福建省莆田市中山中学2023-2024学年九年级上学期数学期中试题

2023-2024学年中山九年级上学期数学期中考试 一、选择题（本小题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。在答题卡的相应位置填涂） 1. 下列交通标志中，是中心对称图形的是( ) A． B． C． D. 2. 抛物线 y＝（x﹣1）²﹣1 的顶点坐标为( ) A．(1，1） B． (1，﹣1） C. (﹣1，1） D. (﹣1，﹣1） 3. 用配方法解一元二次方程 x²﹣6x+8＝0 时，则方程变形正确的是( ) A． ² =17 B． ² ＝17 C．²＝1 D．² ＝1 4. 如图，△ABC 中，点 D 、E 分别在 AB、AC 边上，下列条件中不一定能使△AED ∽△ABC的是( ) A. ∠2=∠B B. ∠1=∠C C． D． 5. 如图，线段 BD,CE 相交于点 A，DE//BC,若 BD=6,AD=2,DE=1.5,则 BC 的长为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.5 6. 如图，AB 为⊙O 的直径， ∠ACD＝70 ° , 则∠BED 的度数为( ) A．20 ° B．25 ° C．30 ° D．35 ° 7. 2023-2024 赛季中国男子篮球职业联赛，采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比 赛总场数为 190 场，若设参赛队伍有 x 支，则可列方程为( ) A. x（x-1）=190 B.x（x-1）=190 C . x（x+1）=190 D . x（x+1）=190 8. 如图，在⊙O中，已知弦 AB长为 16cm，C为的中点，OC交 AB于点 M，且 OM：MC＝3：2， 则 CM 长为( ) A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 9. 如图，点 E 是正方形 ABCD 中 CD 上的一点，把△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90 °到△ABF 的位置， 若四边形 AECF 的面积为 16，DE＝1，则 EF 的长是( ) A．4 B．5 C．2 D. 10. 二次函数y ＝ax2＋bx＋c 的最小值为 a＋b＋c ，且 M（4 ，c），N（－3 ，m），P（5 ，m）， Q（3，a－b＋c），R（－2，n）中恰好只有两点在该二次函数图象上，则下列说法正确的是( ) A．N，P 两点一定在二次函数图象上 B．M，R 两点一定不在二次函数图象上 C．m ＞n D．n＞3a+c 二、填空题（本小题共6小题，每小题4分，共24分，在答题卡的相应位置作答） 11.在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： ． 12.已知 x=2 是方程x ( 2)-a=0 的解，则 a= ． 13.已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝3，A'B'＝4，则△ABC与△A'B'C'的面积之比为 ． 14.已知 A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数 y＝x ( 2)﹣6x+4 的图象上，若 x1＞x2＞3，则 y1 y2 （填“ ＞ ”、“＝ ”或“ ＜ ”）. 15.在直角坐标系中，将抛物线 y＝﹣2（x-1）2+2 先向下平移 2 个单位长度，再向左平移 1 个 单位长度，所得新抛物线的解析式为 ． 16.如图，在矩形 ABCD 中，将△ADC 绕点 D 逆时针旋转 90 °得到△FDE ，B 、F、E 三点恰好在同一直线上，AC 与 BE 相交于点 G，连接 DG．现有以下结论：① AC⊥BE；② △BCG ∽△GAD；③ DF2 =CD·CF； ④ CG+DG＝EG ．其中正确的是 ． 三、解答题 17 ．(本小题满分 8 分) 解方程： x ²+ 4x + 3 = 0 . 18 ．(本小题满分 8 分) 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，连接DE，F 为线段DE 上一点，且∠AFD = ∠ C ． （1）求证：△ADF ∽△DEC ； （2）若AB = 8 ，AD= 6，AF =4，求DE 的长． 19 ．(本小题满分 8 分) 已知：关于 x 的方程 2x2+kx﹣1=0. （1）求证：不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为 x1，x2 且满足（ x1 +1）（x2 +1）=2 ，求 k 的值。 20 ．(本小题满分8分) 如图1，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A 的大小保持不变，点D在斜边 AB 上，DE⊥AC，垂足为点 E．如图 2，把△ADE 绕着点 A 顺时针旋转，旋转角为“（0°<α＜90° ) , 点 E 的对应点为点P . （1）求作点 D 的对应点 Q（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接 PQ ，CP ，BQ ，直线 CP ，BQ 相交于点 F，求证： ∠BFC=∠BAC. 21 ．(本小题满分8分) 如图，⊙O中，直径CD⊥弦 AB 于 E，AM⊥BC于M， 交CD于N，连接AD . （1）求证：AD＝AN； （2）若 AB ＝4 ，ON＝1，求⊙O的半径； 22 ．（本小题满分10分) 某超市准备进一批每个进价为40元的小家电，经市场调查预测，售价定为50元时可售出 400 个；定价每增加1元，销售量将减少10个. （1）超市若准备获得利润 6000 元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少元？ （2）超市若要获得最大利润，则每个小家电应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 23 ．(本小题满分 10 分) 根据以下思考，探索完成任务. 刘徽“重差术 ”的实践与应用 问题背景 现实生活中，我们经常利用数学知识测量物体的高度，如测量建筑物或名山的高度，有些建筑物是可到达的，也有些建筑物是不可到达的，如处于海岛 上的山峰就是不可到达的建筑物，这也给测量带来挑战. 素材 1 如图，我们可以利用标杆 BE 测量可到达的建筑物的高度 CD，测量者在水平线上的B处竖立一根长度为l的竹竿BE，测量者沿着射线 CB 方向走到A处，测得楼顶D、竹竿顶端 E 及A在同一条直线上，此时只要测量出 AB，BC的长度，即可求得建筑物的高度 CD . 素材 2 如图，当我们要测量处于海岛上的山峰的高度 AB 时，由于海岛和山体不可到达，故 BD不可测量，导致素材1中的测量方案不可行．但我国魏晋时期数学家刘徽所著《重差》提出：可以利用两根长度相同的竹竿(图中 CD 和EF)进行测量，可求得山峰的高度AB . 《重差》因其原理简单，且应用广泛，后来被收录在唐代的数学著作《海岛算经》中. 任务 1 操作与实践 素材1中，测量得：竹竿 BE 的高l＝1.2米，AB＝1.6米，BC＝12.4米，求该建筑物的高度. 任务 2 “重差术 ”的 建模与推广 现提供皮尺，请你通过测量长度几何量，并利用相似三角形的知识求素材2中处于海岛上的山峰高度，写出你测量的几何量及求解过程． （要求：测量得到的长度用字母 a ，b ，c …表示） 24．（本小题满分 12 分）（1）如图 1 ，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 上一动点，将正方形沿 着BE折叠，点C落在点F处，连结 BE，CF，延长 CF 交 AD 于点 G．求证：△BCE≌△CDG； （2）如图 2，在（1）条件下，延长 BF 交 AD 于点 H．若 = ，CE = 9 ，求线段 DE 的长. （3）将正方形改成矩形，同样沿着 BE 折叠，连结 CF，延长 CF，BF 交直线 AD 于 G ，H两点， 若 = k ， = ，求 的值（用含k的代数式表示）. 25．（本小题满分 14 分）抛物线y ＝a(x－b)2＋b－1 经过 A(－1，0)和 B( 1，0)两点. (1)求抛物线的函数表达式； (2)C，D 为抛物线上不与 A ，B 重合的相异两点，直线 AD ，BC 的交点为 P . ①若直线 CD 的解析式为y ＝2x ，且点 C 在第一象限，求四边形 ACBD 的面积； ②小明研究发现：无论 C，D 在抛物线上如何运动，只要 C，O ，D 三点共线，△PAC，△PCD ，△PAB 中必存在面积为定值的三角形．请指出其中面积为定值的三角形，并求其面积. 2023-2024学年中山九年级上学期数学期中考试参考答案 1、 选择题 1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.B 9.D 10.D 2、 填空题 11.（-3,2） 12.4 13. 14.＞ 15.y=2x2 16.①③④ 3、 解答题 17.(本小题满分8分) x²+4x+3＝0 解：（x+1）（x+3）＝0，……………………………………4分 则x+1＝0或x+3＝0， x1＝-1，x2＝-3．……………………………………8分 18.(本小题满分8分) （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵∠AFD＝∠C， ∴△ADF∽△DEC；……………………………………4分 （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝8， ∵△ADF∽△DEC， ∴＝， ∴＝， ∴DE＝12．……………………………………8分 19.(本小题满分8分) （1）证明：∵Δ＝k²﹣4×2×(-1) ＝k²+8＞0， ∴不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；…………………………………4分 （2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝，x1x2＝， ∵（x1+1）（x2+1）=2， ∴x1x2+(x1+x2)+1=2， 解得k＝-3，即k的值为-3．……………………………………4分 20.(本小题满分8分) 解：（1）如图：点Q即为所求； ……………………………………3分 ∴点Q就是所求作的点.……………………………………4分 （2）证明：由旋转的性质得：∠CAP＝∠BAQ＝a，AP＝AE，AQ＝AF， ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°＝∠C， ∴BC∥DE， ∴＝， ∴＝， ∴△APQ～△ACB， ∴∠ACP＝∠ABQ， ∴∠BFC＝180°﹣（∠ABP+∠BCF+∠ABC） ＝180°﹣（∠ACP+∠BCF+∠ABC） ＝∠BAC．…………………8分 21.(本小题满分8分) （1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD＝∠BCD， ∵AE⊥CD，AM⊥BC， ∴∠AMC＝∠AEN＝90°， ∵∠ANE＝∠CNM， ∴∠BCD＝∠BAM， ∴∠BAM＝BAD， 在△ANE与△ADE中， ， ∴△ANE≌△ADE， ∴AD＝AN；……………………………………4分 （2）解：∵AB＝4，AE⊥CD，∴AE＝2， 又∵ON＝1， ∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x， r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1 连接AO，则AO＝OD＝2x﹣1， ∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1， ∴（2）²+（x﹣1）²＝（2x﹣1）²， 解得x＝2， ∴r＝2x﹣1＝3；……………………………………4分 22.(本小题满分10分) 解：（1）设每个定价增加x元， （50﹣40+x）（400﹣10x）＝6000 整理得：x²﹣30x+200＝0， 解得x1＝20，x2＝10（舍去）， ∴每个定价70元；……………………………………5分 （2）设最大利润为y元，则y＝﹣10x²+300x+4000， 当x=时，y最大＝，…………………………………5分 所以每个定价为65元时，获得的最大利润为6250元． 23. (本小题满分10分) 任务一：∵BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴,…………………………2分 ∴，解得：CD＝10.5，……………………………………4分 ∴该建筑物的高度为10.5米； 任务二 答：测量方案1：若测量CD＝EF＝a，GH＝m，FH＝b，DG＝c； 测量方案2：若测量CD＝EF＝a，DF＝n，FH＝b，DG＝c，………………………6分 求解过程如下： ∵EF∥AB，∴△ABH∽△EFH，∴，∴EF·BH＝AB·FH，……① ∵CD∥AB，∴△ABG∽△CDG，∴，∴CD·BG＝AB·DG，……② 由①－②得：CD·(BH－BG)＝AB·(FH－DG)，∴CD·HG＝AB·(FH－DG)，∴AB＝，…8分 测量方案1：若测量CD＝EF＝a，GH＝m，FH＝b，DG＝c，则山高AB＝； 测量方案2：若测量CD＝EF＝a，DF＝n，FH＝b，DG＝c， 则山高AB＝．………………………………10分 24．(本小题满分12分) （1）证明：如图1中， 如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．求证：△BCE∽△CDG； ∵△BFE是由△BCE折叠得到， ∴BE⊥CF， ∴∠ECF+∠BEC＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠BCE＝90°， ∴∠ECF+∠CGD＝90°， ∴∠BEC＝∠CGD， ∴△BCE∽△CDG．……………………………………3分 （2）如图2中，连接EH． ∵△BCE≌△CDG， ∴CE＝DG＝9， 由折叠可知BC＝BF，CE＝FE＝9， ∴∠BCF＝∠BFC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠BCG＝∠HGF， ∵∠BFC＝∠HFG， ∴∠HFG＝∠HGF， ∴HF＝HG， ∵，DG＝9， ∴HD＝4，HF＝HG＝5， ∵∠D＝∠HFE＝90°， ∴HF2+FE2＝DH2+DE2， ∴52+92＝42+DE2， ∴DE＝3或﹣3（舍弃）， ∴DE＝3．……………………………………7分 （3）如图3中，连接HE． 由题意，可以假设DH＝4m，HG＝5m，设＝x． ①当点H在点D的左侧时， ∵HF＝HG， ∴DG＝9m， 由折叠可知BE⊥CF， ∴∠ECF+∠BEC＝90°， ∵∠D＝90°， ∴∠ECF+∠CGD＝90°， ∴∠BEC＝∠CGD， ∵∠BCE＝∠D＝90°， ∴△CDG∽△BCE， ∴＝， ∵＝＝k， ∴＝， ∴CE＝＝FE， ∴DE＝， ∵∠D＝∠HFE＝90° ∴HF2+FE2＝DH2+DE2， ∴（5m）2+（）2＝（4m）2+（）2， ∴x＝或﹣（舍弃）， ∴＝．……………………………………10分 ②当点H在点D的右侧时，如图4中， 同理HG＝HF，△BCE∽△CDG， ∴DG＝m，CE＝＝FE， ∴DE＝， ∵HF2+FE2＝DH2+DE2， ∴（5m）2+（）2＝（4m）2+（）2， ∴x＝或﹣（舍弃）， ∴＝．……………………………………12分 综上所述，＝或． 25．(本小题满分14分) 解：（1） ……………………………………4分 （2） 联立， 消……………………………………5分 解得：x1＝1＋，x2＝1－， 所以xC＝1＋，xD＝1－，……………………………………7分 故S四边形ACBD＝S△ABC＋S△ADB＝yC－yD＝2xC－2xD＝4，………………………9分 （3）答：△PAB的面积为定值，…………………………………………………………10分 设C，D，则AD:，BC: 联立，得：， ∴………………………12分 设CD:，则， 得， ∴，∴， ∴为定值， ∴P在定直线上运动， ∵AB∥直线， ∴为定值．………………………………14分 4 学科网（北京）股份有限公司 $$