精品解析：内蒙古自治区赤峰市巴林左旗2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期末学业质量监测试题 八年级数学 温馨提示： 1．本试卷共八页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前考生务必将班级、姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”． 3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上视为无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置涂黑） 1. 下列生活中的实例利用到三角形的稳定性的是（　　） A. 自行车的三角车架 B. 用两颗钉子把木条固定在墙上 C. 学校大门口的伸缩门 D. 四条腿的方桌 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性等知识进行判断即可． 【详解】A、自行车的三角车架是利用了三角形的稳定性，符合题意； B、用两颗钉子把木条固定在墙上是利用了两点确定一条直线，不符合题意； C、学校大门口的伸缩门利用了四边形的不稳定性，不符合题意； D、四条腿的方桌不是利用了三角形的稳定性，不符合题意． 故选：A． 【点睛】考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性和四边形具有不稳定性，难度不大． 2. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】B 【解析】 【分析】多边形的外角和是，则内角和是．设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值． 【详解】解：设这个多边形是边形，根据题意，得 ， 解得：． 故这个多边形是六边形． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 3. 如图，已知，，，便能得到，这所依据的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判断，根据已知条件结合全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中： ， ∴； 故选B． 4. 点P在的平分线上，点P到边的距离等于2.5，点Q是边上的任意一点，连接，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，根据角平分线的性质和垂线段最短即可求解，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在的平分线上， ∴点和的距离相等， ∵点到边的距离等于， ∴点到边的距离也等于， 即点与边上任意一点连接的线段中，最小值为， ∴当为上任意一点时，， 故选：D． 5. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可作答． 此题考查了轴对称图形的判断问题，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．如果沿某一条直线对折，左右两边能完全重合，则这个图形就是轴对称图形． 【详解】解：A、C、D三项的图形均是轴对称图形， B项不是轴对称图形，故B项符合题意， 故选：B． 6. 在直角坐标系中，将点向下平移3个单位所得的点正好与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题关键． 根据点的平移规律，可得平移后的点，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案． 【详解】解：将点向下平移3个单位所得的点，点关于y轴对称的点的坐标是． 故选：D． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式与单项式的乘法、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，正确； B． ，故不正确； C．，故不正确； D． ，故不正确； 故选A． 【点睛】本题考查了单项式与单项式的乘法，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 8. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据提取公因式法，十字相乘法以及公式法进行因式分解． 【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项正确，符合题意； C．，故本选项错误，不符合题意； D．，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握多项式因式分解的方法是解本题的关键． 9. 下列式子从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项不成立，不符合题意； B、，原选项不成立，不符合题意； C、，原选项成立，符合题意； D、，原选项不成立，不符合题意； 故选C． 10. 商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为y元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/千克（平均价）．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由10元A种糖和10元B种糖混合而成．你认为（ ）的单价较高． A. 甲种什锦糖 B. 乙种什锦糖 C. 甲、乙两种一样高 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法及比较分式值的大小，准确计算是正确解决本题的关键． 根据单价总价数量分别求出甲糖单价和乙糖单价；根据作差法比较大小即可求解． 【详解】解∶甲糖单价为∶ (元/)， 乙糖单价为∶ (元)； ， 甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成， ． 甲糖单价较高． 故选：A． 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中______能摆成三角形（只填序号即可）． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 详解】解：①∵，∴，，能摆成三角形； ②∵，∴，，不能摆成三角形； ③∵，∴，，不能摆成三角形； ④∵，∴，，能摆成三角形． 故答案为：①④． 12. 已知一个水分子的直径约为米，某花粉的直径约为米，这种花粉的直径是一个水分子直径的______倍（用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法运算，根据同底数幂的除法法则以及科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 如图，在等腰三角形中，平分交于D，是的高，则______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，角平分线的计算及三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解即可． 根据等腰三角形得出，再由角平分线确定，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在等腰三角形中， ∴， ∵平分交于D， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，，，连接，，垂足为C，并且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，根据角平分线的性质，得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴平分， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为14，则的周长为 ___________． 【答案】22 【解析】 【详解】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和概念，根据线段垂直平分线的概念和性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为14， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：22． 16. 如图，在中，，，点D在边AB上，并且，连接，则为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，根据等边对等角，得到，根据三角形的外角求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：10． 17. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合平方差公式特征的有______．（填序号） 【答案】①④⑥ 【解析】 【分析】本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的特点：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此判断即可． 【详解】解：①符合平方差公式的特点； ②不符合平方差公式的特点； ③，不符合平方差公式的特点； ④，符合平方差公式的特点； ⑤不符合平方差公式的特点； ⑥，符合平方差公式的特点； ∴符合平方差公式特征的有①④⑥． 故答案为：①④⑥． 18. 如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边的关系，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． 如图，连接，求出的最小值可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为10， ∴的周长的最小值为， 故答案为：17． 三、解答题（共9个题，满分96分．在答题卡上写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式以及幂的运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法以及同底数幂的除法进行计算即可求解； （2）根据多项式乘以多项式，完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查因式分解．掌握提取公因式法和平方差公式分解因式是解题关键． （1）先提取公因式，然后利用公式法即可求解； （2）先利用平方差公式计算，再整理，最后利用公式法分解公因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 21. 先化简，再求值： （1），其中，； （2），其中． 【答案】（1），； （2），4． 【解析】 【分析】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简法则是解题关键． （1）根据分式的运算法则化简，然后代入求解即可； （2）先计算括号内的，然后将除法转化为乘法，化简即可，再代入计算． 【小问1详解】 解： ， 当，时， 原式． 【小问2详解】 ， 当时， 原式． 22. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程： （1）方程去分母后，化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）方程去分母后，化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【小问1详解】 解：方程去分母，得：， 整理，得：， 解得：； 检验：当时，， ∴原方程的解为：； 【小问2详解】 方程去分母，得：， 整理，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 23. 如图，点在同一条直线上，，，，求证：，并找出图中相互平行的线段，说明你的理由． 【答案】证明见解析，图中相互平行的线段有，，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，利用可证明，即得，，进而即可找出图中相互平行的线段，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 图中相互平行的线段有，，理由如下： ∵， ∴，， ∴，． 24. 某工厂两个班组加工同一种零件，甲组的工作效率比乙组高，因此甲组加工210个零件所用的时间比乙组加工200个零件所用的时间少半小时，甲、乙两组每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲组每小时加工60个零件，乙组每小时加工50个零件． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设乙组每小时加工x个零件，根据甲组加工210个零件所用的时间比乙组加工200个零件所用的时间少半小时，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设乙组每小时加工x个零件，那么甲组每小时加工个零件，根据题意列方程得， 解得： 经检验：是原方程的解． （个）； 答：甲组每小时加工60个零件，乙组每小时加工50个零件． 25. 尺规作图，保留作图痕迹，不用写做法．已知，如图，点A在的一条边上，点B在的另一条边上，求作： （1）的角平分线； （2）线段的垂直平分线，C为垂足，D为与的交点； （3）过A点作垂直于的直线，垂足为E． 【答案】（1）图见详解； （2）图见详解； （3）图见详解． 【解析】 【分析】本题考查了作图——作角平分线，线段的垂直平分线，过已知直线外一点作已知直线的垂线，熟知五种基本的尺规作图是正确解决本题的关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （3）根据垂线的作法作图即可． 【小问1详解】 解：以O为圆心，以任意长为半径作弧，与角的两边交于G、H两点，分别以G、H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点I，过O、I作射线， 射线即为所求； 【小问2详解】 解：分别以O、A为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点J，K，作直线，交于点C，交于点D， 直线即为所求； 【小问3详解】 解：以A为圆心，以大于A到的距离为半径画弧，交于点M，N，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点L，作直线，交于点E， 直线即为所求； 26. （1）已知：如图（1），在中，，的平分线交于点M，过点M的直线，分别与，交于点D，E．求证：． （2）将（1）题条件“的平分线”改为“的外角平分线”，如图（2）所示，你能推断出，，存在的数量关系式吗？请证明你的推断． 【答案】（1）见解析；（2）能，，证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系以及等量关系即可解答； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系以及等量关系即可解答． 【详解】证明：（1）∵，的平分线、交于点M， ∴，． ∵， ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． （2）能， ∵，的平分线、交于点M， ∴，． ∵， ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． 27. 我国古代数学许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图是这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． （1）根据上图的规律，写出的展开式． （2）求的展开式共有多少个项． （3）在演算纸上计算一下图中每个展开式系数之和，结合计算结果所呈现的规律，直接写出展开式中各项系数的和是多少． 【答案】（1）； （2）有个项； （3）． 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究： （1）根据图中规律，写出的展开式即可； （2）根据前三个展开式中的项数，得出规律，进行作答即可； （3）求出前几个的系数和，找到规律，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵，有项； ，有项； ，有项； ∴的展开式中有个项； 【小问3详解】 ∵，展开式的系数和为：； ，展开式的系数和为：； ，展开式的系数和为：； ∴，展开式的系数和为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期末学业质量监测试题 八年级数学 温馨提示： 1．本试卷共八页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前考生务必将班级、姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”． 3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上视为无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置涂黑） 1. 下列生活中的实例利用到三角形的稳定性的是（　　） A. 自行车的三角车架 B. 用两颗钉子把木条固定在墙上 C. 学校大门口的伸缩门 D. 四条腿的方桌 2. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 3. 如图，已知，，，便能得到，这所依据的是（ ） A. B. C. D. 4. 点P在的平分线上，点P到边的距离等于2.5，点Q是边上的任意一点，连接，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 在直角坐标系中，将点向下平移3个单位所得点正好与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ） A B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列式子从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为y元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/千克（平均价）．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由10元A种糖和10元B种糖混合而成．你认为（ ）的单价较高． A. 甲种什锦糖 B. 乙种什锦糖 C. 甲、乙两种一样高 D. 无法确定 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 下列每组数分别是三根小木棒长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中______能摆成三角形（只填序号即可）． 12. 已知一个水分子直径约为米，某花粉的直径约为米，这种花粉的直径是一个水分子直径的______倍（用科学记数法表示）． 13. 如图，在等腰三角形中，平分交于D，是的高，则______． 14. 如图，在四边形中，，，，连接，，垂足为C，并且，则______． 15. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为14，则的周长为 ___________． 16. 如图，在中，，，点D在边AB上，并且，连接，则为______． 17. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合平方差公式特征的有______．（填序号） 18. 如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是______． 三、解答题（共9个题，满分96分．在答题卡上写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 分解因式： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值： （1），其中，； （2），其中． 22. 解方程： （1）； （2）． 23. 如图，点在同一条直线上，，，，求证：，并找出图中相互平行的线段，说明你的理由． 24. 某工厂两个班组加工同一种零件，甲组的工作效率比乙组高，因此甲组加工210个零件所用的时间比乙组加工200个零件所用的时间少半小时，甲、乙两组每小时各加工多少个零件？ 25. 尺规作图，保留作图痕迹，不用写做法．已知，如图，点A在的一条边上，点B在的另一条边上，求作： （1）的角平分线； （2）线段的垂直平分线，C为垂足，D为与的交点； （3）过A点作垂直于的直线，垂足为E． 26. （1）已知：如图（1），在中，，平分线交于点M，过点M的直线，分别与，交于点D，E．求证：． （2）将（1）题条件“的平分线”改为“的外角平分线”，如图（2）所示，你能推断出，，存在的数量关系式吗？请证明你的推断． 27. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图是这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． （1）根据上图的规律，写出的展开式． （2）求的展开式共有多少个项． （3）在演算纸上计算一下图中每个展开式的系数之和，结合计算结果所呈现的规律，直接写出展开式中各项系数的和是多少． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$