河北省沧州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学模拟卷

参照机密级管理★启用前 沧州市 2024—2025学年第一学期期末教学质量监测 模拟卷 高二数学 参考答案 答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A B C D D C D ABD ABD BCD 1．A 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解. 【详解】因为抛物线的准线为， 由题意可得：，解得. 故选：A. 2．A 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设，依题意得到，从而代曲线的方程求解. 【详解】解：设，依题意可知 即 因为点在曲线上，所以， 即， 故选：A. 3．B 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】利用向量垂直关系可得向量的数量积为零，再利用向量的平方等于模的平方和向量的运算公式进行求解即可. 【详解】因为，所以，所以 ， 所以， 故选：. 4．C 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值、切线长 【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为与直线的交点时，最小，由对称知，此时与重合，从而易得最小值． 【详解】由可知圆心为，半径， 由题意， 所以当时，取最小值， 由点到直线的距离公式可得， 此时， 过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点， 由于与关于直线对称，，与关于直线对称， 因此与就是同一条直线，即点即为所求的点， 所以的最小值为. 故选：C    5．D 【知识点】求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径、切线长 【分析】设出，利用直线与圆相切，直线与圆相切，表示出，并进行转化为到点的距离的倍.利用三点共线即可求出最小值. 【详解】由圆可得圆心，半径为， 由圆可得圆心，半径为， 设直线上有一动点， 因为直线与圆相切，直线与圆相切， 所以， 即 ， 即， 设， 则, 当且仅当三点共线时取等号. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用直线与圆相切表示出，并进行转化为为到点的距离问题. 6．D 【知识点】等差中项的应用、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】设公差为d，根据等差数列前n项和写出前3项，结合等差中项的性质列方程求公差d，进而得到关于n的表达式，利用基本不等式求其最小值. 【详解】因为等差数列满足，． 设公差为d，则，其前n项和为， 所以，，，． 因为数列也为等差数列，所以， 所以，解得，故，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：D 7．C 【知识点】求二次函数的值域或最值、对数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题 【分析】设，则函数的定义域为，若恒成立，则，即，将转化成关于的二次函数求最小值即可. 【详解】依题意，设，则函数的定义域为， 令，解得或. 易知函数在上均单调递减， 若恒成立，则，即， 所以， 当且仅当时，取得最小值，即的最小值为， 故选：C. 8．D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数对称性的应用 【分析】先证明函数为奇函数，由此可得图象关于对称，再证明图象关于对称，结合对称性求结论. 【详解】当时，，， 当时，，， 所以当时，， 所以函数为奇函数， 所以函数的图象关于点对称， 函数，所以函数为奇函数， 函数的图象也关于点对称. 则两点也关于点对称， 所以， 则， 故选：D. 9．ABD 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】先根据等比数列基本量运算列方程组求出或，再根据选项中第三项与第六项大小关系，分别确定首项与公比，结合等比数列的通项公式与求和公式以及等比数列的性质，对选项中结论逐一分析即可. 【详解】设等比数列的公比为，因为， 所以，解得或， 所以或. 对于A选项，在等比数列中，，又，所以，所以A选项正确； 对于B选项，若，则数列递增，，即，所以，所以B选项正确； 对于C选项，若，则数列递减，，即，所以，所以C选项不正确； 对于D选项，若，则数列递减，，又， 所以，所以D选项正确， 故选：ABD. 10．ABD 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据余弦函数的周期公式，零点，对称轴方程，单调性逐一分析每个选项即可. 【详解】对于A，函数，又函数， 所以函数与有相同的最小正周期，故A正确； 对于B，对于函数的零点，可令，解得； 对于函数的零点，可令，解得， 由于，所以函数与一定不存在相同的零点，故B正确； 对于C，对于函数的对称轴，可令，解得； 对于函数的对称轴，可令，解得， 由于，所以函数与一定不存在相同的对称轴，故C错误； 对于D，对于函数的单调递增区间，可令，解得； 对于函数的单调递增区间，可令，解得， 由于，可令，则区间为函数与的一个共同单调递增区间，故D正确. 故选：ABD. 11．BCD 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、二倍角的余弦公式、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得选项A错误；设，则，利用两点间距离公式表示，通过求导分析可得选项B正确；通过可得，根据可得选项C正确；利用结合可得选项D正确. 【详解】对于A选项，抛物线的准线的方程为，的圆心到直线的距离为，小于的半径1，与相交，选项A错误. 对于B选项，设点的坐标为，则，. 令函数，则，函数在上单调递增， ∵时，，∴当时，，当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，函数取得最小值5，故的最小值为，选项B正确. 对于C选项，， ， ∵，∴，，，故的最大值为，选项C正确. 对于D选项，由题意得，，. 在中，. 由选项B得的最小值为，所以，故四边形的面积的最小值为2，选项D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决选项B的关键是利用点在抛物线上结合两点间的距离公式表示，通过求导分析单调性得到的最小值，解决选项C的关键是利用二倍角公式和锐角三角函数表示向量数量积，根据选项B的结论可计算数量积的最大值. 12． 【知识点】已知直线垂直求参数、直线过定点问题、点与圆的位置关系求参数 【分析】动直线过定点，动直线过定点，发现两条直线的斜率乘积为-1，说明两条直线垂直，则点是在以为直径的圆上动，表示到点的距离，根据点与圆的关系可求出范围. 【详解】动直线过定点，动直线过定点，且两条直线的斜率乘积为-1，所以两条直线垂直， 所以是在以为直径的圆上动，则中点为圆心， 表示到点距离，其最大值为，其最小值为. ， ， =，= 所以的取值范围为 故答案为： 13． 【知识点】直线过定点问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线 【解析】求出直线的定点，过点A作AD垂直于于点D，AE垂直于与点E，AG垂直于与点G，根据内切圆的性质证明，从而利用双曲线的定义求出a，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】直线即过定点，则， 的圆心记为A，分别过点A作AD垂直于于点D，AE垂直于与点E，AG垂直于与点G， 因为△内切圆圆心始终在直线上运动，所以 易知, 所以， 由双曲线的定义知，则， 解得，又，所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的定义及几何性质，三角形内切圆的性质，属于中档题. 14．54 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的下标和性质及等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】， 因为，所以， 即.又，解得， 所以. 故答案为：54. 15．(1)证明见解析 (2). 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由勾股定理逆定理得，结合，从而得到线面垂直，证明出； （2）证明出平面，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用法向量求出面面角的余弦值，进而求出正弦值. 【详解】（1）证明：在中，，所以， 所以，即， 又，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）连接，在中，， 所以， 在中，， 所以，所以，即， 由（1）知，，又因为，平面， 所以平面. 以A为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 过点作⊥轴于点， 因为，所以， 又，故， 则，    故， 设平面的法向量为， 则即不妨令，则， 则为平面的一个法向量， 依题意，为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 又因为， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 16．(1)或 (2)最小值为24，此时直线的方程为 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】（1）当直线过原点时，求出斜率，再求出直线方程即可；不过原点时，设出截距式，结合题意求出即可； （2）设出截距式，结合基本不等式求出的最小值，再求出面积和直线方程即可； 【详解】（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率， 直线方程为，即； ②当直线l不过原点时， ∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍， ∴可设直线l的方程为：． ∵直线l过点， ∴，解得． ∴直线l的方程为，即． 综上所述，所求直线l方程为或． （2）设直线l的方程为）， 由直线l过点得：． ∴，化为， 当且仅当，时取等号． ∴的面积，其最小值为24． 此时直线的方程为． 17．(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由和关系作差得，再求出首项结合等差数列通项公式即可得到答案； （2）求出，代入化简得，最后利用裂项相消求和法即可. 【详解】（1）由，得①， 当时，，解得（负值舍去）. 当时，②， ①②，得， 化为， 因为，，解得， 所以数列是首项为3、公差为2的等差数列， 所以，即. （2）由（1）知，所以， 从而， 则，，…，， 以上n个式子相加，得. 18．(1) (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】(1)将代入函数中，得到函数解析式，再对其求导即可求出在的斜率，再利用点斜式即可求出切线方程. （2）首先对参数a进行讨论，分为和两种情况，再当时求出函数的极小值点为，由极小值小于0，得到，解这个不等式即可求出参数a的取值范围. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为， 当时，，则， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得，， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，此时函数不存在极值，不合题意. 当时，令，即，则. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以函数在处取得极小值， 且. 又因为，则等价于， 令， 则，所以函数在上单调递减， 又，所以当时，， 即不等式的解集为， 故实数的取值范围是. 19．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据题意计算出的值即可得椭圆的方程； （2）设直线的方程为与椭圆的方程联立即可得到，根据的面积为即可求出的值，最后得到的坐标，从而得即证即可； （3）由，可设用表示，代入椭圆的方程化简即可. 【详解】（1）依题意，双曲线的焦点为，则， 又双曲线的渐近线方程为，则，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：由直线的倾斜角为钝角，可设直线的方程为， 联立整理得， 则恒成立，所以， ， 解得，因为，所以， 即直线的方程为， 连接，又有，解得，从而可得， 所以，且， 所以，所以. 根据对称性可知， 所以， 所以. （3）证明：因为，所以， 设，由，可得， 又均在椭圆上，则有 即 所以， 整理得， 同理可得，所以直线的方程为， 此时直线的斜率为， 因为，所以直线的斜率为定值. 【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题的三角形面积问题，可设直线方程及交点坐标，直线方程与椭圆方程联立消元后，利用韦达定理求出三角形的面积，得出相应结论． 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 2 页 共 14 页 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 沧州市 2024—2025学年第一学期期末教学质量监测 模拟卷 高二数学 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学 沧州卷 第 1 页 共 4 页 参照机密级管理★启用前 沧州市 2024—2025 学年第一学期期末教学质量监测 模拟卷 高二数学 班级：___________姓名：___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．若抛物线 2 2 ( 0)x py p  上一点  ,6M n 到焦点的距离是 4 p，则 p的值为（ ） A． 12 7 B． 7 12 C． 6 7 D． 7 6 2．已知曲线  2 2: 16 0C x y x   ，从C上任取一点 P向 y轴作垂线段 ,PP P 为垂足，则线段 PP的中点M 的轨迹 方程为（ ） A．   2 2 1 0 4 16 x y x   B．   2 2 1 0 16 8 x y x   C．   2 2 1 0 16 4 x y x   D．   2 2 1 0 8 16 x y x   3．已知向量 ,a b  满足 2 1a b   ，且  2b a b    ，则 2a b   （ ） A． 5 B． 2 C． 3 D． 5 2 4．已知直线 : 4 3 5 0l x y   与圆 2 2: ( 4) ( 3) 4C x y    ，点 ,P Q在直线 l上，过点 P作圆C的切线，切点分别为 ,A B， 当 PA取最小值时，则 QA QB 的最小值为（ ） A． 31 B． 2 31 C．8 2 D． 2 33 5．已知圆 2 21 : 4C x y  上有一动点 P，圆 2 2 2 : ( 2) ( 3) 1C x y    上有一动点 Q，直线 : 3 0l x y   上有一动点 M， 直线 PM 与圆 1C 相切，直线QM 与圆 2C 相切，则 | | | |PM QM 的最小值为（ ） A．4 B．5 C． 2 6 D． 14 2 6．设正项等差数列 na 满足 1 1a  ，其前 n项和为 nS ，若数列 nS 为等差数列，则 9 1 n n S a   的最小值是（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 7．若不等式   13 ln 0a x x b    恒成立，则 2 2a b 的最小值为（ ） 高二数学 沧州卷 第 2 页 共 4 页 A． 2 B． 2 C． 9 8  D． 1 8．已知函数       1 ln , 0, 1 1 ln , 0, x x xf x g x x x x         ，曲线 ꃐ ʌ 与 ꃐ 有两个交点 ，则    1 2 1 22 x x y y   （ ） A． 2 B． 1 C．1 D． 2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知等比数列 na 的前 n项和为 2 3 7, 1, 2n S a S  ，则（ ） A． 3 6 7a a a B．若 3 6a a ，则 4 4a  C．若 3 6a a ，则 5 1 16 a  D．若 3 6a a ，则  2,4nS  10．对于函数   1cos 2 f x x 和   1 πsin 2 4 g x x      ，下列说法正确的是（ ） A．  f x 与  g x 有相同的最小正周期 B．  f x 与  g x 一定不存在相同的零点 C．  f x 与  g x 的图象有相同的对称轴 D．存在区间  ,I f x 与  g x 均单调递增 11．已知抛物线 2:C x y 的准线为 l，P为C上的动点，过点 P作 2 2: ( 3) 1A x y   的两条切线，切点分别为 ,M N， 则（ ） A． l与 A 相离 B． PA的最小值为 5 C． AM AN   的最大值为 3 5 - D．四边形 PMAN的面积的最小值为 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知 Rk ，动直线 1 0kx y   和动直线 3 0x ky k    交于点  ,P x y ，则  2 22x y  的取值范围 为 . 高二数学 沧州卷 第 3 页 共 4 页 13．设无论  m m R 取何值，直线 2 2 0mx y m    恒过定点 0 0( , )x y ，已知双曲线 2 2 2 1 x y a   （ 0a  ）的左右焦 点依次为 1 2,F F ,且 P为双曲线右支上任意一点（ x轴上的点除外），当点 P运动时，焦点三角形△ 1 2FPF 内切圆圆心 始终在直线 0x x 上运动，则双曲线 2 2 2 1 x y a   的渐近线方程为 . 14．已知 nS 为等差数列 na 的前 n项和，若 3 9 4 816,3 24a a a a    ，则 9S  . 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 15．如图，在五棱锥 P ABCDE 中， 90EAB AED   ， 3 3 3, 2 4AE DE PB BC AB     ， 2 4 3, 120PD PA ABC    . (1)证明： AB PE ； (2)求平面 PAB与平面 PCD夹角的正弦值. 16．已知直线 l过点  3,4P (1)它在 y轴上的截距是在 x轴上截距的 2倍，求直线 l的方程． (2)若直线 l与 x轴，y轴的正半轴分别交于点 A，B，求 AOBV 的面积的最小值及此时直线的方程． 高二数学 沧州卷 第 4 页 共 4 页 17．设正项数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 11 2 n n aS   . (1)求数列 na 的通项公式； (2)设 2 n n n ab S n   ，求数列 nb 的前 n项和 nT . 18．已知函数   2 3e 2 ,xf x ax a a a    R . (1)当 1a   时，求曲线  y f x 在点   3, 3f 处的切线方程； (2)若函数  f x 的极小值小于 0，求实数 a的取值范围. 19．已知双曲线 2 2 1 2 x y  的焦点与椭圆   2 2 2 2Γ : 1 0 x y a b a b     的焦点重合，且直线 x a 被双曲线的两条渐近线截 得的线段长为 2 2 ，过点  ,0T t 的直线 l与椭圆Γ交于不同的两点 ,B C（ B点在 x轴上方），过点  1,2P 作直线 ,PB PC分别交椭圆Γ于另外两点 ,D E . (1)求椭圆Γ的标准方程； (2)若直线 l的倾斜角为钝角，且 1,t PBC  的面积为 8 5 ，证明： DTB BPC  ； (3)若 BE∥ CD，证明：直线 BE的斜率为定值. 参照机密级管理★启用前 沧州市 2024—2025学年第一学期期末教学质量监测 模拟卷 高二数学 班级：___________姓名：___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知曲线，从上任取一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆上有一动点P，圆上有一动点Q，直线上有一动点M，直线与圆相切，直线与圆相切，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 6．设正项等差数列满足，其前n项和为，若数列为等差数列，则的最小值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 7．若不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，曲线与有两个交点，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知等比数列的前项和为，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．对于函数和，下列说法正确的是（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与一定不存在相同的零点 C．与的图象有相同的对称轴 D．存在区间与均单调递增 11．已知抛物线的准线为，为上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，则（    ） A．与相离 B．的最小值为 C．的最大值为 D．四边形的面积的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，动直线和动直线交于点，则的取值范围为 . 13．设无论取何值，直线恒过定点，已知双曲线（）的左右焦点依次为,且为双曲线右支上任意一点（轴上的点除外），当点运动时，焦点三角形△内切圆圆心始终在直线上运动，则双曲线的渐近线方程为 . 14．已知为等差数列的前项和，若，则 . 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 15．如图，在五棱锥中，，，.    (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 16．已知直线l过点 (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 17．设正项数列的前n项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围. 19．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，且直线被双曲线的两条渐近线截得的线段长为，过点的直线与椭圆交于不同的两点（点在轴上方），过点作直线分别交椭圆于另外两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的倾斜角为钝角，且的面积为，证明：； (3)若，证明：直线的斜率为定值. 高二数学 沧州卷 第 2 页 共 4 页 高二数学 沧州卷 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 沧州市 2024—2025 学年第一学期期末教学质量监测 模拟卷 高二数学 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 1 页 共 14 页 参照机密级管理★启用前 沧州市 2024—2025 学年第一学期期末教学质量监测 模拟卷 高二数学 参考答案 答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A B C D D C D ABD ABD BCD 1．A 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解. 【详解】因为抛物线 2 2 ( 0)x py p  的准线为 2 py   ， 由题意可得：6 4 2 p p  ，解得 12 7 p  . 故选：A. 2．A 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设    0 0, , ,M x y P x y ，依题意得到 0 0 , 2 , xx y y      ，从而 0 0 2 , , x x y y    代曲线C的方程求解. 【详解】解：设    0 0, , ,M x y P x y ，依题意可知 0 0 , 2 , xx y y      即 0 0 2 , , x x y y    因为点 P在曲线C上，所以  2 2(2 ) 16 0x y x   ， 即   2 2 1 0 4 16 x y x   ， 故选：A. 3．B 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】利用向量垂直关系可得向量的数量积为零，再利用向量的平方等于模的平方和向量的运算公式进行求解即 可. 【详解】因为  2b a b r rr ，所以   22 2 0b a b b a b          ，所以 2 2 2 2 2 212 | , 2 | ( 2 ) 4 4 1 1 2 4 2 b a b b a b a b a a b b                          ， 所以 2 2a b   ， 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 2 页 共 14 页 故选：B . 4．C 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值、切线长 【分析】由切线长公式知当 PC l 时， PA 最小，结合点到直线距离公式求得 PA 的最小值，然后作A关于直线 l的 对称点 A，可知当点Q为 A B 与直线 l的交点时， QA QB 最小，由对称知，此时 P与Q重合，从而易得最小值． 【详解】由 2 2: ( 4) ( 3) 4C x y    可知圆心为  4,3 ，半径 2r  ， 由题意 2 2 2 4PA PC AC PC    ， 所以当 PC l 时， PA取最小值， 由点到直线的距离公式可得 min 4 4 3 3 5 6 16 9 PC        ， 此时 36 4 4 2PA PB    ， 过A作直线 l的对称点 A，连接QA， A B ， A B 与直线 l的交点即为所求的点Q， 由于 PA与 PB关于直线 PC对称， PC l ， PA与 PA关于直线 l对称， 因此 PA与 A B 就是同一条直线，即点 P即为所求的点Q， 所以 QA QB 的最小值为 2 8 2PB  . 故选：C 5．D 【知识点】求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径、切线长 【分析】设出  0 0, 3M x x  ，利用直线 PM 与圆 1C 相切，直线QM 与圆 2C 相切，表示出 | | | |PM QM ，并进行转化 为 ,A B到 N点的距离的 2倍.利用三点共线即可求出最小值. 【详解】由圆 2 2 1 : 4C x y  可得圆心  1 0,0C ，半径为 1 2r  ， 由圆 2 2 2 : ( 2) ( 3) 1C x y    可得圆心  2 2,3C ，半径为 2 1r  ， 设直线 : 3 0l x y   上有一动点  0 0, 3M x x  ， 因为直线 PM 与圆 1C 相切，直线QM 与圆 2C 相切， 所以 2 2 1 24 1PM QM MC MC     ， 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 3 页 共 14 页 即    2 22 20 0 0 03 4 2 1PM QM x x x x         2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 5 32 6 5 2 4 3 2 3 2 2 2 x x x x x x x x                   ， 即   22 2 2 0 0 3 1 22 0 1 0 2 2 2 PM QM x x                              ， 设  0 3 1 2, , 1, , , 0 2 2 2 A B N x            ， 则  2 2 14 2PM QM AN BN AB      , 当且仅当 , ,A B N三点共线时取等号. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用直线与圆相切表示出 | | | |PM QM ，并进行转化为为 ,A B到N 点的距 离问题. 6．D 【知识点】等差中项的应用、求等差数列前 n项和、等差数列前 n项和的基本量计算、二次与二次（或一次）的商 式的最值 【分析】设 na 公差为 d，根据等差数列前 n项和写出 nS 前 3项，结合等差中项的性质列方程求公差 d，进而得 到 9 1 n n S a   关于 n的表达式，利用基本不等式求其最小值. 【详解】因为等差数列 na 满足 1 1a  ，  *0na n N ． 设公差为 d，则  1 1na n d   ，其前 n项和为   1 1 1 2n n n d S      ， 所以  2 1 2n n n d S     ， 1 1S  ， 2 2S d  ， 3 3 3S d  ． 因为数列 nS 也为等差数列，所以 2 1 32 S S S  ， 所以 2 2 1 3 3d d    ，解得 2d ，故  29 9nS n   ， 1 2 1na n   ， 所以       2 2 2 9 1 9 1 17 17 1 17 172 1 2 2 1 17 2 1 4 2 1 2 4 2 1 2 n n nS n n a n n n                     ， 当且仅当 2172 1 2 1 n n    ，即 8n  时，等号成立． 故选：D 7．C 【知识点】求二次函数的值域或最值、对数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 4 页 共 14 页 【分析】设     13 lnf x a x x b    ，则函数的定义域为  ,b   ，若     13 ln 0f x a x x b      恒成立，则1 3 ab  ， 即 1 3 ab   ，将 2 2a b 转化成关于 a的二次函数求最小值即可. 【详解】依题意，设     13 lnf x a x x b    ，则函数的定义域为  ,b   ， 令   13 ln 0a x x b    ，解得 3 ax  或 1x b  . 易知函数 13 , lny a x y x b     在  ,b   上均单调递减， 若     13 ln 0f x a x x b      恒成立，则1 3 ab  ，即 1 3 ab   ， 所以 2 2 2 2 2 2 28 2 8 3 8 3 91 1 1 1 3 9 3 9 4 9 8 64 aa b a a a a a a                                   ， 当且仅当 3 8 a   时， 28 3 9 1 9 8 64 a            取得最小值 9 8  ，即 2 2a b 的最小值为 9 8  ， 故选：C. 8．D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数对称性的应用 【分析】先证明函数   1f x  为奇函数，由此可得 图象关于  0,1 对称，再证明  g x 图象关于  0,1 对称，结合 对称性求结论. 【详解】当 时，   1 lnf x x  ，   1 1 ln 1 lnf x x x       ， 当 0x  时，    1 lnf x x    ，      1 1 ln 1 lnf x x x        ， 所以当    ,0 0,x    时，    1 1f x f x      ， 所以函数   1f x  为奇函数， 所以函数     1 ln , 0, 1 ln , 0 x x f x x x        的图象关于点 对称， 函数   11g x x   ，所以函数   1g x  为奇函数， 函数   1xg x x   的图象也关于点 对称. 则 ,A B两点也关于点 对称， 所以 1 2 1 20, 2x x y y    ， 则    1 2 1 22 2x x y y    ， 故选：D. 9．ABD 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 5 页 共 14 页 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、求等比数列前 n项和、等比数列前 n项 和的基本量计算 【分析】先根据等比数列基本量运算列方程组求出 1 2, 1 2 a q     或 1 1 2 2 a q      ，再根据选项中第三项与第六项大小关系，分 别确定首项与公比，结合等比数列的通项公式与求和公式以及等比数列的性质，对选项中结论逐一分析即可. 【详解】设等比数列 na 的公比为 q，因为 2 3 71, 2  a S ， 所以 1 2 1 1 1 1 7 2 a q a a q a q       ，解得 1 2 1 2 a q     或 1 1 2 2 a q      ， 所以 1 2 1 12 2 2 n n na          或 1 21 2 2 2 n n na     . 对于 A选项，在等比数列 na 中， 3 6 2 7a a a a ，又 2 1a  ，所以 3 6 7a a a ，所以 A选项正确； 对于 B选项，若 3 6a a ，则数列递增， 2q = ，即 22nna  ，所以 4 24 2 4a   ，所以 B选项正确； 对于 C选项，若 3 6a a ，则数列递减， 1 2 q  ，即 2 1 2n n a  ，所以 5 1 8 a  ，所以 C选项不正确； 对于 D选项，若 3 6a a ，则数列递减， 12 1 1 12, 4 112 21 2 n n nq S               ，又 *nN ， 所以  2,4nS  ，所以 D选项正确， 故选：ABD. 10．ABD 【知识点】求 cosx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求 cosx（型）函数的对称轴及对称中 心 【分析】根据余弦函数的周期公式，零点，对称轴方程，单调性逐一分析每个选项即可. 【详解】对于 A，函数   1 π π 1 πsin cos 2 4 2 2 4 g x x x               ，又函数   1cos 2 f x x ， 所以函数  f x 与  g x 有相同的最小正周期 2π 4π1 2  ，故 A正确； 对于 B，对于函数   1cos 2 f x x 的零点，可令  1 π π 2 2 x k k  Z ，解得  π 2 πx k k  Z ； 对于函数   1 πcos 2 4 g x x      的零点，可令  1 π π π 2 4 2 x k k   Z ，解得  3π 2 π 2 x k k  Z ， 由于 k Z ，所以函数  f x 与  g x 一定不存在相同的零点，故 B正确； 对于 C，对于函数   1cos 2 f x x 的对称轴，可令  1 π 2 x k k Z ，解得  2 πx k k  Z ； 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 6 页 共 14 页 对于函数   1 πcos 2 4 g x x      的对称轴，可令  1 π π 2 4 x k k  Z ，解得  π 2 π 2 x k k  Z ， 由于 k Z ，所以函数  f x 与  g x 一定不存在相同的对称轴，故 C错误； 对于 D，对于函数   1cos 2 f x x 的单调递增区间，可令  12 π π 2 π 2 k x k k   Z ，解得  4 π 2π 4 πk x k k    Z ； 对于函数   1 πcos 2 4 g x x      的单调递增区间，可令  1 π2 π π 2 π 2 4 k x k k    Z ，解得  3π π4 π 4 π 2 2 k x k k    Z ， 由于 k Z ，可令 0k  ，则区间 3π ,0 2     为函数  f x 与  g x 的一个共同单调递增区间，故 D正确. 故选：ABD. 11．BCD 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、二倍角的余弦公式、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得选项 A错误；设 ，则 2 0 0x y ，利用两点间距离公式表示 PA ， 通过求导分析可得选项 B正确；通过 12 ,cosMAN MAP MAP PA      可得 2 2 1 | | AM AN PA      ，根据 5PA  可 得选项 C正确；利用 2PMAN PMAS S PM  结合 5PA  可得选项 D正确. 【详解】对于 A选项，抛物线 2x y 的准线的方程为 1 4 y   ， A 的圆心  3,0A 到直线 1 4 y   的距离为 1 4 ，小于 A 的半径 1， l与 A 相交，选项 A错误. 对于 B选项，设点 P的坐标为  0 0,x y ，则 20 0x y ，  2 2 2 40 0 0 0 03 6 9PA x y x x x       . 令函数 4 2 6 9y x x x    ，则 34 2 6y x x   ，函数 34 2 6y x x   在 上单调递增， ∵ 1x  时， 0y  ，∴当 1x  时， 0 y ，当 1x  时， 0 y ， ∴函数 4 2 6 9y x x x    在  ,1 上单调递减，在 ࠣ∞ 上单调递增， ∴当 1x  时，函数 4 2 6 9y x x x    取得最小值 5，故 PA 的最小值为 5 ，选项 B正确. 对于 C选项， 12 ,cos AM MAN MAP MAP PA PA       ， 2 2 21 1 cos 2cos 1 1 | | AM AN MAN MAP PA            ， ∵ 5PA  ，∴ 2 5PA  ， 2 2 20 | | 5PA   ， 2 2 31 1 | | 5PA      ，故 AM AN   的最大值为 3 5 - ，选项 C正确. 对于 D选项，由题意得，PM AM ， 12 2 2PMAN PMA S S PM AM PM      . 在Rt PMA△ 中， 2 2 2 1PM PA AM PA    . 由选项 B得 PA的最小值为 5 ，所以 min 5 1 2PM    ，故四边形 PMAN的面积的最小值为 2，选项 D选项正 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 7 页 共 14 页 确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决选项 B的关键是利用点 P在抛物线上结合两点间的距离公式表示 PA ，通过求导分析单 调性得到 PA 的最小值，解决选项 C的关键是利用二倍角公式和锐角三角函数表示向量数量积，根据选项 B的结论 可计算数量积的最大值. 12． 7- 13 7+ 13 2 2       ， 【知识点】已知直线垂直求参数、直线过定点问题、点与圆的位置关系求参数 【分析】动直线 1 0kx y   过定点  0,1A ，动直线 3 0x ky k    过定点  3, 1B   ，发现两条直线的斜率乘积为 -1，说明两条直线垂直，则点  ,P x y 是在以 AB为直径的圆上动，  2 22x y  表示  2,0 到点 P的距离，根据点与 圆的关系可求出范围. 【详解】动直线 1 0kx y   过定点  0,1A ，动直线 3 0x ky k    过定点  3, 1B   ，且两条直线的斜率乘积为-1， 所以两条直线垂直， 所以  ,P x y 是在以 AB为直径的圆上动，则 AB中点 3 ,0 2 C      为圆心，  2 22x y  表示  2,0D 到点 P距离，其最大值为CD r ，其最小值为CD r .    2 21 1 130 3 1+1 = 2 2 2 r AB    ， 23 7CD= 2+ = 2 2       ， CD r = 7+ 13 2 ，CD r = 7- 13 2 所以  2 22x y  的取值范围为 7- 13 7+ 13 2 2       ， 故答案为： 7- 13 7+ 13 2 2       ， 13． 1 2 y x  【知识点】直线过定点问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 8 页 共 14 页 【解析】求出直线的定点，过点 A作 AD垂直于 1 2F F 于点 D，AE垂直于 2PF 与点 E，AG垂直于 1PF与点 G，根据内 切圆的性质证明 1 1 2 22, 2,DF GF c DF EF c PG PE       ，从而利用双曲线的定义 1 2 2PF PF a  求出 a，即可求 出双曲线的渐近线方程. 【详解】直线 2 2 0mx y m    即 ( 2) 2y m x    过定点 (2, 2)，则 0 2x  ， 1 2PFF 的圆心记为 A，分别过点 A作 AD垂直于 1 2F F 于点 D，AE垂直于 2PF 与点 E，AG垂直于 1PF与点 G， 因为△ 1 2FPF 内切圆圆心始终在直线 2x  上运动，所以 2OD  易知 1 1 2 2, ,AFD AFG AF D AF E APE APG       , 所以 1 1 2 22, 2,DF GF c DF EF c PG PE       ， 由双曲线的定义知 1 2 2PF PF a  ，则 ( 2) [( 2) ] 2c PG c PE a      ， 解得 2a  ，又 1b  ，所以双曲线的渐近线方程为 1 2 y x  . 故答案为： 1 2 y x  【点睛】本题考查双曲线的定义及几何性质，三角形内切圆的性质，属于中档题. 14．54 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前 n项和 【分析】利用等差数列的下标和性质及等差数列的前 n项和公式即可求解. 【详解】 3 9 4 4 816,2 24a a a a a     ， 因为 3 9 4 8a a a a   ，所以 42 8a  ， 即 4 4a  .又 3 9 62 16a a a   ，解得 6 8a  ， 所以    1 9 4 6 9 9 9 54 2 2 a a a a S      . 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 9 页 共 14 页 故答案为：54. 15．(1)证明见解析 (2) 2 39 13 . 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由勾股定理逆定理得 PA AB ，结合 AE AB ，从而得到线面垂直，证明出 AB PE ； （2）证明出 PA 平面 ABCDE，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用法向量求出面面角 的余弦值，进而求出正弦值. 【详解】（1）证明：在 APB△ 中， 4, 2 3, 2PB PA AB   ，所以 2 2 2PB AB PA  ， 所以 90PAB  ，即 PA AB ， 又 90EAB  ，所以 AE AB ， 因为 AE PA A ， ,AE PA 平面 PAE，所以 AB 平面 PAE， 又 PE 平面 PAE，所以 AB PE ； （2）连接 AD，在Rt AED△ 中， 90 , 3 3, 3AED AE DE    ， 所以 2 2 6AD AE DE   ， 在 APD△ 中， 4 3, 2 3PD PA  ， 所以 2 2 2PD AD PA  ，所以 90PAD  ，即 PA AD ， 由（1）知，PA AB ，又因为 AB AD A  ， ,AB AD 平面 ABCDE， 所以 PA 平面 ABCDE . 以 A为坐标原点，以 , ,AB AE AP 所在直线分别为 , ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 过点C作CG⊥ x轴于点G， 因为 120ABC  ，所以 60CBG  ， 又 4BC  ，故 2, 2 3BG CG  ， 则          0,0,0 , 0,3 3,0 , 3,3 3,0 , 0,0,2 3 , 4,2 3,0A E D P C ， 故    4,2 3, 2 3 , 3,3 3, 2 3PC PD     ， 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 10 页 共 14 页 设平面 PCD的法向量为  , ,u x y z ， 则 0, 0, PC u PD u           即 4 2 3 2 3 0, 3 3 3 2 3 0, x y z x y z         不妨令 1y  ，则 3, 3x z  ， 则  3,1,3u  为平面 PCD的一个法向量， 依题意，  0,3 3,0AE  为平面PAB的一个法向量， 设平面 PAB与平面 PCD的夹角为， 则    0,3 3,0 3,1,3 3 3 13cos cos 139 , 3 3 3 1 3 3 13 AE u AE u AE u                 ， 又因为 2 13 2 39sin 1 13 13           ， 所以平面 PAB与平面 PCD夹角的正弦值为 2 39 13 . 16．(1) 4 3 0x y  或 2 10 0x y   (2)最小值为 24，此时直线的方程为 4 3 24 0x y   【知识点】基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】（1）当直线过原点时，求出斜率，再求出直线方程即可；不过原点时，设出截距式，结合题意求出即可； （2）设出截距式，结合基本不等式求出 ab的最小值，再求出面积和直线方程即可； 【详解】（1）①当直线 l过原点时，符合题意，斜率 4 3 k  ， 直线方程为 4 3 y x ，即 4 3 0x y  ； ②当直线 l不过原点时， ∵它在 y轴上的截距是在 x轴上截距的 2倍， ∴可设直线 l的方程为： 1 2 x y a a   ． ∵直线 l过点  3,4P ， ∴ 3 4 1 2a a   ，解得 5a  ． ∴直线 l的方程为 1 5 10 x y   ，即 2 10 0x y   ． 综上所述，所求直线 l方程为 4 3 0x y  或 2 10 0x y   ． （2）设直线 l的方程为  1 0, 0x y a b a b     ）， 由直线 l过点  3,4P 得： 3 4 1 a b   ． ∴ 3 41 2 a b   ，化为 48ab  ， 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 11 页 共 14 页 当且仅当 6a  ， 8b  时取等号． ∴ AOBV 的面积 1 1 48 24 2 2 S ab    ，其最小值为 24． 此时直线的方程为 4 3 24 0x y   ． 17．(1) 2 1na n  (2) 24 5 1n n nT n    【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、利用 an与 sn关 系求通项或项 【分析】（1）由 nS 和 na 关系作差得 1 2n na a   ，再求出首项结合等差数列通项公式即可得到答案； （2）求出 ( 2)nS n n  ，代入化简得 1 14 1n b n n     ，最后利用裂项相消求和法即可. 【详解】（1）由 11 2 n n aS   ，得 2( 1)1 4 n n aS   ①， 当 1n  时，   2 1 1 1 1 4 a a    ，解得 1 3a  （负值舍去）. 当 2n  时，   2 1 1 1 1 4 n n a S     ②， ①②，得 2 2 1 1 ( 1) ( 1) 4 n n n n n a aa S S        ， 化为 2 2 1( 1) ( 1)n na a    ， 因为 0na  ， 1 0na   ，解得 1 2n na a   ， 所以数列 na 是首项为 3、公差为 2的等差数列， 所以  3 1 2na n    ，即 2 1na n  . （2）由（1）知 2 1na n  ，所以 1 ( ) (3 2 1) ( 2) 2 2 n n n a a n nS n n      ， 从而 2 2(2 1) 1 1 14 4 ( 2) ( 1) 1 n n n a nb S n n n n n n n n              ， 则 1 14 1 2 b    ， 2 1 14 2 3 b    ，…， 1 14 1n b n n     ， 以上 n个式子相加，得 2 1 2 1 4 54 1 1 1n n n nT b b b n n n            L . 18．(1)  e 1 2e 1y x    (2)  , 1  . 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 12 页 共 14 页 【分析】(1)将 1a   代入函数中，得到函数解析式，再对其求导即可求出在   3, 3f 的斜率，再利用点斜式即可求 出切线方程. （2）首先对参数 a进行讨论，分为 0a  和 0a  两种情况，再当 0a  时求出函数的极小值点为  2 lnx a   ，由 极小值小于 0，得到  2 ln 1 0a a    ，解这个不等式即可求出参数 a的取值范围. 【详解】（1）依题意，函数  f x 的定义域为 ， 当 1a   时，   2e 1xf x x   ，则   2e 1xf x   ，    3 23 e 1 e 1, 3 e 2f f      ， 所以曲线  y f x 在点   3, 3f 处的切线方程为     e 2 e 1 3y x     ， 即  e 1 2e 1y x    . （2）由题意得，   2exf x a  ， 当 0a  时，   2e 0xf x a   恒成立，所以函数  f x 在 上单调递增，此时函数  f x 不存在极值，不合题意. 当 0a  时，令   2e 0xf x a   ，即 2ex a   ，则  2 lnx a   . 当   , 2 lnx a    时，   0f x  ，函数  f x 单调递减； 当   2 ln ,x a    时，   0f x  ，函数  f x 单调递增. 所以函数  f x 在  2 lnx a   处取得极小值， 且       3 32 ln 2 ln 2 lnf a a a a a a a a a a a             . 又因为 0a  ，则  3 ln 0a a a a    等价于  2 ln 1 0a a    ， 令    2 ln 1, 0g a a a a     ， 则   12 0g a a a    ，所以函数  g a 在  ,0 上单调递减， 又   21 ( 1) ln1 1 0g       ，所以当  , 1a   时，    2 ln 1 0g a a a     ， 即不等式  2 ln 1 0a a    的解集为  , 1  ， 故实数 a的取值范围是  , 1  . 19．(1) 2 2 1 4 x y  (2)证明见解析 (3)证明见解析 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 13 页 共 14 页 【知识点】根据 a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据题意计算出 , ,a b c的值即可得椭圆的方程； （2）设直线 l的方程为 1( 0),x my m   与椭圆的方程联立即可得到 1 2 2 1 2 2 2 4 3 4 my y m y y m          ，根据 PBC△ 的面积为 8 5 即可 求出m的值，最后得到 ,B C的坐标，从而得 PB BC 即证Rt RtPBC TBD ≌ 即可； （3）由 BE∥ CD，可设  , , 0,1PB PD PE PC         用  3 3,D x y 表示  3 31 , 2 2B x y       ，代入椭圆的方程 化简即可. 【详解】（1）依题意，双曲线 2 2 1 2 x y  的焦点为  3,0 ，则 2 2 3a b  ， 又双曲线的渐近线方程为 2 2 y x  ，则 22 2 2 2 a  ，解得 2a  ， 所以 2 21, 4b a  ， 所以椭圆Γ的标准方程为 2 2 1 4 x y  . （2）证明：由直线 l的倾斜角为钝角，可设直线 l的方程为    1 1 2 21( 0), , , ,x my m B x y C x y   ， 联立 2 2 1, 1, 4 x my x y       整理得  2 24 2 3 0m y my    ， 则Δ 0 恒成立，所以 1 2 2 1 2 2 2 4 3 4 my y m y y m          ，   2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 3 84 2 4 5PBC mS PT x x m y y m y y y y m m            ， 解得 1m   ，因为 0m  ，所以 1m   ， 即直线 l的方程为 1y x   ， 连接DT ，又有 25 2 3 0y y   ，解得 1 2 31, 5 y y   ，从而可得   8 30,1 , , 5 5 B C      ， 所以 1, 1PB BCk k   ，且 2PB TB  ， 所以 PB BC ，所以 DBT PBC  . 根据对称性可知 BD BC ， 所以Rt RtPBC TBD ≌ ， 所以 DTB BPC  . 高二数学 沧州卷 模拟答案 第 14 页 共 14 页 （3）证明：因为 BE∥ CD，所以  , , 0,1PB PD PE PC         ， 设  3 3,D x y ，由 PB PD   ，可得  3 31 , 2 2B x y       ， 又 ,B D均在椭圆Γ上，则有     2 23 3 2 23 3 1 4 1 2 2 1 4 x y x y               即         2 23 3 22 232 23 3 3 1 4 1 1 4 1 4 1 1 4 2 4 x y xx y y                           所以     2 3 2 2 3 1 (1 ) 4 1 4(1 ) 1 2 4 x y                 ， 整理得 3 32 16 13 21 0x y      ， 同理可得 2 22 16 13 21 0x y      ，所以直线CD的方程为 2 16 13 21 0x y      ， 此时直线CD的斜率为 1 8  ， 因为 BE∥ CD，所以直线 BE的斜率为定值 1 8  . 【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题的三角形面积问题，可设直线方程及交点坐标，直线方程与椭圆方程联立 消元后，利用韦达定理求出三角形的面积，得出相应结论．