精品解析：内蒙古呼伦贝尔市阿荣旗2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度上学期期末测试题 九年级数学 满分：100分 考试时间：120分钟 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 方程x2=x的解是（　　） A. x=1 B. x1=﹣1，x2=1 C. x1=0，x2=1 D. x=0 【答案】C 【解析】 【分析】先将x移项到等号的左边，使右边为0，再分解因式，计算即可． 【详解】∵x2＝x，∴x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，∴x＝0或1． 故选C． 【点睛】解方程x2＝x，一般不用方程两边都除以x来计算，容易漏掉x＝0这个解． 建议都移项到等号的另一边，使等号的一边为0，再解方程． 2. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可． 【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点， ∴A、C坐标关于原点对称， ∴C的坐标为， 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键． 3. 有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟．刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑．“你们笑什么？”妈妈问．“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为( ) A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【点睛】本题主要考查了概率，熟练掌握概率的含义，取出再放回型概率问题，列表或画树状图求概率，是解决本题的关键． 画出树状图，得到等可能结果总数，两次都给弟弟洗的结果数，代入概率计算公式解答即可． 【详解】画树状图： 由树状图可知，共有4种等可能结果，两次都给弟弟洗（设为事件A）的结果有1种， ∴两次都给弟弟洗的概率为，， 即此事件发生的概率 故选：A． 4. 如图，，，，是上的四个点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，连接，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到，根据圆周角定理计算，得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 由圆周角定理得，， 故选：A． 5. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线的解析式为顶点式，根据抛物线的顶点式即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的解析式为，， ∴顶点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握二次函数的顶点式，是解决问题的关键． 6. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 ，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为（ ） A. 120° B. 60° C. 180° D. 450° 【答案】C 【解析】 【分析】重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设旋转的角度是度，根据题意得： ， 解得：． 故选：． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键． 7. 用反证法证明命题“在直角三角形中，必有一个锐角不小于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ） A. 两个锐角都大于45° B. 两个锐角都小于45° C. 两个锐角都不大于45° D. 两个锐角都等于45° 【答案】A 【解析】 【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可． 【详解】解：∵一个直角三角形有两个锐角， ∴用反证法证明命题“在直角三角形中，必有一个锐角不小于45°”时，应该假设两个锐角都大于45°  ． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况． 8. 如图，已知反比例函数与二次函数（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点P（-3，1），再观察图象可得当或时，二次函数的图象位于反比例函数图象的上方，即可求解 【详解】解：当时，， 解得：， ∴点P（-3，1）， 观察图象得：当或时，二次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴关于x的不等式的解集为或， 即关于x的不等式的解集为或． 故选∶C 【点睛】本题主要考查了二次函数和不等式解集，利用数形结合思想解答是解题的关键． 9. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求的点，连接OA，OC，根据圆周角定理与垂径定理得到∠AOC=90°，进而求得AC的长. 【详解】解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求的点，此时PA+PB最小，且等于AC的长． 连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是60°， 则弧BN的度数是30°， 根据垂径定理得弧CN的度数是30°， 则∠AOC=90°， 又∵OA=OC=MN=2， 则AC=2． 故选C. 【点睛】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 10. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（ ） A. （﹣1，1） B. C. （﹣1，﹣1） D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质和旋转性质可发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，据此解答即可求解． 【详解】解：连接OB， ∵四边形OABC是正方形，A的坐标为（1，0）， ∴OA=AB=OC=BC=1，∠OAB=90°，∠AOB=45°， ∴B（1，1）， 由勾股定理得：， 由旋转性质得：OB=OB1=OB2=OB3=…=， ∵将正方形OABC绕点O逆时针连续旋转45°，相当于将OB绕点O逆时针连续旋转45°， ∴依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°， ∴B1（0，），B2（－1，1），B3(－，0)，B4（－1，－1），B5（0，－），B6（1，－1），B7（，0）， B8（1，1），……， 发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环， ∵， ∴点B2020与点B4重合， ∴点B2020的坐标为（－1，－1）， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与旋转规律问题、正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转性质，正确得出变化规律是解答的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 12. 圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的底面周长、母线长和侧面积的计算，熟练掌握相关公式是解题的关键．先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：如图， 底面半径为，高为，则底面周长等于， 由勾股定理得，母线长， 那么侧面面积， 故答案为：． 13. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，建立如图所示的平面直角坐标系，使抛物线的顶点落在轴上，桥洞底部左边端点落在轴上，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意可得抛物线的顶点的坐标为，点坐标为，设抛物线的函数解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把代入求出的值，进而即可求解，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点的坐标为，点坐标为， 设抛物线的函数解析式为，把代入得，， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 把代入得，， ∴桥洞离水面的高是米， 故答案为：． 14. 有一个边长为12cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个六边形，则这个圆形纸片的半径最小是_______cm； 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示， 正六边形的边长为12cm，OG⊥BC， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC==60°， ∵OB=OC，OG⊥BC， ∴∠BOG=∠COG=×60°=30°， ∵OG⊥BC，OB=OC，BC=12cm， ∴BG=BC=×12=6cm， ∴OB==12cm， 故答案为：12cm． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键． 15. 如图所示，用长的铝合金条制成下部为矩形，上部为半圆的窗框（包括窗棂）．若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为______．     【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用（图形问题），二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识点，根据题意正确列出函数解析式是解题的关键． 设矩形的宽为，则矩形的长为，即，设透光面积为y，根据“透光面积半圆矩形”列出函数解析式，求函数的最值即可． 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的长为，即，设透光面积为y， 则， ∵， 当时，y最大，最大值为， 故最大透光面积为， 故答案为：． 三、解答题（每小题6分，共24分） 16. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程． 【详解】解： ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 17. 请阅读下列解方程的过程． 解：设， 则原方程可变形为， 解得． 当时，，解得； 当时，，此方程无实数根． 所以原方程的解为． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】设，则原方程可变形为，求出a的值，再将还原，求出x的值即可． 【详解】解：设，则原方程可变形为， 解得． 当时，，解得． 经检验，是分式方程的解； 当时，，解得． 经检验，是分式方程的解． 所以原方程的解是． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤，以及解分式方程的方法和步骤． 18. 如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的长．（结果保留） 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形，为的直径， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据四边形是正方形，为的直径，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2） 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的长． 【点睛】考核知识点：正方形、弧长计算.熟记圆的性质和弧长公式. 19. 如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数．    （1）同时抛掷两个这样的四面体，它们着地一面的数字相同的概率是多少？    （2）现在有一张某歌手演唱会的门票，小敏和小亮用抛掷这两个四面体的方式来决定 谁获得门票，规则是：同时抛掷这两个四面体，如果着地一面的数字之积为奇数小敏胜；如果着地一面的数字之积为偶数小亮胜（胜方获得门票），如果是你，   你愿意充当小敏还是小亮，说明理由． 【答案】（1）；（2）小亮获得门票的机会大，愿意充当小亮． 【解析】 【分析】(1)先画树状图展示所有16种等可能的结果数,再找着地一面的数字相同的结果数,然后根据概率公式计算; (2)分别计算小敏胜的概率和小亮胜的概率,然后根据他们的概率大小进行判断. 【详解】解：（1）画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中着地一面的数字相同的占4种， 所以着地一面的数字相同的概率==； （2）充当小亮到．理由如下： 共有16种等可能的结果数，着地一面的数字之积为奇数有4种，着地一面的数字之积为偶数有12种， 所以小敏胜的概率==；小亮胜的概率==， 所以小亮获得门票的机会大，愿意充当小亮． 【点睛】本题复习简单事件的概率计算，事件的出现次数可以用画树状图法求出，也可以用列表法求出，注意要不重不漏. 四、（本题6分） 20. 关于x的方程 （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根． （2）若此方程的一个根为1，求m的值： （3）在（2）的条件下，求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长 【答案】（1）证明：， ∵，，， ∴， ∵在实数范围内，m无论取何值，， 即， ∴关于x的方程恒有两个不相等的实数根； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入方程可确定m的值； （3）由m的值可得一元二次方程，解方程得出方程的另一个解，可得直角三角形的两直角边，再由勾股定理求出得直角三角形的斜边，即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程可得： ， 解得：； 【小问3详解】 解：∵， ∴方程为， 解得：或， ∴方程的另一个根为； ∴直角三角形的两直角边是1、3， ∵， ∴斜边的长度为， ∴直角三角形的周长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，解一元二次方程，勾股定理，理解题意、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 五、（本题9分） 21. 如图，为等边三角形，点是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点作直线BP的垂线段，垂足为点，将线段AD绕点逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE （1）求证：BD＝CE （2）延长ED交BC于点， ①求∠CED的度数； ②求证：F为BC的中点 【答案】（1） 证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE， ∴AD=AE，∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形， 在等边△ABC和等边△ADE中， ∵ AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=60°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE； （2）①∠DEC=30°； ②如图，过点C作CG∥BP交DF的延长线于点G， ∴∠G=∠BDF， 由（1）可知，BD=CE，∠CEA=∠BDA， ∵AD⊥BP， ∴∠BDA=90°， ∴∠CEA=90°， ∵∠AED=60°， ∴∠BDG=180°-∠ADB-∠ADE=30°， ∴∠CED=∠G=∠BDG=30°， ∴CE=CG， ∴BD=CG， 在△BDF和△CGF中， ， ∴△BDF≌△CGF（AAS）， ∴BF=FC ， 即F为BC的中点． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠BAD=∠CAE，AB=AC，AD=AE，再利用SAS可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE； （2）①根据AD⊥BD，得出∠ADB=90°，根据△BAD≌△CAE，得出∠ADB=∠AEC=90°，根据∠AED=60°，利用图中角度计算即可；②过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG=BD，∠BDG=∠G，∠BFD=∠GFC，可证△BFD≌△CFG，可得结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵AD⊥BD， ∴∠ADB=90°， ∵△BAD≌△CAE ∴∠ADB=∠AEC=90°， ∵∠AED=60°， ∴∠DEC=∠AEC-∠AED =90°-60°=30°， ②略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 六、（本题6分） 22. 如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． （1）求证：是的切线； （2）为边上的中线，若，求的值． 【答案】（1） 证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线，A是切点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，先证明，则，继而求出，可推导出是的切线，即可解答； （2）设，得到，求出 ，则，设，则，得到，解得，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ 设的半径为r， 则，， ∴， ∴， 解得 ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ， ∵为边上的中线， ， ∴， 即的值是． 七、（本题9分） 23. 在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次； （2）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； （3）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论； （4）小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值． 【答案】（1）3；10； （2）8人 （3） （4）10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）将线段数当成人握手次数来解决问题,（4）根据题意列出方程求解即可． （1）由握手总数=参加聚会的人数参加聚会的人数，即可求出结论；由参加聚会的人数为n（n为正整数），可知每人需跟人握手，即可求出握手总数； （2）由（1）的结论结合共握手28次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）将线段数当成人握手次数，结合（1）即可得出结论． （4）根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：，． 解：∵参加聚会的人数为n（n为正整数）， ∴每人需跟人握手， ∴共握手次． 故答案为：3；10； 【小问2详解】 解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：参加聚会的人数为8人． 【小问3详解】 解：∵线段上共有m个点（不含端点A，B）， ∴可当成共有个人握手， ∴线段总数为． 【小问4详解】 解：根据题意得，， 解得．即边数n的值为10． 八、（本题11分） 24. 如何调整蔬菜大棚的结构？ 素材 我国的大棚（如图）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，． 素材 已知大棚共有支架根，为增加棚内空间，拟将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），现有改造经费元． 问题解决 任务 确定大棚形状 （）在图中以为原点，为正方向建立平面直角坐标系，则点坐标 　　，　　，点坐标 　　，　　，并求抛物线的函数表达式． 任务 尝试改造方案 （）当米，求的长度． 任务 拟定最优方案 （）只考虑经费情况下，求出的最大值． 【答案】（），，，，；（）米；（）2米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． （）建立平面直角坐标系，根据题意得到函数的对称轴为，再利用待定系数法得到函数的解析式； （）根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可求解； （）根据已知条件表示出、的坐标，即得，，即得到一个横截面支架的长度的变化量为，进而得到总的支架的长度的变化量为，再根据题意得到的不等式，求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可求解． 【详解】解：（）如图，以为原点，建立如图所示的坐标系， 由题意可知，点坐标，点坐标， 故答案为：，，，； ， 设抛物线解析式为， ，， ∴抛物线的对称轴为直线， ， ， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （）如图，建立与（）相同的坐标系， ， 为， ∵改造后对称轴不变， 设改造后抛物线解析式为， 将代入，得， 解得， ， 当时，，， 为，为， （米）， 答：的长度为米； （）如（）题图，设改造后抛物线解析式为， 当时，， 当时，， ∴，， ∵，， ∴，， 由题意可知，一个横截面需要根支架，其中有根支架的长度发生变化， ∴一个横截面支架的长度的变化量为， ∵共有支架根， ∴共有个横截面， ∴总的支架的长度的变化量为， ∴由题意可得，， 解得， ， ∴的值随着的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为米， 答：的值最大值为2米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末测试题 九年级数学 满分：100分 考试时间：120分钟 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 方程x2=x的解是（　　） A. x=1 B. x1=﹣1，x2=1 C. x1=0，x2=1 D. x=0 2. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟．刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑．“你们笑什么？”妈妈问．“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为( ) A. B. C. D. 1 4. 如图，，，，是上的四个点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 ，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为（ ） A. 120° B. 60° C. 180° D. 450° 7. 用反证法证明命题“在直角三角形中，必有一个锐角不小于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ） A. 两个锐角都大于45° B. 两个锐角都小于45° C. 两个锐角都不大于45° D. 两个锐角都等于45° 8. 如图，已知反比例函数与二次函数（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 9. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 10. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（ ） A. （﹣1，1） B. C. （﹣1，﹣1） D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 12. 圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是_____． 13. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，建立如图所示的平面直角坐标系，使抛物线的顶点落在轴上，桥洞底部左边端点落在轴上，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是______米． 14. 有一个边长为12cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个六边形，则这个圆形纸片的半径最小是_______cm； 15. 如图所示，用长的铝合金条制成下部为矩形，上部为半圆的窗框（包括窗棂）．若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为______．     三、解答题（每小题6分，共24分） 16. 解方程：． 17. 请阅读下列解方程的过程． 解：设， 则原方程可变形为， 解得． 当时，，解得； 当时，，此方程无实数根． 所以原方程的解为． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 18. 如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的长．（结果保留） 19. 如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数．    （1）同时抛掷两个这样的四面体，它们着地一面的数字相同的概率是多少？    （2）现在有一张某歌手演唱会的门票，小敏和小亮用抛掷这两个四面体的方式来决定 谁获得门票，规则是：同时抛掷这两个四面体，如果着地一面的数字之积为奇数小敏胜；如果着地一面的数字之积为偶数小亮胜（胜方获得门票），如果是你，   你愿意充当小敏还是小亮，说明理由． 四、（本题6分） 20. 关于x的方程 （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根． （2）若此方程的一个根为1，求m的值： （3）在（2）的条件下，求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长 五、（本题9分） 21. 如图，为等边三角形，点是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点作直线BP的垂线段，垂足为点，将线段AD绕点逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE （1）求证：BD＝CE （2）延长ED交BC于点， ①求∠CED的度数； ②求证：F为BC的中点 六、（本题6分） 22. 如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． （1）求证：是的切线； （2）为边上的中线，若，求的值． 七、（本题9分） 23. 在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次； （2）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； （3）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论； （4）小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值． 八、（本题11分） 24. 如何调整蔬菜大棚的结构？ 素材 我国的大棚（如图）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，． 素材 已知大棚共有支架根，为增加棚内空间，拟将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），现有改造经费元． 问题解决 任务 确定大棚形状 （）在图中以为原点，为正方向建立平面直角坐标系，则点坐标 　　，　　，点坐标 　　，　　，并求抛物线的函数表达式． 任务 尝试改造方案 （）当米，求的长度． 任务 拟定最优方案 （）只考虑经费情况下，求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $