专题05 导数的综合问题（9大题型）-2025年高二数学寒假精髓讲解与强化训练 (人教A2019选择性必修第二册）

专题05 导数的综合问题 【题型归纳目录】 题型一：构造函数解不等式问题 题型二：证明不等式 题型三：恒成立问题 题型四：能成立问题 题型五：零点问题 题型六：方程的根问题 题型七：双变量问题问题 题型八：实际应用问题 题型九：极值点偏移问题 【思维导图】 【知识点梳理】 1、恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 2、破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 3、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 题型一：构造函数解不等式问题 【典例1-1】定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知是定的奇函数，是的导函数，，且满足：，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 题型二：证明不等式 【典例2-1】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围； (3)当时，记的导函数为，证明：对，不等式恒成立. 【典例2-2】设. (1)求在处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)证明：对于任意正整数都有恒成立. 【变式2-1】已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 【变式2-2】已知函数，曲线在点处的切线与曲线相切． (1)求； (2)若函数，且曲线关于直线对称， （i）求和的值； （ii）证明：． 题型三：恒成立问题 【典例3-1】已知函数． (1)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (2)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围． 【典例3-2】已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的最大值. 【变式3-1】已知函数，曲线在点处的切线的斜率为2． (1)求实数的值； (2)求证：当时，恒成立． 【变式3-2】已知函数． (1)时，求的极值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型四：能成立问题 【典例4-1】已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，求函数的单调区间； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 【典例4-2】已知函数. (1)求函数在上的最大值和最小值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围. 【变式4-1】已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若函数. （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合. （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围. 【变式4-2】已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 题型五：零点问题 【典例5-1】设函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 【典例5-2】设函数． (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的零点个数． 【变式5-1】已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由. 【变式5-2】已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 题型六：方程的根问题 【典例6-1】已知函数的一个极值点为． (1)求的值； (2)若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 【典例6-2】已知函数. (1)求函数的极值； (2)若方程有三个不同的实数解，求实数a的取值范围. 【变式6-1】设函数. (1)求在处的切线方程； (2)证明：： (3)若方程有两个实根，求实数的取值范围， 【变式6-2】已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值范围． 题型七：双变量问题问题 【典例7-1】已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【典例7-2】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值． 【变式7-1】定义运算：，已知函数． (1)若函数的最大值为0，求实数a的值； (2)证明：． (3)若函数存在两个极值点，证明：． 【变式7-2】已知函数. (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 题型八：实际应用问题 【典例8-1】为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本万元，当年产量（单位：万件）低于万件时，流动成本（万元），当年产量（单位：万件）不低于时，（万元）.经调研，每件水果箱售价为元，每年加工的水果箱能全部售完. (1)求年利润关于年产量（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润年销售额固定成本流动成本） (2)求年产量（单位：万件）为多少时，年利润取得最大值，并求出的最大值. 【典例8-2】如图，某铁皮制成的无盖容器的上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，且圆锥与圆柱同底等高，圆柱与圆锥无铁皮的阻隔，已知圆锥的母线长为分米.    (1)忽略铁皮的厚度，求该容器的容积的最大值； (2)设铁皮的价格为每平方分米元，当该容器的容积取得最大值（忽略铁皮的厚度）时，求需要的铁皮的总费用. 【变式8-1】为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 【变式8-2】扇形的面积公式为为扇形的弧长，为扇形的半径）.已知某扇形的面积为，半径为，将此扇形卷成一个圆锥侧面，得到的圆锥的体积为. (1)试把表示为的函数，并写出的取值范围； (2)多大时，圆锥的体积最大？ 题型九：极值点偏移问题 【典例9-1】已知函数． (1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围； (2)设、是两个不相等的实数，且．求证：． 【典例9-2】已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【变式9-4】已知函数在上有两个极值点. (1)求的取值范围; (2)求证：. 【变式9-5】已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若有两个极值点，． （i）证明：； （ii）证明：. 【变式9-6】已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求. 【变式9-7】以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【变式9-8】设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为． (1)求实数m，n的值； (2)求的零点个数. 【变式9-9】设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 【强化训练】 1．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对恒成立，求实数的最大值． 2．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)求证：存在实数，使方程有正实根. 3．已知函数． (1)若在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若函数有两个不同的零点． （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求证：． 4．设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 5．已知函数． (1)若，求极值； (2)若函数有两个极值点，求的范围； (3)在（2）的条件下，求证：． 6．若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点． (1)证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一． (2)对任意，函数都满足． ①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点． ②若，证明：当时，． 参考数据：． 7．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：当时，恒成立； (3)是否存在实数a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. 8．若是函数的两个零点，且，求证：且． 9．设函数在区间上有定义，若对任意，都满足，则称函数在区间上为级速增函数. (1)判断函数在区间上是否为1级速增函数，说明理由； (2)若函数在区间上为2级速增函数，且，证明：对任意，恒成立； (3)若在区间上为级速增函数，求的取值范围. 10．已知函数 ，其中 为自然对数的底数. (1)当 时，求 的单调区间； (2)若方程 有两个不同的实根 . (i)求 的取值范围； (ii) 证明: . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 导数的综合问题 【题型归纳目录】 题型一：构造函数解不等式问题 题型二：证明不等式 题型三：恒成立问题 题型四：能成立问题 题型五：零点问题 题型六：方程的根问题 题型七：双变量问题问题 题型八：实际应用问题 题型九：极值点偏移问题 【思维导图】 【知识点梳理】 1、恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 2、破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 3、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 题型一：构造函数解不等式问题 【典例1-1】定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，即， 即，即对恒成立， 令，则在上单调递增， ∵，∴， 由即，即， 因为在上单调递增，∴ 故选：B. 【典例1-2】已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，，即是周期为的函数，且图像关于对称. 令 时，，时， 函数在上单调递增 当时，，即 设， 即函数在上单调递减，则，即 故在上恒成立 结合对称性可画出函数和在上的简图，如下图所示 由图象可知，不等式在上的解集为 故选：A 【变式1-1】已知是定的奇函数，是的导函数，，且满足：，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 故函数单调递减，定义域为， （1）， 时，；时，． 时，；时，． 当，时，，又（1）． 当，，又为奇函数， 当，． 不等式等价于或 解得或者 故答案为：D. 【变式1-2】已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，设函数， 当时，， 所以函数在上单调递减， 又为偶函数，所以， 所以函数为奇函数， 则函数在上也单调递减， 又，所以，得， 故在和的函数值大于零，在和的函数值小于零． 又因为， 所以当时，由可得，即； 当时，由可得，即． 故在的函数值大于零． 故选：B 题型二：证明不等式 【典例2-1】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围； (3)当时，记的导函数为，证明：对，不等式恒成立. 【解析】（1）由题意得的定义域为， 当时，，则， 所以，又， 所以所求切线方程为. （2）由题得，， 令，则， 若，则，即在上单调递增； 因为，所以当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增. 即， 由，得，即. 若，由，可得， 即，对任意恒成立， 因为，而，当时，， 所以对时，不成立，即当时，不恒成立； 综上可知，. （3）令，则， 由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 则，当且仅当时等号成立. 当时，， 令， 则 ， 因为恒成立，所以由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以. 综上可知，，当且仅当时两等号同时成立， 所以. 【典例2-2】设. (1)求在处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)证明：对于任意正整数都有恒成立. 【解析】（1）已知，则， 则，又， 所以切线方程为，即. （2），所以， 令，解得， 可知当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以. （3）由（2）可知当时，，即， 令，可得， 从而 ， ， 即， 则对于任意正整数都有恒成立. 【变式2-1】已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 【解析】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需证明， 设，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 所以， 所以当时，单调递增， 所以， 即当时，有不等式成立， 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则. 【变式2-2】已知函数，曲线在点处的切线与曲线相切． (1)求； (2)若函数，且曲线关于直线对称， （i）求和的值； （ii）证明：． 【解析】（1）因为， 所以，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 设直线与曲线相切与点， 因为函数的导函数为，故 所以，，， 解得，，，或，， 又，故； （2）（i）因为，由（1）， 所以， 所以函数的定义域为， 因为曲线关于直线对称， 所以， 所以函数关于轴对称，故函数为偶函数， 所以，故 所以， 所以， 所以， 故， （ii）由（i），， 函数的定义域为， 曲线关于直线对称， 要证明， 只需证明当时，， 只需证明当时，， 令，则， 只需证明当时，， 设，， 则， 所以函数在单调递增， 所以， 所以当时，， 所以. 题型三：恒成立问题 【典例3-1】已知函数． (1)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (2)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数在处有极值， 可得，解得，经检验，满足题意， 所以 当时，在单调递减； 当或时，在上单调递增， 可得在处取得极小值，且为0，在处取得极大值，且为， 方程有3个不同的实根，等价为， 即有的取值范围是. （2）在递减，可得时，， ，即为， 即 即为 即对任意且时恒成立. 所以在递减；在递增. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， 在上单调递增，即，则. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， ，当时等号成立，则，则. 综上可得的取值范围是. 【典例3-2】已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的最大值. 【解析】（1）当时，，得， 令，解得，令，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）方法一：因为， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 故当时，函数存在最小值，最小值为. 若恒成立，则实数， 即，所以实数的最大值为． 方法二：由题意，当时，恒成立； 当时，解得， 令， 得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，所以， 即，所以的最大值为. 【变式3-1】已知函数，曲线在点处的切线的斜率为2． (1)求实数的值； (2)求证：当时，恒成立． 【解析】（1），，； （2）要证当时，，即证， 令，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ． ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，，，即恒成立. 【变式3-2】已知函数． (1)时，求的极值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，， ，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值； （2）由题意可知，， 即恒成立，即，恒成立， 设，， 设，， ， 设，所以，得（负值舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的最大值为，即恒成立， 所以单调递减，且， 所以当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减， 所以的最大值为， 所以. 题型四：能成立问题 【典例4-1】已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，求函数的单调区间； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域为， 当时，， 1 0 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值1，函数没有极大值， 所以的最小值为． （2）， ， ①时，即时， 在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，在上， 所以函数在上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增． （3）由题意可知在上存在一点，使得成立， 即在上存在一点，使得， 即函数在上的最小值，由第（2）问可知： ①当，即时，在上单调递减， ∴，∴，又∵，∴， ②当，即时，在上单调递增， ∴， ③当，即时，∴， ∵，此时不存在使成立， 综上可得所求的范围是：或． 【典例4-2】已知函数. (1)求函数在上的最大值和最小值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围. 【解析】（1）易得， 令，则或（舍去）. 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为. 又，，， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故在上的最大值为，最小值为. （2）易知的定义域为， 故不等式可化为. 记，则原不等式有解可转化为， 易得，令，则， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故. 于是，解得. 所以实数a的取值范围为. 【变式4-1】已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若函数. （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合. （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）的定义域为， 由，得， ①当时，，在上单调递增； ②当时，则当时，，单调递增； 则当时，，单调递减； 综上，当时在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减； （2）（i）由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得，. 两式消去，得，则， 令，，由， 所以在上单调递增，所以，即无解， 所以与不重合，即对于曲线在任意两个不同点处的切线均不重合. （ii）当时，先解决对于，不等式恒成立， 令，，则在上恒成立， 由，解得. 下面证明当时，在上恒成立. 则当时，，令， 则， 则当时，由，，则， 则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立时，实数的取值范围为. 所以，使得成立时，的取值范围为. 【变式4-2】已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，， 得. 令，解得. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）因为对任意，均存在，使得， 所以， 当时，取得最大值，最大值为0. 由（1）得，当时，在]上单调递增， 即当时，取得最大值， 所以，解得，即. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值. 设， 则，单调递增， 所以成立，所以无解. 综上所述，的取值范围为. 题型五：零点问题 【典例5-1】设函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 【解析】（1）当时，，该函数的定义域为， ，令，可得， 由，可得；由，可得， 故当时，函数的增区间为，减区间为. （2）当时，由可得， 令，其中， 由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点， ， 令，则与同号， 则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，且， 当时，，此时，，此时函数单调递减， 当时，，此时，，此时函数单调递增， 所以，， 又因为，，显然，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个公共点， 因此，实数的取值范围是. 【典例5-2】设函数． (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的零点个数． 【解析】（1）设是曲线上任意一点，由题得， 所以曲线在点处的切线方程为， 依题意满足上式，因此对于任意均成立， 因此，，得． （2）易知， 若，则，（当且仅当时等号成立） 函数单调递增，且，则其在上有且仅有1个零点． 若，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 此时的极大值，的极小值． 令，解得， 则当时，的极小值大于0，有1个零点； 当时，的极小值等于0，有2个零点； 当时，的极小值小于0，有3个零点． 综上，当时，有1个零点，当时，有2个零点，当时，有3个零点． 【变式5-1】已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由. 【解析】（1）由题意得，令，解得，所以， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 由于时，，所以实数的取值范围为. （2）令，则，整理得， 令，则， 当时，．所以在上单调递减， 又，， 所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点． 当时，，此时函数无零点． 综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为1． 【变式5-2】已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，， 则， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即． （2）令可得或，对两个方程分别讨论， ①设，则， 所以在单调递增，且， 所以存在唯一的零点，使，即， ②令，即， 设，可得， 则在上单调递增，又且时，， 当时，存在唯一的零点，使，即， 若时，得，则，可得，故， 所以且时，有两个不同的零点； 综上，实数的取值范围为． 题型六：方程的根问题 【典例6-1】已知函数的一个极值点为． (1)求的值； (2)若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 【解析】（1），由于是极值点，故，故， 当时，， 当或时，，当时，， 故是的一个极值点，故 （2）设切点为，则切点处的切线方程为， 将代入可得， 故， 要使过点可作曲线的三条不同的切线，则有三个不同的交点， 记，则， 当或时，，当时，， 故在，上单调递减，在上单调递增， 且， 因此. 【典例6-2】已知函数. (1)求函数的极值； (2)若方程有三个不同的实数解，求实数a的取值范围. 【解析】（1）定义域为； ； 令  或 列表如下： 1 ＋ － ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由上表知，当时，取得极大值； 当时，取得极小值. （2）方程 ， 有三个不同的实数解， 等价于函数 与直线 有三个不同的交点； 当时，，；∴； 当时，，，∴； 由（1）知，只需； 即. 【变式6-1】设函数. (1)求在处的切线方程； (2)证明：： (3)若方程有两个实根，求实数的取值范围， 【解析】（1），则. 在处的切线方程为，即. （2）令 . 令，解得. ；. 在上单调递减，在上单调递增. ，即. （3）令， 问题转化为在上有两个零点. . ①当时， ，在递减，至多只有一个零点，不符合要求. ②当时， 令，解得 当时，，递减； 当时，，递增. 所以. 当时，，只有一个零点，不合题意. 令， 当时，， 所以在递增，. 由于，， ，使得， 故满足条件. 当时，， 所以在递减，. 由于， ，使得， 故满足条件. 综上所述：实数的取值范围为. 【变式6-2】已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值范围． 【解析】（1）由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，， 由得或， 当时，，函数递增， 当时，，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. （2）由（1）得，， 令，解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当时，取得极小值，无极大值，所以， 所以在区间上，的最大值为或，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为， 作出函数与直线的图像，如图， 由图知. 题型七：双变量问题问题 【典例7-1】已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【解析】（1）函数的定义域为． 令，解得；令，解得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 所以无最大值，最小值为； （2），． 因为有两个不同的极值点，所以，． 欲证，即证，又， 所以原式等价于①. 由，, 得②. 由①②知原问题等价于求证， 即证． 令，则，上式等价于求证． 令，则， 因为，所以恒成立，所以单调递增，， 即，所以原不等式成立，即． 【典例7-2】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值． 【解析】（1）当时，， 则，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）（i）， 又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根 则，解得， 经检验，当时，符合题意. 所以实数的取值范围为. （ii）由（i）知，则，， ， 令， 则， 当时，，则单调递减 当时，，则单调递增 故当时，取得最小值， 所以，即的最小值为. 【变式7-1】定义运算：，已知函数． (1)若函数的最大值为0，求实数a的值； (2)证明：． (3)若函数存在两个极值点，证明：． 【解析】（1）由题意知：，， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为．    ，令，求导得， 当时，，函数递减，当时，，函数递增， 因此，． （2）由（1）知，，即， 当时，  ． ． ． （3） “函数存在两个极值点”等价于 “方程有两个不相等的正实数根” 故，解得，      要证，即证， ，不妨令，故 由得，令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． 【变式7-2】已知函数. (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解析】（1）当时，，， ，则， 则的图象在处的切线方程为，即； （2）（i）， 令，由恰有两个极值点，， 则有两个不同实数根，，且， 则有，即； （ii）由（i）知，，且，， 则 ， 则要证，即证， 即， 令， ， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 又，， 故存在，使，即， 则当时，，时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 由，则， 即，即， 即可得证：. 题型八：实际应用问题 【典例8-1】为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本万元，当年产量（单位：万件）低于万件时，流动成本（万元），当年产量（单位：万件）不低于时，（万元）.经调研，每件水果箱售价为元，每年加工的水果箱能全部售完. (1)求年利润关于年产量（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润年销售额固定成本流动成本） (2)求年产量（单位：万件）为多少时，年利润取得最大值，并求出的最大值. 【解析】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）当时，， 此时，； 当时，， 当且仅当，即时，取得等号． 因为，所以年产量为万件时，年利润取得最大值万元． 【典例8-2】如图，某铁皮制成的无盖容器的上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，且圆锥与圆柱同底等高，圆柱与圆锥无铁皮的阻隔，已知圆锥的母线长为分米.    (1)忽略铁皮的厚度，求该容器的容积的最大值； (2)设铁皮的价格为每平方分米元，当该容器的容积取得最大值（忽略铁皮的厚度）时，求需要的铁皮的总费用. 【解析】（1）设圆锥与圆柱的底面半径为，则圆锥与圆柱的高为， 则圆锥的体积，圆柱的体积， 则该容器的容积，， 由，，则， 则， 则， 当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 故当分米，分米时，取得最大值为（立方分米）， 即该容器的容积的最大值为立方分米. （2）由（1）知当该容器的容积取得最大值时，圆锥与圆柱的底面半径为分米， 则圆锥与圆柱的高为分米， 则圆锥的侧面积（平方分米）， 圆柱的侧面积（平方分米）， 则该容器的表面积为（平方分米）， 又（元）， 则需要的铁皮的总费用为元. 【变式8-1】为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 【解析】（1）设，代入可得，所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元. 【变式8-2】扇形的面积公式为为扇形的弧长，为扇形的半径）.已知某扇形的面积为，半径为，将此扇形卷成一个圆锥侧面，得到的圆锥的体积为. (1)试把表示为的函数，并写出的取值范围； (2)多大时，圆锥的体积最大？ 【解析】（1）设圆锥侧面扇形弧长为，高为，底面圆的半径为， 则，则， 所以 由得，则的取值范围为； （2）由（1）， 令，则，令， 则，令，解得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以，当时，取最大值，即时，最大. 即当时，圆锥的体积最大. 题型九：极值点偏移问题 【典例9-1】已知函数． (1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围； (2)设、是两个不相等的实数，且．求证：． 【解析】（1）当时，， 因为，所以，即，不符合题意； 当时，， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以，由恒成立可知，所以． 又因为，所以的取值范围为． （2）因为，所以，即． 令，由题意可知，存在不相等的两个实数、，使得． 由（1）可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 不妨设，则，设， 则， 所以在上单调递增，所以， 即在区间上恒成立． 因为，所以． 因为，所以． 又因为，，且在区间上单调递增， 所以，即. 【典例9-2】已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【解析】（1）定义域均为， ，令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 在取极小值，且； 又，令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 在取极小值，且 所以，解得：. （2）令，因为，所以， 由可得： （1）-（2）得：，所以， 要证：，只要证：， 只要证：， 不妨设，所以只要证：， 即证：，令，只要证：， 令， 所以在上单调递增，所以， 即有成立，所以成立. 【变式9-1】构造对称函数； 【变式9-2】比值换元； 【变式9-3】对数平均不等式. 本题使用的解法是对数平均不等式即证明：，称的对数平均数. 【变式9-4】已知函数在上有两个极值点. (1)求的取值范围; (2)求证：. 【解析】（1），令得：， 令， 在有两个极值点，与在上有两个不同交点； ，令，则在上恒成立， 在上单调递增，又， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，，当时，， 大致图象如下图所示， 结合图象可知：当时，与在上有两个不同交点， ，即的取值范围为. （2）令，解得：或，； ①先证：； 要证，只需证， ，，又，在上单调递增， 只需证，又，即证， 令，则， 令， 则， 令，则， 在上单调递增，， 在上单调递减，在上单调递减， ，， 在上单调递减，，， 在上单调递增，， 又，，即，则得证； ②再证： 若，则由知：； 若，只需证， 又，在上单调递增，只需证， ，只需证， 令，则， 令，则， 令，则， 当时，，在上单调递增， ，， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 又，， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，， 当时，，， 即，则得证； 综上所述：. 【变式9-5】已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若有两个极值点，． （i）证明：； （ii）证明：. 【解析】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）（i）函数，求导得， 令，得， 设，求导得，， 令，得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 于是，由有两个极值点，得方程有两个实根， 即有两个实根，则. （ii）由（i）知，是方程的两个实根，即，且， 设，求导得， 令，则当时，， 即函数在上单调递增，则，即当时，， 于是函数在上单调递增，则，因此， 则，即，而，又在上单调递减， 因此，所以. 【变式9-6】已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求. 【解析】（1）函数，， 当时，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故有极小值，无极大值. （2）由（1）可知：当时，，在单调递减； 当时，令，得，， 所以，且为增函数， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 综上， 当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）当时，函数是“函数”， 求导得， 设曲线与直线切点， 则，故，即， 所以且， 设，，易知，且是增函数， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以是方程的根，且唯一， 所以． 【变式9-7】以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【解析】（1）因为，且在上连续，在内可导， 所以，由罗尔中值定理得，. （2）设，则. 当，即时，， 当，得，则在上单调递减， 当，得，则在上单调递增， 从而，故符合题意. 当时，即时，令，得或. 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减. 因为在上的最小值为，且，则，得； 当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意； 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减， 从而，故，不合题意； 综上，a的取值范围为. 【变式9-8】设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为． (1)求实数m，n的值； (2)求的零点个数. 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 又因为的图象的对称中心为， 所以 即解得 （2）由（I）知，， 所以， 令，得或， 当变化时，的变化情况如下表： -3 1 + 0 - 0 + ↗ 14 ↘ -18 ↗ 所以的极大值为，极小值为， 又， 所以有3个零点． 【变式9-9】设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 【解析】（1）由题意，， 令，则， 当时，， 即此时，所以即单调递减， 从而由定义可知函数在上是“上凸函数”； （2）因为， 所以， 设，则， 由题意函数是其定义域上的“上凸函数”， 所以单调递减， 从而当时，恒成立，即当时，恒成立， 因为一元二次函数的对称轴为， 当，即时，恒成立，只需即可，解得，即； 当，即时，恒成立，只需，即，解得； 综上所述，的取值范围为. 【强化训练】 1．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对恒成立，求实数的最大值． 【解析】（1）由得， ，， 故在点处的切线方程为，即. （2）由得， 设，即对恒成立， ， ①当时，因，，故在上单调递增， ，满足题意； ②当时，，使， 故当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因，故要使，只需，得，则； ③当时，因，，故在上单调递减， ，不满足题意. 综上所述，，即实数的最大值为. 2．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)求证：存在实数，使方程有正实根. 【解析】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）对任意，不等式， 当时，令，求导得，函数在上递增， ，因此，当时，，，即恒成立，则； 当时，，由，得， 当时，，函数在上单调递减，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. （3）由，，得， 令，求导得， 令，求导得， 函数在上单调递减，而， 则存在，使得，当时，，即， 函数在上单调递增，，取正数， 则直线与函数在上的图象有交点，此交点横坐标在区间， 所以存在实数，使方程有正实根. 3．已知函数． (1)若在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若函数有两个不同的零点． （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求证：． 【解析】（1）由题设，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而在区间上单调，所以； （2）（ⅰ），且， 令且，则， 若，，即在定义域上递增，所以函数至多有1个零点，不符； 当时，时，时， 在上单调递增，在上单调递减， 则，得， 又，， 另且，则， 所以在上单调递增，则，所以， 即在和各存在一个零点，满足题设， 所以； （ⅱ）记两个零点为，结合恒成立， 则为的两个零点，则，， 且，要证， 即证，即证 令，即证， 令，则， 所以，得证； 要证，即证 令，则，则， 所以，得证． 综上，. 4．设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 【解析】（1）因为，则， 因为，． 又，所以， 所以对于任意恒成立． 故是上的“函数”． （2）（ⅰ）， 由条件得对任意的恒成立， 即任意的恒成立． ①当时，对一切成立． ②当时，恒成立． 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，可得． ③当时，由恒成立． 设，则，所以在上单调递减， 可得． 综上所述，的范围是． （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，． 对，． 下面证：，， 即证，． 设，则，所以在上单调递增， 又，所以成立． 所以时，不等式成立． 所以，成立． 5．已知函数． (1)若，求极值； (2)若函数有两个极值点，求的范围； (3)在（2）的条件下，求证：． 【解析】（1）当时，，函数定义域为， ，当，，在上单调递增， 或，，在和上单调递减， ∴的极大值为，的极小值为． （2）由，得． 令，则，， 当，即时， 恒成立，则，所以在上是减函数． 当，即或． （i）当时，在上单调递增，恒成立， 从而，所以在上是减函数． （ii）当时，函数有两个零点：，， 列表如下： 0 + 0 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 综上当，有两个极值点． （3）由（2）知，当时，有两个极值点，，， 则，是方程的两个根，从而，， 由韦达定理，得，． 所以， ． 令，，， 则， 当时，，则在上是增函数，从而， 故． 6．若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点． (1)证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一． (2)对任意，函数都满足． ①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点． ②若，证明：当时，． 参考数据：． 【解析】（1）由可得， 由可得，解得， 所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为0， （2）由可得对任意，恒成立， 所以存在常数，使得， 令，则，且， 解得， ①，则， 由于是“缺陷偶函数”，由， 即，即， 则，得， ， 由于，所以有两个不相等的实数根，不妨设， 当或时，单调递增， 当时，单调递减， 所以有两个极值点． ②若，即，则，故， 当时，要证，只需要证， 因为，故， 只需证， 令， 当单调递减，当单调递增， 故 ， 所以，从而，故， 即时，. 7．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：当时，恒成立； (3)是否存在实数a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. 【解析】（1）依题意，据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）当时，且时，， 令下证即可. 再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故， 所以当时，恒成立. （3）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意． 8．若是函数的两个零点，且，求证：且． 【解析】方法一：比值代换 因为，由题意结合可知，，， 所以． 令，则，，代入上式得， ．对于，其等价于，即． 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即得证． 对于，其等价于，即，即． 令，则，构造函数，则， 在上单调递减，所以，即得证． 方法二：差值代换 由可得． 设函数，则， 当，，则函数在上单调递减， 当，，则函数在上单调递增， 所以，则有，，则，且，． 对于，即，即，即， 令，则，则只需证． 令，则，， 则在上单调递增，则， 则在上单调递增，则，即成立． 对于，其等价于，即，即． 左边分子、分母同时除以，得，令，则， 则只需证，即． 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，故，所以， 所以在上单调递减，所以，即成立． 9．设函数在区间上有定义，若对任意，都满足，则称函数在区间上为级速增函数. (1)判断函数在区间上是否为1级速增函数，说明理由； (2)若函数在区间上为2级速增函数，且，证明：对任意，恒成立； (3)若在区间上为级速增函数，求的取值范围. 【解析】（1）函数在区间上是1级速增函数，理由如下： 设，则 ， 即，所以函数在区间上为1级速增函数. （2）证明：因为函数在区间上为2级速增函数， 所以任意都满足. 已知，令，所以， 故时，. 当时，， 所以对任意，恒成立； （3）由题设，令，而， 所以在上恒成立. 令在上单调递增，则 令，则， 所以在上，，即在上单调递减， 在上，，即在上单调递增， 所以，故， 所以，即的取值范围为. 10．已知函数 ，其中 为自然对数的底数. (1)当 时，求 的单调区间； (2)若方程 有两个不同的实根 . (i)求 的取值范围； (ii) 证明: . 【解析】（1） 时，，则， 当单调递增，当单调递减， 故 的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）(i)令，则， 由（1）知函数在单调递增，在单调递减， 故的极大值为，且当时，，， 因此的大致图象如下： 要使方程 有两个不同的实根 ，则的图象与直线有两个不相同的交点， 故 (ii)不妨设，， 则， 故当单调递增， 又故，则， 又，故， 由于，在单调递减， 故，因此， 故，得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$