精品解析：吉林省八校联考2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

吉林省八校联考2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率的定义直接得出结果. 【详解】由得， 故倾斜角满足为， 故. 故选：D 2. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 3. 如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连结，，根据题中条件，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，进而可求出结果. 【详解】 连结，，因为在正方体中，M，N分别为的中点， 所以， 因此，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，显然为. 故选：B 4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一“.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若.且，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ） A. 13 B. 16 C. 31 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知的递推关系求，从而得到正确答案. 【详解】，， ，，，， ， 所以解下6个环所需的最少移动次数为. 故选：C. 5. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，则以椭圆的短轴端点为顶点，且与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，可得出双曲线的方程，根据题意，设所求双曲线的方程为，根据所求双曲线与双曲线有相同的渐近线可得出的值，即可得出所求双曲线的方程. 【详解】由题意且，则，则双曲线的方程为. 以椭圆的短轴端点为顶点的双曲线可设为， 若与双曲线具有相同渐近线，则，即. 故所求双曲线的方程为，即. 故选：B. 6. 平行直线与之间的距离为，则，的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线化为，再由距离公式得到方程，从而得到，结合选项判断即可. 【详解】将直线化为，显然， 依题意可得，即，只有满足题意. 故选：A. 7. 如图，在直三棱柱中，为腰长为的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，为平面内一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用对称点、到平面距离相等，得出关于平面的对称点为，利用对称点求出最短路径即可 【详解】由题意，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设关于平面的对称点为， 则， 设平面的法向量， 则即 令，则， 所以为平面的一个法向量， 所以与到平面的距离， 即①，又，所以②， 所以由①②得，又由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为． 故选：A． 8. 已知点在以为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意设，，由椭圆的定义和勾股定理计算可得，结合二次函数的图象与性质确定的单调性，进而，结合离心率的定义计算即可求解. 【详解】如下图所示： 由题意可知，，设，则， 由椭圆定义可得， 在Rt中，由勾股定理可得， 即，即， 因为点在椭圆内，则， 又因为，所以， 令，是一条开口向上的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递增， 若方程在内有实根，则， 得，所以， 因为点在椭圆内，且，则，即， 所以，因此. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据椭圆的定义和勾股定理推出（），利用二次函数的图象与性质求得，结合离心率的定义求解即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆上一点，、分别为左、右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则满足题意的点有四个 C. 椭圆内接矩形周长的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用余弦定理、椭圆定义结合三角形面积公式推导出，可判断A选项；设，可得出，结合，求出的值，判断点的位置，可判断B选项；利用椭圆的参数方程结合辅助角公式可判断C选项；对各内角为钝角进行分类讨论，求出的范围，可求得的范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，则， 由椭圆的定义可得，，且、， 设，，且，， 在中，由余弦定理可得， 所以，， 所以，， 所以，， 因为，则，所以，，解得，A对； 对于B选项，设，则，且，解得， 此时点为椭圆短轴的顶点，故满足条件的点只有两个，B错； 对于C选项，设椭圆内接矩形的一个顶点为， 则椭圆内接矩形周长为， 其中为锐角，且， 由得， 当时，，此时椭圆的内接矩形周长取最大值为，故C正确； 对于D选项，若为钝角，，， 则 ，解得，所以，， 此时，； 若为钝角，且，， 则，可得， 又因为，所以，，则，可得， 此时，； 当为钝角时，同理可知. 因此，的取值范围是，D错. 故选：AC. 10. 如图，平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（　　） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 异面直线BD1与AC所成的角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果. 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是， . 对于A， ， ， A正确； 对于B， ， ，B正确； 对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，C错误； 对于D，， ， ， ， 故异面直线与所成的角的余弦值为，故D错误. 故选：AB 11. 在数列中，，则以下结论正确的为（ ） A. 数列为等差数列 B. C. 当取最大值时，的值为51 D. 当数列的前项和取得最大值时，的值为49或51 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差中项判断A；计算判断B；确定数列单调性推理判断CD. 【详解】对于A，由，得， 两式联立得，即，数列为等差数列，A正确； 对于B，令，得，B错误； 对于C，由等差数列的性质知，即，又， 公差，则，数列的前51项为正， 从第52项开始为负，当取最大值时，n的值为51，C正确； 对于D，由数列的前51项为正，从第52项开始为负，又， 得， 则数列前49项和最大，又，即数列前51项和最大，当时，， 因此当或51时，的前n项和取得最大值，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆和圆的公切线条数为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据圆的方程确定出两圆的圆心和半径，然后根据圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，由此得到公切线条数. 【详解】∵圆，圆， ∴ ∴圆心距， 而两圆半径之和， ∴两个圆相离，则这两个圆的公切线有4条. 故答案为：4. 13. 已知，直线，且，则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意，根据直线垂直，先得到，再由，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8 14. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦（，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l：交于点和，则______. （参考数据：取.） 【答案】914 【解析】 【分析】根据题意可得，进而利用错位相减法运算求解. 【详解】由题意可知：， 则， 可得， 两式相减可得： ， 所以. 故答案为：914. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的直角顶点为A在y轴上，直角边AB所在直线的方程为，点，满足． （1）求AC边所在直线的方程； （2）求外接圆的方程； （3）求BC边所在直线的方程； （4）若动圆P过点，且与的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） （4）． 【解析】 【分析】（1）由题意得到点坐标，再由两直线垂直得到斜率关系即可； （2）由得到外接圆圆心坐标，再由两点间距离公式求出半径，可得标准方程； （3）直曲联立，解出点坐标，求出方程即可； （4）由双曲线的定义和性质求出即可； 【小问1详解】 由AB边所在直线的方程为且直角的直角顶点为A在y轴上， 可得，直线AC的斜率为，AC边所在直线的方程为； 【小问2详解】 点A的坐标为，且，则为斜边上的中点， 即为外接圆的圆心，则， 从而外接圆的方程为； 【小问3详解】 外接圆的方程为与直角边AB所在直线相交， 即，消去可得，即， 解得或， 将代入直线方程可得， BC边所在直线即为BM，方程为． 【小问4详解】 动圆P过点N，是该圆的半径，又动圆P与圆M外切， 则，即， 故点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为的双曲线的左支， 实半轴长，半焦距，∴虚半轴长， 从而动圆P的圆心的轨迹方程为． 16. 已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A、B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. （1）求抛物线的方程； （2）试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2）存在定点或. 【解析】 【分析】（1）先由题中条件确定点纵坐标为，用表示出的面积，进而可求出，得出抛物线方程； （2）先设直线的方程为，点，点，点，根据，得出，联立于抛物线方程，根据韦达定理，代入前面所得关系式，化简求出即可. 【详解】（1）因为点在的准线上，且直线MF的斜率为，所以易知点纵坐标为， 则所以，解得， 即抛物线的方程为. （2）假设存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方； 由题意，设直线的方程为，设点，点，点 因为，即， 可得， 整理得①， 联立直线与抛物线，可得， 则. 代入①式可得，即，即， 解得或， 即存在定点或，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方. 【点睛】思路点睛： 求解抛物线中直线过定点的问题时，通常需要先设直线方程，联立直线与抛物线方程消去(或)，结合韦达定理写出两根之和以及两根之积，再根据题中所给条件列出等量关系，结合韦达定理的结果，化简整理，即可求解. 17. 在三棱锥，底面是边长为4的正三角形，平面平面，且． （1）若，求证：平面平面； （2）若底面，垂足为O，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取AC的中点H，则，连接HP、HB，由，得， 又平面PAC平面ABC=AC，平面PAC，所以平面ABC， 由平面ABC，得，， 以H为原点，方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴，建立空间坐标系， 由题意可得， 则， 有， 设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为， 则， 令，得， 所以，有， 即，故平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质可得、、，建立如图空间直角坐标系，根据向量法分别求出平面PAB和平面PBC的法向量，结合即可证明； （2）由（1），根据向量法分别求出平面PAB和平面PBC的法向量，结合数量积的坐标表示计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，若，则，，，， 有，，，， 设平面、平面一个法向量分别为， 则， 令，得， 所以，， 设平面与平面夹角为，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知等差数列满足，等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，求证：，其中. 【答案】（1）， （2） 由题意及（1）得， 又∵， ∴ 设， 当为奇数，时， 在中， 在中， 由，得 解得： 当为偶数，时， 同理可得， 综上，. 【解析】 【分析】（1）利用定义法即可求出等差数列和等比数列的通项公式； （2）通过（1）求出的的通项公式，表达数列，然后利用公式法和放缩法，分类讨论为奇数或偶数时前项的和，进而证明不等式. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由,得解得： 设等比数列的公比为， 由得， 由，，解得 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆，左顶点分别为，上顶点为，左右焦点分别为为椭圆上一点，最大值为的面积为. （1）求椭圆方程； （2）已知直线过与椭圆交与M，N两点（在上方），且，若，求直线斜率的值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据最大值和的面积，求出的值，即可求出椭圆方程. （2）分类讨论直线斜率是否存在时的两种情况，让直线的解析式与椭圆方程联立，消去，得到的表达式，代入韦达定理，即可得到直线斜率的取值范围. 【小问1详解】 由题意在椭圆中， 最大值为的面积为. ，解得：， 椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题意及（1）得在椭圆中，， 直线过与椭圆交与M，N两点（在上方），且， 当直线斜率不存在时，显然不成立， 当直线斜率存在时设为， 由，得， 联立消去得； 则，且， 可知，代入中得：， 因为当时，不成立， 则，， 在上方，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省八校联考2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（ ） A. B. C. D. 4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一“.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若.且，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ） A. 13 B. 16 C. 31 D. 64 5. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，则以椭圆的短轴端点为顶点，且与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 平行直线与之间的距离为，则，的可能值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，为腰长为的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，为平面内一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在以为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆上一点，、分别为左、右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则满足题意的点有四个 C. 椭圆内接矩形周长的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 10. 如图，平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（　　） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 异面直线BD1与AC所成的角的余弦值为 11. 在数列中，，则以下结论正确的为（ ） A. 数列为等差数列 B. C. 当取最大值时，的值为51 D. 当数列的前项和取得最大值时，的值为49或51 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆和圆的公切线条数为__________. 13. 已知，直线，且，则的最小值为__________. 14. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦（，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l：交于点和，则______. （参考数据：取.） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的直角顶点为A在y轴上，直角边AB所在直线的方程为，点，满足． （1）求AC边所在直线的方程； （2）求外接圆的方程； （3）求BC边所在直线的方程； （4）若动圆P过点，且与的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程． 16. 已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A、B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. （1）求抛物线的方程； （2）试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 17. 在三棱锥，底面是边长为4的正三角形，平面平面，且． （1）若，求证：平面平面； （2）若底面，垂足为O，，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知等差数列满足，等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，求证：，其中. 19. 已知椭圆，左顶点分别为，上顶点为，左右焦点分别为为椭圆上一点，最大值为的面积为. （1）求椭圆方程； （2）已知直线过与椭圆交与M，N两点（在上方），且，若，求直线斜率的值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $