预习05 导数的综合问题（九大考点）-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习05 导数的综合问题 考点01 利用导函数构造原函数解不等式 【方法点拨】①可构造 ②可构造 ③可构造 ④可构造 ⑤可构造 ⑥可构造 ⑦可构造 ⑧可构造 ⑨可构造 【例1】已知函数的导函数为，当时，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．在上单调递减 D．当时， 【答案】D 【详解】在中令得，故A错； 令，则， 因为当时，， 所以，在上单调递增， 因为，所以当时，，时，， 因为在时，，时，， 所以时，，故D正确； ，则，，故的正负不确定，故B错； 当时，，，故在的单调性不确定，故C错. 故选：D. 【点睛】方法点睛：构造函数的常见类型： ①乘积形式：例如，； ②商的形式：例如，. 【例2】已知函数的定义域为，为的导函数，且，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 又，即， 所以，即，解得. 所以不等式的解集是. 故答案为： 【变式1-1】已知定义在上的可导函数，满足在上恒成立，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】令，则有， 由在上恒成立，故在上恒成立， 即函数在上单调递增， 由，则， 即不等式可转化为， 结合函数单调性可得，即不等式的解集为. 故答案为：. 【变式1-2】已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，故单调递增. 又，故可转化为，即， 由单调递增可得，解得或， 即不等式的解集为. 故选：. 【变式1-3】已知奇函数及其导函数的定义域均为，，当时，，则使不等式成立的的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为当时，， 所以， 令，则，单调递增， 因为是奇函数，所以， 所以， 所以为偶函数，图象关于轴对称， 因为， 所以， 所以， 大致图象如图：    所以成立的的取值范围是， 故答案为：. 考点02 指对同构问题 【方法点拨】1.积型: ①同左构造:,构造; ②同右构造:,构造; ③取对构造:,构造. 2.商型: ①同左构造:,构造; ②同右构造:,构造; ③取对构造:,构造. 3.和、差型: ①同左构造:,构造; ②同右构造:,构造. 【例3】已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式对任意的实数恒成立 令 对任意的实数恒成立 ， ， 令 令 ，解得 当 时， ，函数单调递增 当 时， ，函数单调递减 ， ，所以实数的最大值为 故选：B 【例4】若对任意的实数，不等式恒成立，则正数k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，，， 令，，即在上单调递增， 则， 令，，时，时， 在上递增，在上递减，时，即， 正数k的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：不等式恒成立问题，等价转化，分离参数是解题的关键. 【变式2-1】已知函数，若恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，得，恒成立即，恒成立. ，恒成立，化简可得，， ，， 令，，故单调递增， ，，令， ， 当时，，当时，，时，取最大值为， ，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是指对同构，构造函数. 【变式2-2】已知实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，故可得，且，故， 又，则； 若，则，，而，显然不成立，故，即； 令，则，故在单调递增； 则由，可得，又，故， 也即，解得，令，则， 时，时， 故在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值，最小值， 也即，当且仅当时取得等号；故，当且仅当时取得等号，故的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考察导数中的同构问题，处理本题的关键是能够根据已知条件，配凑出，再构造函数，从而进一步求得更加明确的关系，进而求的最小值. 【变式2-3】已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由条件得， 构造函数，对其求导得，令得， 于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 因为，，所以，，根据，得到， 分离参数得对恒成立， 只需 构造函数，，对其求导得， 令得，于是当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，于是，因此k的取值范围是 故答案为： 考点03 证明不等式 【方法点拨】常见的函数不等式证明有下面的两种解法： （1）直接构造差函数：以证不等式为例，可构造差函数，求，研究的单调性，得出的最大值小于0即可. （2）等价变形后构造差函数：当直接按第（1）种处理方法构造出来的函数较为复杂时，可对要证明的不等式先进行等价变形，再构造函数证明，体现了转化与化归的思想.而常见的等价变形技巧通常是指不等式中有的，变形成结构；有的，则变形成结构，后续函数单调性的研究会比较容易. 【例5】已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需证明， 设，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 所以， 所以当时，单调递增， 所以， 即当时，有不等式成立， 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则. 【例6】已知函数，且的极值点为． (1)求； (2)证明：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以为的极大值点，即． （2）由（1）知，， 要证，只需证，即， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以，即，所以． 【变式3-1】已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2)证明见解析 【详解】（1）解， 令 得时，，当时，， 故单调递增区间为，单调递减区间为. （2）， 要证明，则只需证明， 令， ， ， ，当且仅当时，上式等号成立， 当时，在区间上单调递减， ，即， 当时，得证. 【方法二】证明：令， ， ， ，当且仅当时，上式等号成立， ， 又当时，在区间上单调递减， ， 当时，得证. 【变式3-2】已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求证：. 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2)证明见解析 【详解】（1）函数定义域为 ，令得：令得：. 函数的增区间为，减区间为. （2）要证，即证： 令 设，则 在上单调递减，且 当时，；当时， 故函数在上单调递增，在上单调递减 函数在处取得极大值也是最大值. 则，即证. 【变式3-3】当时，证明：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：令， 则，， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以当时，， 即， 所以当时，. 考点04 恒成立问题 【方法点拨】分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ①恒成立⇔；②恒成立⇔； 若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法 【例7】2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题）已知函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1). (2). 【详解】（1）因为在处取得极值，所以为的变号零点， 函数的定义域为，导函数， 所以，得. ，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为. （2）因为，所以可转化为，即恒成立. 令，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 故实数的取值范围为. 【例8】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得， ，， 故在点处的切线方程为，即. （2）由得， 设，即对恒成立， ， ①当时，因，，故在上单调递增， ，满足题意； ②当时，，使， 故当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因，故要使，只需，得，则； ③当时，因，，故在上单调递减， ，不满足题意. 综上所述，，即实数的最大值为. 【变式4-1】已知函数，曲线在点处的切线的斜率为2． (1)求实数的值； (2)求证：当时，恒成立． 【答案】(1)-1 (2)证明见解析 【详解】（1），，； （2）要证当时，，即证， 令，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ． ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，，，即恒成立. 【变式4-2】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则恒成立，， ， 所以，当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 【变式4-3】已知函数． (1)时，求的极值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数取得极大值，无极小值； (2) 【详解】（1）当时，，， ，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值； （2）由题意可知，， 即恒成立，即，恒成立， 设，， 设，， ， 设，所以，得（负值舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的最大值为，即恒成立， 所以单调递减，且， 所以当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减， 所以的最大值为， 所以. 考点05 能成立问题 【方法点拨】分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ①能成立⇔；②能成立⇔. 若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法 【例9】已知函数. (1)求函数在上的最大值和最小值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值为. (2). 【详解】（1）易得， 令，则或（舍去）. 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为. 又，，， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故在上的最大值为，最小值为. （2）易知的定义域为， 故不等式可化为. 记，则原不等式有解可转化为， 易得，令，则， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故. 于是，解得. 所以实数a的取值范围为. 【例10】是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，0 【详解】令, 令，则， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即. 所以当时，，不符合题意． 若关于的不等式有解，又为整数，只需， 当时，，符合题意． 综上：整数的最小值为0． 【点睛】关键点点睛：利用估计，从而简化计算. 【变式5-1】已知函数（为常数） (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减 (2) 【详解】（1）的定义域为， ， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，令，解得， 若，则，所以在上单调递增， 若，则，所以在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减 （2）在上有解， 在上有解， 在上有解， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且， 所以，所以， 故实数的取值范围是. 【变式5-2】已知函数，. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，设函数，求证：有解. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：当时，，则， ，则， 故当时，在处的切线方程为，即. （2）证明：当时，，， ， 因为，故不等式有解. 【变式5-3】若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】, 不等式，即在区间上有解. 设，， 则， 令， 设，, ，则在区间上单调递增， 故，即. 故要使在区间上有解，则. 即实数的取值范围是. 故答案为：. 考点06 零点问题 【方法点拨】已知存在零点或者零点的个数求参数，常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【例11】已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示：    由函数图象可得. 故选：A. 【例12】设函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， ，令，可得， 由，可得；由，可得， 故当时，函数的增区间为，减区间为. （2）当时，由可得， 令，其中， 由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点， ， 令，则与同号， 则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，且， 当时，，此时，，此时函数单调递减， 当时，，此时，，此时函数单调递增， 所以，， 又因为，，显然，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个公共点， 因此，实数的取值范围是. 【变式6-1】已知若函数有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象，如图所示： 函数有两个零点等价于的图象有两个交点，， 由图可知或. 所以m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 【变式6-2】已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，求函数在区间上零点的个数． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)答案见解析 【详解】（1）定义域为，且， 令，得． 当x变化时，，的变化情况如下表： x + 0 极大值 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知的最大值为， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 又，故在区间上只有一个零点． ②当时，，， 则，所以在区间上无零点． 综上，当时，在区间上只有一个零点， 当时，在区间上无零点． 【变式6-3】已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：当时，设， 则． 由函数和均在上单调递增， 知在上单调递增，且， 所以当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增, 所以， 即在上恒成立． （2）由，得． 令，则f（x）有2个零点等价于函数的图象与直线有2个交点． 令，得， 当时，； 当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，， 当x趋向于正无穷时，趋向于0，且函数值大于0． 作出函数的大致图象，如图所示． 结合图象可知，当时，函数的图象与直线有2个交点， 即有2个零点，故a的取值范围是． 考点07 方程的根问题 【例13】设，若方程（）有个不同的根，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因方程（）有个不同的根，，， 则，经比较系数可得， 则问题等价于，当方程有三个不同根时，k的范围， 即图象与有三个交点时，k的范围， 注意到， 令；令， 则在上单调递增，在上单调递减， 则极大值为，极小值为， 则要使图象与有三个交点，k需在极小值与极大值之间，即. 故选：C. 【例14】若关于的方程有3个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由方程有3个不同的根，即有3个不同的根， 令，， 则， 令，解得或，令，解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 且，，作出图象如下： 所以，即. 故选：B. 【变式7-1】已知方程，的根分别为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，， 令，则， 又恒成立， 故在R上单调递增， 故， 所以. 故选：B 【变式7-2】已知方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题知，故方程恰有两个不同的根．设，， 则与的图像有两个交点， ，令，得， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于0， ，当时，， 在同一坐标系中做出与的大致图像如图所示， 设直线与的图像相切时切点的横坐标为， ， 即．设，则， 易知在上单调递增，， ，， 由图可知，方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围为， 故选:B． 【变式7-3】若函数，当时，函数有极值． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若方程有3个不同的根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 由题意得， 解得， 所以，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由（1）得， 令，解得或， 所以 0 0 递增 递减 递增 所以，当时，有极大值；当时，有极小值， 所以得图像大致如下： 若有3个不同的根，则直线与函数的图像有3个交点， 所以. 考点08 双变量问题 【方法点拨】常用方法：将式子齐次化，化成形如或的函数，进行了齐次化后可以令或者作为单元，这样就达到了减元的目的 【例15】（多选）若实数，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，， 所以， 所以，所以， 令，， 则，即， 所以， 令，则， 令，得；令，得， 所以在单调递增，单调递减， 则， 要使成立，即， 则当且仅当， 所以解得， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 【例16】已知函数在定义域上有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知， 因为函数在定义域上有两个极值点， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）由（1）得，， 即两个极值点为方程的两根， 则， 所以 代入得 ，其中， 则，得， 设， 则，当时，， 即在上单调递增，又， 所以. 【变式8-1】已知，，若曲线上总存在不同的两点，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为函数，所以， 由题意可得，，且， 即有，整理得， 因为，所以， 所以对于恒成立， 令，则，， 令，，则，对于恒成立， 即在上单调递增，所以， 所以，所以， 即的取值范围是． 故答案为：． 【变式8-2】已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，若，则， 令，则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，所以， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式8-3】已知函数. (1)试判断函数的单调性； (2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为函数，定义域为， 所以， 当时，在上恒成立，所以在单调递增； 当时，令，即，解得， 令，解得或， 所以在单调递增，在单调递减； （2）由题可知，，， 因为有两个极值点， 所以是的两个根， 则， 所以 ， 所以，要证， 即证， 即证，即证，即证， 令，则证明， 令，则， 所以，在上单调递增，则， 即， 所以原不等式成立． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 考点09 极值点偏移问题 【方法点拨】(1)利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)对结论型，构造函数或；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． （3）利用导数讨论的单调性． (4)判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (5)利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 【例17】已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立. 令，则， 令，则，所以在内单调递减， 又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取极大值也是最大值. 因此，即实数的取值范围为. （2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根. 令，则，当时，解得. 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值为. 又因为，当时，，当时，. 且时，. 所以，且. 因为是方程的2个不同实数根，即. 将两式相除得， 令，则，，变形得，. 又因为，，因此要证，只需证. 因为，所以只需证，即证. 因为，即证. 令，则， 所以在上单调递增，， 即当时，成立，命题得证. 【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 【例18】已知函数． (1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围； (2)设、是两个不相等的实数，且．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，， 因为，所以，即，不符合题意； 当时，， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以，由恒成立可知，所以． 又因为，所以的取值范围为． （2）因为，所以，即． 令，由题意可知，存在不相等的两个实数、，使得． 由（1）可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 不妨设，则，设， 则， 所以在上单调递增，所以， 即在区间上恒成立． 因为，所以． 因为，所以． 又因为，，且在区间上单调递增， 所以，即. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【变式9-1】已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）定义域均为， ，令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 在取极小值，且； 又，令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 在取极小值，且 所以，解得：. （2）令，因为，所以， 由可得： （1）-（2）得：，所以， 要证：，只要证：， 只要证：， 不妨设，所以只要证：， 即证：，令，只要证：， 令， 所以在上单调递增，所以， 即有成立，所以成立. 【点睛】方法点睛：本地第二问考查极值点偏移问题，难度较大，解决极值点偏移的主要方法有： 1.构造对称函数； 2.比值换元； 3.对数平均不等式. 本题使用的解法是对数平均不等式即证明：，称的对数平均数. 【变式9-2】（多选）按指对数运算律定义两个函数与，则（    ） A．在定义域上单调递增 B．在定义域上单调递减 C． D．若存在，则 【答案】BCD 【详解】由，， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，故A项错误； ，可知在单调递减，故B项正确； ，由可得， 由可得，故C项正确； 由，则，故, 故， 令，其中，则， ， 又，当且仅当取等号，而， 故 ，故，故上单调递减， 故，故， 而在上为增函数，故即，故D项正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：对于底数和指数（或真数）都有自变量的函数，一般是利用指数或对数的运算性质将该函数转化为常见函数的复合函数，再利用导数等工具处理最值或单调性问题. 【变式9-3】已知函数在上有两个极值点. (1)求的取值范围; (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），令得：， 令， 在有两个极值点，与在上有两个不同交点； ，令，则在上恒成立， 在上单调递增，又， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，，当时，， 大致图象如下图所示， 结合图象可知：当时，与在上有两个不同交点， ，即的取值范围为. （2）令，解得：或，； ①先证：； 要证，只需证， ，，又，在上单调递增， 只需证，又，即证， 令，则， 令， 则， 令，则， 在上单调递增，， 在上单调递减，在上单调递减， ，， 在上单调递减，，， 在上单调递增，， 又，，即，则得证； ②再证： 若，则由知：； 若，只需证， 又，在上单调递增，只需证， ，只需证， 令，则， 令，则， 令，则， 当时，，在上单调递增， ，， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 又，， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，， 当时，，， 即，则得证； 综上所述：. 1．（2023-24高三上·甘肃白银·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，则显然不能恒成立； 若，则，所以，即， 对于，则，故时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 因此的最大值为，所以；BD可以； 当时，， 可知当时，，此时单调递增，故， 故， 当时，，此时单调递增，故， 故，故时，满足题意，C正确， 当时，，不符合题意，故A错误 故选：A． 2．（2023-24高三上·山东淄博·期末）把函数的图象向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得， 再将的图象向左平移个单位长度， 可得，即， 令，则对任意恒成立， 可知函数在上单调递增，且， 所以函数的零点的个数为1. 故选：B. 3．（2024·四川凉山·一模）若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，若，则. 设. 所以可得在，函数为增函数. 对于，其导数. 若，解得，即函数的递增区间为； 若都有成立，即在，函数为增函数，则的最大值为1. 故选：B. 4．（2024高二上·全国·专题练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原不等式等价于， 设，则. 又，所以在上单调递增， 则，即. 设，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，所以. 故选：A. 5．（2023-24高三上·黑龙江·期末）已知函数有且仅有三个不同的零点分别为，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C． D． 【答案】BD 【详解】， 令，解得或， 当时， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，， 此时函数只有一个零点，不符合题意； 当时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 要使有三个不同的零点， 则，解得，即的取值范围是，故A错误，B正确； 因为函数有且仅有三个不同的零点分别为， 则 ， 即有，，，故C错误，D正确. 故选：BD. 6．（2024高二上·湖南省株洲市 期末）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】，. 设，则. ，在上单调递增，. ，，故选项C，D正确； 又，，，，，故选项A错误； 设，则. 令得；令得， 在上单调递增，在上单调递减， ，，即，，故选项B正确. 故选：BCD. 7．（2024高二上·全国·专题练习）已知方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】方程有三个不同的实数根， 即函数与的图象有三个不同的交点． 令，则． 由，得或， 所以当或时，， 当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值为，极大值为， 且当时，；当时，；当时，， 如图，作出函数的大致图象，由图可知， 当时，函数与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实数根． 故答案为：. 8．（2023-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若，记，且为单调递增函数.若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，，所以，， 令，则，令，解得， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 则，即的取值范围为. 故答案为： 9．（2024高三·全国·专题练习）关于的不等式在有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】先证明，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，即，当且仅当时等号成立； 当，两边取对数可得，，当且仅当时等号成立. 由题设有，又由题设可得在有解， 故在有解， 而，，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故函数的最小值为，故，故. 故答案为： 10．（2023-24高三上·甘肃临夏·期末）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【详解】（1）当时，，得， 令，解得，令，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）方法一：因为， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 故当时，函数存在最小值，最小值为. 若恒成立，则实数， 即，所以实数的最大值为． 方法二：由题意，当时，恒成立； 当时，解得， 令， 得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，所以， 即，所以的最大值为. 11．（2023-24高二上·全国·课后作业）设函数． (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得， ∴的最小值为， 即． （2）记，， 则． 令，得或（舍去）． 当t变化时，，的变化情况如下表所示． t 1 + 0 极大值 ∴在内有最大值． ∵对任意恒成立， ∴对任意恒成立， ∴，∴． ∴实数m的取值范围为． （3）∵， ∴． 令，得或（舍去）． 当时，，递增； 当时，，递减， ∴当时，． 令，，则． 由题意可知， 解得． ∴实数n的取值范围为． 12．（2023-24高三上·山西晋中·阶段练习）设函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，，则， 则，又， 故在处的切线方程为． （2）因为，则， 若，即时，恒成立，故在R上单调递增； 若，即或时， ． 0 0 递增 递减 递增 则在和上为增函数； 在上为减函数． 综上所述，当时，在R上单调递增； 当或时，在和上为增函数； 在上为减函数． （3）因为时，，即， 当时，上式成立， 而当时，即恒成立，记， 则． 记，则， 则在为减函数，则，即恒成立， 则当时，则在上递减， 当时，，则在上递增， ，则，所以的取值范围为． 13．（2024·安徽·模拟预测）已知函数． (1)解不等式：； (2)若函数存在两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由，得，即． 令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 则等价于，即， 解得，故所求不等式的解集为． （2），， 由题意知，． 当时，在上单调递增， 所以至多有一个零点，不合题意，所以． 令， 因为存在两个极值点，所以有两个正零点， 易知，令，解得， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 注意到，当， 要使有两个零点，需， 解得，即实数的取值范围是． 14．（2023-24高三上·贵州·阶段练习）函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 则，又， 所以在处的切线方程为； （2）因为，， 令，，则， 因为在上单调递增，，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， ，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 又，，所以， 所以，即的取值范围为． 15．（2023-24高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【详解】（1）由题意得． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，由（1）知，函数在上单调递减， 所以当时，． 对任意的，总存在，使等价于，恒成立， 则，恒成立， 即，恒成立． 令， 则． 令，得， 所以当时，； 当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 因此． 故实数m的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习05 导数的综合问题 考点01 利用导函数构造原函数解不等式 【方法点拨】①可构造 ②可构造 ③可构造 ④可构造 ⑤可构造 ⑥可构造 ⑦可构造 ⑧可构造 ⑨可构造 【例1】已知函数的导函数为，当时，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．在上单调递减 D．当时， 【例2】已知函数的定义域为，为的导函数，且，则不等式的解集是 . 【变式1-1】已知定义在上的可导函数，满足在上恒成立，且，则不等式的解集为 . 【变式1-2】已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知奇函数及其导函数的定义域均为，，当时，，则使不等式成立的的取值范围是 . 考点02 指对同构问题 【方法点拨】1.积型: ①同左构造:,构造; ②同右构造:,构造; ③取对构造:,构造. 2.商型: ①同左构造:,构造; ②同右构造:,构造; ③取对构造:,构造. 3.和、差型: ①同左构造:,构造; ②同右构造:,构造. 【例3】已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例4】若对任意的实数，不等式恒成立，则正数k的取值范围是 ． 【变式2-1】已知函数，若恒成立，则的取值范围是 . 【变式2-2】已知实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 考点03 证明不等式 【方法点拨】常见的函数不等式证明有下面的两种解法： （1）直接构造差函数：以证不等式为例，可构造差函数，求，研究的单调性，得出的最大值小于0即可. （2）等价变形后构造差函数：当直接按第（1）种处理方法构造出来的函数较为复杂时，可对要证明的不等式先进行等价变形，再构造函数证明，体现了转化与化归的思想.而常见的等价变形技巧通常是指不等式中有的，变形成结构；有的，则变形成结构，后续函数单调性的研究会比较容易. 【例5】已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 【例6】已知函数，且的极值点为． (1)求； (2)证明：； 【变式3-1】已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：. 【变式3-2】已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求证：. 【变式3-3】当时，证明：. 考点04 恒成立问题 【方法点拨】分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ①恒成立⇔；②恒成立⇔； 若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法 【例7】2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题）已知函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【例8】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对恒成立，求实数的最大值． 【变式4-1】已知函数，曲线在点处的切线的斜率为2． (1)求实数的值； (2)求证：当时，恒成立． 【变式4-2】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知函数． (1)时，求的极值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 考点05 能成立问题 【方法点拨】分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ①能成立⇔；②能成立⇔. 若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法 【例9】已知函数. (1)求函数在上的最大值和最小值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围. 【例10】是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】已知函数（为常数） (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上有解，求实数的取值范围． 【变式5-2】已知函数，. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，设函数，求证：有解. 【变式5-3】若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 . 考点06 零点问题 【方法点拨】已知存在零点或者零点的个数求参数，常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【例11】已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例12】设函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 【变式6-1】已知若函数有两个零点，则的取值范围为 ． 【变式6-2】已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，求函数在区间上零点的个数． 【变式6-3】已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 考点07 方程的根问题 【例13】设，若方程（）有个不同的根，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例14】若关于的方程有3个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知方程，的根分别为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】已知方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】若函数，当时，函数有极值． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若方程有3个不同的根，求实数的取值范围． 考点08 双变量问题 【方法点拨】常用方法：将式子齐次化，化成形如或的函数，进行了齐次化后可以令或者作为单元，这样就达到了减元的目的 【例15】（多选）若实数，满足，则（ ） A． B． C． D． 【例16】已知函数在定义域上有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值. 【变式8-1】已知，，若曲线上总存在不同的两点，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为 ． 【变式8-2】已知函数，若，则的最小值为 . 【变式8-3】已知函数. (1)试判断函数的单调性； (2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：. 考点09 极值点偏移问题 【方法点拨】(1)利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)对结论型，构造函数或；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． （3）利用导数讨论的单调性． (4)判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (5)利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 【例17】已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点，求证：． 【例18】已知函数． (1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围； (2)设、是两个不相等的实数，且．求证：． 【变式9-1】已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【变式9-2】（多选）按指对数运算律定义两个函数与，则（    ） A．在定义域上单调递增 B．在定义域上单调递减 C． D．若存在，则 【变式9-3】已知函数在上有两个极值点. (1)求的取值范围; (2)求证：. 1．（2023-24高三上·甘肃白银·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24高三上·山东淄博·期末）把函数的图象向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024·四川凉山·一模）若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 4．（2024高二上·全国·专题练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高三上·黑龙江·期末）已知函数有且仅有三个不同的零点分别为，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C． D． 6．（2024高二上·湖南省株洲市 期末）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二上·全国·专题练习）已知方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 8．（2023-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若，记，且为单调递增函数.若，则的取值范围为 . 9．（2024高三·全国·专题练习）关于的不等式在有解，则的取值范围为 ． 10．（2023-24高三上·甘肃临夏·期末）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的最大值. 11．（2023-24高二上·全国·课后作业）设函数． (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 12．（2023-24高三上·山西晋中·阶段练习）设函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围． 13．（2024·安徽·模拟预测）已知函数． (1)解不等式：； (2)若函数存在两个极值点，求实数的取值范围． 14．（2023-24高三上·贵州·阶段练习）函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 15．（2023-24高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$