山东省烟台市2024-2025学年高三上学期1月期末学业水平诊断数学试题

2024~2025学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学试题 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟， 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用05毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的底面的面积为6，顶点在底面的投影在的内部，点P到底面三条边的距离均相等，且三个侧面的面积分别为，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为定义在上的奇函数，其导函数为，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 图象与轴有3个公共点 10. 阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比为常数，且，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点到点与点的距离之比为，则（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 点到直线距离的最小值为 C. 点到圆上的点的最大距离为 D. 若到直线的距离为的点至少有3个，则 11. 若数列满足，则称其为“数列”.给定数列，若为“数列”，定义上的变换：从中任取两项，将添加在所有项的最前面，然后删除，记新数列为（约定：一个数也视作数列），下列结论正确的有（ ） A. 若，则数列为“数列” B. 若，则数列为“数列” C. 若无穷数列为“数列”，则为“数列” D. 若数列为，则为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数同时满足以下三个条件，则其一个解析式可以为__________. ①在其定义域内有；②，有；③. 13. 在三棱锥中，两两垂直，，若点为三棱锥外接球上一动点，则点到平面距离的最大值为__________. 14. 已知为椭圆上关于原点对称的两点（异于顶点），点在椭圆上且，设直线与轴的交点为，若，则椭圆离心率的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求周长的取值范围. 16. 已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求实数的值； （2）讨论函数的单调性. 17. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形. （1）证明：； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知为坐标原点，双曲线的一条渐近线方程为，且点在上. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与的右支交于点（异于顶点），且以为直径的圆过的右顶点. （i）直线是否过定点？若是，求出该定点，若否，说明理由； （ii）设直线与轴交于点，求的取值范围. 19. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设是的任意排列，表示其中同时满足条件①和②的排列的个数，为数列的前项和. （i）证明：； （ii）证明：能被2整除. 2024~2025学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学试题 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟， 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用05毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】（答案不唯一） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）或； （2）当时，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减.当时，在上单调递增 【17题答案】 【答案】（1）证明：连接，取中点O，连接， 在直角梯形中，，， 则，从而， 所以是等边三角形，则，又是等边三角形，所以， 又，平面， 所以平面，而平面，所以. （2） 【18题答案】 【答案】（1）双曲线的方程为； （2）（i）直线过定点. （ii）的取值范围为 【19题答案】 【答案】（1） （2） （i）因为，所以或． 当，则各项分别除以2后，恰是满足条件①②的排列，其个数为； 当，则，此时各项分别除以8后，恰是 满足条件①②的排列，其个数为； 当，设是该排列中第一个出现的2的偶数次幂， 则前个数应是应是或． 由条件②知，排在后的各数，要么都小于，要么都大于． 因为4在后面，此时仅有1个排列，即递增排出所有2的奇数次幂， 再依递减的顺序排出所有的2的偶数次幂． 综上，得到递推关系． 因为， 将所有式子相加，得：， 因为，所以，得证． （ii）因为，由递推公式可得除以2的余数依次为：，猜测余数列以7为周期． 事实上，令表示除以2的余数， 则 所以数列的周期为7．又， 所以所以能被2整除，命题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $