，进而求得直线的方程. 【小问1详解】 因为平面上的动点到定点的距离与到直线的距离相等， 所以由抛物线定义知，点在以为焦点，为准线的抛物线上， 所以其轨迹方程为. 【小问2详解】 直线的斜率显然存在且不为0, 故可设的方程： 由,得, 所以, 因为， 所以, 所以, 解得, 所以所求直线的方程是，即. 19. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用导数求得函数的单调性，即可求得函数的最大值； （2）求出导数，分，，，讨论判断单调性，求解. 【小问1详解】 当时，，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取最大值，最大值为． 【小问2详解】 ，， 则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以无极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意； 当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意． 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度高二年级上学期 第三学程 数学 学科试题 满分150 考试时间：120分钟 出题人：高一数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 3. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图，在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为,河岸所在直线方程为,将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（ ） A. B. C. D. 4. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，且，是坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知满足．若为增函数，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前10项和为 10. 已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 已知函数，则（ ） A. 对任意，不等式恒成立 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的极大值为1 D. 当函数取得极小值时，自变量 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等差数列中，若，则=_____. 13. 曲线与在交点处存在公切线，则______． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的右支上一点，连接与轴交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的渐近线方程为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 16. 已知圆的圆心在直线上，且点，在上. （1）求圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求. 17. 已知数列是等差数列，且． （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值． 18. 已知动点到点的距离，与点到直线：的距离相等. （1）求动点的轨迹方程； （2）若过点的直线与动点的轨迹交于两点，且，求直线的方程. 19. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $