四川省眉山市县高中2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题

市县高中24级高一期末联考 数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1．在等差数列中，，，则（ ） A．9 B．9.5 C．10 D．11 2．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ） A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤 3．设是等差数列的前项和，若，则（ ） A． B． C． D． 4．设等差数列的前项和为，，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和为，且，，则（ ） A．200 B．210 C．400 D．410 6．已知数列{an}满足，则数列{an}的最小项为（ ） A． B． C． D． 7．小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有、、三个木桩，木桩上套有编号分别为、、、、、、的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到木桩上，则所需的最少次数为（ ） A． B． C． D． 8．设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（ ） A．290 B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10．下列说法中正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C． D．“”是“”的充分不必要条件 11．已知，，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 二、填空题（每小题5分，共20分） 12．在等比数列中，已知，则=________________. 13．数列中，为的前项和，若，则____． 14．若数列是正项数列，且，则_______． 三、解答题 （17题10分，其余各小题12分，共70分） 15．已知数列满足， （1）证明是等比数列， （2）求数列的前项和 16．已知等差数列的前项和为，，为整数，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17.已知数列满足，． （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求使不等式＜对一切恒成立的实数的范围． 18．已知数列满足： （1）设数列满足，求的前项和： （2）证明数列是等差数列，并求其通项公式； 19．在公比不为1的等比数列中，，且依次成等差数列 （1）求数列的通项公式； （2）令，设数列的前项和，求证： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 市县高中24级高一期末联考 数学答案 1． 【答案】B 【解析】 ；，解得 故选： 2． 【答案】D 【解析】 因为每一尺的重量构成等差数列，，， ， 数列的前5项和为． 即金锤共重15斤， 故选D． 3． 【答案】D 【解析】 根据等差数列的性质，若数列为等差数列，则也成等差数列；又，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故选：D。 4． 【答案】A 【解析】 设等差数列的公差为，首项为， 因为，， 故有， 解得， ， 故选A. 5． 【答案】B 【解析】 由题，，又因为 所以当时，可解的 当时，，与相减得 当为奇数时，数列是以为首相，为公差的等差数列， 当为偶数时，数列是以为首相，为公差的等差数列， 所以当为正整数时，， 则 故选B. 6． 【答案】B 【解析】 因为，所以； 因为所以； ， 以上各式相乘可得， 所以， 由于有最小值，所以的最小值为. 故选：B. 7． 【答案】B 【解析】 假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，可这样操作，先将个圆环从木桩全部套到木桩上，至少需要的次数为，然后将最大的圆环从木桩套在木桩上，需要次，在将木桩上个圆环从木桩套到木桩上，至少需要的次数为，所以，，易知. 设，得，对比得， ，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， ，因此，，故选：B. 8． 【答案】C 【解析】 由得， 当时，，整理得， 所以是公差为4的等差数列，又， 所以，从而， 所以， 数列的前10项的和. 故选. 9. ACD 10．AB 【分析】根据充分条件，必要条件的定义及集合相等判断各个选项即可． 【详解】解：对于A，， 若，，则，此时不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，或， 故“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，是点的集合，是实数的集合，两者不相等，故C错误； 对于D，或， 故“”是“”的必要不充分条件，D错误． 故选：AB． 11．ACD 【分析】根据不等式的性质，对各个选项进行计算，即可求出结果. 【详解】对于，因为，所以，所以的取值范围为，故正确； 对于，因为，，所以，，所以的取值范围为，故不正确； 对于，因为，所以，又，所以的取值范围为，故正确； 对于，因为，，所以的取值范围为，故正确； 故选：ACD. 12．【答案】 【解析】 13． 【答案】 【解析】 因为，所以，又因为 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以由等比数列的求和公式得，解得 14． 【答案】 【解析】 数列是正项数列，且 所以，即 时 两式相减得， 所以（ ） 当时，适合上式，所以 15． 【答案】 【解析】 ∵已知数列的前项和为，且， 当时，， 当时，， 检验：当时，不符合上式， 16． 【答案】（1）见解析，；（2） 【解析】 （1）∵，两边取倒数,∴，即，又， ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴，∴． （2）由（1）得， ∴＝， 要使不等式Sn＜对一切恒成立，则． ∴的范围为:． 17. 【答案】(1)；（2）. 【解析】 (1)等差数列中，， 解得： (2) 数列的前n项和. 18． 【答案】（1）（2）证明见解析, 【解析】 在中，令，得，所以 ，① ，② ①②得 化简得 由得：，两式相减整理得： 从而有，相减得： 即 故数列为等差数列，又，故公差 19． 【答案】(1) (2) 见证明 【解析】 （1）设公比为，，，成等差数列，可得， 即，解得（舍去），或， 又，解得 所以. （2） 故， 得 学科网（北京）股份有限公司 $$