导数大题专练-2025届高三数学二轮复习

高考数学专题：导数大题专练附答案 一、解答题 1． 已知函数 (1)求的最大值 (2)若恒成立，求的值 2．已知函数，． (1)讨论函数在区间的极值； (2)若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围． 3．已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若且，求证：． 4．已知，函数． (1)求曲线在处的切线方程 (2)若函数有两个极值点，且， （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）当时，证明：． （注：…是自然对数的底数） 5．设函数，其中. (1)时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数，并说明理由； (3)若成立，求的取值范围. 6．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 7．已知函数，. (1)当时，求函数在区间的最大值和最小值； (2)当在有解，求实数k的取值范围； (3)当函数有两个极值点，，且时，是否存在实数m，总有成立，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由. 8．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在有唯一的零点，求实数的取值范围． 9．已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，对任意的恒成立，求m的最大值. 10．已知函数. (1)求曲线在点处的切线的方程； (2)若函数在处取得极大值，求的取值范围； (3)若函数存在最小值，直接写出的取值范围. 【参考答案】 一、解答题 1．(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）求导求解单调性即可求出最值； （2）要使成立必须，求单调性求解即可. (1) 因为，所以， 由得；得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即. (2) 要使成立必须， 因为，所以当，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以满足条件的只有，即. 【点睛】 用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2．(1)答案见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）先讨论的单调性再确定在上的极值（2）利用极值点处的导数为求出，代入恒成立的不等式中，用分离参数法求的取值范围 (1) 在区间上， ， 当时， 恒成立， 在区间上单调递减， 则在区间上无极值； 当时，令得， 在区间上，，函数单调递减， 在区间上，，函数单调递增. 若，即，则在区间上极小值 若或，即或，则在区间上无极值 (2) 因为函数在处取得极值， 所以，解得，经检验可知满足题意 由已知，即， 即对恒成立， 令，则， 当时，；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即. 3．(1)减区间，增区间，极小值3， (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可； （2）构造新函数利用函数单调性去证明即可. (1) ，则 由得，由得， 即减区间为，增区间为， 在时取得极小值，无极大值. (2) 不妨设且，则，，， 令，则 ， 则当时，单调递增；当时，单调递减 由，得 则 令，则 令，则 即为增函数， 又，则在上恒成立. 则恒成立，则， 又时单调递减，， 则，故 4．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由导数的几何意义即可求解； （2）（ⅰ）原问题等价于是方程的两根，且，从而构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解； （ⅱ）由，利用放缩法可得，即，又由（ⅰ）知，从而可证；先证明，然后利用放缩法可得，即，最后构造二次函数，利用根的分布即可证明，从而得证原不等式. (1) 解：因为 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为； (2) 解：（ⅰ）因为函数有两个极值点， 所以是关于x的方程的两根，也是关于x的方程的两正根， 设，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增，又， 所以，当时，，；当时，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以，即， 所以a的取值范围是； （ⅱ）证明：结合（ⅰ）可知， 因为，所以， 所以，所以，又由（ⅰ）知， 所以； 下面先证明不等式， 设，则， 所以，当时，，在上单调递减， 所以，，所以不等式成立， 因为，是的两个根，所以，又， 所以，即， 设函数，对称轴， 因为，且，，， 所以函数有两个不同的零点，记为，，且， 因为，且，， 所以， 因为在上单调递减，且，所以； 因为在上单调递增，且，所以； 所以，所以， 因为， 又，所以， 所以， 综上，． 【点睛】 关键点点睛：本题（2）问（ii）小题证明的关键是，利用，进行放缩可得，从而可证；再利用，进行放缩可得，从而构造二次函数，利用根的分布即可证明. 5．(1) (2)当时，函数有一个极值点； 当时，函数无极值点； 当时，函数有两个极值点. (3) 【解析】 【分析】 （1）将代入函数中，得出函数的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解； （2）根据已知条件，对进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解； （3）根据成立，转化为即可，再利用第（2）的结论即可求解. (1) 当时， ，所以切点为， ， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线的斜率切线方程为 ，即 (2) 由题意知函数的定义域为， ， 令， （i）当时，，函数在单调递增，无极值点 （ii）当时，， ①当时，， 所以函数在单调递增，无极值点； ②当时，， 设方程两根， 此时 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减. 函数有两个极值点； ③当时，， 设方程两根 此时 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减. 函数有一个极值点； 综上所述： 当时，函数有一个极值点； 当时，函数无极值点； 当时，函数有两个极值点. (3) 由成立等价于即可. ①当时，函数在上单调递增， 时，，符合题意； ②当时，由，得， 函数在上单调递增， 又时，，符合题意； ③当时，由，得 时， 单调递减, 时，时，不合题意； ④当时，设， ，时，在上单调递增. 当时，，即， 可得， 当时，，此时，不合题意. 综上，的取值范围是. 【点睛】 解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解. 6．(1)； (2)； (3). 【解析】 【分析】 根据导数的运算法则，对（1）（2）（3）逐个求导，即可求得结果. (1) 因为，故. (2) 因为，故. (3) 因为，故. 7．(1)最大值为，最小值为； (2)； (3). 【解析】 【分析】 （1）求得，利用导数研究函数在区间上的单调性，再利用单调性求其最值即可； （2）分离参数并构造函数，求其在区间上的值域即可求得参数的范围； （3）根据是的极值点，求得的等量关系以及取值范围，等价转化目标不等式，且构造函数，对参数进行分类讨论，利用导数研究其值域，即可求得参数范围. (1) 当时，，，令，解得， 当时，单调递减，当时，单调递增； 又，且， 故在上的最大值为，最小值为. (2) 令，因为，则，故， 令，则， 故当，单调递减，当，单调递增， 又，且， 故的值域为，则要满足题意，只需. 即的取值范围为：. (3) 因为，， 因为有两个极值点，故可得， 也即，且. 因为，，故， 则，即， 因为，故上式等价于，即， 又当时，，当时，， 令，则， 当时，，故在单调递增，又， 故当时，，当时，，故不满足题意； 当时，令， 若方程对应的时，即时，，单调递减， 又，故当时，，当时，，满足题意； 若，即时，又的对称轴，且开口向下， 又，不妨取， 故当，，单调递增，又， 故此时，不满足题意，舍去； 综上所述：的取值范围为. 【点睛】 本题考察利用导数研究函数值域，有解问题，以及利用导数处理恒成立问题；其中第三问中，合理的处理以及多变量问题，以及构造函数，是解决本题的关键，属综合困难题. 8．(1)的极小值为，无极大值； (2) 【解析】 【分析】 （1）当时，求导分析的单调性，即可得出答案． （2）由题意可得，求导得，从而可推出在单调递增，，分两种情况讨论：①当，②当，分析的单调性，即可得出答案． (1) 当时，，， 令，得， 令，得， 则单调递增区间为，单调递减区间为， ∴存在极小值为，无极大值； (2) ， 则， 令，则， 由得，，，则，故在单调递增， ， ①当，即时，即时，， ∴在上单调递增，又， ∴当时，函数没有零点， ②当，即时， 由，得， ∴， ∴，， 又∵， ∴存在，使得， 当时，，单调递减， 又∵， ∴当时，，在内，函数没有零点， 又∵时，， ∴单调递增， 又∵， 令， ，， ∴在上单调递增， 又∵， ∴时，，在上单调递增， ∴， ∴， 又∵， ∴由零点的存在定理可知存在， ∴在内，函数有且只有1个零点， 综上所述，实数的取值范围是. 9．(1)递增区间为，递减区间为，极小值为，没有极大值 (2)3 【解析】 【分析】 （1）由导数分析单调性后求解 （2）参变分离后，转化为最值问题求解 (1) 函数的定义域为， 由，令可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ∴   函数的递增区间为，递减区间为， 函数在时取极小值，极小值为，函数没有极大值 (2) 当时，不等式可化为， 设，由已知可得， 又， 令，则， ∴   在上为增函数，又，， ∴ 存在，使得，即 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ∴   ， ∴   ， ∴ m的最大值为3. 10．(1) (2) (3) 【解析】 【分析】 （1）先求导后求出切线的斜率，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程； （2）根据函数的单调性和最值分类讨论； （3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解. (1) 解：由题意得： ， 故曲线在点处的切线的方程. (2) 由（1）得要使得在处取得极大值，在时应该，在时应该， 故①且，解得 ②且，解得 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 综上：的取值范围为. (3) 可以分三种情况讨论：①②③ 若，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，无最小值； 若时，当时，趋向时，趋向于0；当 ，要使函数取得存在最小值，解得，故 处取得最小值,故的取值范围. 若时，在趋向时，趋向于0，又故无最小值； 综上所述函数存在最小值， 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$